空间向量与立体几何压轴小题专项训练（2）-2026届高三数学二轮专题复习

2026 高考数学二轮复习 空间向量和立体几何填选（次）压轴题（二） 题型六 立体几何中的建模问题 [例题1]（25-26高二上·上海浦东新·期末）三棱锥中，，以下选项中不正确的是（    ）    A．面积最大值为 B．面积没有最大值 C．三棱锥体积最大值为 D．异面直线与所成的角可能等于 [例题2]（24-25高二上·上海·期中）小玲在一个棱长为的密封正方体盒子中，放入一个半径为的小球．无论她怎么摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积为 ．（结果中保留） [例题3]（25-26高二上·上海松江·期末）有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为 ．（结果保留）    [例题4]（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. [例题5]（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为 千米.（精确到0.1千米） 题型七 组合多面体的表面积和体积问题 [例题1]（25-26高二上·上海杨浦·期中）若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为 ． [例题2]（24-25高二上·上海·月考）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . [例题3]（24-25高二上·上海·月考）已知正方体的棱长为，分别为棱、的中点，为体对角线所在直线上一动点，则△绕直线旋转而成的几何体体积的最小值为 ． [例题4]（23-24高二上·上海普陀·期中）已知是边长为1的等边三角形.对于空间中任意一点M，设P为内部（含边界）一动点，定义PM的最小值为点M到的距离.则空间中到的距离不大于1的点形成的几何体的体积为 . [例题5]（2023·上海长宁·一模）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（    ） A． B． C． D． [例题6]（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 题型八 空间几何体中路径最短问题 [例题1]（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . [例题2]（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . [例题3]（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . [例题41]（22-23高二上·上海徐汇·期末）在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为 . [真题小测] 1．（24-25高二上·上海·期中）已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 3．（24-25高二上·上海·月考）棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 . 4．（22-23高二下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：    （1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是 . 5．（18-19高二下·上海浦东新·期中）如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的范围是 . 6．（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   7．（24-25高二上·上海·月考）如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（    ）    A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 8．（24-25高三上·上海·开学考试）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26高三上·上海·月考）如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25高一下·上海·期末）已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·上海宝山·月考）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为 . 13．（24-25高二上·上海静安·月考）如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，为直角顶点，，当二面角从到的过程中，线段在平面上的投影扫过的平面区域的面积是 . 14．（24-25高二·上海·课堂例题）（1）已知异面直线a、b所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是的直线有且仅有 条（用数字作答）； （2）已知异面直线a、b所成的角为θ，如果过空间一定点P与直线a、b都成的直线共有3条，则 ． 15．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    16．（23-24高二上·上海·期末）如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 17．（2023·上海嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 .    ① ②； ③； ④. 18．（24-25高二下·上海·期中）如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是 ．    19．（24-25高一上·上海·期末）在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 20．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在中，已知，D是斜边AB上任意一点（不含端点）沿直线CD将折成直二面角，当 时，折叠后A､B两点间的距离最小. 21．（2026高三·上海·专题练习）在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 22．（25-26高二上·上海·期末）用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·上海普陀·一模）在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为 ． 24．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且.设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则的最小值是 .    25．（25-26高三上·上海·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，若､､是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值与最大值之差为__________. 26．（25-26高三上·上海宝山·期末）空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________． 27．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________； 28．（21-22高二上·浙江金华·期中）已知空间单位向量，，，，，则的最大值是________． 29．（2024·上海长宁·一模）点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是_______． 30．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $