6.2 等差数列-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第六章数列 题型3〔 数列的性质 (3)求数列的最大项与最小项的常用方法 P[角度1] 数列的周期性 ①函数法，利用函数的单调性求最值. [例3-1] 数列{an}中，a1=2,a2=3,am+1 ②利用 a,≥a。1'（n≥2)确定最大项， an一an-1(n≥2)，那么a22s ( (an≥an+1 A.-1 B.1 C.3 D.-3 利用 (n≥2)确定最小项. [角度2]数列的单调性 an≤at 例3-2]已知数列{an}满足an=2n2十λn(入∈ 日跟踪训练 R),则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的（ A.充要条件 2aa,<3 B.充分不必要条件 1.在数列{an}中，an+1三 若a1 C.必要不充分条件 2a,-1an≥ 2, D.既不充分也不必要条件 E1,则a20 () [角度3]数列的最大（小）项 [例3-3]若数列{a,的前n项积6.=1- 2 &号 n,则an的最大值与最小值的和为 ) c号 A.-吉 B号 C.2 2.在数列{an}中，a1=1,an+1一an=sin (n+1)π 2 规律方法 记Sn为数列{an}的前n项和，则S18= (1)解决数列的单调性问题的方法 () 用作差比较法，根据am+1一am的符号判 A.0 B.18 C.10 D.9 断数列{an}是递增数列、递减数列还是 常数列. 3数列6清足点=测当 (2)解决数列周期性问题的方法 时，bn取最大值为 先根据已知条件求出数列的前几项，确 C温馨提 定数列的周期，再根据周期性求值. 学习至此，请完成配套训练 课时冲关34 §6.2 等差数列 ★[考试要求] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中 识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数 的关系 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 常用字母d表示.数学语言表示为 1.等差数列 (n∈N),d为常数. (1)定义：一般地，如果一个数列从 (2)等差中项：数列a,A,b成等差数列的充要 起，每一项与它的前一项的 等于 条件是A=生，其中A叫做a6的 ,那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的 ,公差通 ·111 高考总复习数学 2.等差数列的有关公式 (6)若等差数列{an}的项数为偶数2n,则 (1)通项公式：an ①S2n=n(a1十a2n)=…=n(am十am+1）； (2)前n项和公式：S。=na,十n,)d S奇=a 2 ②5用-S备=nd,S0-a+1 =n(a+a,) (7)若{am},{bn}均为等差数列且其前n项和 2 S21 3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函 为5工则哈- 数的关系 (8)若等差数列{an}的项数为奇数2n十1，则 (1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an= dn+(a1-d)是关于n的一次函数， ①S+1=(2m+1Da,+1；@-z+1 S偶 n (2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn= 自主诊断查验 号：+a一号加是关于n的=次函数。 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” 或“×”) 4.等差数列的前n项和的最值 (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决 在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在 定的 () 最 值；若a1<0,d>0,则Sn存在最 (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是 值 常数，则这个数列是等差数列. 知识拓展用活 (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 等差数列的常用性质 n∈N*,都有2an+1=an十an+2:（） (1)通项公式的推广：an=am十(n-m)d(n,m (4)已知数列{an}的通项公式是an=pn十g(其 ∈N*). 中p,q为常数)，则数列{an}一定是等差 (2)若{an}为等差数列，且m十n=p十q,则am 数列. () 2.等差数列{an}中，a4十ag=10,a1o=6,则公 tan =apta(m,n,p,qEN'). 差d等于 () (3)若{an}是等差数列，公差为d,则as,a+m, a+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差 A号 C.2 D-号 数列 3.Sn是等差数列{an}的前n项和，a1十a2十a3 (4)数列Sm,Sm一Sm,S3m-Sm,…(m∈N) =3,a7十a=10,则S。= () 也是等差数列，公差为md. A.9 B.16 C.20 D.27 (5)若{an}是等差数列，则S}也是等差数列， 4.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的 前n项和，已知S=S10,a5=1,则a1= 其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的 公差的号 7 7 A B.3 c.-3 D.一i 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 等差数列基本量的运算 (2)广丰永和塔塔高九层， [例1] (1)(2025·全国二卷)记S,为等差 每至夜色降临，金灯齐明， 数列{an}的前n项和.若S3=6,S=一5，则 塔身晶莹剔透，远望犹如仙 境.某游客从塔底层（一层） S6= 进入塔身，即沿石阶逐级攀 A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 登，一步一阶，此后每上一 ·112 第六章数列 层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现 [尝试解答] 知底层共二十六级台阶，此后每往上一层 减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步， 每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游 客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周 停止共需 ( A.352步 B.387步 C.332步 D.368步 规律方法 等差数列基本量的求法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共 涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个 就能求另外两个，体现了方程思想. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题 中起到变量代换作用，而a1和d是等差 数列的两个基本量，用它们表示已知和未 知是常用方法 跟踪训练 1.设S,n为等差数列{an}的前n项和，若3S3= S2十S4,a1=2,则a5= A.-12 B.-10 C.10 D.12 2.一百零八塔，位于宁夏 吴忠青铜峡市，是始建 于西夏时期的喇嘛式 实心塔群.该塔群随山 势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶 1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座， 第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一 个首项为5，公差为2的等差数列，总计108 座，故名一百零八塔，则该塔的阶数是 ( A.10 B.11 C.12 D.13 题型2 等差数列的判定与证明 [例2] 记S,n为数列{an}的前n项和.已知 2S+n=2a+1. (1)证明：{an}是等差数列. (2)若a4,a,ag成等比数列，求Sn的最 小值. ·113 高考总复习数学 规律方法」 规律方法 等差数列的判定方法 1.项的性质：在等差数列{an}中，若m十n (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证 p十q(m,n,p,q∈N*),则am十an=a) an一an-1为同一常数. 十ag 2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前 (2)等差中项法：验证2an-1=an十a,-2(n≥3， n项和，则 n∈N")成立. (1)S2n=n(a1十a2n）=…=n(am十am+1）; (3)通项公式法：验证an=pn十q. (2)S2m-1=(2n-1)an (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. (3)依次k项和成等差数列，即S6,S一S, 跟踪训练 Sh一S2,…成等差数列. (2025·天津卷)已知数列{a,}的前n项和 3.求等差数列前n项和的最值，常用的 Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为 方法： (1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求 出其正负转折项，或者利用性质求其正 A.48 B.112 负转折项，便可求得和的最值； C.80 D.144 (2)函数法，利用公差不为零的等差数列的 题型3 等差数列性质 前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为二次 [角度1] 等差数列项的性质 函数，通过二次函数的性质求最值 [例3-1] 已知数列{an}的前n项和为Sn, 日跟踪训练 且a+2十an-2an+1=0(n∈N).若a16十a1s 1.已知数列(a,}满足a1=1,a+=1千 a一，则 十a20=24,则S35= a2o2s的值为 () A.140 B.280 1 1 C.70 D.420 A.2024 B.2025 [角度2]等差数列前n项和的性质 1 1 C.2026 D.2027 [例3一2](1)已知一个等差数列的前12 2.[多选]等差数列{an}的前n项和为Sn,a1十 项和为354，前12项中偶数项和与奇数 5a3=S8,则下列结论一定正确的是() 项和之比为32：27，则公差d= A.a10=0 B.当n=9或10时，S.取最大值 (2)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分 C.lasl<lan 别为S.,工，若对任意正整数n都有 S D.S6=S13 C温馨提污 则十中 a5 学习至此，请完成配套训练课时冲关35 ·114高考总复习数学 题型3 [例3-1][解析]因为a,=a-1-a-2（n≥3)，所以 a+1=an一a-1=（an-1一am-2）一an-1=一an-2,所以 a+3=一a,所以an+6=一a+3=am,所以{an}是以6为 周期的周期数列.因为2025=337×6十3，所以a202s= a3=a2-a1=1. [答案]B [例3一2][解析]由{an}为递增数列得，an+1一an= [2(n十1)2+(n十1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0,n∈N", 则A>-(4n十2)对于n∈N”恒成立，得A>-6.可得λ ≥0→λ>一6，反之不行. [答案]C [例3-3][解析]由题意知，当n=1时，a=6=号； 当≥2时61=1-号(0-1D. 1号n bn二 2 则an=b1-2(n-1)2n-9T2n二g’ 当n=1时也满足上式，所以a,=1十2m—9 所以当n≤4时，an单调递减，且an<1; 当n≥5时，an单调递减，且an>1, 故an的最大值为a5=3,最小值为a1=-1, 所以a,的最大值与最小值的和为2. [答案]C 跟踪训练 4. 1 3 1 1.B[因为a=5>乞，所以a,=2a1-1= >2 a,=2a-1=<a=2a,=号<a,=2a,=号 4 >… 可得该数列的周期为4，故a:贴=axw1=a1=台.] 2.C[国为a1-a,=sin21D严， 所以a,+1=a,十sinn1D.因为a1=1, 2 所以aw=a十snx=1a,=a十sn竖=0a,=a,十sn号 =0a,=a,十s血受=1，a,=a,十如竖=1，a,=a,十sim号 7π =0a,=a,十sin受-0，，故数列a,}为周期数列， 周期为4. 所以S1g=4(a1十a2十a3十a1)十a1十a2=10.] 3.解析：方法一：6，-6，-1=3”二7_3n-10-13-3m 2m-1 2m-2 2m-2 ∴当n≤4时，bn>b,-1{bn}单调递增， 当n≥5时，b,<b,-1,∴.{bn}单调递减， 5 故当n=4时，(b,)mx=b=8: 3n-1≥3n-4 方法二令么≥b+1'即 21 2” 1bn≥bn-1, 3m-7≥3m-10, 2-2 解得<n≤号 13 又n∈N”,故n=4, 故当n=4时，(b,)m=b,=8 .5 5 答案：48 ·4 §6.2等差数列 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)第2项差同一个常数公差an+1-an=d (2)等差中项2.(1)a1十(n-1)d4.大小 自主诊断查验 1.(1)J(2)×(3)/(4)/ 2.A[因为a1十ag=2ag=10,所以a6=5,又a0=6, 所以会差d=0号-9=子.] 4 3.D[由a1十a2十a3=3得3a2=3,则a2=1. 由a,十a=10得2ag=10,则ag=5. 所以S,=(a十a,)X9-a,十as)X9 2 2 3×9=27.] 4.B[因为S=S1w,所以a6十a,十a十a,十a1o=0,即5a8 =0,a=0,又因为a=1,所以公差d=一3，a=as 跃升·关键能力题型1 [例1门(1)[解析]因为S3=3a2=6,所以a2=2,因为 S=5a3=-5,所以a3=-1,所以{an}的公差d=a3 a2=-3,所以a1=5,所以S。=6a1十15d=6×5-15×3 =-15. [答案]B (2)[解析]设从第n层到第n十1层所走的台阶数为 an,绕第n十1层一周所走的步数为bn, 由已知可得a1=26,a+1-an=-2,n∈1,2,3,4,5,6,7,8}， b=12,b,-b+1=3,n∈1,2,3,4,5,6,7,8}， 所以数列{a,n}是首项为26，公差为一2的等差数列，故 an=28-2n,n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}， 数列{b,}为公差为一3的等差数列，故b,=36一3n,n∈ {1,2,3,4,5,6,7,8, 设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn, 所以S=8(aa)-152, 2 T 8(b+bs）=180, 2 Sg+Tg=152+180=332, 故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止 共需332步. [答案]C 跟踪训练 1.B[设该等差数列的公差为d,根据题中的条件可得 3x(3×2+32.d）=2x2+d+4×2+答·d,整 2 理解得d=-3,所以a;=a1十4d=2-12=-10.] 2.C[由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5 座，则前四阶共12座.则从第五阶后共有108一12=96 座.设第五阶塔的数目为a1,则a1=5,设从第五阶开始 自上而下，每一阶的塔的数目为an,由从第五阶开始塔 的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，所以α =a1十(n-1)d=5十2(n1)=2n十3，所以Sn=na1+ nn。DXd=n2十4n,所以由S,=m2十4n=96,解得n=8 2 或n=一12（舍去），所以该塔的阶数是4十8=12.] 