精品解析：新疆维吾尔自治区2026届高三四月适应性检测数学试卷

2026年普通高考四月适应性检测 数学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡的相应位置上. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据1，2，4，，7，9的中位数为5，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是非零向量，则“共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 7. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为C上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为2 C. C的焦点到渐近线的距离为 D. 过焦点与C相交所得弦长为5的直线有4条 10. 已知是递减的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 设为数列的前项积，当且仅当时，取得最大值 11. 设是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 恰有2个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 13. 若曲线在点处的切线与圆相切，则__________. 14. 设表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：，则.设，其中表示取遍的所有正因数求和.例如.则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求C； （2）若，的平分线交于点，，求的面积． 16. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 17. 如图所示，四边形是边长为2的正方形，以为圆心的半圆面垂直于平面，是半圆弧上的动点. （1）证明：平面平面； （2）若平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积. 18. 图像识别技术是人工智能的一个重要领域，是计算机视觉领域的技术分支，某大学的人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张人脸照片的识别都是独立的. （1）从这200张人脸照片中随机抽取一张，已知这张人脸照片的识别结果为男性，求识别正确的概率； （2）在新一轮测试中，小组同学对4张不同的女性人脸照片依次测试，全部测试完毕后，设X表示测试结果正确的人脸照片数，求X的分布列和数学期望； （3）为处理无法识别的人脸照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的人脸照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的人脸照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的人脸照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为，判定为女性的概率为）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性人脸照片的数量之比与此轮测试中男性､女性人脸照片数量比例一致）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，试比较的大小. 19. 已知. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，有恒成立. （i）求a的取值范围； （ii）证明：对任意的正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高考四月适应性检测 数学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡的相应位置上. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据1，2，4，，7，9的中位数为5，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】将已知的5个数据从小到大排列为1，2，4，7，9. 根据中位数的定义，需对x的取值范围进行讨论. 若，则排序后数据的中位数不大于； 若，则排序后数据的中位数为，均与题意不符. 因此，所以这组数据从小到大排列依然是1，2，4，，7，9， 因为这组数据有6个数，所以中位数是正中间两个数的平均数，即，解得，故选C. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算和复数的模的运算计算即可. 【详解】， 所以. 4. 设是非零向量，则“共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同向时，可得充分性不成立，利用数量积的运算律，由得，知必要性成立，即可得解. 【详解】若，当同向时，； 当反向时，，故充分性不成立； 若，则， 整理得， 即， 即，则，故必要性成立； 所以“共线”是“”的必要不充分条件. 5. 若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移规则可知，最后应用特殊角的余弦值可得结果. 【详解】的图象向右平移个单位后得到函数 . 因此. 6. 记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由等差数列的性质得：，，成等差数列，则，求解即可. 方法二：利用等差数列前项和公式，列出方程，求解即可. 【详解】方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列， 所以，即，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，则. 7. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为C上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意求出点的坐标，再由向量垂直得坐标表示列方程，求出，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为， 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 由，可得, ， 所以的准线方程为. 8. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示，连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点，又因为是线段的中点， 所以在中，，所以四点共面，即直线是相交直线； 作于，连接，过作于． 连，平面平面． 平面，平面，平面， 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知， ．，故选B． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为2 C. C的焦点到渐近线的距离为 D. 过焦点与C相交所得弦长为5的直线有4条 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，即可结合性质逐一求解. 【详解】将化为， 故， 则虚轴长为，离心率为， 焦点到渐近线的距离为， 由于过焦点的弦中，相交于同一支的最短的弦长为通径，长度为， 相交于两支的弦中最短的为， 由于,因此过焦点与C相交所得弦长为5的直线有4条， 其中经过左焦点，且与双曲线两支相交长度为5的直线有2条， 同理过右焦点长度为5的直线也有2条.故ABD正确，C错误. 10. 已知是递减的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 设为数列的前项积，当且仅当时，取得最大值 【答案】AC 【解析】 【详解】由，结合等比数列通项公式和前项和公式可得： ，消可得：， 解得或， 当时，代入可得：，此时满足是递增的等比数列， 当时，代入可得：，此时满足是递减的等比数列， 综上要使得是递减的等比数列，所以，故 A正确； 再由，故B错误； 由，可得， 由，所以为等比数列，故C正确； 由，， 因为满足， 且当， 所以当且仅当或时，取得最大值，故D错误. 11. 设是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 恰有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知可得，结合复合函数的导数可得，计算可判断A；利用偶函数性质求得的解析式判断B；利用导数可得在上单调递增，结合偶函数的性质判断C；利用单调性及，可得在上有且仅有一个零点，利用偶函数的性质可判断D. