专题06 奔驰模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题06 奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （2）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵∴又∵∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图： ∵是等边三角形，∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：A. 例2（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：是等边三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到，，，， ，即， 是等边三角形，，故选：． 例3（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接．∵为等边三角形，∴，． ∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段，∴，， ∴为等边三角形，∴． ∵，，∴． 在和中，∴，∴． 在中，∵，，，∴， ∴为直角三角形，， 过作于， ∴．故选A. 例4（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵是等边三角形，∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，即， ∵，∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形，∴ ∵，，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意；综上：正确的有①②③，故选：D． 例5（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形的面积是；⑤．其中正确结论的个数是 （   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示：由题意得：，          ∴，∴，∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，，∴是等边三角形，∴，故②正确； ∵，∴，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，故③正确； 作，如图所示：则，∴，∴ ∴四边形的面积，故④错误； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示： 同理可得：是等边三角形，，，则， ∴，∴ ∴，故⑤正确；故选：C 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    【答案】105° 【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，    在△APB和△APD中∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP， 由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°，∴PH=AH, ∵PA=1，在中，由勾股定理可得：， ∵PB=，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°，∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°故答案为：105° 例2（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：将绕着点顺时针旋转得到，连接， 则是等腰直角三角形，，，，， ，，，故答案为：． 例3（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：四边形为正方形，，， ，，， ，，故①正确； ，，， ， ，，故②正确； 过点作的延长线于点，如图所示， ，，， ，，， ，， ，，，故③错误； ，，，， ，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C． 例4（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结． 【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，． （1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ． 【答案】（1）；（2）；． 【详解】解决问题：由旋转的性质可得，，，， ∴，，∵，，， ∴，∴，∴； （1）仿照【分析】中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，连接．如图5， ∴，∴，∴为等腰三角形， ∵，∴，作于G，∴． ∵，∴，∴∴， 在中，∵，，，∴，，， ∴ ∴是直角三角形，∴． ∴．故答案为： （2）延长，作于点G，如图6， 在中，，∴， ∴，，∴， 在中，根据勾股定理得．故答案为： 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·湖北荆门·期中）如图，为等边三角形外一点，，，．则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， 由旋转的性质可得：，，，， 为等边三角形，， 在中，，，，，， ，，， ，． 例2（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 【答案】3.2 【详解】解：是等边三角形 如图，将绕点顺时针旋转，点为点的对应点，连接 点为点旋转后的对应点；由旋转的性质得：， 是等边三角形 则在中故答案为：3.2 例3（24-25·八年级下·湖北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=，若AD=4，CD=2，则BD的长为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′， ∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=＝4， ∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′===6，故选A. 例4（24-25八年级下·江西吉安·期末）某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：        (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)同意，理由见解析(2)成立，见解析(3)(4) 【详解】（1）解：同意， 理由如下：∵在等边三角形中，∴，， ∵，∴， ∴，，∴，即； （2）解：（1）的结论成立，证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接，    在等边，等边中，，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，       在等腰直角，等腰直角中， ， ，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，即； （4）解：过点A作，交延长线于点D， ∵，∴，∴， ∵，∴，即， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：是等边三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到，， ，，，即， 是等边三角形，，故选： 2．（2025·山东·一模）如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示， ∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴，∴为等边三角形，∴，故①正确； ∵为等边三角形∴， ∴把逆时针旋转60°后，与重合，与重合， ∴可以由绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确；∴， ∵，∴在中，，∴为直角三角形， ∴，∴，∴点D到的距离为3，故④正确； ∵，∴ ，故③错误； ∵四边形的面积，故⑤正确．故选C． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点，连接．若，．下列四个结论中：①；②；③点到直线的距离为；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 在和中，∵，，，∴，故①正确； ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确； ∵，∴，∴， 如图，过点B作，交的延长线于点F， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，而，∴， ∴点到直线的距离为；故③说法错误； ∴，∴， ∴，故④正确，∴正确的有：①②④，故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：在外侧作等边，连接，则，，， ，， 在和中，，，， 在中，，，，故选：A． 5．（2025八年级下·成都·专题练习）如图，P为等边三角形内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵为等边三角形，∴，可将绕点B逆时针旋转得， 连，且延长，作于点F，如图， ∴，，，∴为等边三角形， ∴，，中，，，， ∴，∴为直角三角形，且， ∴．∴，∴在直角中，，． ∴在直角中，， 则的面积是，故答案为：9． 6．（2025·山东滨州·一模）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：连接，由题意可知则，，， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， 又∵，，，∴，∴， ∵为等边三角形，∴，∴ ∴，故答案为． 7．（2025·四川·模拟预测）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为 .    【答案】24+9． 【详解】解：如图，连结PQ，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC， 再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，即可判定△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6； 在△APC和△ABQ中，AB=AC，∠CAP=∠BAQ，AP=PQ，利用SAS判定△APC≌△ABQ， 根据全等三角形的性质可得PC=QB=10；在△BPQ中，已知PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，即PB2+PQ2=BQ2， 所以△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9． 故答案为：24+9．    8．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有： ． ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④． 【答案】①②③ 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故①正确； ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，∴，所以④错误． 故答案为：①②③． 9．（24-25九年级下·浙江·开学考试）如图，在四边形ABCD中，．若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，过点作于点，过点作于点， 又∵，∴∴ ∵∵∴ ∴， 在中，；∴ ∵，∴；∴，故答案为：． 10．（2025·福建福州·一模）如图，是等边三角形内的一点，且．    (1)尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转后得到（不要求写作法，但需保留作图痕迹）； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转后所得到的，如图所示：    （2）解：如图，连接，∵绕点A逆时针旋转后所得到的， ∴，，， ∴为等边三角形，∴，， 在中，，∴为直角三角形，且， ∴． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题探索（1）如图，在等边中，点D在内，且，，，求的长．小浩在解决这个问题时，用到了以下方法：把绕着点A逆时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请你在此思路提示下，求出的长； 问题应用（2）如图，点D在等边外，且，，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）把绕着点A逆时针旋转得到，连接， ，，，， 为等边三角形，，， ，， 在中，由勾股定理可得：； （2）如图，把绕着点C逆时针旋转得到，连接， ，，， 为等边三角形，∴， ，，，即三点共线． ，在中，，，， ，是直角三角形，且． 12．（24-25九年级·河南郑州·阶段练习）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的 如图1，等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系，我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形，三条线段的数量关系是_ ； 如图2，等边三角形内一点P，连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系．如图3 ，在四边形中，点在四边形内部，且请直接写出的长． 【答案】（1），直角，；（2），证明详见解析；（3） 【详解】∵绕点逆时针旋转得到 ∴，∠=∴ ∵BP⊥∴是直角三角形．∴ 即； 如图，将绕点顺时针旋转得连接则为等边三角形， ． 将绕点顺时针旋转至连接则． ． ，即．在中可求得． ，．可证则． 13．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接，若，求的长．（1）该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形，∴． ∴　　，∴，∴　，∴． ∵，∴．∵，∴　　． 【尝试应用】（2）如图4，在中，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】（3）如图5，在中，，以为边向外作等腰，连接，则的最大值为 ． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形，∴． ∴，∴，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． （2）解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，        ∴，，∴，∵，∴， 在中，∵，∴， 在中，∵，∴，∴； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF， ∴，，，∴， 当A、B、F三点共线时，最大， ∵，，∴， 如图中，过点D作，且，∴， ， ∵ 化简得：，当取得最大值时，取得最大值， ∴，∴的最大值为． 14．（24-25八年级下·江西九江·期中）初二某班同学在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动． 【操作探究】（1）如图1，在等腰直角中，，D是边上的一点，将绕着A点逆时针旋转得到，连按，请证明线段之间的数量关系． 【迁移探究】（2）如图2，是等边三角形，P是内一点，，则_________ 【拓展应用】如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使若，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）10或26 【详解】解：（1），证明如下：∵，∴， 由旋转的性质可得，∴， 在中，由勾股定理得，∴； （2）如图所示，将绕点C顺时针旋转60度得到，连接， 由旋转的性质可得，， ∴的等边三角形，∴，， ∵，∴，又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； （3）如图3所示，当点D在下方时，∵在中，为直角，， ∴是等腰直角三角形，∴，如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到， ∵，∴，∴， 由旋转的性质可得， ∴，∴三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 如图4所示，当点D在上方时，过点A作交于E， ∵，∴； ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 综上所述，的面积为10或26． 15．（25-26九年级上·江西赣州·期末）【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数． (1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，，∴∴为 三角形∴的度数为 ． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证． (3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长． 【答案】(1)直角；(2)见详解(3) 【详解】（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，，∴，∴为直角三角形． ∴的度数为．故答案为：直角；． （2）证明：如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接． ∵，，∴是等边三角形，∴，， 由旋转的性质可知：，∴，， ∴，∴， ∵，，∴． （3）解：过点C作于T，连接，设交于O．∵，，∴， ∵， ，∴，， ∵，∴ ∵，∴，∴， 设，则，∵，∴，解得或（负值舍弃）， ∴，∴． 16．（24-25八年级上·山东东营·期末）【方法探索】 （1）如图1．已知点D是等边内一点，且，，．求的度数． 解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连结， ∵，，∴，， ∴ 是等边三角形∴， ∵在中， ∴ ∴ 方法总结：通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中，运用勾股定理逆定理解决． 【综合运用】（2）如图1，在（1）的条件下，求的面积． 【类比迁移】（3）如图2，已知点E为正方形内的一点，，，，把绕着点B逆时针旋转，得到，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连结， ∵，，∴，， ∴是等边三角形∴， ∵在中，∴∴； （2）过点作交延长线与点E， 由（1）知∴∵，∴ ∵∴的面积为：； （3）由旋转的性质得，，，， ∴是等腰直角三角形，∴∴ ∵在中，，∴ ∴∴． 17．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题： 如图①，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，，，求和的长； 【问题探索】（2）如图②，若点P是等边内的一点，且，，，求的度数； 【问题解决】（3）如图③，在四边形中，，，，求的长． 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，，，．∴为等腰直角三角形． ∴，．∴． 在中，根据勾股定理，得． 如图①，过点A作交的延长线于E．    ∵，∴．∴是等腰直角三角形． ∴．∴． 在中，根据勾股定理，得． （2）∵是等边三角形，∴，． 如图②，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形， ∴，．∵，， ∴．∴为直角三角形．∴．∴． （3）∵，∴是等腰直角三角形．∴，． 如图③，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． 由旋转的性质，得，，．∴是等腰直角三角形． ∴，．∴． ∴是直角三角形．∴．∴． 18．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】（3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】（4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）5；见解析；（3）3；（4）． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②，，； （2）如图，∵将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴， ，，， ∴是等边三角形，∴， ∴，∴． （3）∵是等腰直角三角形，∴，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，如图： 则，，，， ∴是等腰直角三角形，∴，， ∴，∴． （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，，∴是等腰直角三角形， ∴，，又∵，， ∴，∴是直角三角形，且，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于（   ） A．2 B． C． D．1 例3（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 例4（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例5（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形的面积是；⑤．其中正确结论的个数是 （   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    例2（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为 ． 例3（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结． 【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，． （1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·湖北荆门·期中）如图，为等边三角形外一点，，，．则的度数为 ． 例2（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 例3（24-25·八年级下·湖北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=，若AD=4，CD=2，则BD的长为（   ） A．6 B． C．5 D． 例4（24-25八年级下·江西吉安·期末）某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：        (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于（    ） A．2 B． C． D．1 2．（2025·山东·一模）如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点，连接．若，．下列四个结论中：①；②；③点到直线的距离为；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（    ） A． B．4 C． D． 5．（2025八年级下·成都·专题练习）如图，P为等边三角形内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则的面积为 ． 6．（2025·山东滨州·一模）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 7．（2025·四川·模拟预测）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为 .    8．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有： ． ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④． 9．（24-25九年级下·浙江·开学考试）如图，在四边形ABCD中，．若，则 ． 10．（2025·福建福州·一模）如图，是等边三角形内的一点，且． (1)尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转后得到（不要求写作法，但需保留作图痕迹）； (2)求的度数． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题探索（1）如图，在等边中，点D在内，且，，，求的长．小浩在解决这个问题时，用到了以下方法：把绕着点A逆时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请你在此思路提示下，求出的长；问题应用（2）如图，点D在等边外，且，，若，求的度数． 12．（24-25九年级·河南郑州·阶段练习）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的 如图1，等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系，我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形，三条线段的数量关系是_ ； 如图2，等边三角形内一点P，连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系．如图3 ，在四边形中，点在四边形内部，且请直接写出的长． 13．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接，若，求的长．（1）该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形，∴． ∴　　，∴，∴　，∴． ∵，∴．∵，∴　　． 【尝试应用】（2）如图4，在中，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】（3）如图5，在中，，以为边向外作等腰，连接，则的最大值为 ． 14．（24-25八年级下·江西九江·期中）初二某班同学在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动． 【操作探究】（1）如图1，在等腰直角中，，D是边上的一点，将绕着A点逆时针旋转得到，连按，请证明线段之间的数量关系． 【迁移探究】（2）如图2，是等边三角形，P是内一点，，则_________ 【拓展应用】如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使若，，求的面积． 15．（25-26九年级上·江西赣州·期末）【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数． (1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，，∴∴为 三角形∴的度数为 ． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证． (3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长． 16．（24-25八年级上·山东东营·期末）【方法探索】 （1）如图1．已知点D是等边内一点，且，，．求的度数． 解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连结， ∵，，∴，， ∴ 是等边三角形∴， ∵在中， ∴ ∴ 方法总结：通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中，运用勾股定理逆定理解决． 【综合运用】（2）如图1，在（1）的条件下，求的面积． 【类比迁移】（3）如图2，已知点E为正方形内的一点，，，，把绕着点B逆时针旋转，得到，连接，求的度数． 17．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题： 如图①，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，，，求和的长； 【问题探索】（2）如图②，若点P是等边内的一点，且，，，求的度数； 【问题解决】（3）如图③，在四边形中，，，，求的长． 18．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】（3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】（4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $