湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

高二数学一 命题人：李谦 审题人：于杰延 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.若复数z=(1一i)(a一i)(a∈R)为纯虚数，则a= A.-√2 B.-1 p C.0 D.1 圜 2已知集合A=女异≤0，B=2F≥8)，则AUB 如 A.[-2,3) B.[3,4) 剧 C.[-2,+∞) D.[3,+∞) 如 3.已知向量a=(1,m),b=(m,4),则“m=2”是“a∥b”的 製 长 A.充要条件 B.充分不必要条件 K C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 渗 4.下列求导结果正确的是 A.(sin 3)=cos 3 B.(cos x)'=sin x 脚 c(-卫 22 Dh2x)/=2 5.(1+)1+x)”的展开式中含x项的系数为 A.42 B.56 C.84 D.120 6.盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回地摸两次球，记X 为摸到黑球的个数；随机无放回地摸两次球，记Y为摸到黑球的个 数，则 A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) B.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) C.E(X)=E(),D(X)<D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y) 高二数学试题(Q)第1页（共8页） 7.众所周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40%的 人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视 率约为50%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生， 则该名学生近视的概率为 A音 c号 D. 8.某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需 要经过6个转运环节，其中第1,6个环节有a,b两种运输方式，第2,3,5 个环节有b,c两种运输方式，第4个环节有c,d,e,f四种运输方式，则 快件从甲送到乙使用4种运输方式的不同的方法种数是 A.60 B.70 C.77 D.78 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B.用决定系数R2刻画回归效果，R2越接近1，说明回归模型的拟合效 果越好 C.在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴 为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D.在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分 类变量X与Y有关” 10.已知圆C:(x一5)2+y2=12,抛物线E:y2=4x的焦点为F,M为C上 一点，P为E上一动点，则 A.抛物线E的准线方程为x=一2 B.抛物线E与圆C没有交点 C.若|PC=4,则直线PF与圆C相切 D.PM的最小值为1 高二数学试题(Q)第2页（共8页） 11.若数列{an}满足：彐C∈R,Hn∈{2,3,4，…}，an一am-1十 |am-1一an-2十…十a2一a1<C,则称数列{an}为有限稳定数列，记 Sn为数列{an)的前n项和，则下列结论正确的是 A.首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 B.若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，则其公比的取值范围 为(0,1)》 C若数列a)满足Vn∈N,a.≤是，则数列a,是有限稳定数列 D.若数列{Sn}是有限稳定数列，则数列{am}是有限稳定数列 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.假设某次数学考试成绩服从正态分布N(78,72).如果按照16%， 34%,34%,16%的比例将考试成绩由高到低分为A,B,C,D四个等 级，那么A等级的分数线约为 分及以上（精确到1）. (参考数据：若X~N(μ，o),则P(u一o≤X≤μ十o)≈0.68.) 13.已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此 目标各射击一次.如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，那么 至少需要大炮的门数是 .(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈ 0.477) 14.在三棱锥D-ABC中，已知AB=6,AC=3,BC=3√3，三棱锥D- ABC的体积为12,3，其外接球的体积为9x,则动点D的轨迹长度 为 高二数学试题(Q)第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题 17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分) 已知箱圆后+芳-1a>>0)的离心率为号，上、下顶点分别为A,B |AB=4.过点E(0,1),且斜率为k的直线l与x轴相交于点F,与椭 圆相交于C,D两点. (1)求椭圆的方程； (2)若FC=DE,求的值. 高二数学试题(Q)第4页（共8页） 16.（本小题满分15分) 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高 中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计 其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时 长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长 不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优 秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变 量x,单位：小时)与对应数学成绩（记为变量y,单位：分），得到如下 数据： 学生编号 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据α=0.001的独立性检验，能否认为高中生数学 成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实 际含义； (2)请你结合第(1)问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建 立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为 4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况 相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：父= n(ad-bc)2 (a+b)(cFd)(aFc)(bFd:n-a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 Ta 3.841 6.635 10.828 经验回归方程y=a+x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别 为6-6- a=y-bx. 2(红-) 高二数学试题(Q)第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A,BC中，D,E,F分别为棱BB1,AA1,CC 的中点，G为线段EF上的动点， (1)证明：B,G/∥平面ACD: (2)若G为线段EF的中点，且AB=4,AA1=22,求AG与平面ACD 所成角的正弦值 E 高二数学试题(Q)第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白 球，现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放人另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X,甲口袋中恰有3个黑球的 概率为am,恰有2个黑球的概率为b,恰有1个黑球的概率为cm,没有 黑球的概率为d: (1)求a1,b1,c1,d1 (2)求3an+1+2bn+1十cn+1与3an十2bn十cnm的递推关系式： (3)求随机变量Xm的数学期望E(X).(用n表示) 高二数学试题(Q)第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x一lnx一n. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)已知g(x)=|f(x)|,若存在x1<x2<x3<x1,使得g(x1)=g(x2) =g(x3)=g(x4). (ⅰ)求实数m的取值范围； (ⅱ)证明：x1x4<x2x3, 高二数学试题(Q)第8页（共8页） 高二数学一参考答案 一、二、选择题 题号 4 5 6 2 P 9 10 11 答案 D C B C D B A BCD BC ACD 1.D【解析】因为(1一i)(a一i)=a-1一(1+a)i为纯虚数，所以a-1=0,且a十1≠0，故a=1. 2.C【解析】由题意得，A=[-2,4),B=[3,十o∞)，所以AUB=[-2,十∞). 3.B【解析】充分性分析：，m=2,,a=(1,m)=(1,2),b=(m,4)=(2,4),.b=2a,∴a∥b,故充分性成立； 必要性分析：a∥b,∴.b=a,a=(1,m),b=(m,4),.(m,4)=(1,m), 产五故必要性不成立，故2是妇/的定分不 4.C【解析i对于A,(sin3)'=0,故A错误；对于B,(cosx)’=一sinx,故B错误； 对子C,()》-丝-，故C正确；对于D,2y-会-是放D特说 x2 5.A【解析】二项式(1十x?展开式的通项为T+1=C,rEN,≤1，因此(1+)(1+x)的展开式中含2的项为 1·Cx+是·Cx=42x,所以(1+是)1+x)”的展开式中含x项的系数为42， 6D【解析】由题意可知，X~B(2,号），则E(X0=2×号-号，D(X)=2×号×(1-号)=号， y的可能取值为01,2，则P0Y=0)-号-品，P0Y=1)-婴-号，PY=2》=晋=0， 可得m=0×品+1×g+2x品=告，Dm=(0-号)°×是+(1-号)×号+(2-告)×0-是， 所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y). 7.B【解析设“调查一名学生，则该名学生近视”为事件A,“每天玩手机超过2h”为事件B, 则由题可知，P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A|B)=0.5, 又P(A)=P(AB)+P(AB)=P(B)·P(A|B)+P(B)·P(AIB), 中Q.4=0.3X0n.5+0.7XP4),得Pal国)=会9-是 8.A【解析】若第4个环节使用c运输方式，由题意可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式，故第4个环节必须使 用d,e,f三种运输方式中的1种，若第1,6两个环节都使用b运输方式，则快件从甲送到乙至多会使用3种运输方 式，故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为两类 第一类：第1和第6环节都用a运输方式，则第2,3,5环节必须使用两种不同的运输方式，第4环节必须使用d,e,f 中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有1×(8一2)X3=18(种)； 第二类：第1和第6环节运输方式不同，则第2,3,5环节只需至少一个环节使用c运输方式，第4环节必须使用d,, f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有2X(8一1)×3=42（种）. 由分类加法计数原理可得，满足条件的运输方式有18十42=60（种）. 9.BCD【解析】对于A,两个变量的样本相关系数为r,则|r|越大，线性相关程度越强，故A错误；对于B,决定系数R 越接近1，值越大，残差平方和越接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故B正确；对于C,因为在残差的散 点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故C正确；对于D,基于可证 伪原则，只有两个变量独立，才能证明，故D正确。 10.BC【解析】抛物线E的准线方程为x=一1，故A错误； 联立抛物线E与圆C的方程得(x一5)2十4x=12,得x2一6x十13=0，△<0，方程无实数解，所以抛物线E与圆C没 有交点，故B正确； 高二数学参考答策(Q)一1 批物线E:y2=4x,其然点F(1,0),圆C:(x一5)2十y2=12的圆心C(5,0),半径为r=23, 设P(货，)，则PC一(-5+=√-12+16=4，解得=士2，则P(3,士2)， 故直线PF的方程为)=士5(z一1D,因为圆心C(5,0)到直线PF的距离为d=土EC5=1)=25= /1+3 所以直线PF与圆C相切，故C正确； 由上可知，|PC的最小值为4，所以|PM川的最小值为4一2√3，故D错误， 1.AcD【解折]对于A,设a,=(号)，则la-a=(侵)厂'-（合）=（合），≥2，nEN, 设Tm=|an-ar1|+|a-1-an-2|++|a2-a|,n≥2，n∈N", 则T=(侵)+（份）+…+之=1-（分）<1，故该教列是有限稳定教列，故A正确： 对于B,若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，即满足T,=|a,一a-1|十{a。-1-an-2l十十|a2一a1=0 则该数列必是有限稳定数列，因此公比的取值范围不为(0,1)，故B错误； 对于C,不取a=二P,满足VnEN心，a≤， 对a-|业-引-少+二器制=+ 但x-la.a-+laa-l++|a-al=[2+]k+1+2[+--] 含山+-a-可]-名+含a-a-2[]+2L2】 =合-+1-n<号， 因此工=[导十]小<+1+号-是，国此诚数列是有限稳定数列，故C正确： 对于D,若数列(S)是有限稳定数列，则相邻两项之差的绝对值和有界， 1s-S。l+|s-S-+…+s-Sl=lal+la-il+…+a=2, 即las有界，进而2(la+a-l)有界，而2(la-a-l)≤(la+a-l), 所以la一a-有界，即数列(a)是有限稳定数列，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.85【解析】设A等级的分数线为a,则应该满足P(X>a)=0.16.又由题知P(X4十o)≈1-968=0.16， 2 因此a=μ十c=78+7=85. 13.5【解析】已知每门大炮射击一次击中目标的概率是0.4，那么不击中目标的概率为1一0.4=0.6. 因为n门大炮射击是相互独立事件，所以n门大炮都不击中目标的概率为0.6”.“目标至少被击中一次”的对立事件 是“目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为1，可得“目标至少被击中一次”的概率为1一0.6”. 已知目标至少被击中一次的概率超过92%，则可列出不等式1一0.6>0.92，可得0.6"<0.08， 两边同时取常用对数，可得lg0.6<1g0.08.因为1g0.6=1g0=lg6-1g10=lg(2X3)-1=1g2+1g3一1≈0.301 +0.47-1=-0.22,1lg0.08=lg780-lg8-1g10=1g20-2=3g2-2≈3×0.301-2=-1.097 将lg0.6≈-0.222，lg0.08≈-1.097代入nlg0.6<lg0.08中，可得-0.222m<-1.097, 解得心二品器≈494， 高二数学参考答案(Q)一2