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以，即， 又当时，，所以， 所以，故A正确； 当时，则，所以 ，故B错误； 当时，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 又函数是上的偶函数，所以，故C正确； 又，，， 结合函数的单调性及，可得在上有且仅有一个零点， 又因为函数是上的偶函数，可得在上有且仅有一个零点， 所以恰有2个零点，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】或. 【解析】 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 13. 若曲线在点处的切线与圆相切，则__________. 【答案】或 【解析】 【详解】对曲线  求导，根据乘积求导法则：  将切点横坐标 代入导数，得切线斜率 ， 由点斜式得切线方程：，整理为 , 由圆 的圆心为 ，半径 ，且切线与圆相切， 则圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式：， 解得或. 14. 设表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：，则.设，其中表示取遍的所有正因数求和.例如.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的正因数，再求出每个正因数的，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为有个正因数：， 又， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求C； （2）若，的平分线交于点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积与三角形射影定理化简向量式，进而求出，结合三角形内角的性质求； （2）利用角平分线的性质，结合余弦定理和三角形面积公式求解． 【小问1详解】 ， ，， 由三角形的射影定理得：， ，故，解得， ，． 【小问2详解】 是的平分线， ， ， ， ，则， ，即， 由余弦定理，代入得， 已知，， ，，，， ． 16. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据题目中的右焦点，确定椭圆焦点在轴，可设椭圆的方程为，再根据已知题意求出，，，进而求出椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值，因为，所以只需求出和的面积，因为底都是， 高分别为，两点到直线的距离和，不妨设在直线的上方，求出的取值范围及与的关系，所以，根据的取值范围，最终得到面积的最大值. 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为，关于原点对称，且直线的斜率为，所以直线的方程为， 因为，是上两点，所以联立 ，解得或， 取，则，， 因为直线与交于，两点， 为了便于讨论，不妨设在直线的上方，所以， 即，且， 则在直线的下方，所以，即 又因为点到直线的距离，点到直线的距离， 所以四边形面积 ， 因为， 所以当时，四边形面积的最大值为. 17. 如图所示，四边形是边长为2的正方形，以为圆心的半圆面垂直于平面，是半圆弧上的动点. （1）证明：平面平面； （2）若平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明： 因为为正方形，可得 ， 又因为平面 平面，平面 平面， 且平面，所以平面， 因为 平面，所以， 因为为圆的直径，所以 ， 又因为，且平面，所以 平面， 因为 平面，所以平面 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质，证得，再由圆的性质，证得 ，利用线面垂直的判定定理，证得 平面，进而证得平面 平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，得到 ，分别求得平面和的法向量 和 ，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，以平行于方向的所在直线为轴，以 所在直线为轴， 垂直于平面的直线为 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设 ，则 ，且 ， 可得向量 ， 设平面的法向量为，则， 令 ，可得，所以 ， 由（1）知， 平面，所以平面的一个法向量为， 因为 ，所以 ， 设平面与平面所处的角为， 则， 整理得 ，解得或 （舍去）， 所以，所以 ， 所以点到平面的距离为，即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 【点睛】 18. 图像识别技术是人工智能的一个重要领域，是计算机视觉领域的技术分支，某大学的人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张人脸照片的识别都是独立的. （1）从这200张人脸照片中随机抽取一张，已知这张人脸照片的识别结果为男性，求识别正确的概率； （2）在新一轮测试中，小组同学对4张不同的女性人脸照片依次测试，全部测试完毕后，设X表示测试结果正确的人脸照片数，求X的分布列和数学期望； （3）为处理无法识别的人脸照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的人脸照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的人脸照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的人脸照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为，判定为女性的概率为）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性人脸照片的数量之比与此轮测试中男性､女性人脸照片数量比例一致）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，试比较的大小. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概率的概率计算公式，即可求解； （2）设事件输入女性人脸照片且识别正确，求得，根据题意，得到随机变量，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （3）根据题意，分别求得男性和女性人脸照片识别正确，识别为女性和无法识别的概率，结合概率的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题设表格中的数据，可得被识别为男性的人脸照片共有张， 其中真实性别为男性的人脸照片有张，所以识别正确的概率为. 【小问2详解】 解：设事件输入女性人脸照片且识别正确， 根据题中表格中的数据，可得真实性别为女性的人脸照片有张， 其中女性人脸照片且识别正确的有张，所以， 由题意得，随机变量， 可得，， ，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望为. 【小问3详解】 解：由题意知，此轮测试的200张人脸照片中， 其中女性人脸照片共有80张，男性人脸照片共有120张， 程序将男性人脸照片识别正确的概率为，识别为女性的频率为， 无法识别的频率为， 程序将女性人脸照片识别正确的概率为，识别为男性的频率为， 无法识别的频率为， 由频率估计概率得：， ，， 所以. 19. 已知. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，有恒成立. （i）求a的取值范围； （ii）证明：对任意的正整数. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）为了使用方便，以下为的二阶和三阶求导符号， 由（i）得当 时，， 令函数，求导得， 因为， 所以函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，， 因此，当时，，所以， 当 时，，所以结论成立； 当 时，， 于是，， 故对任意的正整数成立． 【解析】 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出切线方程即可； （2）（i）变形得，再设新函数，求导后对 分类讨论即可； （ii）利用的单调性得到不等式，从而放缩后再裂项即可证明. 【小问1详解】 因为，所以函数， 求导得， 则，又， 故曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 （i）对任意，由， 设函数，求导得 . 当 时，，不符合题意； 当时，，函数在 上单调递增，，因此 当时，令， 求导得， 则，使得，当时，， 函数 在上单调递增，，即， 因此， 此时，不符合题意； 综上， 的取值范围是． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $