精品解析：辽宁抚顺市新宾满族自治县北四平乡中学2026年九年级数学3月质量检测

2026年九年级数学3月质量检测 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 2. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符题意； B、，则此项错误，不符题意； C、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 在不透明的袋子里装有颜色不同的16个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，估计袋中白球有（ ） A. 40个 B. 38个 C. 26个 D. 24个 【答案】D 【解析】 【分析】设袋中白球有x个，根据题意得列出方程即可求解. 【详解】设袋中白球有x个，根据题意得：=0.6，解得x=24，经检验：x=24是分式方程的解， 故袋中白球有24个．故选D． 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意设出未知数列方程求解. 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）． A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE=CE． 设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x．， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x 2=22+（4－x）2， 解得x=2.5， ∴CE的长为2.5． 故选C． 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故选A 9. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可得，即，即可求出结果． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得，即石坝的高度为2.7m， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 10. 如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作于点Ｈ，由角平分线性质定理得，根据，得；求得；再证明是的中位线，可得． 【详解】解：如图，过点E作于点Ｈ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分，， ∴， 在中，，， ∴； 在中，由勾股定理，得， ； 由尺规作图的痕迹，知， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴点是的中点， ∴是的中位线， ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某天长白山山脚气温为，山顶气温为，则这一天山脚与山顶的温差是___． 【答案】 【解析】 【分析】温差为较高温度减去较低温度，根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：这一天山脚与山顶的温差是． 12. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__. 【答案】k>2 【解析】 【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答． 【详解】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限， ∴2-k＜0， ∴k＞2． 故答案为k＞2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键． 13. 已知点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入，然后解关于的方程即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴ ， ∴的值为． 14. 如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在其北偏西方向上，在其北偏东方向上，测得，之间的距离为米，则，之间的距离为___米．（结果精确到米．参考数据：， ） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点， 在中，求出、的值，然后在中，求出的长度，继而可求得的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，米， （米）， （米）， 在中，， （米）， （米）， 即，之间的距离约为米． 15. 如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】用勾股定理得出，再推出，设，则，结合，列出比例式即可求解 【详解】解：由折叠的性质，知， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 【答案】（1）元 （2）件 【解析】 【分析】（1）先求出甲、乙两种商品各购进多少件，再求出甲、乙两种商品的利润和即可； （2）设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴(元) ． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润． 【小问2详解】 解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意，得， 解得． 答：该超市最少需要购进100件甲种商品． 18. 某校九年级全体同学参加了主题为“我献爱心”的图书捐赠活动，该校随机抽查了部分同学捐赠的情况，统计结果如图所示： （1）求捐赠本的学生人数； （2）求被抽查的部分同学捐赠图书数量的中位数； （3）已知全校九年级共有名学生，请估计捐赠本的人数． 【答案】（1）人 （2）本 （3）人 【解析】 【分析】（1）先根据捐赠本书的人数及其所占百分比求出总人数，用总人数减去捐赠其他数量的人数之和可得捐赠本的学生人数； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中捐赠本的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：被抽查的学生总数为（人）， 捐赠本的学生人数为（人）； 【小问2详解】 解：将被抽查的部分同学捐赠图书数量按由小到大的顺序排列，其中第，个数为本和本， 被抽查的部分同学捐赠图书数量的中位数为（本）； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计全校九年级捐赠本的人数大约为人． 19. 如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法可以求出抛物线解析式；再利用配方法确定顶点的坐标，即可得到拱顶到地面的距离； （2）设两排灯的截面图分别为点、，当时，由抛物线的对称性可知点的横坐标，将横坐标代入解析式中求解对应的值，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 将点，代入中，得 ，解得， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， 拱顶到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，设两排灯的截面图分别为点、． 当时，由抛物线的对称性可知：点的横坐标为， 将代入得：， 根据图象，易知当灯离地面的高度时，， 即灯离地面的最小高度是． 20. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是轴上的一个动点． （1）如图1，点在第四象限，和都是等边三角形，点在的上方，当点在轴上运动到如图1所示的位置时，连接，求证：． （2）如图2，点在轴的正半轴上，和都是等腰直角三角形，点在的上方，，当点在轴上运动时，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）连接，先证明，可得点D始终在第一象限的角平分线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，进而即可解答． 