易错点5专项突破：最大公因数和最小公倍数-2025-2026学年五年级下册数学人教版

第四单元 分数的意义和性质 · 易错点5专项突破：最大公因数和最小公倍数 · 一、选择题 1．君子兰每6天浇一次水，百合花每4天浇一次水。张阿姨今天给两种花同时浇了水，至少（    ）天以后再给这两种花同时浇水。 A．6 B．8 C．12 D．24 2．给16、24、32这几个数分解质因数，它们相同的质因数有（    ）。 A．2 B．1，2 C．1，2，3 D. 1，2，3,4 3．下面各组数中，只有公因数1的是（    ）。 A．9和15 B．17和34 C．8和21 D．12和18 4．茶作为中国的国饮，与陶瓷、丝绸并称为“中国古代贸易三宝”，俗话说得好，柴米油盐酱醋茶乃人生开门七件大事，中国不仅是茶的故乡，也是茶文化发源地。李叔叔打包一批茶叶，发现每8盒或12盒装一箱，都能正好装完，这些茶叶最少有（    ）盒。 A．20 B．24 C．36 D．48 5．五年级同学进行队列表演，每行15人或18人都正好排完。已知这个年级人数在170到200人之间，五年级一共有（    ）人。 A．180 B．185 C．190 D．195 二、填空题 6．参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，学生总人数在40人以内，最多是( )人。 7．实验小学要参加团体操表演，每排4人、每排6人、每排8人都能排成整排。如果人数要定在90～100人之间，需要选( )人参加表演。 8．甲＝2×3×A，乙＝2×5×A，已知甲、乙两数的最大公因数是22，则A＝( )，甲、乙两数的最小公倍数是( )。 9．如果（a、b都是不等于0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 10．已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最小公倍数是( )。 11．五年级同学分小组劳动，男生18人，女生24人，要使每组男、女生人数分别相等，最多分( )组，每组男生( )人，女生( )人。 12．14的全部因数有( )，21的全部因数有( )；14和21的全部公因数有( )，它们的最大公因数是( ) 13．42个女生和54个男生分成小组，每小组的男生人数相同，女生人数相同，且男生和女生都正好分完，每组最少有( )人。 14．把三根分别长60cm、36cm、48cm的铁丝截成同样长的小段，且没有剩余，每段最长( )cm，一共可以截成( )段。 15．已知A＝2×3×5，B＝2×2×3，A和B公有的质因数有( )，A和B的最大公因数是( )。 三、计算题 16．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8     17和34     6和21     24和32 四、解答题 17．学校组织打扫卫生，一班来了48人，二班来了36人，如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 18．六一儿童节，李老师买来了一批气球，如果每3个扎一束，正好用完；如果每5个扎一束，也正好用完；如果每7个扎一束，也正好用完。李老师至少买了多少个气球？ 19．2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”。学校准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长48米，另一条长36米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长几米？一共能剪成几段？ 20．把48个苹果和36个橘子分给小朋友，每人分到的苹果和橘子数量相同且无剩余，最多可分给几人？ 21．每年的4月22日是世界地球日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日。第五十六个世界地球日的主题是“珍爱地球，人与自然和谐共处”。为保护环境，实验小学五（3）班学生参加“保护环境，人人有责”的宣传活动，参与活动的学生人数在50人以内，每4人一组或5人一组都正好分完，五（3）班参与活动的学生可能有多少人？ 第2页，共3页 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】要再次同时给两种花浇水，经过的天数必须既是6的倍数，也是4的倍数，即需要求6和4的最小公倍数。我们可以用短除法或列举法来求解。 【详解】 6和4的最小公倍数为：2×3×2＝6×2＝12 所以，至少12天以后再给这两种花同时浇水。 故答案为：C 2．A 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数，分解后找到相同的质因数即可。 【详解】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 即它们相同的质因数有2。 3．C 【分析】两个数公有的因数，叫作它们的公因数，据此判断。 【详解】A．9的因数有：1、3、9；15的因数有：1、3、5、15；所以9和15的公因数是1，3； B．17的因数有：1、17；34的因数有：1、2、17、34；17和34的公因数是1，17； C．8的因数有：1、2、4、8；21的因数有：1、3、7、21；8和21的公因数只有1； D．12的因数有：1、2、3、4、6、12；18的因数有：1、2、3、6、9、18；12和18的公因数是1、2、3、6。 4．B 【分析】根据题意可知求这些茶叶最少有几盒，就是求8和12的最小公倍数。利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再把公有质因数和各自独有质因数相乘，积即为最小公倍数。 【详解】因为8＝2×2×2，12＝2×2×3，所以8和12的最小公倍数是：2×2×3×2＝24，即这些茶叶最少有24盒。 5．A 【分析】由于总人数既是15的倍数，又是18的倍数，因此是15和18的公倍数。需要先求出15和18的最小公倍数，再找出在170到200人之间的公倍数。 【详解】， 90的倍数有90、180、270等。 在170到200之间，只有180符合条件。 验证：180÷15＝12（整除），180÷18＝10（整除）。 因此，五年级一共有180人。 6．36 【详解】由题意可知，这些学生的总人数应是6和9的公倍数，先求出6和9的最小公倍数，再结合这些学生的总人数在40人以内解答即可。 【解答】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数为：2×3×3＝18 18×2＝36（人） 则最多是36人。 所以，如果这些学生的总人数在40人以内，最多是36人。 7．96 【分析】根据题意，参加团体操表演的总人数每排4人，每排6人，每排8人都能排成整排，说明总人数是4、6、8的公倍数；先用分解质因数法求出4、6、8的最小公倍数，再求出这个最小公倍数在90到100之间的倍数，即是参加团体操表演的总人数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 最小公倍数：2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 所以4、6、8的最小公倍数是24。 找90～100之间的公倍数： 24×4＝96 96在90～100人之间，所以需要选96人参加表演。 8． 11 330 【分析】两个数的最大公因数是它们公有质因数的乘积，甲和乙公有的质因数是2和A，最大公因数就是2乘A，用最大公因数（22）除以2就能算出A的值。 两个数的最小公倍数是它们公有质因数与各自独有质因数的乘积。 【详解】甲＝2×3×A 乙＝2×5×A 甲和乙的最大公因数是2×A，最小公倍数是2×3×5×A。 22÷2＝11，所以A＝11。 2×3×5×11 ＝6×5×11 ＝30×11 ＝330 甲、乙两数的最小公倍数是330。 9． b a 【分析】的两边同乘4得a＝4b，表明a是b的4倍，a和b成倍数关系。当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【详解】因为，所以a＝4b，所以最大公因数是b，最小公倍数是a。 10．210 【分析】求两个数的最小公倍数，把共有的质因数和各自独有的质因数全部相乘，得到的结果就是最小公倍数。 【详解】2×5×3×7＝210 11． 6 3 4 【分析】由题意可知，分的组数既是男生人数的因数，也是女生人数的因数，求最多分几组就是求18和24的最大公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，每组的男生人数＝男生的总人数÷最多分的组数，每组的女生人数＝女生的总人数÷最多分的组数，据此解答。 【详解】 18和24的最大公因数：2×3＝6 所以，最多分6组。 18÷6＝3（人） 24÷6＝4（人） 所以，每组男生3人，女生4人。 12． 1，2，7，14 1，3，7，21 1，7 7 【分析】找一个数的因数要从1开始，一对一对地找，直到两个因数重复为止。 14的因数：1×14＝14，2×7＝14，所以14的因数有1，2，7，14。 21的因数：1×21＝21，3×7＝21，所以21的因数有1，3，7，21。 公因数就是找出它们因数中相同的数，所以14和21的公因数是1，7，其中最大的那个就是最大公因数，也就是7。 【详解】第①空：因为1×14＝14，2×7＝14 所以14的因数有1，2，7，14 第②空：因为1×21＝21，3×7＝21 所以21的因数有1，3，7，21 第③空：在14和21的所有因数中，相同的数是1和7，所以14和21的公因数有1，7 第④空：在14和21的公因数1和7中，7最大，所以14和21的最大公因数是7。 【点睛】掌握找一个数因数的成对列举法，以及如何从两个数的因数中找出公因数和最大公因数。 13．16 【分析】要使每组男生人数相同，女生的人数也相同，分的组数越多，人数就越少，只要求出42和54的最大公因数（用短除法求最大公因数：短除法运算方法是把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数），就是最多的组数；每组的人数用总人数（男生人数加上女生人数）除以组数即可。 【详解】根据分析： 所以最多可以分：2×3＝6（组） （42＋54）÷6 ＝96÷6 ＝16（人） 42个女生和54个男生分成小组，每小组的男生人数相同，女生人数相同，且男生和女生都正好分完，每组最少有16人。 14． 12 12 【分析】（1）先找出60、36、48的最大公因数，来确定每段最长长度；可以根据找因数的方法，找出三个数的因数，再找出最大的公因数。 （2）用总长分别除以每段最长长度，计算出每根铁丝可截成的段数并求和。 【详解】（1）48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 三者共有的最大因数是12，因此，每段最长为12cm。 （2）60÷12＝5（段） 36÷12＝3（段） 48÷12＝4（段） 5＋3＋4＝12（段） 15． 2、3 6 【分析】题中已将A和B分解质因数，A和B的质因数中都包含的相同的数，就是A和B公有的质因数，A和B的最大公因数是A和B公有的质因数的乘积。 【详解】A和B的质因数中都包含2和3，因此A和B公有的质因数有2和3。2×3＝6，所以A和B的最大公因数是6。 16．1；56；17；34；3；42；8；96 【分析】两个数的公有质因数连乘的积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数连乘的积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 【详解】7和8 7和8为互质数，最大公因数是1；最小公倍数是7×8＝56； 17和34 17和34是倍数关系。最大公因数是17；最小公倍数是34； 6和21 6＝2×3 21＝3×7 6和21的最大公因数是3；最小公倍数是2×3×7＝42； 24和32 24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是2×2×2＝8；最小公倍数是2×2×2×2×2×3＝96。 17．12人 【分析】根据题意，每个小组的人数能同时分别被两个班的人数整除，也就是两个班人数的公因数，要使每组人数最多，就是求两个班人数的最大公因数。分解质因数法求最大公因数：先把两个数分解成质因数相乘的形式，再把它们共有的质因数相乘，结果就是最大公因数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（人） 答：每组最多有 12 人。 18．105个 【分析】根据题意，气球总数分别是 3、5、7 的倍数，即气球总数是 3、5、7 的公倍数。观察发现 3、5、7 均为质数且两两互质，因此它们的最小公倍数等于这三个数的乘积。 【详解】3×5×7＝105（个） 答：李老师至少买了 105 个气球。 19．12米；7段 【分析】要把两条彩绳剪成同样长的小段且无剩余，每段的长度必须是48和36的公因数，“最长” 就是求它们的最大公因数；总段数就是两条绳分别能剪的段数之和。 【详解】分解质因数： 最大公因数：2×2×3＝12 总段数：（段） （段） 答：每段最长12米，一共能剪成7段。 20． 12人 【分析】用短除法求出48和36的最大公因数，就是最多可分给的人。短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】 2×2×3 ＝4×3 ＝12（人） 答：最多可分给12人。 21．20人或40人 【分析】每4人一组或5人一组都正好分完，所以参与活动的人数是4和5的公倍数。因为参与人数在50人以内，所以需要先求出4和5的最小公倍数，再找出50以内4和5的最小公倍数的倍数，即为五（3）班参与活动的学生人数。 【详解】4×5＝20 4和5的最小公倍数是20。 50以内4和5的公倍数有：20×1＝20，20×2＝40。 答：五（3）班参与活动的学生可能有20人或40人。 答案第2页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $