2027届高三数学一轮复习考点分层练习：直线的方程

直线的方程 基础达标 1.直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是（　　） A.（2，3）　　　　　　　B.（3，2） C.（2，－3） D.（3，－2） 2.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　） A.y＝x＋2 B.y＝x－2 C.y＝x－ D.y＝－x－2 3.如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若直线y＝ax＋1与连接A（2，3），B（－3，2）的线段总有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A.［－1，］ B.（－∞，－］∪[1，＋∞） C.［－，1］ D.（－∞，－2]∪［，＋∞） 5.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2） C.过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2） D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 6.〔多选〕已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是（　　） A.直线的倾斜角是π－α B.无论α如何变化，直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 7.若A（－2，3），B（3，－2），C（ ，m）三点共线，则m＝　　　　. 8.已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为　　　　. 9.（13分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）. （1）若l在两坐标轴上的截距之和为0，求l的方程； （2）是否存在实数a，使直线l不经过第三象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 综合应用 10.若a＝，b＝，c＝，则（　　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 11.〔多选〕已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α＜β，则下列关系可能成立的是（　　） A.0＜k1＜k2 B.k1＜k2＜0 C.k2＜k1＜0 D.k2＜0＜k1 12.已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋2，则的取值范围为　　　　. 13.（2026·贵州六盘水第一次联考）在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线的斜率为2，则边AC所在直线斜率的可能值为　　　　. 14.（15分）〔一题多解〕已知一条直线l过点P（1，4），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，求： （1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； （2）｜PA｜·｜PB｜取最小值时直线l的倾斜角. 拓展练习 15.〔创新设问〕〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为（　　） A.0　　　　　　　　　　 B. C. D. 1.B　2.A　3.C　4.B　5.ABC　6.BD　 7.　8.x＝－或y＝（x＋）　 9.解：（1）当a＝－1时，直线l平行于x轴，在x轴上无截距，不符合题意，则a≠－1， 直线l在x，y轴上的截距分别为，a－2， 依题意，＋a－2＝0，解得a＝±2， 当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，当a＝－2时，直线l的方程为x－y－4＝0， 所以直线l的方程为3x＋y＝0或x－y－4＝0. （2）假设存在实数a，使直线l不经过第三象限， 直线l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2， 则有解得a≥2， 所以存在实数a使直线l不经过第三象限，a的取值范围为[2，＋∞）. 10.B　a＝＝，b＝＝，c＝＝分别表示（2，ln 2），（3，ln 3），（5，ln 5）与（1，0）连线的斜率.由图可知，c＜b＜a. 11.ABD　若0＜α＜β＜，因为y＝tan θ在（ 0，）上单调递增，则0＜tan α＜tan β，即0＜k1＜k2，所以A可能成立；若＜α＜β＜π，因为y＝tan θ在（ ，π）上单调递增，则tan α＜tan β＜0，即k1＜k2＜0，所以B可能成立；对于C，由k2＜k1＜0可知α，β∈（ ，π），且tan β＜tan α，即β＜α，与题意矛盾，不可能成立；若0＜α＜＜β＜π，则tan α＞0，tan β＜0，即k2＜0＜k1，所以D可能成立.故选A、B、D. 12.（－∞，－）∪（0，＋∞）　解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x0，y0），即x0＝，y0＝.由两式相加，得（x1＋x2）＋3（y1＋y2）＋4＝0，则2x0＋6y0＋4＝0，即x0＋3y0＋2＝0，由y0＜x0＋2，得x0＞－2，则＝＝－－∈（－∞，－）∪（0，＋∞）. 13.－或　解析：设直线AB的倾斜角为α，则kAB＝tan α＝2.设直线AC的倾斜角为θ，在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以当θ＝α＋60°时，kAC＝tan θ＝tan（α＋60°）＝＝＝－；当θ＝α－60°时，kAC＝tan θ＝tan（α－60°）＝＝＝.综上所述，kAC＝－或kAC＝. 14.解：设直线l在x轴、y轴的正半轴的截距分别为a，b，则｜OA｜＝a，｜OB｜＝b，直线l的方程为＋＝1.因为直线l过点P（1，4），所以＋＝1. （1）因为1＝＋≥2，所以a·b≥16， 所以S△AOB＝ab≥8，当且仅当＝时取“＝”，即＝＝，此时a＝2，b＝8， 所以△AOB面积的最小值为8，此时直线l的方程为＋＝1，即4x＋y－8＝0. （2）法一 设直线l与x轴所成锐角为θ，则｜PA｜＝，｜PB｜＝， 所以｜PA｜·｜PB｜＝·＝≥8，当且仅当sin 2θ＝1即θ＝时取“＝”. 此时直线l的倾斜角为π－θ＝. 法二 ｜PA｜·｜PB｜＝－·＝－（a－1，－4）·（－1，b－4）＝a＋4b－17＝（a＋4b）·（＋）－17＝＋≥2＝8，当且仅当a＝b时取“＝”，此时直线l的倾斜角为. 15.BD　将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，故点A，B不可能同时在直线l上，又因为｜AB｜＝＝5，且｜PA｜＋｜PB｜＝5，所以点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点，又因为直线l：2ax－2y＋3a－3＝0，即a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，所以直线l恒过定点C（－，－），作出示意图，此时kAC＝＝－1，kBC＝＝1，故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线的斜率存在，故直线l的倾斜角的取值范围是［，）∪（，］.故选B、D. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $