卷13 卷一～五滚动检测-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮创新示范卷（人教A版）

创新示范卷（十三） 卷一入一五滚动检测 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知复数x= 2i12025 1-i ,则之的虚部为 尔 B.zi c D 2.若集合A= 2-x<0},B={x2-x≤1}，则A∩B= A.[1,2) B.[-1,0) C.(2,十∞) D.(-oo,0) 数 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) A.f(x)=|sin xl+cos x-2 sin2x B.f(x)=|sin x-cos x+2 sin2x C.f(x)=sin x-cos x+2 cos2x D.f(x)=|sin x+cos x+2 cos2x n 4.数列{an}满足a+1= 2an-1 4十2，且a1=1,则数列(a,}的前2027项的和S2,= A.- 3531 翰 D.- 3533 12 B.-3531 6 C.-3533 6 12 5.已知sin(a-g)=2cos(e+m,tan(a-m=3,则tana-tanF ( R号 c D. 6.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,bc,M在边AB上，且AM=3AB,6=2,CM= 细 ) 蚁 27,2 esin AnB-号，则Saac等于 3, sin 2B A33 B.3 C.23 D.8/3 4 3 7.正整数12,3“，m的倒数的和1十号+号+…十已经被研究了儿百年，但是迄今为止仍然 没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1+号十号十十≈nn十y, n 其中Y称为欧拉一马歇罗尼常数，Y≈0.577215664901…，至今为止都不确定y是有理数还是 无理数设[]表示不超过x的最大整数，用上式计算[1十2十号十…十2027】 的值为( ) (参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln10≈2.30) A.10 B.9 C.8 D.7 8.若至少存在一条直线与曲线f(x)=2x2十3和g(x)=3一tlnx(t≠0)均相切，则t的取值范 围是 ( A.[-4e,0) B.[2e,+∞) C.(-4e,0)U(0,+∞) D.[-4e,0)U(0,+∞) 13-1 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.) 9.已知函数fx)=sin(2x+pg受)的导函数f(x)的图象经过点（臣2，记g(x)=f(x+ 不)，则下列说法正确的是 () A了()在[牙，上单调递减 Bg)=cos2x-看8 C.g(x)的图象在[一π，π]内有5个对称轴 D.fe)=sin2x-若 10.已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为S,则下列说法正确的是 A.S)是等差数列 B.若d<0,则Sn有最大值 1n0 C.Sn,S2m,S3n成等差数列 D.若Sm=Sn,m≠n,则Sm+n=0 1.已知n>受，且x=g=|logn+12=2log(2+,则 () A若x=y,则n> B.若x=y,则m十n的最大值为√2 C.若x=y=之，则m4+2m2-4m十1=0 D.若x=y=x,则n2-2m+3>0 4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x十1)为奇函数，写出函数f(x)的一个解析式为 f(x)= 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点O为△ABC外接圆的圆心，若a=3,且c +2√5cosC=2b,AO=mAB+nAC,则m+n的最大值为 14.若数列{an}从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列. 某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪n(n∈N)刀最多可以将圆形 纸片分成的块数记为b,经实际操作可得b1=2,b2=4,b3=7,b4=11,…,根据这一规律，得到 二阶等差数列{bn},则bs= ;若将圆形纸片最多分成1276块，则n= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)尼知函数f(x)=mlnx+2x,m∈R (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=2x相互垂直，求m的值； (2)若m=2,求函数f(x)的极值. 13-2 16.(15分)设函数f(x)=sin2x-否)+2cosx. (1)当x∈[0，受]时，求函数f)的值域： (2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,0c,且f(A)-2a=36,c=1十3，求 △ABC的面积. 2-(n≥2). 17.(15分)已知数列(a,}的各项均为正数，a1=1,S,为(a,}的前n项和，且a.一S十S (1)求{an}的通项公式； 2设6，-士，记，}的前n项和为工，求证：工，< S·S+1 13-3 18.(17分)已知函数f(x)=a+ln工，a∈R在x=e处取到极值. (1)求a,并指出f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)与y=b有两个交点x1,x2,且x1<x2,求证：x2-x1>(4e-1)(1一be). 19.（17分)已知正整数入，μ为常数，且入≠1，无穷数列{a,n}的各项均为正整数，其前n项和为Sn, 且对任意正整数n,Sn=λan一u恒成立， (I)证明无穷数列{an}为等比数列，并求入； 些 （2若A=46=18a求证：2站>h”告号 (3)当n≥1时，数列{am}中任意不同两项的和构成集合A.设集合Bn={x|3μ·2”-1<x<3μ ·2”,x∈A},B,中元素的个数记为cn,求数列{c,}的通项公式. 烯 13-4 创新示范卷（十三） 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区（居中) 缺考 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴 ☐ 正确填涂 好条形码。 违纪 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字 错误填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ☑xO 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 】0力三 选择题 (共58分，1~8小题，每小题5分，9~11小题，每小题6分) 正确填涂 1ABCD4ABCD 7ABCD 10ABCD 2ABCD5ABC☑D 8A B C D 11ABCD 请在各题 3ABCD6ABCD9ABCD 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 答 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 区域内作答 12. 13. 14 ,超出边框的答案无效 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十三）第1页（共4页) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(15分) 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十三）第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十三）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（十三）第4页（共4页）创新示范卷 由(2)知：am,bn,cn中有且仅有一个为0，令an=0, 若bn≠cn,不妨设0<b<cn,则a+1=|an一b.=bn bn+1=|b。一cn=cn-bn,cn+1=cn一an=cn,则mn+1= m=Cn 所以an+2=|an+1-b+1|<max{bn,cn-bn}<mn+1,同 理b+2<m+1,Cn+2<mn+1, 所以m+2<ma+1,又m1∈N,故此情况不可能一直出现 （至多有m+1次)， 所以一定能找到l∈N”,使得b=c; 若bn=cm,则Xn={0,bn,bn},X+1={bn,0,bn}, X+2=(6,6,0),Xn+3=10,6m,6),... 所以存在正整数t,使得X,=X+3; 综上，存在正整数t,使得X,=X+3· 创新示范卷（十三） 选择题答案速查 题号123 4567 8 910 11 答案ACAA C BC D ABD ABD ACD 1A-西-名-要-是+号 故z的虚部为子] 2.C[由2-工<0，等价于x(2-)<0,解得x>2或<0， 所以A={工 x2-<0}={xx<0或x>2}, 又B={x2-x≤1}={xx≥1}，所以A∩B=(2,十∞.] 3.A[由题可知，图象过点(0,1)，取x=0, 对于A:f(0)=|sin0|+|cos0l-2sin0=0+1-0=1; 对于B:f(0)=|sin0|-|cos0|+2sin0=0-1+0=-1; 对于C:f(0)=|sin0|一|cos0|+2cos0=0一1+2=1； 对于D:f(0)=|sin0|+|cos0|十2cos0=3;故可排除 B.D,又由图象可知，当z=受时，f)>0,取x=受，对于 Af(受)=sm受+s受-2sn(2x受)=1+ 0-0=1>0:对于C,f()-im受-os受十 2o(2×受)-1-0-2=-1<0：可排除C.] 2-11 4.A[由题意知：a=1,a,=4+2=6,a= 2×-1 x+2 2×)上1 4x(-)+2 4×(-)+2 =1,…,易知数列{an}是周期为4的数列，S227 506×(+音-)+1+日音=-2] 12 5.C [sin(a-B)=2cos(a+B),sin acos B-cos asin B =2(cos acos B-sin asin B), 两边同除cos acos B,得到tana一tanB=2-2tana·tanB,即 tan a.tan B=1-tan a-tan B 2 tan a-tan B tan a-tan 8 tan（a-$)-i+tana·tan9l+1-tana-tane2' 2 tana-tanB=÷] 答案 参考答案 6.B[△ABC中，2sinA-sinB sin 2B sin Azsin BiC c sin 2B sin B' .'.2sin Ccos B=2sin A-sin B, 27 .'.2sin Ccos B=2(sin Bcos C+ cos Bsin C)-sin B, ∴cosC-7又Ce(0,180, C0:又Ai-=号a店， :i-ci+a-Ci+号a店-cA+号店-Ci)= 号c+}ci,3Ci=2cA+Ci, 9 CM-4CA+CB+4CA.CB. .28=16+a2+4a, 解得a=2或a=一6（不合题意，舍去）， ∴△ABC的面积为Sa=号×2X2sn60-5.] 7.C[设a-1+号+号++口aeN,剧a≈ha+ (++++）+>0， 可知数列{an}为递增数列，且a18oo≈ln1800十y=n2 +2ln3+2ln10+y≈8.07， a24s≈ln2048+y=11ln2+y~8.17,可知8.07<a2o27 <&17,所以[1+号+号+十zz]=aa]=8] 8.D[f(x)=4红，g(x)=-,设公切线与南线y f(x)相切于点(x1,2x十3)，与曲线y-g(x)相切于点 (x2,3-tlnx2)(x2>0), 则切线方程分别为y=4x1x-2x十3，y=一二x十1十 3-tln x2, 所以红=-0， (-2x+3=t+3-tlnx2② 由0得=16，代入@得=8x1nx,-8x. 4h(a)=8x In x-8x (0),h'()=8x(2In x-1), 所以当0<x<√e时，h'(x)<0,当x>e时，h'(x)>0, 所以h(x)在区间(0，W)内单调递减，在区间(e,十∞) 内单调递增， 所以h(x)min=h(W)=-4e, 又当x→十∞时，h(x)→十∞，所以h(x)的值域 为[-4e,+∞)， 所以t的取值范围是[-4e,0)U(0,十∞).] 9.ABD[f(x)=2cos(2x十p),因为f(x)的图象经过点 (臣2）所以2X音十9=，∈乙，所以p=x晋， k∈Z国为9<受，所以当k=0时9=一晋，所以 fx）=sin(2x-吾)，所以gx)=f(r+晋) sm[2(+)]=im(2x+),对A,fa) 2os(2x否)周为x∈[牙，受]，所以2z-吾∈ [,语]根据余孩函数的单调性知A正确， 39 数 对B,g)=sin(2x+号)=sin(2x+登-6) cos(2x-石）故B正确；对C,g(x)=os(2x-石)因 为[-x,所以2x-吾∈[-培，晋]旅嘉余损 函教的时称性知，当2x-吾=一2，一x,0x时，特合题 意，则有四条对称轴，故C错误；对D,∫(x)= si加(2x-看）故D正确] 10AD-士产器是-2-号故A运瑞 2 若a2<0,则0>a2>a3>…,S1最大；若a2=0,0>a3> a4>…,S1=S2最大； 若a2>0,则an=a2十(n-1)d,则存在m∈N°，am≥0， am+1<0,故Sm最大，故B正确； 对数列：1,2,3，…，取n=1,S1=1,S2=3,Sg=6,故C 错误； 不妨设n>m,则Sn一Sm=0→am+1十am+2十…十a。 =0, 即0，+a(n-m）=0→a=tgta=0,S, 2 2 a+amtl,(m十n), 2 而1十a=0mt,十a=0,故S.=0,D正确.] 11.ACD[对于选项A,由x=y得，log2m=|log2n+1 =|log2(2n),又m<2n,可得m·2n=1, 所以n=又0<m<1,所以>2，散选项A正确； 对于选项B,易知，m>0,n>0,所以m十n≥2√mn 厄，当且仅当m=-号时取等号，所以选项B错误： 对于选项C,由选项A知风=动>片以受十=受 +动>1，得到1g(受+n>0 所以-log:m=2log(受+n）=g(受+)广，所以 六=（受+）广，娄理得㎡+2m-m+1=0所以 选项C正确：对于选项D,由y=得到，2m=(受+n)】 =管+召+<是+，得i-2n十是>0，所以速项 D正确.] 12.解析：由f(x)为偶函数，知f(x)的图象关于y轴对称； 由f(x十1)为奇函数，知f(x)的图象关于点(1,0)中心 对称， 据此构造画数x)=c0s受，则x)是偶函数； fx+1)=cos(受+受)=-sin受为寺通数，符合 题意 答案：c0s受（答案不唯一）. 13.解析：由c+23cosC=2b可得：c+23×+B2-c 2√3b =26,即6+2-&2=6c>cosA=日>A=子 南正孩定翠可得周0半径为：号×品A=1,即A0 =|OB1=1OC1=1 答案 学 根据余孩定理可知：cos∠BOC=lOB2+10C?- 210B1loCI }3=-合/0c-号 2 3 AO-mAB+nAC=m(OB-OA)+n(OC-OA)= mOB+nOC+(m+n)AO :.(1-m-n)AO=mOB+nOC .(1-m-n)21A012=m2|0B12+n210C2+ 2mnOB|OCI cos∠BOC .(1-m-n)2=m2+n2-mn 整理可得：3mn=2m十2n一1 又≤（告） 得：2m+m)-1≤(m+2 解得m十≤号或n十m≥2 当m十n≥2时，点O在△ABC外部，且∠BOC+∠A= π，所以B,O,C,A四点共圆，不满足题意，舍去 ∴n十号（当且仅当m=n=专时取等号） 2 答案：3 14.解析：因为数列{bn}为二阶等差数列， 所以数列{b+1一b}为等差数列， 由b1=2,b2=4,b3=7,b4=11, 可得b2-b1=2,b3-b2=3,b4-b3=4, 所以数列{b+1一b}为首项为2，公差为1的等差数列， 所以b+1-b,=n十1， 所以当n≥2，n∈N时，b2-b1=2,b3-b2=3,b4-b= 4,…,bn一b。-1=n,将以上各式相加可得，bn一b1=2十3 十4+…十1，又=2，所以6，=n+n十2，其中n≥2， 2 n∈N,经验证b1=2也满足该关系， 所以b.=+n+2,所以6，=8+8+2=37. 2 2 令6.=1276，则”+n+2-1276,解得m=50. 2 答案：3750 15.解：1)函教f)=号-mlnx+2x, 求导得f()=e(xD_m+2,则f1)=一m+2, x x 依题意，（一m十2）X2=-1,所以m=号 (2)当m=2时，函数f(x)=g-21nx十2z的定义线 为(0，+∞)， 求导得f()=(x-D-2+2=e+2x)(x-) 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增， 所以函数f(x)在x=1处取得极小值e十2，无极大值. 16.解：(10f)=sin(2x-晋）+2osx 1 2sin 2x+2 cos 2x+1 =sm(2x+看)十1， :x[o,8]2x+6∈[，5] 40 创新示范卷 2≤sim(2x+)+1≤2， 画数fx)的值城为[合2] (2):fA=sm(2A+晋)+1=2， sim(2A+吾）2 0<A<,∴吾<2A+答<18∴2A+音-， 即A=受， 由正弦定理，√2a=√3b, Vsin A=sinB=V反x9,∴sinB=号 2 :0<B<行B= 4 sin C=sin(A+B)6 4 4=b “c危Bb=2 .SoebcsinA 2 2 2 17.解：1由a.3.十S得S-S.18,十5 即S0-S-1=2(n≥2)； 又S所=a=1,所以{S}是以1为首项，2为公差的等差 数列， 所以S=1十2(n-1)=2n-1,又{an}是正项数列，所 以Sn=√2n-1. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=√2n-1-√2m-3, 又当n=1时，a1=1不符合n≥2时an的形式. 所以an= 1,n=1, {√2n-1-√2n-3,n≥2. (2)证明：b。= = 2n-1+2n+1 1 (2n-1 (n+(nD-(1 4n 1 1 Tn=b1+b2+…+b =片京+守++aDa】 1 1 18解：1)由题意可得()=1-a二1血工，因为f()在 x x=c处取到极值，所以f(e)=1-a二血c=0,解得a=0, e 所以f()=1n工，令了(x)>0,解得0<<e,即函 x 数f(x)的单调递增区间为(0，e). （2设过板位点(（e,)和1,0)的童线为，则4：y= eD-D,设过机位点(e,马）和(4e,0)的直线为 b,则L:y=e(e-4e（x-4e),山l,与y=b交点横坐 1 标分别为工z,联立4y一e(e-Dx一1D与)=b得 1 x=(e-e)b+1,联立l,:y=e(e-4ex-4e)与y=b 得x:=-3cb+4e,令8x)=fx)-e(e-Dx-1), 答案 参考答案 所以g(x)=血-1（x-1D x e2-e 1(x2-x) 令m(x）=lnx一e2-e 2-x,m(x)=-}(2a-1) x e-e -2x十x十e-e,二次函数y=-2x2+x+e-e对 x(e2-e) 1 称轴为x=4,且x=1时y>0,z=e时y<0,所以 m(x)在(1，e)上先单调递增再单调递减，又因为 m(1)=0,m(e)=0,所以m(x)>0→g(x)>0在(1，e) 上恒成立，所以f(x)>l1(x)在(1，e)上恒成立，所以 f(x)=l(x3)>l(x1),所以x3>x,令h(x)=f(x) ce4⊙红-4e,所以A(a)=+0(x-4e) In x+-4ex 。3c,令n(x)=lnx+父4ex,m(x)=】 x 3e2 +2x-4e-2x2-4ex+3e 3e2 3ex ,二次函数y=2x2-4ex十 3e2对称轴为x=e,且x=e时y>0,所以n'(x)>0恒 成立，所以n(x)单调递增，又n(e)=0,所以h(x)>0在 (e,4e)上恒成立，所以f(x)>l2(x)在(e,4e)上恒成立， 所以f(x2)=L2(x4)>l(x2),所以x4<x2,所以x2-x >x4-x3=(4e-1)(1-be). 19.解：(1)当n≥2时，Sn=an一4，Sa-1=入a-1一μ，两式相 减得：an=an一aa-1,≠1， 品名所以数列1a)为等比数列 入 因为无穷数列{an}的各项均为正整数， 一以十1=1+为正#数以为正垫 则公比户1 λ一1 数，则1=2. (2)若μ=4，bn=log2an=n+1 1 设fx)=x-ln(x十1)(x>0),则(x)=1-1十z 则f(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以a>f0)=0,故f()>0, 即>h n十1' 则空站->h2+h+h++h n+1 -h(号×号×景×…×)=lna2 2 (3)当n≥1时，B。={x3μ·2-=1<x<3μ·2，x∈A}, 即3μ·2-1<4(2-1+2-1)<3μ·2"，1≤i×j,i,j∈N, B。中元素个数，等价于满足3·2<2+2<3·2+1的 不同解(i,j), 如果jn十2，则2+2≤2+2+1≤2”+2+1=3·2，矛盾！ 则j=n十2， 又因为(2十2m+2)一3·2”=2+4·2m一3·2”=2+2m >0, 所以3·2”<22十2+2<22十2+2<…<2”十2+2<2+1 十2+2=3·20+1， 即i=1,2,3,…,n,共n个不同解(i,j), 即共n个不同x∈Bn,所以cn=n(n≥1). 41