4.7 正弦定理，余弦定理-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 跟踪训练 BCD[由题意，角选度w=积-无（孤度/秒）， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知 半径OP与水面所成角为否，点P再次进入水中用时 +2×爱 为 =40(秒)，故A错误； 次 30 当水轮转动50秒时，丰径O那挎动了50X哥-号（孤度）， 6受一吾-受，点P正好处于最经点，故B正确 建立如图所示的平面直角坐 ↑H 标系， 设点P距离水面的高度 H=Asin(at-+)+B(A>0,@>0), 由Hm=A十B=3, (Hmm=-A+B=-1, 解得A=2, 1B=1, 又角递度o一語-员〔孤度/秒.当=0时，∠0那=吾 所以==一吾， 所以点P距离水面的高度H=2sin(品-晋)十1， 当水轮转动150秒时，将t=150代入，得H=2,所以此 时，点P距离水面2米，故C正确； 将H=1+5代入H=2si(需1-晋)十1中， 解得t=60k十15或t=60k十25(k∈N). 所以，点P第二次到达距水面(1十√3)米时用时25秒，故 D正确.] §4.7正孩定理、余弦定理 复盘·必备知识必备知识掌握 1.6+c-2bccos A c+a2-2cacos B a2+6-2abcos C 2Rsin B 2Rsin C 自主诊断查验 1.(1)×(2)√/(3)×(4)× 2.A[2=2a+26+aba2+8-2=-合ab osC=+--<0, 2ab 即90°C180° ∴.△ABC是钝角三角形.] 3BD[由正孩定理得C=B又c=Eb,B=30, sin C= 乞，c≥b,则C>B,0<C<180°，故C=45°或135， A=105°或15°，] 4解折：易知c4+9-2X2×3X △ABC的面积等于2×2X3×9-35 2 21 答案：√733 2 ·40 跃升·关键能力题型1 [例】（1)[解析]由正孩定理可知，品B ,2 bsin A-√3a=0,∴.2 sin Bsin A=√3sinA, 又在△ABC中，sinA>0,∴2simB=5,即simB=5 B为锐角，B=正 3 3c=3a十√3b, :由亚被龙理得C=血A+停nB=血A+子 又C=x-(B+A)sim(号+A)=9osA+合sinA sin A 号osA-2sinA=2sim(号-A）=是 故可得号-A=若，即A=晋 [答案]A (2)[解析]cosA=AB+AC-BC 2AB·AC =6+4+25-4_2√3(1十5)_2 2√6(1十√3) 2√6(1+√5) F2,又0°<A<180, 故A=45°. [答案]A 教考衔接 2x6+2 解：由正弦定理得c=bsin C sin B =sin(45+755)= 2x6+2 4 32+√6 3 2 跟踪训练 解：(1)证明：因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), 所以sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A= sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C, 所以ac·a十c2-b -2hc.6+c2-a 2ac 2bc =-ab.Q+6-c2 2ab +g-6-（6+c-a)=-。+合-c 2 2 所以2a2=b2十c2: (②)因为a=5,msA-票 由(1)得b2十c2=50, 由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A, 到50-c=25 所以女=头， 故(b十c)2=b2十c2十2bc=50十31=81， 所以b十c=9, 所以△ABC的周长为a十b十c=14. 题型2 [例2一1][解析]解法一（转化为三角函数）：已知等式 可化为a[sin(A-B)-sin(A十B)]=b2[-sin(A十B) -sin(A-B)], 2 .'.2a'cos Asin B=2b'cos Bsin A. 由正孩定理知上式可化为 sin Acos Asin B=sin Bcos Bsin A, ∴.sin2A=sin2B,由0<2A<2m,0<2B<2π， 得2A=2B或2A=元-2B,即A=B或A=受-B, ∴.△ABC为等腰三角形或直角三角形. 解法二（转化为边）：同解法一可得 2a'cos Asin B=2b'sin Acos B. h.2+-c=6a.。+c-B 2bc 2ac ∴.a(b2十c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b)(a2十b2-c2)=0,.a=b或a2十b2=c2, ∴.△ABC为等腰三角形或直角三角形. [答案]D [例2-习解]1油S-S+S-号得9d-方+) =5,即a2-6+c=2, 2 又a2-b2十c2=2 accos B,所以accos B=1. 由sinB=子，得cosB=2g2或0sB=-22(含. 3 3 所以ac= 33√2 2√24 则△ABC的而教S=asin B=-之×3Y平×号-号 4 38 (2)由sin Asin C=2,aC 3ac=32及正孩定理知mB 4 3W2 ac 4 sin Asin C 9 4 3 即=×子得6 [例2-3][解](1)由2a十b=2 ccos B, 根据正弦定理可得2sinA十sinB=2 sin Ccos B, 则2sin(B+C)十sinB=2 sin Ccos B, 所以2 sin Bcos C+2 cos Bsin C+sinB=2 sin Ccos B, 整理得(2cosC十1)sinB=0, 因为B,C均为三角形内角， 所以B,C∈(0，π)，sinB≠0， 因此cosC=一 ，所以C-受 3 (2)因为CD是角C的平分线，AD=2√7，DB=√7， 所以在△ACD和△BCD中，由正弦定理可得， ADCD BDCD sinA sin 3 sm于s加B 因光品-品背2，中细n=2n4 所以b=2a, 又由余弦定理可得c2=a十b2-2 abcos C, 即(3√7)2=a2+4a2+2a2, 解得a=3,所以b=6, 又S△A=S△AD十S△WD' 即2 absin∠ACB=b:CD·sin∠ACD+a·CD: sin∠BCD,即18=9CD,所以CD=2. 