期中检测必考题型（一）——运算化简与求值（5大考点12类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

期中检测必考题型（一）——运算化简与求值（5大考点12类题型） 目录 【知识储备】 1 【考点一】二次根式有意义的条件与基础性质 2 【题型1】二次根式有意义的条件（4题） 2 【题型2】利用二次根式性质化简（4题） 4 【考点二】最简二次根式与同类二次根式 6 【题型3】最简二次根式的识别与判断（4题） 6 【题型4】同类二次根式的判断（4题） 8 【考点三】二次根式的四则混合运算 10 【题型5】二次根式的加减运算（先化简再合并同类二次根式）（4题） 10 【题型6】二次根式的乘除运算（遵循运算法则，化简结果）（4题） 12 【题型7】平方差与完全平方公式应用（4题） 14 【题型8】二次根式混合综合运算（含加减乘除、公式应用的混合运算）（4题） 17 【考点四】二次根式化简求值 20 【题型9】直接代入求值（已知字母的二次根式值，求代数式的值）（4题） 20 【题型10】公式变形整体代入（4题） 22 【考点五】一元二次方程的解法 24 【题型11】用指定的方法解一元二次方程（4题） 24 【题型12】选择合适的方法解一元二次方程（4题） 28 【知识储备】 1.二次根式：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. 2.最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. 4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 5.二次根式的性质： （1）； （2）； （3）； （4）. 6. 一元二次方程 （1）一般形式：（其中是未知数,是已知数，）. （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【考点一】二次根式有意义的条件与基础性质 考法：（1）根据二次根式有意义的条件确定自变量取值范围，（2）利用二次根式性质化简二次根式 【题型1】二次根式有意义的条件（4题） 【例题1】（25-26八年级下·河南周口·月考）函数 中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】需根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0列出不等式，求解后即可得到结果． 解：∵函数中，二次根式的被开方数需满足非负要求，分式的分母不能为0， ∴可得， 解不等式得， 由得， ∴自变量的取值范围是且． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数必须非负，从而确定 x的值，再求y的值，计算后求其平方根即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 【变式2】（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知，则的算术平方根_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，二次根式有意义的条件，代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 由二次根式的被开方数非负，可得，进而化简绝对值表达式，求解的值，再代入目标表达式求值． 解：因为有意义，所以，即； 当时，，所以 ； 原方程化为： 代入目标表达式：， 其算术平方根为， 故答案为：． 【题型2】利用二次根式性质化简（4题） 【例题2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为（    ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的非负性，二次根式的非负性． 由数轴可知：且，据此即可求解． 解：由数轴可知：且， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象不经过第二象限，化简：______． 【答案】/ 【分析】首先根据一次函数的图象不经过第二象限，可得，，求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义，进行化简． 解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·月考） 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、实数的混合运算，解决本题的关键是把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）根据二次根式的性质，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）把二次根式化为最简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再合并二次根式． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究： （1）计算：_____，_____，，_____； （2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ （3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算： 【答案】（1）3，5，，；（2）对于任意实数a，不一定等于a，；（3） 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （1）分别计算各式的值即可； （2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可； （3）根据字母a、b在数轴上的位置得出，然后根据（2）的结论化简即可． 解：（1），，，． 故答案为：3，5，，； （2）由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a，不一定等于a，； （3）由数轴得，， ∴， ∴ ． 【考点二】最简二次根式与同类二次根式 考法：识别最简二次根式，判断同类二次根式 【题型3】最简二次根式的识别与判断（4题） 【例题3】（24-25八年级下·全国·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 解：， 故答案为：． 【变式3】（2025·福建·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上的点P表示的数是． 故答案为：． 【题型4】同类二次根式的判断（4题） 【例题4】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列二次根式中与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简是解题的关键． 将各个选项化为最简二次根式，判断是否为同类二次根式即可． 解：A、，故A选项符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 解：A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组求解出和的值，再代入计算． 解：由题意与是同类二次根式， 故； 与是同类二次根式，故． 得方程组： 化简得： 解得：，， 代入． 故答案为：． 【考点三】二次根式的四则混合运算 考法：掌握二次根式加减（合并同类二次根式）、乘除运算，结合公式简化计算。 【题型5】二次根式的加减运算（先化简再合并同类二次根式）（4题） 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减运算是合并同类二次根式，合并时系数相加减，被开方数不变，据此逐一判断选项即可． 解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、3与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某三角形的周长为．已知两边长分别为和，则第三边长为_______cm． 【答案】 【分析】本题已知三角形的周长以及其中两条边的长度，要求第三条边的长度。根据三角形周长的定义，即三角形三条边长度之和，所以用周长减去已知的两条边的长度，即可得到第三条边的长度． 解：首先，对进行化简： 然后，根据三角形周长公式，第三边长等于周长减去另外两边长，即： 【点拨】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算的步骤是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）计算 （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的加减运算，正确计算是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算零指数幂，化简二次根式，再加减即可； （2）先计算零指数幂，算术平方根，化简绝对值，再加减即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，零指数幂，有理数的乘方，掌握二次根式的化简方法，合并同类二次根式法则，零指数幂的性质即可计算求解． 解：（1）解： （2）解： （3）解： 【题型6】二次根式的乘除运算（遵循运算法则，化简结果）（4题） 【例题6】（24-25九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 解： ， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）计算：___________（其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 【变式2】（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算： （1） （2）（） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，对系数与根号内的部分分别运算，最后通过有理化分母化简得到结果； （2）先将系数和根号内的部分分别进行乘除运算，再对根号内的分式进行化简，最后整理得到最简二次根式． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6；（2）5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】平方差与完全平方公式应用（4题） 【例题7】（25-26八年级上·山东烟台·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是利用对已知和所求式子进行变形． 先对两边平方，得到的值，再对平方并代入计算，最后开方得到结果． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·天津滨海新区·月考）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】将原式变形后，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式化简即可得到结果. 解： ． 【变式2】（25-26八年级下·福建莆田·月考）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先由完全平方公式、平方差公式展开，再由有理数加减运算计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·月考）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算乘除并化简各二次根式，再合并同类二次根式； （2）先分别根据完全平方公式，平方差公式展开计算，再合并． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型8】二次根式混合综合运算（含加减乘除、公式应用的混合运算）（4题） 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 解： ， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：__ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 解： ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）已知四个二次根式，，，，． （1）计算：； （2）类似“点”游戏，请用这个二次根式（每个根式有且只能用一次）通过加、减、乘、除和括号，使得运算结果等于．（写出一种方法即可） 【答案】（1）；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）先运用完全平方公式与平方差公式简化运算，再合并同类项即可； （2）结合四个二次根式的特征，通过构造商为的形式（即被除数与除数相等），合理组合四个根式，确保每个根式仅使用一次即可． 解：（1）解： 原式 ； （2）解： ．（答案不唯一） 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 【答案】（1），；（2）；（3）①2；② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键． （1）阅读材料可直接得出结果； （2）先把分母有理化，然后比较大小即可； （3）①将已知两等式相乘可得出关于a的方程，然后解方程即可； ②两等式相加可得出，然后解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， 又， 两等式相加，得， ∴， 解得． 【考点四】二次根式化简求值 考法：结合代数式变形，代入含二次根式的字母值计算，结果化为最简 【题型9】直接代入求值（已知字母的二次根式值，求代数式的值）（4题） 【例题9】（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 解：， 当时，原式． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，则______． 【答案】25 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值，最后代入变形后的式子计算即可． 解：，， ，， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及完全平方公式等知识．根据已知条件，先求得，，然后将整理为，再代入计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值： （1），其中 ，． （2），其中 【答案】（1），；（2），4 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，分式的化简求值． （1）先计算括号里面的整式乘法，再合并同类项，然后除以单项式，最后代入数值计算即可． （2）先计算括号里面的分式，再把括号外面的除法转化成乘法，然后约分计算，最后再代入数值计算即可． 解：（1）解： ， 当时， 原式． （2）解： ， 当， 原式 【题型10】公式变形整体代入（4题） 【例题10】（24-25九年级上·四川内江·月考）如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 解：由题意可知，， ， ，即， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·月考）已知，求代数式的值是_____． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）13；（2）14 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 解：（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式3】（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）已知：，求： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算； （1）先计算的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解； （2）将分式化简，再代入即可求解． 解：（1）解：∵ ∴，， ∴ （2）解：∵ ∴，， ∴ 【考点五】一元二次方程的解法 考法：掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程。 【题型11】用指定的方法解一元二次方程（4题） 【例题11】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 解：（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 （1）用公式法解方程： （2）用配方法解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键． （1）根据公式法的步骤求解即可； （2）根据配方法的步骤求解即可． 解：（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程． （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）； （4）（因式分解法）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 解：（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 【变式3】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【答案】（1），；；（2），；；（3），；；（4），． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 解：（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 【题型12】选择合适的方法解一元二次方程（4题） 【例题12】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法求出方程的解即可． 解：（1）解：， ，即， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 【变式1】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）用适当方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据配方法进行解题； （2）根据因式分解法进行解题． 解：（1）解：， ， ， ， ∴，； （2）解： ∴，． 【变式2】（24-25九年级上·湖北孝感·月考）解方程：（用合适方法解一元二次方程） （1）； （2）． 【答案】（1），；；（2），． 【分析】（）移项，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·月考）用适当方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）无解；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式判断根的情况即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解： ∴或， ∴； （2）解： ∵， ∴该一元二次方程无解； （3）解： ∴或， ∴； （4）解： ∵， ∴， ∴，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测必考题型（一）——运算化简与求值（5大考点12类题型） 目录 【知识储备】 1 【考点一】二次根式有意义的条件与基础性质 2 【题型1】二次根式有意义的条件（4题） 2 【题型2】利用二次根式性质化简（4题） 2 【考点二】最简二次根式与同类二次根式 3 【题型3】最简二次根式的识别与判断（4题） 3 【题型4】同类二次根式的判断（4题） 4 【考点三】二次根式的四则混合运算 4 【题型5】二次根式的加减运算（先化简再合并同类二次根式）（4题） 4 【题型6】二次根式的乘除运算（遵循运算法则，化简结果）（4题） 5 【题型7】平方差与完全平方公式应用（4题） 5 【题型8】二次根式混合综合运算（含加减乘除、公式应用的混合运算）（4题） 5 【考点四】二次根式化简求值 6 【题型9】直接代入求值（已知字母的二次根式值，求代数式的值）（4题） 6 【题型10】公式变形整体代入（4题） 6 【考点五】一元二次方程的解法 7 【题型11】用指定的方法解一元二次方程（4题） 7 【题型12】选择合适的方法解一元二次方程（4题） 7 【知识储备】 1.二次根式：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. 2.最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. 4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 5.二次根式的性质： （1）； （2）； （3）； （4）. 6. 一元二次方程 （1）一般形式：（其中是未知数,是已知数，）. （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【考点一】二次根式有意义的条件与基础性质 考法：（1）根据二次根式有意义的条件确定自变量取值范围，（2）利用二次根式性质化简二次根式 【题型1】二次根式有意义的条件（4题） 【例题1】（25-26八年级下·河南周口·月考）函数 中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式2】（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知，则的算术平方根_____． 【题型2】利用二次根式性质化简（4题） 【例题2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为（    ） A．c B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象不经过第二象限，化简：______． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·月考） 计算： （1） （2） 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究： （1）计算：_____，_____，，_____； （2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ （3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算： 【考点二】最简二次根式与同类二次根式 考法：识别最简二次根式，判断同类二次根式 【题型3】最简二次根式的识别与判断（4题） 【例题3】（24-25八年级下·全国·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）化简：_____． 【变式3】（2025·福建·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是________． 【题型4】同类二次根式的判断（4题） 【例题4】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列二次根式中与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 【考点三】二次根式的四则混合运算 考法：掌握二次根式加减（合并同类二次根式）、乘除运算，结合公式简化计算。 【题型5】二次根式的加减运算（先化简再合并同类二次根式）（4题） 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某三角形的周长为．已知两边长分别为和，则第三边长为_______cm． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）计算 （1）． （2） 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型6】二次根式的乘除运算（遵循运算法则，化简结果）（4题） 【例题6】（24-25九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）计算：___________（其中）． 【变式2】（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算： （1） （2）（） 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【题型7】平方差与完全平方公式应用（4题） 【例题7】（25-26八年级上·山东烟台·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】（25-26八年级下·天津滨海新区·月考）计算的结果是___________． 【变式2】（25-26八年级下·福建莆田·月考）计算 （1）； （2）． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·月考）计算： （1） （2） 【题型8】二次根式混合综合运算（含加减乘除、公式应用的混合运算）（4题） 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：__ ． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）已知四个二次根式，，，，． （1）计算：； （2）类似“点”游戏，请用这个二次根式（每个根式有且只能用一次）通过加、减、乘、除和括号，使得运算结果等于．（写出一种方法即可） 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 【考点四】二次根式化简求值 考法：结合代数式变形，代入含二次根式的字母值计算，结果化为最简 【题型9】直接代入求值（已知字母的二次根式值，求代数式的值）（4题） 【例题9】（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，则______． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值： （1），其中 ，． （2），其中 【题型10】公式变形整体代入（4题） 【例题10】（24-25九年级上·四川内江·月考）如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·月考）已知，求代数式的值是_____． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【变式3】（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）已知：，求： （1） （2） 【考点五】一元二次方程的解法 考法：掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程。 【题型11】用指定的方法解一元二次方程（4题） 【例题11】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 （1）用公式法解方程： （2）用配方法解方程： 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程． （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）； （4）（因式分解法）． 【变式3】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【题型12】选择合适的方法解一元二次方程（4题） 【例题12】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）用适当方法解下列方程 （1） （2） 【变式2】（24-25九年级上·湖北孝感·月考）解方程：（用合适方法解一元二次方程） （1）； （2）． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·月考）用适当方法解方程 （1） （2） （3） （4） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $