精品解析：四川省南充高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

南充高中高2024级第四学期第一次月考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 总分：150分 ） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的第8项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 2. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出双曲线的方程，即可求解. 【详解】由，得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式以及下标和性质计算可得结果. 【详解】易知，可得； 又，所以. 故选：D 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 5. 已知数列为正项等比数列，，则值为（ ） A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】数列为正项等比数列，由等比数列性质得 ， 已知，故，又，得. . 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题先求出，利用，即化简可求解. 【详解】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为， 将代入，得到， 所以， 因为，所以， 所以，即， 化简得到， 因为，解得. 故选：A. 7. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 8. 已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对递推式取倒数累加求通项,再裂项相消求前 项和并确定其上界,接着转化为关于 的一次函数恒成立问题,最后利用区间端点列不等式组,求解得出实数 的取值范围。 【详解】由，两边同除以得， 当 时,得 , 累加得 , 可得 ,则 , 前项和， 因此，因为对于任意的，不等式恒成立. 所以对任意恒成立， 令，，由一次函数端点值条件可知 即，解得或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 过且与直线平行的直线方程为 D. 过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，，则 B. 记等差数列的前n项和分别为，若，则 C. 若是等差数列，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列片段和性质判断A，根据等差数列求和公式判断B，求出公差，再由求和公式判断C，根据求出的通项，即可判断D. 【详解】对于A，因为是等比数列且，所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为等差数列的前项和分别为，且， 所以，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 存在直线使得 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项 A ，先联立直线与抛物线，由判别式确定参数范围，再利用斜率表示夹角正切值，判断角的取值范围； 选项 B ，假设等角成立，由等角对等边转化为线段长度相等，结合抛物线定义与距离公式推出矛盾，判断不存在； 选项 C ，由斜率得直线参数，联立用韦达定理，通过向量点积与模长计算夹角余弦值，确定角度大小； 选项 D ，利用抛物线焦半径公式将长度关系转化为坐标关系，结合韦达定理求解，得出直线斜率. 【详解】先让直线的斜率存在且不为，设直线，设 联立，可得， 由 ，且 所以韦达定理：， 对于A，由于直线斜率的范围为，倾斜角的范围为， 结合图形可得的取值范围为，故A正确； 对于B，在中，若，则 ， 由抛物线定义，， 由于， 令，得 ，解得， 当时直线与轴重合，与抛物线仅有一个交点，不构成三角形， 所以不存在直线使得，故B错误； 对于C，若， ​ 由于​,​ 所以， 因 ，故，故C正确； 对于D，由抛物线定义，， 由得 ，化简得：， 由，则，解得（负根舍去）， 则， 由， 又， 故​​，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，那么_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量垂直的坐标关系得到的值，再由向量模的坐标公式计算可得结果. 【详解】由，可得，即，解得. 所以，. 故答案为：. 13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 【答案】 【解析】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，， ，设，， 由，得，即，化简得. 正方体内切球球心为正方体中心，半径， 点满足. 设球心在平面的投影为， 则在平面上到直线的距离. 即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径. 轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是，，，为中点. （1）求中线和线段分别所在的直线方程； （2）求ABC的面积. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【小问1详解】 由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 【小问2详解】 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面， 以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 依意得，，，， 所以，， 因为，所以， 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 解法二：底面是正方形，， 底面，且平面，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，E为中点，， ，平面，平面， 平面，平面，， 由已知，且，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；解法二：首先证明平面，得到，再由，得到平面，从而得到，再由，即可得证； （2）解法一：利用空间向量法计算可得；解法二：由（1）可得为平面与平面所成角，利用锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：依题意得，且，， 设平面的一个法向量为， 则，即取， 因为，，设平面的一个法向量为， 则即取， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以，所以平面与平面的夹角为． 解法二：由（1）知平面，， 又，平面，平面， 为平面与平面所成角， ，E为中点，，， 平面，平面，， 直角三角形中，，所以， 所以平面与平面的夹角为 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ① ②得 ， 所以. 又因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用与关系化简可得，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出即可证明结论. 【小问1详解】 因为在数列中，，当时，， 两式相减得，可得， 又因为时，，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 略 18. 如图所示，已知椭圆 过点，离心率为，左、右焦点分别为、，点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜线分别为、. （i）证明：； （ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上， 所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y＝k1（x+1），y＝k2（x﹣1）， 联立方程解得，所以，由于点P在直线x+y＝2上， 所以，故 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过已知点和离心率，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得； （2）（i）把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标，代入直线x+y＝2上，整理得； （ii）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由kOA+kOB+kOC+kOD＝0推断出k1+k2＝0或k1k2＝1，分别讨论求得p． 【小问1详解】 ∵椭圆过点，，∴，故所求椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），联立直线PF1和椭圆的方程得，化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2＝0， 因此，所以， 同理可得：，故由kOA+kOB+kOC+kOD＝0得k1+k2＝0或k1k2＝1， 当k1+k2＝0时，由（1）的结论可得k2＝﹣2，解得P点的坐标为（0，2） 当k1k2＝1时，由（1）的结论可得k2＝3或k2＝﹣1（舍去）， 此时直线CD的方程为y＝3（x﹣1）与x+y＝2联立得x＝，，所以， 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，P（0，2）． 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题，椭圆的简单性质，也考查了综合运用知识解决问题的能力以及数形结合、分类讨论数学思想，属于中档题. 19. 已知数列是等差数列，前项和为，数列是递增等比数列，且，，． （1）求数列、的通项公式； （2）去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； （3）将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 【答案】（1），． （2）； （3） 由已知得，，2，3，…，，，不妨设， 首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减： 假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在 使得或者，所以， 此时 ， 则将调换到之前 ， 因此时，取最大值必有，，…，， 此时 ， 所以取最大值时， 并且，， 此时， 当时，， 当时，， 因为 ， 所以． 综上． 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解， （2）根据题意可得当时，，结合等比数列的前项和公式即可求解， 当时，利用即可求解，从而得到数列的前项和. （3）先用反证法证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减，进而得，即可利用放缩法以及裂项相消法求证. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列， 所以设公差为d，公比为q，因为，，． 所以，得或， 又因为数列是递增等比数列且，所以，所以，． 【小问2详解】 由（1）得， 当时， ， 当时， ， 综上； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级第四学期第一次月考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 总分：150分 ） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的第8项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 13 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 5. 已知数列为正项等比数列，，则值为（ ） A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8. 已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 过且与直线平行的直线方程为 D. 过且与直线垂直的直线方程为 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，，则 B. 记等差数列的前n项和分别为，若，则 C. 若是等差数列，，则 D. 若，则 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 存在直线使得 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，那么_______. 13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是，，，为中点. （1）求中线和线段分别所在的直线方程； （2）求ABC的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 18. 如图所示，已知椭圆 过点，离心率为，左、右焦点分别为、，点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜线分别为、. （i）证明：； （ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知数列是等差数列，前项和为，数列是递增等比数列，且，，． （1）求数列、的通项公式； （2）去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； （3）将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $