第2课时2，5和3的倍数的特征-【随堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学（苏教版）

本书练习题参考答案 本书练习题参考答案 简易方程 1x-12=36 x=48 第1课时等式与方程 答：四年级有48幅作品获奖。 举一反三 ②提素养 (1)×(2)V(3)× 11.解：设每张桌子x元。 ②提素养 4x+330=670 1.①②⑤68⑨ ②56⑧ x=85 2.（1)x+28=138(2)4x=1000 1答：每张桌子85元。 (3)7x=2.8 (4)38-x=26 ↓2.解：设当地的气温是x摄氏度。 7x-21=119 第2课时 等式的性质(1)和解方程 x=20 举一反三 答：当地的气温是20摄氏度。 x=55.7x=79x=25.4x=14.4 第5课时列方程解决实际问题（二】 ②提素养 1.× x-16=24 举一反三 解：x-16+16=24+16 1解：设徒弟做了x个零件，则师傅做了(1.5x- x=40 124)个零件 2.(1)x+56=189x=133 x+(1.5x-24)=116 (2)x+65=112x=47 x=56 3.x-24=98x=122 1.5x-24=1.5×56-24=60 第3课时 等式的性质(2)和解方程 答：徒弟做了56个零件，师傅做了60个零件。 举一反三 Q提素养 x=4.45x=106x=16x=0.77 1.解：设乙船经过x小时才追上甲船 ②提素养 42x-36=36×1 1.(1)5x=40 x=6 x=8 答：乙船经过6小时才追上甲船。 （2)1.2x=2.88 2.解：设乙车每小时行驶x千米。 x=2.4 6×120+6x=1320 2.57x=85.5 x=100 x=1.5 答：乙车每小时行驶100千米。 3.8y=95 第一单元要点总结 y=25 要点1练习 第4课时 列方程解决实际问题( (1)V(2)× 举一反三 !要点2练习 解：设四年级有x幅作品获奖。 1x=29x=0.9x=1.5 169- 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 要点3练习 动；②必要时，外出佩戴口罩。 解：设他骑行1分钟可以减少x克二氧化碳的排放。要点2练习 4x=70x=17.5 (1)略 答：他骑行1分钟可以减少17.5克二氧化碳的排放。 (2)20232023 二 折线统计图 (3)(答案不唯一，合理即可)预测小华爸爸 2024年的信用积分是135分，小夏爸爸2024 第1课时 单式折线统计图 年的信用积分是100分。 举一反三 (4)略 (1)略（2)2948245(3)247 三 因数与倍数 ⑨提素养 第1课时 因数和倍数 1.（1)639.5 (2）37.5 (3)4月7日6时至12时（4)逐渐稳定 举一反三 2.（1)41 (2)1(3)1(4)33.5(5)10 1(1)×(2)×(3)X 第2课时 复式折线统计图 Q提素养 1.6的倍数：6,12,18,24,30,36,42,48 举一反三 8的倍数：8,16,24,32,40,48 (画图略)胜利商场的效益好。 既是6的倍数，又是8的倍数：24,48 @提素养 12.5和10是50的因数。 50÷5=10(个)50÷10=5（个） (1)略 (2)五(1)班：50+52+48+49=199（分) 答：选择包装方式②、③均正好能把这些矿泉水 五（2)班：46+48+50+52=196（分） 全部装完，分别需要10个包装盒和5个包装盒。 3.※※※※ 8056331 199>196 答：五(1)班的总成绩高。 第2课时 2,5和3的倍数的特征 (3)52-48=4（分) 答：五(1)班得分最高的场次比得分最低的 举一反三 场次的成绩高4分。 (1)a-2a+2(2)105 (3)90 (4)(合理即可)五(1)班的成绩在第一场至第（4)54,28,12637,325 二场呈上升趋势，在第二场至第三场呈下降趋 ②提素养 势，在第三场至第四场呈上升趋势。五(2) 1.五(2)班的午餐费肯定统计错了。因为午餐费 班的成绩一直呈上升趋势 每人5元，所以每个班的午餐费的总钱数一定是 第二单元要点总结 5的倍数，即个位上一定是0或5，所以218是错的。 2.当小狗跑的次数是奇数时，小狗停在了乙树；当 要点①练习 小狗跑的次数是偶数时，小狗停在了甲树。2022 (1)乙 是偶数，所以小狗跑了2022次时，小狗停在了 (2)23 甲树；2023是奇数，所以小狗跑了2023次时， (3)57=身 小狗停在了乙树。 5 答：甲地空气质量不达标的天数占该周的7。 3.2023×5=10115,1+0+1+1+5=8,8+☐是 (4)（答案不唯一，合理即可)①尽量减少户外活 3的倍数，所以里最大可以填7，最小可以填1。 170 本书练习题参考答案 第3课时】 质数、合数与分解质因数 100,75和150的最小公倍数是300。 举一反三 答：至少经过300秒三人又同时从原出发点出发。 略 第三单元要点总结 Q提素养 要点1练习 1.(1)45(2)29 1(1)40÷2=20(人) 2.210=5×6×7 余下的同学报的都是奇数，其中3的倍数有： 答：这三个小朋友的年龄分别是5岁、6岁、7岁。 3,9,15,21,27,33,39。 第4课时 公因数和最大公因数 答：跑步的有20人。跳绳的有7人。 举一反三 (2)两批同学离开后，余下的同学报数是5的倍数 6和12的最大公因数是6：8和24的最大公因数是8： 的有：5,25,35 9和11的最大公因数是上13和28的最大公因数是1。 答：有3人去拿足球。 发现：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数 要点2练习 是较小的那个数：当两个数只有公因数1时，它们1718,453,120,30,21,15,42,24,4 的最大公因数是1。 1要点3练习 ②提素养 72和84的最大公因数是12。 1.56和40的最大公因数是8，即每排最多有8人。(72+84)÷12=13（队） 女生：56÷8=7（排）男生：40÷8=5（排） 1答：每队最多有12名学生，这时一共能排成13队。 答：每排最多有8名学生，这时女生有7排，男 生有5排。 四 分数的意义和性质 2.7分米=70厘米5分米=50厘米 第1课时 分数的意义 4.5分米=45厘米 70、50和45的最大公因数是5，所以最大可以锯1 举一反三： 成棱长是5厘米的正方体木块，而又不浪费材料。 (1)4 (2) (3) (4) (70÷5)×(50÷5)×(45÷5)=1260(个) 1②提素养 答：最大可以锯成棱长是5厘米的正方体木块， 而又不浪费材料，这时可以锯成1260个。 1.(1）单位“1”：全国森林覆盖面积。 第5课时公倍数和最小公倍数 0表示把全国森林覆益面积平均分成20份。 某地森林覆盖面积约占其中的1份。 举一反三 （2)单位“1”：一根1米长的彩带。 65247821249930126 子表示把一根1米长的彩带平均分成4份。 Q提素养 包装一个礼品盒用去1份。 1.（1)a(2)2310(3)64144 【2.这两个学校选出的学生人数不一定一样多。因为 2.4和6的最小公倍数是12。 阳光小学和新星小学的学生总数都是未知的，也 答：至少经过12分钟后又同时从始发站发车。 就是两个单位“1”代表的具体人数无法确定， 3.300÷3=100(秒)300÷4=75（秒） 所以各自的品不一定一样多。 300÷2=150(秒) 171 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 第2课时分数与除法的关系 第5课时分数的基本性质和约分 举一反三 举一反三 19 (1)19÷44=44 3 53 78 答：女生人数占全班人数的器。 U 87 621 63 (2)19÷25-号 提素养 答：女生人数是男生人数的 25 11.24912306361 (3)25÷44-器 2.= < <>=<< 答：男生人数占全班人数的磊。 3.5+7=1248÷12×5=2048÷12×7=28 ②提素养 答： 原来的分数是20 81 7 40×4÷5=32(棵) (3+4)÷32=32(时) 4 4×5×2×2×3×3 720 4. 9= 9×5×2×2×3×3 =1620 答：平均接1棵柳树需要司小时。 答： 原来的分数是720 1620 第3课时 真分数、假分数和带分数 第6课时 通分和分数的大小比较 举一反三 举一反三 36 2瑞 2 5号 8 4 2 133×39 55×210 4=4×3=12 6=6×2=12 ②提素养 122×816 3=5×8=28 77×321 1.1)8 8=8×3=24 122×1020 77×749 (2)13 10=10×7=70 (3)6云各合吾 111_11×2_22 77×321 24=24×2=48 16=16×3=48 2171177 i、2、3、4、5、6、7 Q提素养 2.