参考答案 跟踪训练 1.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得sin Asin B= √3 sin Bcos A, sin A-/5c0s A,tan A5A (2)由c-2b=1得6=1， 2 ,由余弦定理a”=b十c2 2sA得w7=+(）-2x(会)ms 3c2+1=28,解之得c=3,b=1. (3)由余孩定理得0sB=。2十c2-6=)+3-1 2ac 2√7×3 5√7 14 14 sin(A+2B)=sin Acos 2B++cos Asin 2B= sin A[2cos2 B-1]+2cos Acos Bsin B= 7 2.B[方法- 设BC=2x,则BD=CD =x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得， cos∠ADC=AD+CD-AC 2AD·CD 25+x2-49 10x 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， COs/ADB-AD+BD:-AB25+x-25 2AD·BD 10x 又∠ADC+∠ADB=π， 所以cos∠ADC=-cOs∠ADB, 所以有25+x-49=-25十2-25】 10x 10x 整理可得x2=12,解得x=2√3， 所以BC=4√5. 方法二 Ai=(A店+AG, 剥A市=}A店+AC+2A店.A. 即25= (25+49+2X5X7Xc0sZBAC) 解得cos∠BAC=号， 35 所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =25+49-2×5×7×3=48, 35 所以BC=4√5.] §4.8解三角形中的最值与范围问题 跃升·关键能力题型1 例1][解](1)：acos C+√5 csin A=b十c, 由正弦定理得sin Acos C+√3 sin Csin A=sinB十sinC, ∴.sin Acos C+√3 sin Csin A=sin(A+C)+sinC, ..3sin Csin A=cos Asin C+sin C. ,sinC≠0，.√3sinA=cosA+1, 如(A-晋)子 -晋<A-吾<A-晋-晋A=晋 角B的取值范周是(0，号) 03高考总复习数学 A.摩天轮离地面最近的距离为4米 B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为 h米，则h=-60cos +68 C.若在t1,t2时刻，游客距离地面的高度相 等，则t1十t2的最小值为30 D.3t1,t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距 离地面的高度均为90米 规律方法 (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函 数解析式，可以根据给出的已知条件确 定模型f(x)=Asin(wx+p)十b中的待 定系数 (2)研究y=Asin(wx十p)的性质时可将ωz 十9视为一个整体，利用换元法和数形 结合思想进行解题 跟踪训练 [多选]筒车是我国古代发明的一种水利灌 溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生 §4.7正弦为 ★[考试要求] 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用 问题. 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 Q b a= sin A sin B 内容 sin C=2R (1)a=2Rsin A, b+c-a b cos A= 2bc 变形 cos B=cta-b (2)asin B=bsin A, 2ac bsin C=csin B, cos C=+b-c asin C=csin A 2ab 产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原 理（图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3 所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮 每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮 上点P从水中浮现时（图3中点P。)开始计 时，则下列结论正确的是 图1 图2 图3 A.点P再次进入水中时用时30秒 B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D.点P第二次到达距水面(1十√3)米时用 时25秒 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练课时冲关26 定理、余弦定理 正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量 打通教材逐点夯实 2.三角形中常用的面积公式 (1)S=ah,,表示边a上的高)： (2)S= 1 absin C-acsin B-besin A; (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切 1 圆半径) 知识拓展用活 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A+∠B+∠C=π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 (3)a>b台A>B台sinA>sinB台cosA< cos B. (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; C tan(A+B)=-tan C:sin 2=cos? 2 C cos A+B=sin之： 2 (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C +ccos A;c=bcos A+acos B. 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角 之比 (2)在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B. 跃升>关键能力 题型1〔利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1](1)在△ABC中，角A、B、C所对的边 分别为a、b、c.已知2 bsin A-√3a=0,且B 为锐角，若3c=3a十√3b,则A=() A晋 B c晋 D (2)(2025·全国二卷)在△ABC中，BC=2, AC=1十5，AB=√6，则A= A.459 B.60° C.120° D.135° 教考衔接上面2025年全国二卷T源于 必修第二册P48练习T2(2) 在△ABC中，已知b=2,A=45°，C=75°， 求c 考题与练习题实际上是同一道题，都是三个 角分别是45°，60°，75°，三对边之比为2：√6 :(1+√3)，求边转型为求角正是解题之 途径 第四章三角函数与解三角形 (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元 素可求其他元素。 (4)当b+c2-a2>0时，△ABC为锐角三 角形， ( 2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、 b、c,且2c2=2a2+2b+ab,则△ABC是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 3.[多选]设△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c.若c=√2b,B=30°，则角A可 能为 () A.135° B.105 C.45° D.15 4.在△ABC中，a=2,b=3,C=60°，则c= ,△ABC的面积= 核心考点分类突破 规律方法 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 第一步 若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用 选定理 余弦定理 若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用 正弦定理 若特征都不明显，则考虑两个定理都有可能用到 第二步 利用正、余弦定理求角、求边、求值 求解 高考总复习数学 日跟踪训练 [角度2]三角形的面积 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, [例2一2]记△ABC的内角A,B,C的对边 已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). 分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个 (1)证明：2a2=b2+c2; 正三角形的面积依次为S,,S2,S.已知 (2)若a=5,cosA-求△ABC的周长。 (1)求△ABC的面积； 2)若sin Asin C二2求b [尝试解答] 题型2正弦定理、余弦定理的简单应用 >[角度1]三角形的形状判断 [例2一1]已知△ABC中，角A,B,C的对边 分别为a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)= (a2-b)·sin(A+B),则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ·90· [角度3]与平面几何有关的问题 [例2-3]△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,已知2a+b=2 ccos B. (1)求角C; (2)若CD是角C的平分线，AD=2√7，DB =7,求CD的长 [尝试解答] 规律方法 1.判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状】 (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关 系，从而判断三角形的形状.此时要注意 应用A十B十C=π这个结论. 2.与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形 的相关边、角之后，直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦 定理结合求出三角形的其他量， 91 第四章三角函数与解三角形 跟踪训练 1.(2025·天津卷)在△ABC中，角A,B,C的 对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 2.在△ABC中，AB=5,AC=7,D为BC的中 点，AD=5,则BC等于 () A.2√3 B.4√3 C.2√2 D.42 C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关27