专题01 期中真题百练通关（103题32大易错题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题01 期中真题百练通关（103题32大易错题型） 题型1 同底数幂乘法及其逆用 题型17 平移的性质及其实际应用 题型2 科学记数法 题型18 轴对称的性质 题型3 幂的乘方运算及其逆用 题型19 轴对称的实际问题 题型4 积的乘方运算及其逆用 题型20 镜面对称 题型5 同底数幂的除法运算及其逆用 题型21 旋转的性质 题型6 零指数幂与负整数指数幂 题型22 中心对称的性质 题型7 幂的运算等于1的分类讨论问题 题型23 图形变换中尺规作图问题 题型8 单项式乘法 题型24 图形的折叠问题 题型9 多项式乘法 题型25 二元一次方程的定义与解 题型10 多项式乘法的化简求值 题型26 二元一次方程组的定义与解 题型11 多项式乘积中不含某项求字母的值 题型27 解二元一次方程组 题型12 多项式乘法与图形面积 题型28 二元一次方程组的特殊解法 题型13 乘法公式的计算题 题型29 构造二元一次方程组求解 题型14 通过对完全平方公式变形求值 题型30 二元一次方程组的含参问题 题型15 求完全平方式中的字母系数 题型31 三元一次方程组的相关问题 题型16 完全平方公式在几何图形中的应用 题型32 方程组的实际应用10类题型 题型一 同底数幂乘法及其逆用（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，即底数不变，指数相加． 根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】． 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则__． 【答案】12 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，将变形为已知幂的乘积，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及其逆运算，有理数的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则和其逆用是解题的关键．先利用同底数幂的乘法法则得出，求出的值，再利用同底数幂的乘法的逆运算得出，再利用乘法分配律的逆运算得出，即可得． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ． ∴ ． 题型二 科学记数法（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 【详解】解：， 故选：D； 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）人体鼓膜的辐射能量主要处于区．已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 用科学记数法表示绝对值小于1的数，形如，，为负整数，据此解题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B； 题型三 幂的乘方运算及其逆用（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】先将所求式子的底数统一为2，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，结合已知等式代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ . 8．（24-25七年级下·江苏·期中）__． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方的逆用，掌握两个法则是关键；由原式可化为，再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明：． 【答案】(1)96； (2)． 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的正用和逆用，掌握这两个运算公式或法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方代入计算即可； （2）利用同底数幂相乘及其逆运算证明即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型四 积的乘方运算及其逆用（共3小题） 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解：． 故选：． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算______． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，拆分指数，逆用积的乘方运算法则化简，再计算结果. 【详解】解： 12．已知等式，求x的值． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的逆运算，积的乘法的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用同底数幂的逆运算将化简为，利用积的乘法的逆运算得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵ ∴ ∴． 题型五 同底数幂的除法运算及其逆用（共3小题） 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算幂的乘方，然后再根据同底数幂相除，指数相减，即可得出答案． 【详解】解：． 14．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算：______，______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除，应用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：； ， 故答案为：， 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算及其逆运算，同底数幂的除法运算的逆运算； （1）把条件两边平方即可； （2）把代数式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 题型六 零指数幂与负整数指数幂（共3小题） 16．（24-25七年级下·江苏南通·期中）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、绝对值、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、绝对值、有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】原式 ． 17．（ 24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果有意义，则x满足的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂，掌握负指数幂中底数不为零是解题的关键．根据负指数幂底数非零即可得到正确答案． 【详解】解：要使有意义，必须使， ∴ 故答案为：． 题型七 幂的运算等于1的分类讨论问题（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）把下列各数代入中，等式成立的有（   ），①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】分（n是正整数），（n是偶数），计算即可． 【详解】解：当（n是正整数）时，， 解得， 故①正确； 当（n是偶数）时，， 解得， 此时，符合题意， 故④正确； 当时，， 解得， 此时，符合题意， 故⑤正确； 故选D． 【点睛】本题考查了幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 20．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则的值是___________． 【答案】0或 【分析】本题主要考查了有理数乘方、零次幂等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 方程 成立的条件有三种：底数为1；底数为且指数为偶数；指数为 0 且底数不为0．分别求解并验证即可解答． 【详解】解：设底数，指数． 当时，，解得，此时 ，故，成立； 当时，，解得，此时为奇数，故，不成立； 当时，，解得 ，此时，故，成立． 此外，底数时无意义，故不考虑． 综上，的值为或． 故答案为：或． 21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，求整数x． 【答案】或0或1 【分析】根据零次幂的意义，负数的偶数次幂是正数，1的任何次幂是1，可得答案． 【详解】解：当时，， 当，解得，此时，，满足题意， 当，解得，此时，满足题意． 综上，x的值为或0或1． 题型八 单项式乘法（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算：____． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键． 先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算． 【详解】解：． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式； （1）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （3）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （4）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型九 多项式乘法（共3小题） 25．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法，多项式乘以多项式，平方差公式；熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （3）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （4）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型十 多项式乘法的化简求值（共3小题） 28．（24-25七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先算乘法，再合并同类项，最后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值： （1）先去括号，再合并可化简，再将代入原式即可求解； （2）先去括号，再合并可化简，再将，代入原式即可求解； 熟练掌握多项式乘多项式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）原式 2， 当，时， 原式． 30．若，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的法则化简，再把代入即可； （2）先化简，再把，代入即可． 【详解】（1）解：由， 得， 则，而， 于是， 所以； （2）解：， 因为，， 所以原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、求值，熟练掌握运算法则和整体代入的数学思想是解题的关键． 题型十一 多项式乘积中不含某项求字母的值（共3小题） 31．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 32．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______． 【答案】3 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的展开式中不含x的二次项， ， 解得：． 33．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 题型十二 多项式乘法与图形面积（共3小题） 34．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2)45 (3)9 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解；， ， ，，， ． 35．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)216． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ； 36．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 题型十三 乘法公式的计算题（共3小题） 37．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 38．（25-26七年级下·山东济宁·周测）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：． （1）直接利用完全平方公式计算； （2）直接利用完全平方公式计算； （3）利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 39．（24-25七年级下·江苏·期中）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型十四 通过对完全平方公式变形求值（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ， ∴原式； （2）解：． 41．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)3 (2)6 (3)8 【分析】本题主要考查代数式的求值，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用与完全平方公式． （1）把原式去括号变形，将，的值代入计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，将，的值代入计算可得； （3）利用完全平方公式把原式变形，将，的值代入计算可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 42．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 【答案】（1）37；（2）， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式的变形解答即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十五 求完全平方式中的字母系数（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是关于的完全平方式，则常数的值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的形式对比对应项系数，即可求出的值． 【详解】解：∵ 是关于的完全平方式， ∴， 整理得， ∴． 44．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，m、n均为常数，则________． 【答案】3 【分析】利用完全平方公式展开左边后，对比系数即可得到和的值，进而求出． 【详解】解：，、为常数， ， 对比多项式对应项系数可得，，， ． 45．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用（共3小题） 46．（24-25七年级下·河南南阳·期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设AB=x，AD=y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2， ∴x+y=6，x2+y2=20， ∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20， ∴62−2xy=20， ∴xy=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式． 47．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，灵活将公式进行变形是解题的关键． （1）方法1采用两个正方形的面积和，方法2用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）利用面积相等得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可； ②设，，则，，，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 故答案为：，； （2）解：∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， 又∵， ∴； ②设，，则，， ∴， ∴． 题型十七 平移的性质及其实际应用（共3小题） 49．（2026七年级下·江苏·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，， ∴，，，，①②正确； ∵， ∴， 由平移性质可得：， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∵阴影部分的面积的面积的面积 的面积的面积 四边形的面积 ，故④正确． 50．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在三角形中，，，把三角形向下平移至三角形后，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】先根据平移的性质得到，，，推出，，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵三角形向下平移至三角形，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， 即四边形的面积为． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，则线段与的关系是________； (3)四边形的面积是________平方单位． 【答案】(1)画图见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据平移的性质即可求解； （）利用割补法计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可得，线段与的关系是平行且相等； （3）解：四边形的面积（平方单位）． 题型十八 轴对称的性质（共3小题） 52．（2026七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，则线段的长为______    【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称， 根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案. 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理. ∵， ∴. 故答案为：. 54．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 题型十九 轴对称的实际问题（共3小题） 55．（2023七年级下·江苏·期中）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 56．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是____次． 【答案】3 【分析】本题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．利用轴对称画出图形即可求解． 【详解】解：球的运动路线如图所示： ∴一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是次； 故答案为： 57．（24-25七年级下·江苏南京·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线． (2)如图③，已知：为入射光线上一点，为反射光线上一点．求作：入射点．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂线的尺规作图，线段的尺规作图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角可知，发现法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （2）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解；如图所示，射线即为所求； 作的角平分线，则射线即为所求； （2）解：如图所示，过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求； 由对称性可得，而， ∴， 再根据等角的余角相等可得点O即为所求． 题型二十 镜面对称（共3小题） 58．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 59．（24-25七年级下·江苏南通·期中）小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．解决此类题应认真观察和有空间想象力． 根据镜面对称的性质，求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：C． 60．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 【答案】81088 【分析】题考查了镜面反射的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为：81088． 题型二十一 旋转的性质（共3小题） 61．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到，若，，则_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵将绕着点O顺时针旋转，得到， ∴， ∴． 62．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则______． 【答案】30或50或90 【分析】本题考查角分线的应用、旋转的应用．分为四种情况进行讨论：，，，，先求出和，再代入即可求出n． 【详解】解：由题图可知． ①当时，和在直线的右侧，如图： ， ， ； ②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧， 此时， ∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角， 故， ， ， ， 解得； ③当时，如图所示， ， ， ∴， 解得； ④当时，如图： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，解得（舍去）． 故答案为：30或50或90． 63．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为________． 【答案】55 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质．根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故答案为：55． 题型二十二 中心对称的性质（共3小题） 64．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 65．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 66．（2026七年级下·江苏·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 题型二十三 图形变换中尺规作图问题（共3小题） 67．（24-25七年级下·江苏·期中）作图题： (1)画出图（1）关于直线对称的，再画出关于直线对称的． (2)如图（2），两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用关于直线对称点的坐标性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分别得出即可． 【详解】（1）如图所示：即为所求． （2）如图所示：点即为所求． 68．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由轴对称的性质作图，即可求解； （2）按要求旋转作图，即可求解； （3）按中心对称的性质作图，即可求解． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：即为所求． （3）解：即为所求． 69．（25-26七年级下·江苏·期中）按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的尺规作图步骤进行作答即可． （2）结合过直线外一点作已知直线的垂线作图步骤进行作答即可． 【详解】（1）解：作的平分线，如图所示： （2）解：过点作直线的垂线，如图所示： 题型二十四 图形的折叠问题（共3小题） 70．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，即可得到结论； （2）由折叠知，，根据平行线的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 由折叠知，， ， ， ． 71．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 72．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． （2）①根据平行线的性质得出，，根据折叠得出，最后求出结果即可； ②设，则，根据平行线的性质得出．根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴折叠可知， ∵， ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴，， 根据折叠可知， ∴． ②设，则， ∵， ∴． ∴折叠可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． ∴． 题型二十五 二元一次方程的定义与解（共3小题） 73．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，解答时注意不要将x、y的值混淆造成错误． 将方程的解代入原方程即可求出m． 【详解】∵是关于的二元一次方程的解， ∴将代入中，得， 解得． 故选：C． 74．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 75．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知方程有很多解，请你写出一组互为相反数的解______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键， 根据方程的一组解互为相反数，可以把y用x表示出来，即； 把代入中，解出x，即可求解． 【详解】解：由方程的解互为相反数可得， 将代入中， 得， 解得， 所以， 故此方程互为相反数的一组解是， 故答案为：． 题型二十六 二元一次方程组的定义与解（共3小题） 76．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数是1，这样的方程组叫做二元一次方程组．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二元一次方程组，所以A选项不合题意； B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意； C、不是二元一次方程组，所以C选项不符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程组，所以D选项不符合题意． 故选：B． 77．（25-26七年级下·江苏·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 78．（24-25七年级上·广西百色·期中）已知是方程组的解，求k和m的值． 【答案】k和m的值分别为2和3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值． 【详解】解：根据题意，把代入方程组，得 ，解得． 即k和m的值分别为2和3． 题型二十七 解二元一次方程组（共3小题） 79．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： 【答案】 【分析】整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：原方程组可化为， ①②，得 ， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为． 80．（24-25七年级下·江苏南通·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组的知识点，解二元一次方程组主要有代入消元法、加减消元法两种方法，观察相同未知数的系数之间的关系是关键． 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）加减消元法解方程即可； （2）加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：将方程组进行变形可得：， ①−②得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 81．（24-25七年级下·江苏常州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）先整理方程组，使每个方程不含小数和分数，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； 题型二十八 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 82．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，由方程组得，进而可得，利用类比法即可求解，解题的关键是学会利用类比法解答． 【详解】解：由方程组得，， ∵方程组的解是， ∴， ∴方程组的解为， 故选：． 83．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，满足方程组，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 将两方程相加除以3即可． 【详解】解： 得， 即， 故答案为：． 84．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 【答案】(1)D (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可； （2）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组可变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：D； （2）解：∵， ∴， 设，，则方程组可变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， 解得． 题型二十九 构造二元一次方程组求解（共3小题） 85．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 86．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 87．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若无论m取何值，等式恒成立，则的值等于_______． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．将变形为，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵无论m取何值，等式恒成立， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 题型三十 二元一次方程组的含参问题（共3小题） 88．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x，y的方程组 的解满足方程，则m的值为 （    ） A．6 B．3 C．4 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，将两个方程相加，得到关于的表达式，结合已知条件，建立关于m的方程求解． 【详解】解： 将①和②相加，得： 提取公因数5，得： 已知，代入得： 则， 解得：， 故选：A 89．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为，求出、的表达式，由得出、等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ， 解得：， ， ， 整理得：， ，均为正整数， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为、、，共个； 故选：A． 90．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 题型三十一 三元一次方程组的相关问题（共3小题） 91．（24-25七年级下·江苏·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，把方程组中的三个方程相加即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：B． 92．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则_________； 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 93．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 题型三十二 方程组的实际应用10类题型（共3小题） 94．（25-26七年级下·江苏·期中）为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． (1)求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 【答案】(1)A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元 (2)学校共有三种购进方案：方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解； （2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得，整理得，再求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元． （2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个． 根据题意，得， ． 由题意得m，n均为正整数， 或或． 学校共有三种购进方案： 方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个； 方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个； 方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个． 95．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设甲的速度为，乙的速度为，根据“第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】设甲的速度为，乙的速度为． 由题意，得 解得 答：甲的速度为，乙的速度为． 96．（25-26七年级下·江苏南京·期中）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 97．（24-25七年级上·江苏常州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 【答案】(1)1001，9999 (2)是，理由见解析 (3)2651或6215 【分析】（1）根据新定义，即可得出结论； （2）根据新定义，即可得出结论； （3）根据题意知，，求得和的值，再根据题意是6，结合，取舍即可求得所有满足条件的“平衡数”． 【详解】（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”， 最小的正整数是1，最大的正整数是9， ∵，， ∴最小的“平衡数”是1001，最大的“平衡数”是9999， 故答案为：1001，9999； （2）是，理由如下： ∵， ∴7128是“平衡数”； （3）设这个“平衡数”为， 依题意得：，， 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为2651； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为6215； 综上，满足条件的“平衡数”是2651或6215． 【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键． 98．（24-25七年级下·江苏·期中）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁． 【答案】29 【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 故数学老师今年的年龄是29岁， 故答案为：29． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 99．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 100．（24-25七年级下·江苏·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 【答案】(1)甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元 (2)共有3种进货方案 (3)当，（2）中所有方案获利相同 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意得到数量关系式是解题的关键． （1）设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出关于a的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，可得到m的值，即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元： 由题意：，                       解得，                                     答：甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元； （2）解：设购进甲款笔记本本．则：                               解得：． 的正整数解为30，31，32． 共有3种进货方案； （3）解：设购进甲款笔记本本，则总获利为： ． ∵使（2）中所有的方案获利相同， ∴， 即当，（2）中所有方案获利相同． 101．（24-25七年级下·江苏·期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资 (2)共有3种租车方案，方案6：租用9辆小货车，1辆大货车；方案3：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”列关于，的二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资 由题意可得：， 解得：， 答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资． （2）解：设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车； 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车． 102．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 【答案】(1)小长方形的周长为8 (2)所有可能拼成的大长方形的周长为22或20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解出的值，即可求出小长方形的周长； （2）根据题意拼出符合题意的图形，再求出大长方形的周长即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， 小长方形的长为3，宽为1， 小长方形的周长为． （2）解：如图1的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图2的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图3的摆放方式： 则大长方形的周长为； 综上所述，所有可能拼成的大长方形的周长为22或20． 103．（24-25七年级下·江苏·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 1．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的逆运算法则，将三个数化为指数相同的形式（指数都为11），再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 3．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ，即， 又． 4．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 5．如图，吴老师把家里的密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是_____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，以及探索规律，数字规律可由前面两个等式发现规律，也是解题的关键．根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母、、的指数组成，依此即可求解． 【详解】解：由图片可得：沁，园， ∴得出密码规律：由汉字的拼音与化简后、、的指数组成， ∵， ∴密码为：． 故答案为：． 6．若x满足，则的值为_______． 【答案】80 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先利用偶次方的性质得到，再通过换元法设，，得到与的值，再利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】解：由偶次方的性质可知 设， 7．如图，将三角形以每秒的速度沿射线向右平移，得对应三角形．设平移时间为，已知，若要使成立，则的值为___________． 【答案】或 【分析】由平移的性质得，再分2种情况讨论：①当点在上时；②当点在延长线上时，结合列出方程，即可求出的值． 【详解】解：由平移的性质得，， ①当点在上时，， ∵， ∴， 解得； ②当点在延长线上时，， ∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 8．已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值为 _____． 【答案】20 【分析】得，则，代入即可得出结论． 【详解】解：， ，得， 将代入①，得， ∵， ∴，解得， 故答案为：20． 9．计算： (1) (2)； (3)（用简便方法）； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)10404 (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 10．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点G作，则，根据两直线平行内错角相等即可证明结论； （2）过点G作，，根据两直线平行内错角相等和角度的和差，即可证得结论； （3）图3中，根据平行线的性质可得，，从而得到图4中的度数，然后根据角平分线的定义和两直线平行内错角相等即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵图3中，，， ∴，， ∵将长方形纸条沿折叠，得到图4， ∴图4中，，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关（103题32大易错题型） 题型1 同底数幂乘法及其逆用 题型17 平移的性质及其实际应用 题型2 科学记数法 题型18 轴对称的性质 题型3 幂的乘方运算及其逆用 题型19 轴对称的实际问题 题型4 积的乘方运算及其逆用 题型20 镜面对称 题型5 同底数幂的除法运算及其逆用 题型21 旋转的性质 题型6 零指数幂与负整数指数幂 题型22 中心对称的性质 题型7 幂的运算等于1的分类讨论问题 题型23 图形变换中尺规作图问题 题型8 单项式乘法 题型24 图形的折叠问题 题型9 多项式乘法 题型25 二元一次方程的定义与解 题型10 多项式乘法的化简求值 题型26 二元一次方程组的定义与解 题型11 多项式乘积中不含某项求字母的值 题型27 解二元一次方程组 题型12 多项式乘法与图形面积 题型28 二元一次方程组的特殊解法 题型13 乘法公式的计算题 题型29 构造二元一次方程组求解 题型14 通过对完全平方公式变形求值 题型30 二元一次方程组的含参问题 题型15 求完全平方式中的字母系数 题型31 三元一次方程组的相关问题 题型16 完全平方公式在几何图形中的应用 题型32 方程组的实际应用10类题型 题型一 同底数幂乘法及其逆用（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，则__． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，求的值． 题型二 科学记数法（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）人体鼓膜的辐射能量主要处于区．已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型三 幂的乘方运算及其逆用（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 8．（24-25七年级下·江苏·期中）__． 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明：． 题型四 积的乘方运算及其逆用（共3小题） 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算______． 12．已知等式，求x的值． 题型五 同底数幂的除法运算及其逆用（共3小题） 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算：______，______． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型六 零指数幂与负整数指数幂（共3小题） 16．（24-25七年级下·江苏南通·期中）计算：． 17．（ 24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果有意义，则x满足的条件是________． 题型七 幂的运算等于1的分类讨论问题（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）把下列各数代入中，等式成立的有（   ），①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①④⑤ 20．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则的值是___________． 21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，求整数x． 题型八 单项式乘法（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）设，则的值为（） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算：____． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 多项式乘法（共3小题） 25．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算：__________． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 多项式乘法的化简求值（共3小题） 28．（24-25七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 30．若，且． (1)求的值； (2)求的值． 题型十一 多项式乘积中不含某项求字母的值（共3小题） 31．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 32．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______． 33．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 题型十二 多项式乘法与图形面积（共3小题） 34．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 35．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 36．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 题型十三 乘法公式的计算题（共3小题） 37．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 38．（25-26七年级下·山东济宁·周测）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 39．（24-25七年级下·江苏·期中）化简：． 题型十四 通过对完全平方公式变形求值（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，求： (1)的值； (2)求的值． 41．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3) 42．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 题型十五 求完全平方式中的字母系数（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是关于的完全平方式，则常数的值为（    ） A．6 B． C．12 D． 44．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，m、n均为常数，则________． 45．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用（共3小题） 46．（24-25七年级下·河南南阳·期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 47．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 题型十七 平移的性质及其实际应用（共3小题） 49．（2026七年级下·江苏·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 50．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在三角形中，，，把三角形向下平移至三角形后，，则四边形的面积为________． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，则线段与的关系是________； (3)四边形的面积是________平方单位． 题型十八 轴对称的性质（共3小题） 52．（2026七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，则线段的长为______    54．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 题型十九 轴对称的实际问题（共3小题） 55．（2023七年级下·江苏·期中）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 56．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是____次． 57．（24-25七年级下·江苏南京·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线． (2)如图③，已知：为入射光线上一点，为反射光线上一点．求作：入射点．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 题型二十 镜面对称（共3小题） 58．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 59．（24-25七年级下·江苏南通·期中）小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 60．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 题型二十一 旋转的性质（共3小题） 61．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到，若，，则_______． 62．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则______． 63．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为________． 题型二十二 中心对称的性质（共3小题） 64．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 65．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 66．（2026七年级下·江苏·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 题型二十三 图形变换中尺规作图问题（共3小题） 67．（24-25七年级下·江苏·期中）作图题： (1)画出图（1）关于直线对称的，再画出关于直线对称的． (2)如图（2），两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 68．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 69．（25-26七年级下·江苏·期中）按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 题型二十四 图形的折叠问题（共3小题） 70．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 71．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 72．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 题型二十五 二元一次方程的定义与解（共3小题） 73．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 74．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 75．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知方程有很多解，请你写出一组互为相反数的解______． 题型二十六 二元一次方程组的定义与解（共3小题） 76．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 77．（25-26七年级下·江苏·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 78．（24-25七年级上·广西百色·期中）已知是方程组的解，求k和m的值． 题型二十七 解二元一次方程组（共3小题） 79．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： 80．（24-25七年级下·江苏南通·期中）解方程： (1) (2) 81．（24-25七年级下·江苏常州·期中）解方程组： (1) (2) 题型二十八 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 82．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 83．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，满足方程组，则的值是_______． 84．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 题型二十九 构造二元一次方程组求解（共3小题） 85．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 86．若，则的值为______． 87．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若无论m取何值，等式恒成立，则的值等于_______． 题型三十 二元一次方程组的含参问题（共3小题） 88．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x，y的方程组 的解满足方程，则m的值为 （    ） A．6 B．3 C．4 D．11 89．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 90．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 题型三十一 三元一次方程组的相关问题（共3小题） 91．（24-25七年级下·江苏·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 92．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则_________； 93．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 题型三十二 方程组的实际应用10类题型（共3小题） 94．（25-26七年级下·江苏·期中）为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． (1)求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 95．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 96．（25-26七年级下·江苏南京·期中）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 97．（24-25七年级上·江苏常州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 98．（24-25七年级下·江苏·期中）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁． 99．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 100．（24-25七年级下·江苏·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 101．（24-25七年级下·江苏·期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 102．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 103．（24-25七年级下·江苏·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 1．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 3．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 5．如图，吴老师把家里的密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是_____________ ． 6．若x满足，则的值为_______． 7．如图，将三角形以每秒的速度沿射线向右平移，得对应三角形．设平移时间为，已知，若要使成立，则的值为___________． 8．已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值为 _____． 9．计算： (1) (2)； (3)（用简便方法）； (4)； (5)； (6)． 10．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $