江西“三新”协同教研共同体2026届高三4月数学学科阶段训练试题

高三4月数学学科阶段训练 参考答案 1.D因为6×0.75=4.5，所以这组数据的上四分位数为16. 2.C设之=a+bi(a,b∈R),则|x+1-2i=√(a+1)2+(b-2)2≤3，当a=2,b=1时，不满 足题意，其余均满足题意，故之在复平面内对应的点的坐标不可能为(2,1). m=6, 3.B若A={n},则m2-36=0,得m=±6，则 m=-6, 或 n=-3n=3, mn=-18.若A={9,n}, 则9m十+90=0，得m=-10,则n=1,mn=-10.综上，mn=一18或-10. 4DE的渐近线方程为y=士名x,直线厄x一y=0的斜率为2，则-名·厄=-1，解得 b=√2. 5.A因为a=m号>日=cb=g2=lg8<lgD=日-c,所以a>c>6. 6.B因为D是BC边上靠近点B的三等分点，所以A心-子A店+AC,BC=A心-A店， A市.BC-(号a+号A⊙)C-A)=号aC.A弦-号A+号Ac=}×3×2×号 号×3+号×2=号 3 7.C当n=1时，a1=S1=a-6,当n≥2时，am=Sm-Sm-1=-8n十2.当n=1时，由a1≥ 名a,得a≥，当a≥2时，由a8a得a≤平因为nEN,所以4k-a)≤4(14 +5)=109. 8.A作出f(x)的图象（图略）.由f(f(a)<-2,可得-2<f(a)<-1或0<f(a)<4.由 0<fa)<4,可得-4a<-3:由-2<fa)<-1,可得-35<a<-2或-1<a< 2 325度4a<10.综上a的取值范周为(-4，-30U(35一-2U(-1,-325) 2 U(4,10). 9.AD若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直，A正确.若a⊥ b,b⊥c,则a与c的位置关系不确定，B不正确.若a∥a,a⊥3，则a与β的位置关系不确定，C 不正确.若aC3,bC3,a∩b=P,a⊥c,b⊥c,则c⊥B,D正确. +. 10.ACD由题可得A1(-3,0,A:3,0),F1(-2,0),F,(2,0.设P(3g),则 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 yoyoyo kpA·kpA,0十3'z0-3-6-9 =名A正确F=(一2-，)，P丽=(2 ,一)，P丽·P丽=x+-4=号6+1≥1，B不正确若△PA,A:的面积为5，则 合·A,A:·=3=5,根据对称性，不妨令P位于第一象腿，可得P(2,号》，则 P=(-5,),Pm-(1,),Pm·Pm=PPmo∠A,PA,=碧由 SMA,-2PA,PA,sn∠A,PA,=5得an∠A,PA,=-是，C正确M,1-S, M:-专因为PM平分∠FPF所以--2又PF,+PF:=6所 以川PF,1=4=FF,,PF=2,△PF,F,的面积为方×2×-下=.设 △PFB:内切圆的半径为，则号×(6+r=√西，解得-雪D正确 11.BCD设f(x)-f(3)=c,令x=1,得f(1)-f(3)=c=-4,则f(3)=f(x)十4，两边 求导得f'(3x)·3x·ln3=f'(x).因为31n3>0,所以f'(3x)与f'(x)同号.当x∈(0,1) 时，3∈(1,3)，令3=2，得x=log32,则当x∈(0，log32)时，3∈(1,2)，此时f′(3x)<0,则 f'(x)0,当x∈(1og32,1)时，3∈(2,3)，此时f'(3)>0,则f'(x)>0,从而f(x)在(0， 1og32)上单调递减，在(1og32,1)上单调递增，A不正确.当x∈(2,3)时，f'(x)>0,且3∈ (9,27),则f′(3)>0，则f'(x)>0在(9,27)上恒成立，故f(x)在(9,27)上单调递增，B正 确.由题易得f'(2)=0,则f'(9)=0,当x∈(1,2)时，f'(x)<0,且3∈(3,9)，则f'(3x)< 0,则f(x)<0在(3,9》上恒成立，放9是f(x)的一个极小值点，C正确.令x=号，得 f(3)=f()+4=0,故33是f(x)的-个零点，D正确 12.-720含x2y3的项为C%(3x)(-2y)3=-720x2y3,系数为-720. 13.y=x-e因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),则f'(-x)=f'(x).当x>0时， f)=+则frx)=1+“≥C,则f=1=f-1D.又f-1)=-f0)=-1 -e,所以曲线y=f(x)在点(-1，f(一1))处的切线方程为y=x-e. 14.(x(a-b)sin'+absin 2a'sinb(1-o)+2absin xcosasin +bcos x)2-b2=a2,则(asin x+bcos x)2=1,则asin x十bcos x=±1.当asin x十bcos x =l时，由asin x十bcos a=√a2+bsin(x十p)=sin(x十p)=l(其中p的终边经过点(a, b),得x十9=受+2元，k∈Z,得x=受-9十2π，k∈么取甲为最小正角，则9∈(0，）， 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 则z=晋-9，受-9，受-9，同理，当asnx十6osx=-1时，可得z-受-p,受-g, 1g…,则=（经）1（受）+（受）=经由e(o,》.得 暨-3y∈(3，爱). 15.解：(1)因为csin B=√5 bcos C,所以sin Csin B=√3 sin Bcos C.…2分 又sinB≠0，所以sinC=√3cosC,即tanC=√/3.…4分 由C∈0，)，得C-号 6分 (2)由anA=2,A∈(0，x),得sinA= 3,C0sA=3 , …7分 sin B-sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C6 6 ……9分 因为c=2,所以由AC得a一合-4 sin C ,…11分 3 则△ABC的面积S=7 B-6y2+45 …0…6…13分 9 16.（1)证明：过点M作MN∥AB,交SA于点N,连接DN.…1分 因为BMBS,所以MN=名AB=2=CD.2 2分 又AB/CD,所以MN/CD,…3分 则四边形CDNM为平行四边形，从而CMDN.…4分 因为CM中平面SAD,DNC平面SAD,所以CM/平面SAD.…5分 (2)解：(1)由SA=SD=√2，AD=2,可得SA⊥SD.…6分 因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,·7分 且ABC平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面SAD,…8分 BD是三棱锥S-ABD外接球的直径，且BD=√AB+AD=√I3, …9分 则三棱锥SABD外接球的表面积S=4(巴)°-13r“10分 (iⅱ)（方法一）取AD的中点O,BC的中点E,连接OE,OS,易得 D OA,OE,OS两两垂直，以O为坐标原点，OA,OE,OS所在直线分 别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0,0,1), D(-1,0,0),B(1,3,0),C(-1,2,0), 所以DC=0,2,0),D成=Di+B立=Di+号B对-（号，2）： …11分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 D元.m=0, 2y=0, 设平面MCD的法向量为m=(x,y,之)，则由 得 期年中而。号 DM·m=0, 3x+2y+ 32=0, …12分 令x=1,得m=(1,0,一5).… 13分 由图可知，平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),…14分 则平面MCD与平面ABCD夹角的余弦值为mm=?66. …15分 (方法二)因为AB/∥CD,AB⊥AD,所以AD⊥CD. 又平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD,… …11分 则ND⊥CD,故∠ADN即平面MCD与平面ABCD的夹角.…12分 由SA=SD=V2,AD=2,可得SA⊥SD,AN= 3,DN=②6 3, …13分 20 则cos∠ADN=DN2+AD2-AN2 3 5v26 2DN·AD ，即平面MCD与平面ABCD夹角的 4√26 26 3 余张值为 …15分 17.解：(1)由f(x)=x-alnx十a2(x>0),可得f'(x)=1-a=-a …1分 若a≤0，则f'(x)>0在(0，十∞)上恒成立，则f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，无单调递 减区间。… …3分 若a>0,则当x∈(0，a)时，f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时，f'(x)>0,则f(x)的单调递增 区间为(a,十∞)，单调递减区间为(0，a).…5分 (2)由(1)可知，若f(x)存在最小值，则a>0,…6分 且f(x)的最小值为f(a)=a-alna十a2,…7分 则a-alna十a2<2,… 8分 则1-1na十a<名即a-lna一是 2+10… 9分 令g(x)=x-1nx-2+1(x>0),则gx)=1-1+2=+2 22 …10分 因为x2-x+2=(x-)'+子>0恒成立，所以g(x)>0恒成立，则g(x)在(0，+∞)上 单调递增。……12分 又g(1)=0,所以当x∈(0,1)时，g(x)<0,当x∈(1，+∞)时，g(x)>0.…14分 故a的取值范围为(0,1).…15分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 18.解：1)因为F(1,0)是T的焦点，所以号=1， …1分 得p=2.… 2分 (2)由(1)知T的方程为y2=4x.由题意可设l的方程为x=ty十1，A(x1,y1),B(x2,y2). y2=4红，得y2-4y-4=0,… 由 z=ty+1, …3分 则y1十y2=4t,y1y2=-4.… …4分 因为AF|=4BF|,所以y1=-4y2.… 6分 由y1>0,解得y1=4,y2=一1，…7分 则=，1的方程为4r-3y-4=0. …8分 (3)由E为x轴上异于F的点，且AE=|AF|,得E(2x1一1,0)，…9分 则直线AC的方程为y一， -2+D,即z-y+2a-1.设C. ……0分 y2=4x, xy1y+21-1, 得y24-41 y1y一8x1十4=0，…11分 则1=-81十4，，=-8x:+4=-2+4=-2y1 4 …12分 yi 则2=一y=4 …13分 2-xgy+y2-21+4+y 4 2 由y1y2=-4,得2= …14分 -2y1+4 y2 3y1 又要 =-y1, 15分 所以+=+≥2， 16分 当且仅当y1=√2时，等号成立，故|k1十2的最小值为22.…17分 2 19.(1)解：由题可知p1=3’ …1分 2 、37 (2)证明：设A的所有可能取值为k,则=2,3，…，n十2. 记事件M为第n十1次操作抽调到A类部件，则pm+1=P(M). 根据全概率公式可得P(M=艺P(A.=k)P(MA,=k).…4分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 在Am=k的条件下，系统内共有n十3个部件，其中有k个A类部件，则事件M发生的概率 P(MA,=k)= 。0。te小e小。。。 n+3 5分 则PM0-PA,=PMA,=)=宫年·PA.=)=十34PA,=. n十3三2 …7分 因为影k·P(A.=k)=E(A),所以p+1=P(M0=-元 3E(A),… 8分 则E(An)=(n十3)pn+1. 9分 (3)解：设随机变量X:(i=1,2,…,n)满足若第i次操作抽调到A类部件，则X:=1,若 第i次操作抽调到B类部件，则X:=0,所以X:服从两点分布，且P(X:=1)=p.… …10分 由题可知，第i次操作后系统内A类部件比上一次的增量为1一X:,则A,=2+(1一X:) =n十2-含x.因为E(②X,)=含p,所以EA)=En+2-2X:)=n十2-2p … …11分 由(2)可知，EA.)=(n+3)p+1,则(n十3)p+1=n+2-2p:, 则当n≥2时，有n+2)p。=n+1-p, 则(n十3)pn+1-(n+2)pn=1-pn,即(n+3)pm+1=(n十1)pn十1，…12分 当n=1时，4p2=32p1十1=3，满足上式，故n∈N,(n十3)p1=(n十1)p.十1，… …13分 则(n十2)(n十3)pm+1=(n十1)(n十2)力n十n十2.…14分 令am=(n十1)(n十2)pm,则a1=6p1=4,am+1=am十n十2，…15分 则(a2-a1)十(a,-a2)+…+(an-a-1)=3+4+…十n十1=n+4)n-1) 则a.=a1+m+4)(n-1)_=n2+3m十4 …16分 an n2+3n+4 则p.=(m+1Dm+2)-2(n+1)(n+2) …17分 ▣▣ 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三4月数学学科阶段训练 注意事项： L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上， 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4,本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1数据3,7,9,10,16,18的上四分位数为 A5 B7 C.13 D.16 2若复数：满足引z十1一2≤3，则z在复平面内对应的点的坐标不可能为 A(1,3) B(0,3) C.(2,1) D.(2,2) 3.已知集合A={xlx2十mx十9=0l,若{n二AC(9,m},则mn A10或18 B-10或-18C.18 D.-18 4若双曲线E号-卡=16>0)的一条新近线与直线厄x一y=0垂直，则6三 A.42 B.2/2 c号 D./2 5已知a=tm分b=g2.c=号则 Aa>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b 6.如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=60°，D是BC边上靠近点B的三等分点，则 AD.B就= A-4 号 c-号 7.对于给定的正整数，若数列a.}满足Vn<k,a,≥80+，则称{a,)为“k螺旋数列”.已知 “k螺旋数列”{a.)的前n项和S,=一4n2-2n十a,则4(k-a)的最大值为 A111 B110 C.109 D.108 【高三数学第1页（共4页）】 x2+3xx≤0， 8,已知函数了(x)= >。，若/Wa水-2则e的取值花阴为 12 A(-4.-3u(-3+y5-au(-1.3u.1o a(--3u(-a-34u(-0u10 2 C(-∞，-4)U(-3,0)U(4,+∞) D.(-o∞，-4)U(-3,0)U(10,+c∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若a,b,c是空间中互不重合的三条直线，a,B是两个不重合的平面，则下列结论正确的是 A若aCaa⊥B,则a⊥B B.若a⊥b,b⊥c,则a C若aa,a⊥B,则a⊥B D.若aCB,bCB,a∩b=P,a⊥c,b⊥c,则c⊥B 10.已知椭圆C号+苦1的左右顶点分别为A,A左，右焦点分别为F,RP是C上异 于A1,A,的动点，则下列结论正确的是 A直线PA1和PA:的斜率之积为定值-号 BPF·PF:的最小值为一1 C若APA,A:的面积为5，则an乙A,PA,=-号 D若∠R,PF,的角平分线与工轴交于点M(号.o),则△PF,R内切圆的半径为 11.已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(x),'(x)的图象在R上均是一条连续不断的曲线， 且当x∈(1,2)时，f'(x)<0,当x∈(2,3)时，∫(x)>0.若Vx∈R,f(x)-∫(3)为定值， 且f1)=2,f3)=6,f()=-4,则 Af(x)在(0,1)上单调递减 B.f(x)在(9,27)上单调递增 C9是f(x)的一个极小值点 D.35是f(x)的一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(3x-2y)°的展开式中x2y的系数为▲ 13,奇函数f心x)请足当x>0时，f心x)=x+,则曲线y=∫(x)在点(-1，f(-1)处的切线 方程为▲ 14.设正数a,b满足a2+b2=1,若关于x的方程(a2-b2)sin2x十absin2x=a2的所有正实数 解从小到大依次为x1,x2,x1,…,则x1十x2十x的取值范围为▲ 【高三数学、第2页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 百3亿人都在用的扫描ApP 四、解答愿：本题共5小愿，共？7分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤， 15.(13分) 已知△BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csin B=3 bcos C, (1)求C, (2)若c=2,anAs2,求△ABC的面积 16.(15分) 如图，在四搜锥S-ABCD中，AB/CD,AB⊥AD,AB=3,AD=CD=2,BM=号B5. (1)证明：CM平面SAD. (2)已知SA=SD三√2，平面SAD⊥平面ABCD. (|)求三棱锥S-ABD外接球的表面积： (I)求平面MCD与平面ABCD夹角的余弦值， 17.(15分) 已知函数∫(x)=x-alnx十a2 (1)讨论(x)的单调性； (2)若∫(x)存在最小值，且最小值小于2，求a的取值范围. 【高三数学第3页（共4页】 18.(17分) 已知F1,0)是抛物线ry=2px(p>0)的焦点过R的直线i与r交于A,B两点(A在 工轴的上方) (1)求p的值： (2)若1AF=4BF1,求1的方程： (3)记O为坐标原点，E为x轴上异于F的点，且AE引=|AF1,延长AE交下于点C,设直 线OB,BC的斜率分别为k1,k:,求k1十k,的最小值 19.(17分) 某工业系统内初始装有2个A类部件和1个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部 件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调上个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向 系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第n(n∈N·)次操作抽调到A类部件的 概率为p.,第n次操作后系统内A类部件的数量为A. (1)求p1与p:的值. (2)证明：E(A.)=(n+3)p1 (3)求数列(p,)的通项公式 附：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=1)=q,(i=1,2,n);则E(之X)= qu 醒 【高三数学第4页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 可9：3亿人都在用的扫描APP .2.