课时27 正弦定理，余弦定理-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 课时冲关27 正弦定理、余弦定理 [基础巩固练] 8.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分 一、单选题 1.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA= 6sinB,则c等于 别为a6c,若a=2.A=后且9-si加(B ( 一C)=sin2B,则△ABC的面积为() A.√35 B.√31 C.6 D.5 2.在△ABC中，内角A, A.3 B.2√5 C.2 3 D号 B,C所对的边分别为 a,b,c.点D为BC的 三、填空题 中点，AD=1,B=, 9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别 , D 为a,b,c,2cosA=0B+cosC,则A= 日△ABC的面积为，则c= bc ab ac A.1 B.2 C.3 D.4 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若a= casin Csin(A+C)-2csin Asin 3,则△ABC外接圆的半径长为（) 角B的大小为 ;若a十c=6, A.√3 B.1 C.√2 1 D. △ABC的面积为2√3，则b的值为 4在三角形ABC中a=1, 四、解答题 sin A+sin B-sin C bsin A- a+b 11.(2025·北京卷)在△ABC中，cosA=- 3, ( ) asin C=4√2. 1 (1)求c: 2 B② c D.6 3 2 5.已知△ABC中，AB·AC=-3,AB=2, cos2A+sin2B+sin2C+sin Bsin C=1, D是边BC上一点，∠CAD=3∠BAD.则 AD等于 A号 B.3/3 4 D. 二、多选题 6.(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为，若 cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C =则 A.sin C=sinA+sin2B B.AB=√2 C.sin A+sin B6 2 D.AC2+BC2=3 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.下列结论正确的是 A.a2=62+c2-2bc cos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C+ccos B D.acos B+bcos A=sin C ·284· 第四章三角函数与解三角形 (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条 (2)若b2+c2=8,求b,c [答题栏] 件中选择一个作为已知，使得△ABC存 在，求BC边上的高. 1. 条件①：a=6; 2.. 条件②：asin B=l02 3 3. 条件③：△ABC的面积为10√2， 4. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问 5 得0分；如果选择多个符合要求的条件分 别解答，按第一个解答得分. 6- 7. 8. 13.- 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知△ABC的面积为√3，D为BC 的中点，且AD=1. (I)若∠ADC=5,求anB; [能力提升练] 13.[多选]在△ABC中，D在线段AB上，且 AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB () A.sin∠CDB=3 0 B.△ABC的面积为8 C.△ABC的周长为8+4√5 D.△ABC为钝角三角形 14.△ABC中，内角A,B,C对的边长分别为 a,b,c,且满足2 cos Bcos C(tanB+tanC)= cos Btan B+cos Ctan C,则cosA的最小值 是 ·285·10.解析：f(x)=asin wr-十cosz=√a十1sin(wx十p),其 中tan9= 日，设周期为T,由题中国象可知：十T>行 3T<2+1 43十6· 亮>合<号解得晋<3<号<， 5 由于A(日0）B(学-)在f)国象上，所以 asin(-号）十co(号)=0.i-asin号+cos号 0:且asin号+c0s9-1 2asim号c0s号+2cos号-0， 由于晋<号<，所以as号0，故asn号+os号 0,故可得=an=-am号- 1-am号 由于资<号<受所以1m台≠0，选而可 得am合=万，所以a= 1_5 53 tan 6 答深 1.解：1)因为f0)=c0s9=2且0≤< 所以9晋 (2)由(1)得x)=cos(2x+号)】 所以g)=cos(2+号）十 o[(-)十号] =co(2z+晋)十cos2a cos2z 9n2 =5os(x+晋) 因为x∈R,所以g(x)的值域为[-√N], 令-x+2kx≤2x+吾≤2kx,k∈7， 7 得-最+x≤≤登十xk∈五， ◆2kx≤2x+吾≤x+2张x,k∈Z, 得-危+a≤≤是+e 所以g(x)单调增区间为 [厂2+，危+kx]k∈乙 7 单调递减区间为[一登十x,是x十小k∈7 12.解：(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为 受，得品数x)的最小正周期为T=2X受-无得■ =1,故画数fx)的解析式为f()=5sim(2x+) ·49 参考答案 (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函 数g)=6sin[2+m)+号]一5n(2a+2m+号）的 国泉，根据g()的图象恰好经过点(-否，0)可得 sin(-否+2m+号)=0，即sm(2m-晋）-0，所以 2m-吾=kx(k∈》，m=经+晋(k∈D,因为m>0, 所以当=0时，m取得最小值，且最小值为石，此时， gx)=Esn(2x+号)周为x∈[-吾]，所以 2x+号∈[肾]当2x+号∈[学受]脚 x∈[-，-登]时，gx)单调递增，当2x+ [受，号]即x[臣]时g)单调递增， 综上gx)在区间[-吾，] 上的单调递增区间是 [-][瞪] 13C[根据题意可知，点C是f(x)的一个对称中心，又 直线BC交f(x)的图象于点D,利用对称性可知B,D 两点关于C点对称 不妨设B(xByz),C(xcyc）,D(xD'yn), 由重心坐标公式可得二π十十业=0， 3 又x十xn=2xc,即可得xc=交 π 由最小正周期公式可得受-（一)= 工 解得a=号即fx)=2sin(号9） 2 若A-,0)代入f)可件2si(号x+9)）厂0， 又0<<元，所以9= 3 即f)=2sin(号x+号）) 所以0B=%=0)=2im(0+号)=5.] 14.解析：将函数f(x)=asin x十bcos z(a,b∈R且b≠0) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 gx)=f(合）=asin+cos2x(a,∈R)的图 象，再将所得图象向左平移T个单位长度后，得到函数 3 h（x)=(+号)=asin[2(+音)门 bcos[合(+吾)]a,bER)的图象，因为hx)为奇西 数，图象关于原点对称，所以有(0)=asin石十0石 合4+号6=0，解得号=-5。 答案：一√5 课时冲关27正孩定理、余孩定理 1.B[因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a十 2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°，所以c2=a2十b2 2abc0sC.即2=62+1-2X1X6×2,解得c=VI.] 9 高考总复习数学 2.A[因为B=夸，由余孩定理得+（受）-2× 号cos号-l,即a+4-2ac=4,又Sac=2 acsin B -9c-9得ac=2,所以u十-2ac==2a: 即4c2-4ac十a2=0,故(2c-a)2=0,则a=2c,所以 2c2=2,故c=1.] 3.B[由(b-c)2-a2=-bc,可得b十c2-a2=bc,再由余 孩定是可得：esA-中口=会=言故A=骨 2bc 因为a=5,所以2R=a=5,则R=1.] sinA√3 2 4A[:钻行如A十台mC由正这定理得 atb a 若产业理得。十-6=a, 由余孩定理得0sB-心。公=宁“0<BC Zac B=受 品A品B年6nA=asn月=1Xsin晋 由正弦定理a。 5.B[设△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c, '.'cos2A+sin B++sin C++sin Bsin C=1, sin'B+sin'C+sin Bsin C=sinA, :+c+bc=a; 'cos A=tc-a 1 =一2 又A∈(0，)A=2, 3 又AB·AC=-3,AB=2, ÷AB:AC=2 beosA=-2b×(-2）=-3, 即b=3, ∴a2=b2+c2十bc=3十22十3×2=19， 故a=√19， ∴cosC=2+b-c2=19+9-4=4 2ab 6√19√191 sin C=- 3 /19 tan C=3 41 又∠CAD-3∠BAD,A-5, ·∠CAD=,AD=ACtan Ca=3x5=35] A 41 6.ABC[由2=cos2A十cos2B+2sinC=1-2sinA+1 -2sin B+2sin C, 可得sinA十sinB=sinC,故选项A正确. 由cos Ac0 Bsin C-.子可知A,B皆为锐角， 若A+B<2,则simA十sinB<sin Acos B+-sin Boos A=- sinC,不合题意， 若A+B>2,则sn2A十sinB>sin Acos B-十-sin Boos A= sinC,也不合题意， 所以A+B=受，C=受 ·50 由cosAc0sB=子，可知sin Asin B=-子，由西积可知 ab2' 1 所以c2= 一sin Asin万=2，故AB=巨，选项B正确. ab s血A十如B=ViinAsin万-9选项C正城， AC2十BC2=AB=2,选项D错误.故本题正确选项 为ABC.] 7.ABC[在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 在A中，由余弦定理得：a=b十c2-2bcc0sA,故A 正确； 在B中，由正弦定理得：sA一simB' b ,.asin B=bsin A,故B正确； 在C中，，a=bcos C+ccos B, ·由余弦定理得：a=bXQ+B一 2ab C+cxatc'-b 2ac 整理，得2a=2a,故C正确； 在D中，由余弦定理得acos B+bcos A=aXQ士c-b 2ac +b×+c-a=c≠sinC,故D错误.] 2bc 8ACEA受且5simB-C=sin2B =sin 2B+sin(B-C) psin A=sin 2B++sin(B-C), 又sinA=sin(B+C), .'.sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos B+sin Bcos C- cos Bsin C, 即cos Bsin C=sin Bcos B. 当c0sB=0时，可得B=T,C= 2 61 5n=ac=×2x2X1m吾-2g, 1 3； 当cosB≠0时，sinB=sinC, 由正弦定理可知b=c, .△ABC为等腰三角形， 又：A=苔a=b=c=2 fa5 综上可知，△ABC的面积为5或25.] 3 9.解析：因为2cosA=osB+cosC, bc ab ac 所以2a·cosA=c·cosB十b·cosC, 由正弦定理得2 sin Acos A=sin Ccos B十sin Bcos C, p2sin Acos A=sin(B+C)=sin A, 因为sinA>0, 所以c0sA=之： 1 因为A为三角形内角，则A= 3 答案： 0 10.解析：由正弦定理可得 B sin Asin Csin(A十C)=2√3sinC·sin Asin- 2 ,sin Asin C≠0，A十C=x-B, smB=25sim号 即2an号m号=2sm号 2 又0<号<受故a号-9 B√3 acsin B2 ,ac=8,而a十c=6, ∴.(a十c)=a2+2ac十c2=36, .a2+c2=20, 由余弦定理得b2=a”十c2-2 accos B=20-8=12,解得 b=2√5. 答案：号 2√5 山解：(1)因为cosA=3,A∈(0，π)所以sinA月 V1-coS A=22 3 由正孩定理有ainC=6加A=2。=4E,解得 =6; (2)如图所示，若△ABC存在，设其BC边上的高 为AD, D B 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA=-3 <0,这表明此时三角形ABC有两个钝角，而这是不可 能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也 不存在； 若选②.asin Ba=10E,由asin Ca=42 3 有是中音所以65 a=√B+c-2 bccos A= √5+6-2X5x6x( 19. 1 由SAc=2 besinA=za·AD得 AD-besin A 6X5x212 3=20V2 9 9 若选③，△ABC的面积是10V厄，则Saax=合lesin A =26×6x2g2-10E. 3 解得b=5,由余弦定理可得a=√6+-2 bccos A= √25+6-25·6()=9可以唯一喷定. ·5( 参考答案 进一步由余弦定理可得c0sB,cOsC也可以唯一确定， 即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满 足：Sar=a·AD=号AD=10E,即AD-202 1 9 12.解：1)因为Sar=2Sae=2×合×号X1Xsn60 -。=厅解得a=4, 在△ADC中由余孩定理得6=1+2-2X1X2Xcos晋 =3, 在△ABD中，2=12+2-2X1×2×c0s2年=7， 在△ABC中，csB=+Q-8=7+16-3_57 2ca 2√7×414 如B个万-得周光mB-血g- cos B 5 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2+BC= 2(AB十AC),即22十a2=2(6十c2)=16,所以a2=12,又 SAx=名csin A=厅，因而besin A=2厅，又由余孩 定理得a2=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所 以bce0sA=-2,故anA=5>c0sA=-合，所以 bc=4,又b+c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b2+c2 2bc=8-8=0=(b-c)2,故可得b=c=2. 13.BCD[由os∠CDB=-5可得 5 sin CDB√弓-5A错：送设 CD=x,CB=2x,在△CBD中，由余弦定理， 可得-5=9十-4世，整理可得，5x一 D 5 6x 2√5.x-15=0,解得x=√5，即CD=√5，CB= 25,所以SAe=Sam十Sx=之X3 X5×29+×5x5x29-8,故BE确， 5 由余弦定理，可知cosB=BC十BD-CD 2BC·BD _BC+AB'-AC 2BC·AB 即20+9-5 2×3×2√5 20+64一AC,解得AC=25,故△ABC的周长AB 2×8×25 十AC+BC=8+2√5+2√5=8+4√5，故C正确；由余弦 定理，可得os∠ACB=20204=-号<0，故 2×2W5×2√5 ∠ACB为钝角，D正确.] 14.解析：2 cos Bcos C(tanB十tanC) =2 osReos C(是)， =2sin Bcos C+2sin Ccos B=2sin(B++C)=2sin A, cos Btan B+cos Ctan C=sin B+sin C, 所以sinB十sinC=2sinA, 高考总复习数学 由正弦定理得，b十c=2a, b2+c2-a2 b2+c2- b十c 由余弦定理得，c05A= 2 2bc 2bc =3(6+2)-13c-11 8bc 当且仅当b=c=a时取等号，此时A=子 答案：日 课时冲关28解三角形中的最值与范围问题 1.解：1)由2sin(2C-号)-6 得m(c-晋）吾。 因为△ABC为锐角三角形，所以C∈(0，受)则2C ∈() 所以2C号-晋，得C=， 2=2，得nA= 由正孩定理得AC· m号 2 因为A∈(0，受)所以A= (2)由1)可知C=晋，在锐角三角形ABC中， c=25,C=号， 则由余弦定理得c2=a2十b-2 abcos C, 即12=a+-2 os号=a2+B-ab>≥2ab-ab=ab, 当且仅当a=b时取等号， 所以ab的最大值为12， 所以sinC<号×12×9-85，当且仅音a=6时 2 取等号， 所以△ABC面积的最大值为3√尽. 2.解：1)因为AB=1,BC=2,B=号， 由余弦定理可得 AC=√AB+BC-2AB·BCcos B √/1+4-2x1×2x7-5. (2)由余弦定理可得AC=AB十BC2-2AB·BCcos a =1+4-2×1X2cosa=5-4cosa, 因为△ACD为正三角形，所以SAm-AC- 4 3cos a, SAAC=AB BCsin a=X1X2sin a=sin a 所以SaAn=Sa度十SAn=sin&-V5cosa十5y5 4 =8m(-音）r9 因为a0)，所以a晋∈（晋，） 所以如（）（小 故当a 严时，四边形ABCD面积的最大值为2+5y5 6 41 50 3.解：(1)解法1：在△ABC中，由2 sin Ccos A=sinA+ 2sinB及正弦定理得，2c·cosA=a十2b, 再由余孩定理，得2，公士口=a十2h,则c2=a十 2bc b+ab, 又周为c2=a2+6-2abc0sC,所以cosC=-合， 因为CE(0,m,所以C-要 解法2：因为2 sin Ccos A=sinA+2sinB,B=π-(A十C), 所以2 sin Ccos A=sinA+2sin[π-(A十C)], 所以2 sin Ccos A=sinA+2 sin Acos C+2 cos Asin C, 所以(2cosC+1)sinA=0, 因为sinA≠0，所以2cosC+1=0,所以cosC=- 1 因为C∈(0，π)，所以C=2 3 (2)因为C-答，所以B=吾-A,A∈(0，号） 所以C0sB con(A) oA+9mA 1 cos A cos A cos A 1+ 2 2 tanA, 因为A∈（号）所以1mAE0n5.所以号+号mA (合2 所以器∈（分） 4.解：(1)由(b-c)sinB=bsin(A-C), (b-c)sin B=b(sin Acos C-cos Asin C), 由正弦定理及余弦定理的推论得 6-b-aleos C-lccos Aea 2 2 a2-c2, 所以a2=6十c2-bc,又因为a2=b2+c2-2 bccos A, 所以0sA=子， 又A∈(0，x),所以A=号 (2)由1)得A=否 则smA计如B+smC=号-snB-n(管-B） =sinB+sn子cosB-cos9snB+ 2 =号mB+-(B+） 在锐角△ABC中，A=音，所以0<B<受且0<号-B <, 所以<B<，所以<B+吾< 所以<n(B+)1. 2 2 所以sinA十sinB+sinC的取值范国为3+E,35】 2 2