分子：8÷(3-1)=4分母：4×3=12 答：这个分数是音 1.大于号的分数： 5236 8、5、4、11o 3.这个假分数是孕或号、化成带分数是5子或 小于了的分数： 1422 6、139、7 1111×666 2.1212×62 33×927 8=8×9=72 第4课时 分数与小数的互化 55×8 40 9=9×8=72 举一反三 3. 612 11 5=10 因为号>品 所以、 0.093.82.6250.045333.1252.721.5 5>10° ②提素养 答：军军做得快一些。 4.略 1.<0755<5<23<3167 2.5秒-怎分=075分号分=067分 第四单元要点总结 0.8>0.75>0.667 要点1练习 答：亮亮跑得最快，君君跑得最慢。 3.0.005 10÷24=8-高 172· 本书练习题参考答案 答：这首诗中的数字个数占全诗总字数的高。 第2课时分数的连加、连减和加减 要点2练习 混合运算 612192125 55555 「举一反三 32号 4 3；4号 35 品号片2 要点3练习 Q提素养 >= >> 要点4练习 1品治0品品 2子+写+品（米） 1.32128152 3123593 答：这根电线原来长品米。 2.图号8引 第五单元要点总结 12-310-56=1 16=412=630=5 要点1练习 3.104=4×7=0身-48 7×428 2)青-带-器 1-1×5-5 子意名 13=13×5=65 (3)品0-动 8-8×2-16 1要点2练习 15=15×2=30 (4)3 3-3×6-18 14=14×6=84 1名是器品1号房子居 要点5练习 21-号-0 ><<> <> <> 答：香蕉占总数的品。 五 分数加法和减法 六长方体和正方体 第1课时 异分母分数的加、减法 第1课时长方体和正方体的认识 I 举一反三 举一反三 (1)×(2)×(3)× 铝完告””” ②提素养 !1.选择8根7厘米的小棒和4根4厘米的小棒。 ②提素养 I 8×7+4×4=72(厘米)72÷12=6（厘米） 1.+ 答：要准备6厘米的小棒，准备12根。 21号=号 【2.每个正方体木块上与蓝色的面相对的是黄色。 答：种黄瓜的面积占这块地的号 第2课时长方体和正方体的表面积 3.1)号>6号-石-最 举一反三 答：第一天读得多，多读了全书的 1(1)4×3=12(平方米) 答：地板砖的面积是12平方米。 (2)号+石号 1(2)4×3+3×3×2+4×3×2-4.8=49.2(平方米) 答：两天一共读了全书的 429 答：这个房间至少需要49.2平方米的墙纸。 173 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ @提素养 1315立方分米=0.315立方米 1.12×8+12×3×2+8×3×2-12=204(平方米)1答：这个书柜的体积是0,315立方米。 204×2.8=571.2（元) Q提素养 答：一共需要付涂料费571.2元。 11.(1)0.36 (2)2.5(3)200200 2.(8×1+8×3+1×3)×2-1×1×4= (4)1.051.05(5)3260(6)6.054 66(平方厘米) (7)290(8)5.85800 答：切掉正方体后的表面积为66平方厘米 2.2米=20分米8.64÷4×20=43.2（立方分米） 第3课时体积（容积）和体积（容积 43.2立方分米=0.0432立方米 单位 答：这根木料的体积是0.0432立方米。 第六单元要点总结 举一反三 略 1要点1练习 ②提素养 11.（1)正方形（2)72 1.（答案不唯一)先把乙杯装满牛奶，倒入甲杯中， 2.(4+11)×2=30(厘米) 再把丙杯装满牛奶，倒入甲杯中，甲杯倒满时， (4+22)×2=52(厘米) 丙杯中剩下的牛奶就是100mL。 30+52+26=108(厘米) 2.右侧物体的体积大约是23立方厘米。 答：要捆扎这个礼品盒至少需要准备108厘米的 第4课时长方体和正方体的体积 丝带。 举一反三 要点2练习 (1)×(2)×(3)× 1.毫升立方厘米升立方米 @提素养 2.54500004803.089.0790704.54500 1.80÷4÷(4-2)=10(分米) 要点3练习 10×10×10=1000(立方分米) 11.80×60+80×2.5×2+60×2.5×2=5500(平方米) 答：原正方体的体积是1000立方分米。 答：涂抹水泥的面积是5500平方米。 2.（1)10厘米=0.1米 12.65-10=55(厘米) 100×70×0.1=700(立方米) (40×55+40×65+40×40)×2=12800(平方 700立方米=700方 厘米) 答：需要三合土700方。 40×40×4+40×(65-40)+40×55+40×10= (2)6厘米=0.06米 10000(平方厘米) 100×70×0.06=420(立方米) 答：涂灰色油漆的面积是12800平方厘米，涂粉 420立方米=420方 答：需要煤渣420方。 色油漆的面积是10000平方厘米。 第5课时相邻体积单位间的进率 要点4练习 1.6×3.6×7.5=162(（立方厘米) 举一反三 162立方厘米=162毫升162<200 1米=10分米9×3.5×10=315（立方分米） 答：这家生产商欺骗了消费者。 174· 本书练习题参考答案 2.3×3×3+6×3×4=99(立方米) 小丽：96×7=48（页）48+12=60（页） 答：这个花台的体积是99立方米。 答：小东说得对。 七分数乘法 第3课时倒数的认识 第1课时分数与整数相乘 举一反三 1(1)X (2)×(3)V 举一反三 10 18 1②提素养 1319 8 10 3 515 2514 1)}号(2)名2(3)手合 347 3 2.k Q提素养 1亮×(9-1)=号（分） 13.根据题意可得：甲×乙=1，乙×丙=1。 答：小雅从1楼走到9楼要用弓分钟。 则甲=丙=音 2 2.分×20=10（件）号×20=8（件） 答：甲数是品 110-88=22(件) 第七单元要点总结 答：快递员张叔叔再送22件，就送了这些快递的 要点○练习 一半。 第2课时分数与分数相乘和分数连乘 12.2÷1610 11358100 举一反三 品×5=己（立方分米） 12. 10 不对3x号答2号不对音×高品品答：它能体积是品方分米 5 5 不对日×--古 3.80×子=60（枚） 80+60=140(枚) 答：一共有140枚白子。 Q提素养 4品号-（米）x-5(*) 1.(1)95(2)12(3)14(4)15 2.13 (5)65(6)210(答案不唯一) 5+5=（米） 2.96-35=61（页) 答：这根绳子现在比原来短了了米。 小东：96×子=72（页）72-1=61（页） 175 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 教材练习题参考答案 练习 解：76+x-76=91-76 1.x+22=843x=96 x=15 x÷9=90 2.x-112=9883x=480x+6.4=7.3 解：x÷9×9=90×9 3.（画横线略)(1)x=56（2)x=5 x=810 4.(检验略)76+x=105 x-54=18 解：76+x-76=105-76 1 解：x-54+54=18+54 x=29 x=72 x-46=90 2.1x=0.84 解：x-46+46=90+46 解：2.1x÷2.1=0.84÷2.1 x=136 x=0.4 x+3.5=3.5 19.(1)>(2)=(3)< 解：x+3.5-3.5=3.5-3.5 1.6x=5.6 4x=10 x=0 1解：1.6x÷1.6=5.6÷1.6 解：4x÷4=10÷4 x-6.4=0.4 x=3.5 x=2.5 解：x-6.4+6.4=0.4+6.4 111. 12x=31.2 9.6y=48 x=6.8 解：12x÷12=31.2÷12解：9.6y÷9.6=48÷9.6 5. x-116=84 x=2.6 y=5 解：x-116+116=84+116 112. 4x=72 x+200=450 x=200 解：4x÷4=72÷4解：x+200-200=450-200 x+3.5=6 x=18 x=250 解：x+3.5-3.5=6-3.5 13.一本练习本的价钱等于5支铅笔的价钱。 x=2.5 6.（检验略)12x=96 x÷40=14 练习二 解：12x÷12=96÷12解：x÷40×40=14×40 1. x+56=102 x=8 x=560 解：x+56-56=102-56 18x=3.6 x÷2.5=5 x=46 解：18x÷18=3.6÷18解：x÷2.5×2.5=5×2.5 x-970=270 x=0.2 x=12.5 解：x-970+970=270+970 7. 4x=36 18x=450 x=1240 解：4x÷4=36÷4解：18x÷18=450÷18 15x=3 x÷0.8=1.25 x=9 x=25 解：15x÷15=3÷15解：x÷0.8×0.8=1.25×0.8 8. x+0.7=14 x=0.2 x=1 解：x+0.7-0.7=14-0.7 2.解：设白键有x个。 x=13.3 x-16=36 0.9x=2.43 x=52 解：0.9x÷0.9=2.43÷0.9 3.解：设用电x千瓦·时。 x=2.7 0.52x=23.4 76+x=91 x=45 ·176· 教材练习题参考答案 4.解：设宽应是x厘米。 12x+3.50=25.10 1.5x=144 x=1.80 x=96 115.解：设86°F相当于x℃。 5.4x+20=561.8+7x=3.95x-8.3=10.7 1.8x+32=86 4x=36 7x=2.1 5x=19 x=30 x=9 x=0.3 x=3.8 练习三 6.(1)3x+15(2)4x-80 7.解：设猫的最快时速是x千米。 1.2x+3x=60 3.6x-2.8x=12100x-x=198 2x+20=110 解：5x=60 解：0.8x=12解：99x=198 x=45 x=12 x=15 x=2 8.解：设水星绕太阳一周大约要用x天。 12.解：设小红今年x岁，则爸爸今年4x岁。 4x+13=365 4x-x=30 x=88 x=10 9.x+7-9=3420x÷2=360 4x=4×10=40 解：x-2=34解：10x=360 13.解：设四年级去了x人，则五年级去了1.2x人 x=36 x=36 x+1.2x=264 2.3x-1.02=0.36 4+2.5x=20 x=120 解：2.3x=1.38 1.2x=1.2×120=144 解：2.5x=16 4.5x+6x=12.1 18×2+3x=60 x=0.6 x=6.4 解：11x=12.1 解：36+3x=60 4x-4.8=5.6 13x+65=169 x=1.1 3x=24 解：4x=10.4 解：13x=104 x=8 x=2.6 x=8 5x-10=150 1.5x-x=1 10.1.3x÷2=0.39 3x+18=19.8 解：5x=160 解：0.5x=1 解：1.3x=0.39×2解：3x=19.8-1.8 x=32 x=2 x=0.6 x=0.6 4x-8×5=20 0.2×2+0.2=5 11.解：设小明原来有邮票x枚。 解：4x-40=20 解：0.4+0.2x=5 x+24-30=52 4x=60 0.2x=4.6 x=58 x=15 x=23 12.解：设小瓶的容量是x升。 5.解：设李刚每分钟走x米。 3x=1.5 (72+x)×4=600 x=0.5 x=78 解：设大瓶的单价是y元/瓶。 ↓6.解：设经过x小时两人相遇。 y-3.2=1.8 36x+40x=190 y=5 x=2.5 13.解：设小亮出生时的身高是x米。 ↓7.解：设梨的单价是x元/千克。 3x-0.03=1.53 2x+4×3=20 x=0.52 x=4 解：设小亮出生时的体重是y千克。 18.0.7x+0.3x=9 2x-2×0.3=8 14y+1.7=46.5 解：x=9 解：2x-0.6=8 y=3.2 2x=8.6 14.解：设每瓶墨水x元。 x=4.3 177 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 2x+15×2=486.6x-5x=64 1180+6x=330 14x=7 解：2x+30=48 解：1.6x=64 解：6x=150解：14x÷14=7÷14 2x=18 x=40 x=25 x=0.5 x=9 x÷15=180 x-0.8x=10 9.解：设丹顶鹤有x只，则天鹅有2.2x只。 解：x÷15×15=180×15解：0.2x=10 x+2.2.x=960 x=2700 x=50 x=300 13.解：设这卷薄膜展开后有x米长。 2.2x=2.2×300=660 1.5x=30 10.解：设五年级植树x棵，则六年级植树1.5x棵。1 x=20 1.5x-x=24 14.解：设2020年江苏省生产平均总值是x万亿元。 x=48 12x=10.27 1.5x=1.5×48=72 x≈0.86 11.解：设乙车的速度是x千米/时。 「5.解：设武汉长江大桥铁路桥长x米，公路桥长y米。 (42+x)×2.4=216 5x+197=6772 3y-421=4589 x=48 x=1315 y=1670 12.解：设经过x小时两车在途中相遇。 16.解：设学校印制了x本画册。 (118.4+110)x=274.08 3.6x+800=2240 x=1.2 x=400 13.解：设《森林历险记》有x本。 17.27x+31x=1452.2x-0.5×2=10 12×4+7x=83 解：58x=145解：2.2x-1=10 x=5 x=2.5 2.2x=11 14.解：设小李平均每分钟大约打x个字。 x=5 (130+x)×25=6000 3×1.5+2x=11.513x-7x=5.7 x=110 解：4.5+2x=11.5 解：6x=5.7 15.（1)解：设每条裙子x元 2x=7 x=0.95 (60+x)×16=1520 x=3.5 x=35 8.解：设优秀短跑运动员每秒大约跑x米，猎豹每 (2)解：设一共购买了x套。 秒大约跑3x米。 (60+35)x=1520 3x-x=20 x=16 x=10 思考题 3x=3×10=30 解：设经过x分钟甲第一次追上乙。 I9.解：设乙队每天开凿工米。 (280-240)x=400 (14.5+x)×24=720 x=10 x=15.5 110.解：设每张光盘x元。 整理与练习 10x+8x=216 1.方程：x+2.4=5、3x+4x=28、 x=12 90-a=40、4y=0.4、2a-5b=3。 111.解：设平均每班借x根。 2. 0.6+x=2.7 x-35=95 4x+5×18=186 解：0.6+x-0.6=2.7-0.6解：x-35+35=95+35 x=24 x=2.1 x=130 112.解：设每张门票x元。 -·178·随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 第2课时 2,5和3的倍数的特征 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点① 5,2的倍数的特征（教材第32页例4） 在5的倍数上画“△”，在2的倍数上画“O” 1 ② ④⑥7⑧9@ 5的倍数的特征：个位上是(5)或 1112 5617⑧19 四 (0)的数都是5的倍数。 21 22 23 2422627 2829 ⑧ 2的倍数的特征：个位上是（2,4， 3132 33 343536373839 4④ 6,8或0)的数都是2的倍数。 41 42 43 46474849 N 个位上是(0)的数既是2的倍数， 2 3 ⑤4 56 577 859 四 又是5的倍数。 61 62 63 64 66 67 6⑧69 2 73 74 6 77 8 79 80 81 82 83 84 85 8687 88 89 9129394959697899⑥ 学 重点© 知识点2偶数和奇数（教材第33页）】 新知 是(2)的倍数的数叫作偶数，不是(2)的倍数的数叫作奇数。 重点© 知识点3 3的倍数的特征（教材第33页例5) 在3的倍数上画“O” 0 1 2③ 45⑥78⑨10 3的倍数的特征：一个数各位上数 112 13 14⑤1617819 的和是(3)的倍数，这个数就是3的 2②2223 242526②7282930 倍数。 31323 34353637 3839 40 41 42 43 45 46 47 484950 52 53 55 56 58 59 61 62 64 65 66 6 68 71 2 73 74 75 76 77 879 80 82 83 84 85 86⑧7 88 89 90 91 92 93 95969798 99100 5,2的倍数 2, 5和3的倍 偶数和奇数 思 的特征 数的特征 路 3的倍数的特征 52 三因数与倍数 课堂·听课笔记 精批注 在5的倍数上画“△”，在2的倍数上画“O”。 1 2 3 4 6 7 8 11 12 13 16 17 18 19 0 22 24 28 0 画“△”的数都是5的倍数，画“○” 21 23 25 27 29 的数都是2的倍数，同时画“△” 31 32 33 37 38 39 40 和“○”的数既是5的倍数，又是 2的倍数。 42 43 ④4 A5 46 47 48 49 60 51 2 53 57 59 6@ 62 6④ 67 6 69 @ 71 2 73 4 77 8 79 80 82 83 84 87 89 0 ⑨2 93 ⑨4 96 97 98 99 0 5的倍数有什么特征？ 2的倍数呢？ 5的倍最的特征： 2的倍裁的特征： 5的倍数，个位 2的倍数，个位上是 上是5或0。 2、4、6、8或0。 什么样的数既是5的倍数， 个位上是0的数既是5的倍数，又是2的倍数。 又是2的倍数？ 注意：研究偶数和奇数的时候 奇数和偶数是通过看这个数是不是2的倍数来区分的。所指的一般是自然数。 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇(i)数。 (1)O是2的倍数，O也是偶裁；自然数中最小的偶数是O。偶数的个数是无限的，没 有最大的偶数。 (2)自然裁中最小的奇裁是1。奇裁的个裁是无限的，没有最大的奇数。 (3)相邻两个偶裁（或奇数）之间相差2。 53 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 练一练 1.下面的数，哪些是5的倍数？哪些是2的倍数？哪些既是5的倍数，又是2的倍数？ 12 25 486072 9025,60,90是5的倍数；12,48,60,72,90是 2的倍裁；60,90既是5的倍数，又是2的倍数。 2.你们班的人数是奇数还是偶数？你家的门牌号呢？你还能举例说说生活中的奇数和偶 数吗？ 提示·根据自己的实际情况填写。 在3的倍数上画“○” 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 ⑤ 16 17 18 19 20 ②0 22 23 24 25 26 27 28 29 30 横着看，图起来的前10个3的倍裁 分别是3,6,9,12,15,18,21， 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 24,27,30。个位上的数是0~9中 的任意数，没有规律。 41 42 43 44 4⑤ 46 47 48 49 50 5① 52 53 54 55 56 5 58 59 60 61 62 6③ 64 65 66 67 68 69 70 71 2 73 74 ⑤ 76 77 ⑧ 79 80 ⑧ 82 83 ⑧4 85 86 87 的 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 从个位上看不出3的倍数 的特征，该怎么办？ 可以利用计数器来寻我3的倍裁的特征。 在计数器上分别表示出几个3的倍数，看看各用了多少个珠。 百 十 个 百 十 个 百 十个 2 1 4 > 5 2+7=9 4+2=6 7+5=12 所得到的和9,6,12都是3的倍数。 54·. 三因数与倍数 再找几个比较大的3的倍数，并在计数器上表示出来。算一算，每个数所用珠的个数各 是多少？你有什么发现？ 各位上珠的个数的和都 3的倍数，它各位上数 是3的倍数。 的和一定是3的倍数。 提示：在计数器上拨一个 裁所用的珠的个数，就 是这个裁各位上数的和。 如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗？找几个这样的数算一算。 例：213→2+1+3=6,6是3的倍数。 例：293→2+9+3=14114、11、20不是 741→7+4+1=12,12是3的倍数。 146→1+4+6=113的倍数，也就是 1566→1+5+6+6=18,18是3的倍数。 389→3+8+9=20各位上数的和不 是3的倍戴，所以 293、146、389都 不是3的倍裁。 练一练 1.在29、45、51、67、86、96中，哪些是3的倍数？ 45,51,96是3的倍数。 提示：各位上悬的和是3的倍数。 2.你能很快说出哪几题的得数有余数吗？ 48÷356÷3 342÷3 567÷3 802÷3 56÷3,802÷3的得数有余裁。 提示：当各位上悬的和不是3的倍裁时，得有余数。 判断一个数是不是3的倍数的方法： 第一步：算出这个裁各位上裁的和。 第二步：如果这个裁各位上数的和是3的倍裁，那么这个数是3的倍裁；否则，这个裁不是3 的倍数。 你知道吗 6的因数有1,2,3,6，这几个因数之间的关系是：1+2+3=6。像6这样的 数叫作完全数（也叫作完美数）。 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯已经知道6和28是完全数。公元1世纪，尼 克马修斯发现第3、4个完全数是496、8128。而第5个完全数直到1000多年后的15 世纪才被发现。 随着计算机的问世，寻找完全数的工作有了较大进展。目前一共发现的47个完全 数都是偶数，个位上都是6或8。 55 随堂笔记·数学·五年级·下册·SJ 学方法 求同时是2,5,3的倍裁的数有哪些，可以先确定同时是 2,5的倍数的范围，再确定这些数中哪些是3的倍数。 ©运用列表法解决2,5,3的倍数的问题 一个五位数25ABC(A、B、C是0~9中不同的数字)同时是2,5,3的倍数，这个数最 大是多少？最小是多少？ 思路分析：由题意可知五位数25ABC是2,5,3的倍数，所以这个五位数的个位是0，即C=0, 并且“2+5+A+B+0”的和是3的倍数，A、B、C不重复。所以12≤2+5+ A+B+0≤24。 列表如下： 25ABC各位上 12 15 18 21 24 数的和 A代表的数 23 4123 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 8 9 89 B代表的数 32176532 6 5 43 2 9 6 5 9 8 所以这个数最大是25980，最小是25140。 正确解答：这个数最大是25980，最小是25140。 ○运用推理法和尝试法解决复杂的倍数问题 明明昨天走的步数是有两个数字相同的四位数6☐ 0,且同时是2,5,3的倍数，明 明昨天最少走了多少步？最多走了多少步？ 思路分析：由个位的0可知，6☐0中无论填几，这个四位数都是2和5的倍数。填数 时只需考虑所填数字之和与已知的各位上的数字之和是3的倍数，并且有两个 数字相同即可。 (1)要使四位数60最小，尽量使每一数位上的数字最小，因此百位上填0， 与个位相同，即6+0+☐+0=6+☐，要使6+☐是3的倍数，☐里最小填3。 (2)要使四位数6 0最大，尽量使每一数位上的数字最大，因此百位上填9， 即6+9+☐+0=15+☐，要使15+☐是3的倍数，里最大填9。所以这 个数最大是6990，最小是6030 解决此题时，先利用推理法确定 正确解答：明明昨天最少走了6030步，最多走了6990步。出要组成的最小装的高位及最大 数的高位上的裁字，再根据已知 ©运用找规律解决有关奇偶性的问题 条件经过尝试求出正确的答案。 傍晚开灯时，小明淘气，一连拉7下开关。这时灯是亮还是不亮？如果拉100下开关呢？ 你知道灯是亮还是不亮吗？ 思路分析：从最简单的情况考虑，列表表示如下： 拉开关的次数 1次 2次3次 4次 5次 6次 灯是否亮 亮 不亮 亮 不亮 亮 不亮 仔细观察，就可以找出规律：拉奇数次，灯亮；拉偶数次，灯不亮。 正确解答：拉7下开关，这时灯是亮；拉100下开关，这时灯是不亮。 运用裁的奇偶性解决拉开关、往返跑、渡河等问题时，当进行奇数次，与原来的状态相反 当进行偶数次时，与原来的状态相同。 56 三因数与倍数 课后·提升笔记 巧总结 ⊙易错点：未掌握奇数和偶数的意义 注意·研究奇数和偶数时，所指一般是自然数。 判断： (1)一个数不是奇数，就是偶数。 (2)如果a表示一个非0自然数，那么a+2一定表示偶数。 易错解读：（1)整数按是不是2的倍数分为奇数和偶数，不涉及小数，分数等。如2.4既 不是奇数也不是偶数。所以本题的正确答案为×。（2)在未说明是奇数还是偶数时，无 法判断a+2表示的是奇数还是偶数。当a是奇数时，a+2表示的是奇数；当a是偶数时， a+2表示的是偶数，所以a+2可能表示奇数，也可能表示偶数。所以本题的正确答案为×。 举一反三 填空。 (1)如果a(a是非0自然数)是一个偶数，那么与它相邻的两个偶数分别是() 和(（）。提示·相邱两个偶数之间相差2。 (2)( )是5的倍数，并且是5的倍数中最小的三位数奇数。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数的最大的两位数是()。 (4)在54,37,28,10.4,0.8,126,325中，偶数有（ ),奇数有( 提素养 1.下面是某小学统计的五年级两个班的午餐费（每人5元），小恒一眼就发现了这个统计表 有问题，你知道问题出在哪里吗？请说明理由。 班级 五（1)班 五(2)班 午餐费/元 180 218 2.一只小狗在甲、乙两棵树之间来回奔跑。最初小狗从甲树跑向乙树，再返回甲树，往返算2 次。当小狗跑了2022次时，小狗停在了哪棵树？跑了2023次呢？ 提示·运用数的奇偶性解决生活中的按 开关、往返跑、渡河、换座位等问题时 当进行奇数次时，与原来的状态相反 当进行偶数次时，与原来的状态相同。 555…5555 3. 是3的倍数 里最大可以填几？最小可以填几？ 2023个5 5555…5555 各位上数 的和是3 5×2023+ 10115+ 2023个5 的倍数。 是3的倍数。 是3的倍裁。 57