【小问1详解】 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴点D始终在第一象限的角平分线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴在中， 21. 在中，是的直径，线段，是的弦，平分． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点D作的切线，，，求线段的长． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意求出，再由角平分线求得即可；连接，求得，，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，与交于点E，分别求出与 为等边三角形，从而求出，，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ； 平分， ； 连接， ， ， ， ； 【小问2详解】 连接，与交于点E， 直线为切线， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，，，设，则， 则，解得，（舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，当，时，求的长． （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：． ②当，时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得知，进而即可得到结论； （2）根据，可得，由，利用相似三角形的性质即可解答； （3）①通过证明三角形全等得出线段相等关系；②先根据平行四边形的性质得到相关线段长度，再利用三角函数，全等三角形性质以及相似三角形性质求出的值． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质，知， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点C作于点H． 在中，， ∴ ， ∴ ∴，即 ∵ ∴； 【小问3详解】 解：①证明：由旋转的性质，得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ②如图2，延长交于点M． 设，则 ∵ ∴四边形为平行四边形. ∴. ∵在中，， ∴ ∴ （1）知 ∴ ∵ 在中，由勾股定理，得， 由①可知，则， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 23. 定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”． 例如：的“和谐二次函数”为． （1）函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　； （2）已知二次函数，其“和谐二次函数”记为． 若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标； 函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）或；． 【解析】 【分析】（）先求出函数的对称轴为直线，然后通过“和谐二次函数”定义设，得出，再求出，的值即可； （）由题意知，，联立，从而得出点，，所以轴，，过点作于点，然后根据得出，对于，当时，，然后求出的值即可； 由题意，得函数的图象如图所示，当时，的最大值为，又函数的最大值与最小值的差为，所以最小值应为，过点作轴交的图象于点，将代入，从而可得点的坐标为，由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为，从而求解． 【小问1详解】 解：函数的对称轴为直线， 设其“和谐二次函数”为， ∴， 解得：， ∴其“和谐二次函数”为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设其“和谐二次函数”为， ∴， 解得：， ， 联立，解得，， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴点，， ∴轴，， 如图，过点作于点， ∵ ∴， ∴， ∴， 对于， 当时，， 解得或， ∴点的横坐标为或； 由题意，得函数的图象如图所示， ∵点， ∴当时，的最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴最小值应为， ∵， ∴的顶点的坐标为， 过点作轴交的图象于点， 将代入， 解得或（不合题意，舍去） ∴点的坐标为， ∴由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学3月质量检测 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在不透明的袋子里装有颜色不同的16个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，估计袋中白球有（ ） A. 40个 B. 38个 C. 26个 D. 24个 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）． A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某天长白山山脚气温为，山顶气温为，则这一天山脚与山顶的温差是___． 12. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__. 13. 已知点在函数的图象上，则的值为______． 14. 如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在其北偏西方向上，在其北偏东方向上，测得，之间的距离为米，则，之间的距离为___米．（结果精确到米．参考数据：， ） 15. 如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，的长为___． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 18. 某校九年级全体同学参加了主题为“我献爱心”的图书捐赠活动，该校随机抽查了部分同学捐赠的情况，统计结果如图所示： （1）求捐赠本的学生人数； （2）求被抽查的部分同学捐赠图书数量的中位数； （3）已知全校九年级共有名学生，请估计捐赠本的人数． 19. 如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 20. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是轴上的一个动点． （1）如图1，点在第四象限，和都是等边三角形，点在的上方，当点在轴上运动到如图1所示的位置时，连接，求证：． （2）如图2，点在轴的正半轴上，和都是等腰直角三角形，点在的上方，，当点在轴上运动时，求的最小值． 21. 在中，是的直径，线段，是的弦，平分． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点D作的切线，，，求线段的长． 22. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，当，时，求的长． （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：． ②当，时，请直接写出的值． 23. 定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”． 例如：的“和谐二次函数”为． （1）函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　； （2）已知二次函数，其“和谐二次函数”记为． 若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标； 函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $