9.6 黄金分割 培优作业 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

第九章·图形的相似 6 黄金分割 夯基础 1.一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感.如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P 为 AB 的黄金分割点(AP>PB),下列各式正确的是 () A. B. C. D. 2.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b 为2米，则a 约为 ( ) A.1.37米 B.0.76米 C.1.22米 D.1.24米 3.如图,正方形ABDE 中,点C 是线段AB 的黄金分割点，即 BCCC,S₁ 表示以 AC 为边的正方形的面积,S₂表示矩形CBDF 面积,则S₁与S₂的大小关系是 ( ) A.无法确定 B. C. D. 4.如图,△ABC 是等腰三角形，AB=AC,∠A =36°.以点 B 为圆心，任意长为半径作弧,交AB 于点 F,交 F-BC 于点G,分别以点 F和点G为圆心，大于- FG的长为半径作弧，两弧相交于点 H，作射线BH 交AC 于点 D;分别以点 B 和点 D 为圆心，大于 BD 的长为半径作弧，两弧相交于M,N 两点,作直线 MN 交 AB 于点E,连接 DE.下列结论: ②△AED ≌△BCD ③∠AED =∠ABC ④∠DEN=54°中,正确的有 个. ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.点 P 是线段AB 上的一点，如果 那么AP= . 6.黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长 20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 . 7.黄金分割是汉字结构基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C 为AB 的黄金分割点，且 若 AB =4 cm,则CB 的长为 (结果保留根号) cm. 8.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点A 的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号) 9.我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为 则该矩形的周长为 10.如图,在△ABC 中,∠A =36°,AB =AC，以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB，BC 于点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点O，连接 BO 并延长交AC 于点 D,若AB=2,则CD 的长为 . 11.以长为 2 的线段 AB 为边作正方形ABCD,取 AB 的中点 P,连接 PD,在 BA的延长线上取点 F,使 PF=PD,以 AF为边作正方形AMEF,点 M 在AD 上. (1)求 AM,DM 的长; (2)求证: (3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗? 练能力 12.(1)我们把邻边之比为 的矩形叫做黄金矩形.如图，已知正方形 ABCD，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形ABPQ，使得点 P,Q 分别在线段BC,AD 上;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的基础上，若以 AQ 为边作正方形AMNQ,使得点 M,N 分别在线段AB,PQ 上，则矩形 MBPN 是黄金矩形吗?为什么? 13.宽与长的 比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金 矩形.现有一 张 黄 金 矩 形 纸 片ABCD,长 如图1，折叠纸片ABCD,点 B 落在AD 上的点 E 处,折痕为 AF，连接EF，然后将纸片展开. (1)求AB 的长; (2)求证：四边形CDEF 是黄金矩形； (3)如图2,点 G 为AE 的中点,连接 FG,折叠纸片ABCD,点 B 落在 FG 上的点 H处,折痕为 FP,过点 P 作 PQ⊥EF 于点Q.四边形 BFQP 是否为黄金矩形?如果是，请证明；如果不是，请说明理由. 1. A 2. D 3. D 4. D解析：根据等腰三角形两底角相等与∠A=36°,得到∠ABC=∠C=72°,根据角平分线定义得到∠ABD=∠CBD=36°,根据线段垂直平分线性质得到 EB=ED，得到∠EBD=∠EDB,推出∠EDB=∠CBD,得到 DE∥BC,推出∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C;根据等角对等边得到 AD=AE,AD=BD，根据三角形外角性质得到∠BDC = 得到BC=BD,推出BC=AE,即可证明△AED≌△BCD；根据平行线分线段成比例定理判断 根据三角形内 角 和 定 理 和 三 线 合 一 定 理 得到 8.(80 -160) 9.2 +2或4 11.解:(1)在 Rt△APD 中, AD=2, (2)证明:∵. (3)点M 是AD 的黄金分割点.理由如下： ∴点 M 是AD 的黄金分割点. 12.解:(1)画出CD边的中点 E,连接BE,以 E为圆心，CE长为半径作圆弧与 BE 交于点F，以点 B 为圆心，BF为半径作圆弧与BC 交于 P 点,在AD上截取AQ=BP,连接PQ, 如图1所示，四边形ABPQ 即为所求作的四边形； (2)矩形MBPN 是黄金矩形. 如图2所示， ∵矩形ABPQ是黄金矩形， ∵四边形 AMNQ 是正方形, ∴AQ=AM=MN, ∴点 M 是线段AB 的黄金分割点， ∴矩形 MBPN 是黄金矩形. 13.解:(1)∵AD= +1,矩形 ABCD 是黄金矩形， (2)证明:∵折叠黄金矩形纸片ABCD,点 B落在 AD上的点E 处， ∴AB=AE,∠B=∠AEF. 又∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠BAE=∠B=∠AEF=90°, ∴四边形ABFE 是矩形. ∵AB=AE, ∴四边形 ABFE 是正方形, ∴AB=BF=EF=AE. 由(1)可知,AB=2, ∴AB=BF=EF=AE=2, ∴四边形CFED 是矩形, ∴EF=CD=2, ∴四边形CDEF 是黄金矩形； (3)四边形 BPQF 是黄金矩形，证明如下： ∵PQ⊥EF,四边形ABFE 是正方形, ∴∠B=∠BFE=∠PQF=90°, ∴四边形 BFQP 是矩形. 由(2)可知,AB=BF=AE=EF=2,∵G为AE 的中点, ∴AG=EG=1, 如图,连接 PG,由对折可得FH=FB=2, BP=PH,∠PHF=∠B=90°, 设BP=PH=x,则AP=2-x, 梯形ABFC? (1+2)×2, 解得 ∴四边形 BFQP 是黄金矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $