专题03一次函数期中复习讲义(15大题型+题型突破+压轴专练)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题03一次函数期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.辨清一次 / 正比例函数定义，牢记y=kx+b(k0)形式约束 2.掌握、核心意义，秒判图象象限、增减性，熟记平移 “上加下减、左加右减” 3.打通函数与方程、不等式、方程组的数形联系 1.待定系数法求解析式，步骤规范不丢分 2.数形结合灵活转换，图象、解析式、数据互通 3.建一次函数模型，解实际应用、方案设计题 1.基础题秒解、中档题稳解，突破平移、自变量取值、k/b判断等易错点 2.吃透图象信息提取，搞定函数与方程 / 不等式综合题，考场少失误、快得分 题型01.一次函数与正比例函数的识别 题型02.由一次函数的定义求参数 题型03.列一次函数解析式并求值 题型04.一次函数图象与象限判定 题型05.由象限求一次函数参数范围 题型06.一次函数与坐标轴交点问题 题型07.一次函数与正比例函数图象绘制 题型08.一次函数图象的平移 题型09.一次函数图象的对称与旋转 题型10.正比例函数的性质 题型11.一次函数增减性与自变量变化 题型12.一次函数值的大小比较 题型13.由一次函数增减性求参数 题型14.一次函数规律探究 题型15.求一次函数解析式 解答题6题 知识点01.核心定义（抓关键・辨类型） 1.一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k0）的函数，自变量x次数为 1 2.正比例函数：形如y=kx（k为常数，k0）的函数，是b=0时一次函数的 特殊形式 ▶ 易错点：忽略k0，如y=3x2、y=5均非一次函数 知识点02:一次函数的图象 1.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。 2.画图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线即可。 3.正比例函数 y=kx 的图象是一条过原点 (0,0) 的直线。 知识点03:一次函数的性质（重点） 1. 由 k 决定函数的增减性 当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，直线从左到右上升。 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小，直线从左到右下降。 2. 由 k、b 共同决定图象经过的象限 当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； 当k>0，b<0时，直线经过一、三、四象限； 当k<0，b>0时，直线经过一、二、四象限；. 当k<0，b<0时，直线经过二、三、四象限。 知识点04.图象平移（记口诀・快推导） 核心口诀：上加下减（常数项），左加右减（自变量） ▶ 基础式：y=kx+b 1.上下平移：y=kx+b±m（向上+m，向下−m，m>0） 2.左右平移：y=k(x±m)+b（向左+m，向右−m，m>0） 知识点05:求一次函数表达式（待定系数法） 1. 适用场景 已知图象上两点坐标，或一组 x、y 对应值，求 y=kx+b。 2. 步骤 (1)设：设函数表达式为 y=kx+b（k0）； (2)代：将两点坐标 (x1,y1​)、(x2,y2) 代入，得方程组： (3)解：解方程组，求出 k、b； (4)写：将 k、b 代回，写出函数表达式。 题型01.一次函数与正比例函数的识别 【典例】在函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是____．（填序号） 【跟踪专练1】已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【跟踪专练2】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 题型02.由一次函数的定义求参数 【典例】若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【跟踪专练1】当________时，函数是关于x的一次函数． 【跟踪专练2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 题型03.列一次函数解析式并求值 【典例】以下点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【跟踪专练3】“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 题型04.一次函数图象与象限判定 【典例】已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 【跟踪专练2】已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 【跟踪专练3】已知一次函数与（a，b为常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． .C． D． 题型05.由象限求一次函数参数范围 【典例】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一次函数图像过点．设，则的取值范围是__________． 【跟踪专练2】已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06.一次函数与坐标轴交点问题 【典例】一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________． 【跟踪专练1】已知直线与直线，如果满足，那么直线与直线称为“互为交换直线”，如果直线与其交换直线分别与轴交于点，且，那么_____． 【跟踪专练2】已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为，则的值为（        ） A． B． C． D． 题型07.一次函数与正比例函数图象绘制 【典例】在平面直角坐标系中，有四个点，，，，其中不在同一个一次函数图象上的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____． 【跟踪专练3】正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型08.一次函数图象的平移 【典例】将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将二元一次方程表示的直线向上平移6个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型09.一次函数图象的对称与旋转 【典例】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练1】将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【跟踪专练2】关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【跟踪专练3】如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型10.正比例函数的性质 【典例】已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【跟踪专练1】已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______． 【跟踪专练2】如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型11.一次函数增减性与自变量变化 【典例】下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【跟踪专练3】关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是_____． 题型12.一次函数值的大小比较 【典例】已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”） 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）． 【跟踪专练2】已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是(    ) A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 题型13.由一次函数增减性求参数 【典例】若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】已知一次函数中，自变量取值范围是，则当______时，有最大值______． 【跟踪专练2】已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型14.一次函数规律探究 【典例】数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是_________． 【跟踪专练1】如图，，，，…都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是_____． 【跟踪专练2】如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型15.求一次函数解析式 【典例】已知一次函数的图像经过和，则的值为________． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，，且它的图象与y轴交点的纵坐标是，则该一次函数的解析式是___________． 【跟踪专练2】.已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为时，求自变量的值． 2．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 3．已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 4．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 5．如图是一个函数值y的运算． (1)若输入x的值是，则输出y的值是 ． (2)若输出的y的值是4，求输入的x的值． (3)输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 6．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一次函数期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.辨清一次 / 正比例函数定义，牢记y=kx+b(k0)形式约束 2.掌握、核心意义，秒判图象象限、增减性，熟记平移 “上加下减、左加右减” 3.打通函数与方程、不等式、方程组的数形联系 1.待定系数法求解析式，步骤规范不丢分 2.数形结合灵活转换，图象、解析式、数据互通 3.建一次函数模型，解实际应用、方案设计题 1.基础题秒解、中档题稳解，突破平移、自变量取值、k/b判断等易错点 2.吃透图象信息提取，搞定函数与方程 / 不等式综合题，考场少失误、快得分 题型01.一次函数与正比例函数的识别 题型02.由一次函数的定义求参数 题型03.列一次函数解析式并求值 题型04.一次函数图象与象限判定 题型05.由象限求一次函数参数范围 题型06.一次函数与坐标轴交点问题 题型07.一次函数与正比例函数图象绘制 题型08.一次函数图象的平移 题型09.一次函数图象的对称与旋转 题型10.正比例函数的性质 题型11.一次函数增减性与自变量变化 题型12.一次函数值的大小比较 题型13.由一次函数增减性求参数 题型14.一次函数规律探究 题型15.求一次函数解析式 解答题6题 知识点01.核心定义（抓关键・辨类型） 1.一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k0）的函数，自变量x次数为 1 2.正比例函数：形如y=kx（k为常数，k0）的函数，是b=0时一次函数的 特殊形式 ▶ 易错点：忽略k0，如y=3x2、y=5均非一次函数 知识点02:一次函数的图象 1.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。 2.画图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线即可。 3.正比例函数 y=kx 的图象是一条过原点 (0,0) 的直线。 知识点03:一次函数的性质（重点） 1. 由 k 决定函数的增减性 当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，直线从左到右上升。 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小，直线从左到右下降。 2. 由 k、b 共同决定图象经过的象限 当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； 当k>0，b<0时，直线经过一、三、四象限； 当k<0，b>0时，直线经过一、二、四象限；. 当k<0，b<0时，直线经过二、三、四象限。 知识点04.图象平移（记口诀・快推导） 核心口诀：上加下减（常数项），左加右减（自变量） ▶ 基础式：y=kx+b 1.上下平移：y=kx+b±m（向上+m，向下−m，m>0） 2.左右平移：y=k(x±m)+b（向左+m，向右−m，m>0） 知识点05:求一次函数表达式（待定系数法） 1. 适用场景 已知图象上两点坐标，或一组 x、y 对应值，求 y=kx+b。 2. 步骤 (1)设：设函数表达式为 y=kx+b（k0）； (2)代：将两点坐标 (x1,y1​)、(x2,y2) 代入，得方程组： (3)解：解方程组，求出 k、b； (4)写：将 k、b 代回，写出函数表达式。 题型01.一次函数与正比例函数的识别 【典例】在函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是____．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】此题考查的是一次函数的判断． 根据一次函数的定义，形如的函数是一次函数，逐个判断给定函数是否符合该形式． 【详解】解：函数①，符合一次函数定义；函数②，符合一次函数定义；函数③是反比例函数，不符合一次函数定义；函数④是二次函数，不符合一次函数定义；函数⑤，可化为，符合一次函数定义． 故答案为①②⑤． 【跟踪专练1】已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的定义得到a的取值限制，再解一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，最后找出范围内满足条件的整数a并计算其和即可． 【详解】解：为正比例函数 根据正比例函数的定义，可得，即 解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有三个整数解， 三个整数解为 可得 三边同乘3得，移项并合并同类项得 结合，可得 该范围内的整数为 所有满足条件的整数的值之和为 【跟踪专练2】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 题型02.由一次函数的定义求参数 【典例】若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 【跟踪专练2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 题型03.列一次函数解析式并求值 【典例】以下点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】∵ 函数解析式为 对选项A，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项B，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项C，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项D，当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在函数图象上． 故选：D． 【跟踪专练1】已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像和性质，把各点代入一次函数，得出关于k的一次方程解方程并判断是否和相符即可得出答案． 【详解】解：．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，符合，故该选项符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 【跟踪专练3】“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 题型04.一次函数图象与象限判定 【典例】已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【跟踪专练1】已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了恒过定点的直线，对直线解析式进行参数分离是解题的关键．将直线整理为，代入可得，即可求出定点坐标． 【详解】解：， 当，即时，， 直线恒过定点， 定点的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质及根据直线所过的点和不经过的象限来确定函数参数的取值范围，先根据直线不经过第四象限确定且，再将点代入直线方程得，最后解不等式及，求出a的取值范围． 【详解】解：∵直线不经过第四象限， ∴且， 将点代入，得，即， 由，得，解得， 又∵， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知一次函数与（a，b为常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． .C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数确定a，b的符号，再判断直线经过的象限即可． 【详解】解：A、当，时，直线过一、二、四象限，直线过二、四象限，故选项A不符合题意； B、当，时，直线过一、二、四象限，直线过二、四象限，故选项B符合题意； C、当，时，直线过一、二、三象限，直线过一、三象限，故选项C错误； D、当，时，直线过一、三、四象限，直线过二、四象限，故选项D错误； 故选：B． 题型05.由象限求一次函数参数范围 【典例】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键． 根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵一次函数的图象过二、三、四象限， ∴，，且， ∴A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，一次函数图像过点．设，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据一次函数图像过点，得出，根据一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，结合函数图像得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数图像过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 根据函数图象可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出与x，y轴的交点坐标，代入即可． 【详解】解：对于， 当时，， 当时，， ∴直线与x，y轴的交点坐标分别为，； ∵两直线与相交于第四象限， ∴把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键． 题型06.一次函数与坐标轴交点问题 【典例】一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________． 【答案】/ 【分析】求出的图象与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：在中， 当时，， 当时，，可得， ∴一次函数的图象与坐标轴围成三角形是以和为直角边的直角三角形， ∴一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积为． 【跟踪专练1】已知直线与直线，如果满足，那么直线与直线称为“互为交换直线”，如果直线与其交换直线分别与轴交于点，且，那么_____． 【答案】1或3 【分析】由新定义得直线的交换直线为直线，可得，，根据即可求解． 【详解】解：由题意得直线的交换直线为直线， 直线与其交换直线分别与轴交于点、， ，， ， ， 或3． 【跟踪专练2】已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为，则的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算两直线交点及与x轴交点，画图找出三角形，计算三角形面积，得到计算式，最后利用裂项相消法求出结果． 【详解】联立， 解得， 与交点为点， 与x轴交于点，与x轴交于点，， 函数图像与x轴交点如下图：    直线与直线及x轴围成的三角形的面积为， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查函数交点与坐标轴形成三角形的面积求解，使用合适的方法求出一列数的和是解题的关键．通常计算一列数的和采用裂项法时，公式为． 题型07.一次函数与正比例函数图象绘制 【典例】在平面直角坐标系中，有四个点，，，，其中不在同一个一次函数图象上的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答． 【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点， . 由图可知：点C和点A、B、D不在同一个一次函数图象上． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线． 