题型2 [例2][解]（1)证明：因为2S+n=2a.十1 即2Sn十n=2na,十n,① 当n≥2时，2Sn-1+(n-1)2=2(n-1)a-1十(n-1), 两式相减得，2Sn十n2-2Sn-1-（n-1)”=2nan十n 2(n-1)a-1-(n-1),② 即2an十2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1, 即2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1), 所以a,-a,-1=1,n≥2且n∈N,③ 所以{a,}是以1为公差的等差数列. (2)由(1)可得a1=a1十3，a,=a1十6，as=a1十8， 又a1,a7,ag成等比数列，所以a;2=a1·ag, 即(a1十6)2=(a1十3)·(a1十8)， 解得a1=-12,④ 所以an=n-13, 所以S,=-12m+n(n-12 2 所以，当n=12或n=13时(Sn)m=-78。 跟踪训练 C[本题考查了等差数列的通项公式，求和公差，∴.S。 =-n2+8n.an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8 (n-1)]=-2n+9. n=1时，S1=7=a1 ∴an=-2n十9，n∈N :等差数列{an}中d=-2<0. ∴.{an}为递减数列，可知a1>a2>ag>a1>0>a5>a… >a11>a12· a1+a2+…+a2=(a1+…十a)-(a5十a6+… 十a1u)=S,-(Se-S)=2S,-S=2X16-7,15×12= 32+48=80.] 题型3 [例3-1][解析]因为an+2十an-2an+1=0(n∈N"), 所以2an+1=an十an+2, 所以数列{an}为等差数列，由等差数列的性质得a16十a20 =a1十a35=2a1g, 因为a16十a18十a20=24,所以a18=8, 所以S6=017asX35=35a14=35×8=280. 2 [答案]B [例3一2](1)[解析]设偶数项和为32k,则奇数项和为 27k,由32k十27k=59k=354可得k=6, 故公差4=32k27k=距=5. 6 [答案]5 (2)汇解析] Q11 a:=a1十a5=2a=a,所以 bs十h。b,十b, 2b. a8-Sx8L=S=2X15-1=29」 bsT2×8-1T153X15-243 [答案] 29 跟踪训练 1.B[因为am+1= ,故可得1=1+1， 1十an an+l an 又41=1，故数列{1}是首项为1， ta. 公差为1的等差数列， =1十(n-1)X1=,解得a,=,则as an 1 =202%5] 2.AD[因为等差数列{an}的前n项和为Sn,a1十5ag= S,所以a1+5a十2d=a+8Xd,解得a=-9d 故a1o=a1十9d=0,故A正确；该数列的前n项和Sn= ·4 参考答案 na+nnDd=号·-碧d·,它的最值，还录d 2 的值有关，不能推出当n=9或10时，Sn取最大值，故B 错误；因为a=a1十8d=-d=d,a1=a1十 l0d=d,故有a=a11,故C错误；由于S=6a1 46X5d=39d,S.=3a十18y2d=39d,故S 2 S,故D正确.] §6.3等比数列 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)2同一常数公比(2)GG=ab 2.1)ag1(2)na102-a(g≠1D 1-9 1-9 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A[由等比数列的性质可知，a=a1·a5=4, 所以a=±2，又因为21=g>0,所以a=2.] a 3.A[根据等比数列的性质，得a2a1=a,a1a6=a, ∴.a2a十2aa5十a1a6=ai十2a3as十a=(a十a5)'. 而a2a1十2aa5十a1a6=25,.(a3十a5)2=25, an>0,∴.a3十as=5.] 4.解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构 成一等比数列{an}, 且a1=2,q=2,∴.an=2”, 则2”=8X2°=21，∴.n=13. 即病毒共复制了13次 .所需时间为13×3=39（秒）. 答案：39 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]等比数列{an中，设公比为q,a1=1, Sn为{an}前n项和，S5=5S3-4,当q=1时，5=15-4， 矛盾，不成立，当q=-1时，1=5-4，S1=0,当q≠士1 时.可得号-5：号-4解得矿=4即g=2或 1一 92,所以方g2时，8=号-9-5当g 一2时，S,=19=5=一5，没有选项」 1-91+2 [答案]C (2)[解析]因为a1=2,a1=2a2十a3,公比为q,所以 2q=4q十2g,得g-9-2=0,解得q=2(负值舍去)，故 A正确：a,=2×21=2,故B正确：S.=2X2 2-1 2+1-2,所以S。=2046,故C错误an十a,+1=2”十2X2”= 3an,而an+2=4an>3an,故D正确. [答案]ABD 跟踪训练 解析：易知g=a士a士a士a=684=16,所以q=2 a1十a2十a3十a1 4 (负数舍去). 答案：2 教考衔接 解：设数列的首项为a1,公比为q(q≠1)，则S;= a1(1-g) 0g2）-10,S。=0二9"=50，即9 1-9 1一9 a1(1-9) 1-9 5,即9=5，即0-)92-5，即1+9=5，所 1-q 1一g 以q=4方