【跟踪专练1】在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象特点，熟练掌握正比例函数图象与系数关系是关键．一条经过原点的直线．由（）的图象经过一、三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限， ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，合理作出辅助线是解题的关键． 由，可得出直线过定点，连接,当直线与垂直时，垂线的长度最大，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 连接，当直线与垂直时，垂线的长度最大，过点作轴的平行线，过点B作，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴垂线段的最大长度为； 故答案为：． 【跟踪专练3】正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据自变量的系数相同可排除C和D，再分析A和B即可得出答案． 【详解】解：∵自变量的系数相同， ∴两直线平行，故C和D不符合题意； A．由一次函数图象与y轴的正半轴相交得，由一次函数y随x的增大而减小得，矛盾，故A不符合题意； B．由正比例函数图象得，由一次函数图象得，故B符合题意． 故选：B． 题型08.一次函数图象的平移 【典例】将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握“上加下减”的平移法则，按平移规律求解即可． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度， 平移后的直线表达式为． 【跟踪专练1】将二元一次方程表示的直线向上平移6个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为______． 【答案】1 【分析】先求出平移后解析式，进而求出平移后图象与坐标轴的交点坐标，再进行计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴把直线向上平移6个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为， ∴平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解本题的关键在掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等． 首先计算出当点在直线上时m的值，再计算出当点在直线上时m的值，点M在两条平行直线之间，即点M的纵坐标介于两条直线在相同横坐标处的纵坐标之间，即可得答案． 【详解】解：点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 当点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 又∵点在两条直线之间，且两条直线平行， ∴， 故选：B． 题型09.一次函数图象的对称与旋转 【典例】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 【跟踪专练1】将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练2】关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 题型10.正比例函数的性质 【典例】已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据第三象限的角平分线得到正比例函数是解题的关键． 首先根据点P在第三象限角平分线上得到方程为，则横纵坐标相等，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵第三象限角平分线的方程为， ∴点P的横坐标与纵坐标相等，即，解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 题型11.一次函数增减性与自变量变化 【典例】下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数（）的性质，当时，随的增大而减小，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵一次函数的一般形式为（）． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 对各选项分析： A选项中，随增大而增大． B选项中，随增大而增大． C选项中，随增大而增大． D选项中，随增大而减小． ∴符合题意的是D选项． 故选：D． 【跟踪专练1】已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式中的系数判断函数的增减性，结合点的纵坐标大小关系，推断对应的横坐标大小． 【详解】解：一次函数的， 故函数值随的增大而减小， 点的纵坐标为，点的纵坐标为，显然，即， 由于函数随的增大而减小，当时，对应的应大于（纵坐标越小，对应的横坐标越大）， 综上，， 故选：A． 【跟踪专练2】已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出的值即可． 【详解】解：当时，即时，函数随的增大而增大， 当时，， ， 解得：； 当时，即时，函数随的增大而减小， 当时，， ， 解得：； 综上所述，和 故答案为：或6． 【跟踪专练3】关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，，当时，， 而一次函数，y随x的增大而减小，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而增大， ∴当时，，因此②不正确； ③解方程组，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 当时，，，此时交点在第一象限，所以③不正确； ④若点点在函数的图象上，点在函数的图象上， 则， ， ∴，， 当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故答案为：①④ 题型12.一次函数值的大小比较 【典例】已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：直线是一次函数，解析式中一次项系数， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小， 已知两点横坐标分别为和，可得， 因此． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（k，b为常数）是一条直线，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是(    ) A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】D 【分析】根据题意可得，，进而根据选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，，为直线上的三个点， ∴， ∵，， ∴ A. 若， 则，即同号，当时，，当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 若， 则异号，同理可得或 C. 若， 则同号，同理可得或 D. 若， 则异号，只能是，则， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型13.由一次函数增减性求参数 【典例】若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，关键是知识点的灵活应用；根据一次函数的性质，当时，函数随的增大而减小． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一次函数中，自变量取值范围是，则当______时，有最大值______． 【答案】 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小， 自变量取值范围是， 当时，最大． 【跟踪专练2】已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合常数项判断直线与y轴的交点位置，根据一次函数图象性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（）中随的增大而减小， ∴， ∵一次函数解析式为，， ∴该函数图象与y轴交于负半轴． ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 题型14.一次函数规律探究 【典例】数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 【详解】解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，，…都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与等边三角形的综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征并找出坐标之间的规律是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，利用待定系数法求出函数解析式，进一步可得，，按照上面的规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，，，…都是边长为的等边三角形， ∴， 过点作轴于点，如图所示： ∴为的中点， ∴， 根据勾股定理，可得， ∴， 把点代入中，得， ∴直线的解析式为， ∴，，… ∴． 按照此规律，可得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 题型15.求一次函数解析式 【典例】已知一次函数的图像经过和，则的值为________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出和的值，再计算即可． 【详解】解：一次函数的图像经过和， ∴ 解得， ． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，，且它的图象与y轴交点的纵坐标是，则该一次函数的解析式是___________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，图象与y轴交点的纵坐标为函数式中的常数项，再将已知的、对应值代入函数式，通过有理数运算求出的值，进而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴交点的纵坐标是， 根据一次函数的性质，可知． 将，，代入，得： 解得：， ∴该一次函数的解析式为． 【跟踪专练2】.已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点作轴于，过点作轴于，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后求出点坐标，得到，设点的坐标为，利用勾股定理可求出，由待定系数法即可求出所在直线解析式，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，点为点在轴负半轴上的对应点， 把代入直线：得， ， ∴， ∴， 把代入直线：得， ， ∴， ∴直线解析式为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设点的坐标为， 则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设所在直线解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 故选：． 【解答题】 1．已知函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为时，求自变量的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断所在的区间，再代入对应的分段函数进行求值； （2）分和两种情况列方程求解，最后将解代回原区间进行检验，舍去不符合条件的值． 【详解】（1）解 ：∵， ∴． （2）解：当，，令，解得； 当，，令，解得或，由，则． 综上，自变量的值为或． 2．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 3．已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）根据一次函数经过原点可得，且，求出答案即可； （2）根据直线经过y轴交于负半轴，可得，且，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过原点， ∴，且， 解得； （2）解：∵该图象与y轴交于负半轴， ∴，且， 解得，且． 4．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数与坐标轴的交点问题． （1）函数图象经过原点的条件是时，，代入函数表达式可建立关于m的方程，解此方程即可得m的值； （2）两直线平行的关键特征是一次项系数相等，因此令给定函数的一次项系数等于已知直线的，建立方程求解m； （3）求函数图象与坐标轴的交点，需令和代入函数表达式求出m的值，得到函数解析式，再令即可求得与x轴的交点． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， ∴． （2）解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴． （3）解：∵当时，， ∴， ∴，则函数关系式为， 当时，，解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 5．如图是一个函数值y的运算． (1)若输入x的值是，则输出y的值是 ． (2)若输出的y的值是4，求输入的x的值． (3)输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）将代入相应的流程计算即可； （2）根据题意，分别把代入不同的式子中计算x的值，并验证结果即可解答； （3）先根据题意作出函数图像，得到输出的y值只有一个x值与之对应时，，再结合图像确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，． （2）解：①当时，在中， 令，得，解得：，符合题意； ②当时，在中， 令，得，解得：， 综上，或． （3）解：如图，分别作出和的函数图像， ∵当时，，， ∴输出的y值只有一个x值与之对应时，， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴当时，输出的y值只有一个x值与之对应． 故答案为：． 6．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $