4.6 函数y=Asin(ωx+φ)-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 当=1时7<警： 当k=2时，19≤u≤0，此时不成立】 综上a的取值范是(0，]U[,号] [答案]B 跟踪训练 1.C[y=2sim(6-2x）=-2sin(2z-石)由+ 2kπ≤2x- 6 k红k∈Z,即画数的单调运增区间为[晋十，晋+小 k∈乙当=0时，单润递培区间为[答，晋]门 2.C[:通数x)=-2sin(2x+g)在区间（得，）上 单调造增画数y=2in2x十g)在区间（胥，晋）上单 调适减，由受十2x≤2十9<受+2k,k∈Z,解得是十 “无十kx≤号≤晋十m,k∈1品十2m≤g≤平十 2km,k∈Z,:g<π，令为=0，解得器≤≤平， e的取值范国是[品，]门 热点强化课9三角函数中ω的范围问题 [典例](1)[解析]由已知得f(x)在[0，π]的图象至少 有2个最大值，根据正弦函数的性质即可求解. 由题可知，f(x)在[0，π]的图象至少有2个最大值， 当)=sim(ar+号)=1时，a+号=受十2kx,k∈ Z,解得x= (后+2)片 当=0时=×晋≤≥日 w 6 当=1时=（后+2）≥ 6 综上，当a≥号时，3，∈[0，]（≠），俊得 f(x1)十f(x2)=2. [答案] (2)汇解析]首先求函数g(x)的解析式，再根据x∈ (一受，0）代入函教的解析式，结合正弦画数的图象和 性质，即可求解 由三角函数的图象变换规律可知， gr)=sin(ax-） 因为画数g)在(-受0）上单调递增，所以-受a >-受，且>0，得0<≤号 [答案]B ·4( 跟踪训练 B[由题意，在[0,1]上至少出现50次最大值即在[0,1] 上至少需要9子个周期，即个周期， 所以192T=197.2红≤1， 4 4ω 所以w≥1竖。的最小值为要.] 2 §4.6函数y=Asin(wx+9) 自主诊断查验 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 2.C[由题意知A=2=7-会-在初相为-号] 3.D[所得图象对应的函数解析式为 y=sn[(是+)小即y=sin(2x+是)门 4C[由题园可知，号-经-吾=受T=,由T 6 积可知，经=，。=2，不坊取。=2，则1() sin2x+g,又：图象过（后0）sin（5十9）=0，又 :答是f(z)的下降零点，心号十g=元+2k,k∈Z, 9=号+2x6∈7不坊取g=5 对f)=sim(x+)厂sm[(2x+晋)十受] =cos(2x+吾）w)-=sin(2z+等) =sim[x-(5-2z)]卡im(肾-2r）门 跃升·关键能力题型1 [例1】[解](1)y=2sin(2x+5)的振幅A=2, 周期T-经=，初相9=晋 (2)令X=2x+号5，则y=2sin(2x+号)-2sinX 列表如下： 亚 7π 5π 6 12 X 0 3π 2π y=sinX 0 1 0 1 y=2sin(2x+吾) 0 0 -2 0 描，点画出图象，如图所示 2 6 -2. (3)方法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移 号个单位长度，得到y=si血（红+号）的国象：再把 y=si血（十）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 之倍（纵坐标不变），得到y一如(2红十号)的图象：最后起 y=si(2红+号)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 (横坐标不变)，即可得到y=2sim(2x十牙）的圈象. 方法二：将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原 来的倍（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象；再将 y=sn2z的图泉向左平移晋个单位长度，得到 y=sim[(+若)门=si血(2x+号)的图象：弄将 y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来 的2倍（横坐标不变）， 即得到y=2sin(2红+号）的图象. 跟踪训练 1.C[因为画数fx)=Asim(ax+号）o>0)的图象与 x轴的两个相尔文点间的距离为子， 故函数的最小正周期为T=,所以0=3： 故函数fx)=Asin(3x+晋)） 为得到g(x)=Acos3.x的图象， 只需将函数f(x)的图象向左平移8个单位长度， 得到g)=Asim[(+是)十晋] Asin(3x+受)=Acos3x的图象.] 2.C[由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最 小正周期与零点即可求解. 函教fx)=-sin()十os(ar)=VZsin(ow-十于w>0 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x十π)可得kT= π，(k∈N"), 所以T-石=天(k∈N,即u=26,(k∈N): 又高数f(x)在[0，]上存在零点，且当x [,]时w+[紧翠+] 所以婴+晋>，即w>3:综上的最小值为4.] 4 题型2 [例2](1)[解析]解法一（最值法）：由题中图象可知 ￥T=晋（晋）尸早T=要T=x, 则a=华-任=2.又图象过点（臣2） 尉f(登）=2>2n(餐+)=2>n(语+)=1， :-<<受晋<g+< 解法二（五点法）：由解法一得ω=2， 由图象知（登2）是五点中的第二个点。 故×2+9=受，解释g=- ·4( 参考答案 方法三（五，点法）：由方法一得仙=2， 由图象知（受，0）是五点中的第三个点。 则一晋×2十9，=， ÷%=号=2x-子 5 取g=一登即可。 [答案]A (2)[解析]由题意知，A=2,函数f(x)的图象过点 (03),所以f0)=2sin9=尽，由9<受，得9=号 所以fx)=2sin（2x+吾)）片 [答案]B 跟踪训练 1,BD[由图象可知，A=2,k=3十)1)=1，故A错误， 2 D正确； 又由图象可得T=2×(管+登）“日 =元，又>0， ω=2，故B正确： fx)=2sin2z+p)+1,又f(-是)=3， 2sim[2x(8)十9]+1=3， sim(晋+g）=1,又0<g<g= )=2sin(亿z+号）)中1，故C格误门 2.解析：由函数f(x)=2sin(wx十p)的部分图象， 设A(x1,2),B(x2,-2),其中x1<x2, 因为AB=5,可得/x2-x)+4=5, 解得x2一1=3， 即T=3,所以T=6,可得a=斧=子 所以fx)=2sin(等x+9）小 又由f(0)=2sin9=1,可得sin9=2, 因为受≤p≤，所以g=西 所以画数)的解折式为)=2（骨x十晋）】 答案：y=2sin(号x+晋） 题型3 [例3][解析]由题意知，摩天轮离地面最近的距离为 128-120=8(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为 后，则A=60-60cas后+8=-60cos后+68，故B正 确：h=-60c0希十68，周期为27-30，由余孩型画数 的性质可知，若ti1十5取最小值，则t1t2∈[0,30]，又高 度相等，则1，关于1=15对称，则=15，则6十在 2 =30,故C正确：令0≤1≤，解得0≤K15,令≤需 t2π，解得15t30,则h在t∈[0,15]上单调递增，在 t∈[15,20]上单调递减，当t=15时，hmx=128,当t= 20时，h=-60ca(倍×20）十68=98>90，所以h=80 在t∈[0,20]只有一个解，故D不正确. [答案]BC 高考总复习数学 跟踪训练 BCD[由题意，角选度w=积-无（孤度/秒）， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知 半径OP与水面所成角为否，点P再次进入水中用时 +2×爱 为 =40(秒)，故A错误； 次 30 当水轮转动50秒时，丰径O那挎动了50X哥-号（孤度）， 6受一吾-受，点P正好处于最经点，故B正确 建立如图所示的平面直角坐 ↑H 标系， 设点P距离水面的高度 H=Asin(at-+)+B(A>0,@>0), 由Hm=A十B=3, (Hmm=-A+B=-1, 解得A=2, 1B=1, 又角递度o一語-员〔孤度/秒.当=0时，∠0那=吾 所以==一吾， 所以点P距离水面的高度H=2sin(品-晋)十1， 当水轮转动150秒时，将t=150代入，得H=2,所以此 时，点P距离水面2米，故C正确； 将H=1+5代入H=2si(需1-晋)十1中， 解得t=60k十15或t=60k十25(k∈N). 所以，点P第二次到达距水面(1十√3)米时用时25秒，故 D正确.] §4.7正孩定理、余弦定理 复盘·必备知识必备知识掌握 1.6+c-2bccos A c+a2-2cacos B a2+6-2abcos C 2Rsin B 2Rsin C 自主诊断查验 1.(1)×(2)√/(3)×(4)× 2.A[2=2a+26+aba2+8-2=-合ab osC=+--<0, 2ab 即90°C180° ∴.△ABC是钝角三角形.] 3BD[由正孩定理得C=B又c=Eb,B=30, sin C= 乞，c≥b,则C>B,0<C<180°，故C=45°或135， A=105°或15°，] 4解折：易知c4+9-2X2×3X △ABC的面积等于2×2X3×9-35 2 21 答案：√733 2 ·40 跃升·关键能力题型1 [例】（1)[解析]由正孩定理可知，品B ,2 bsin A-√3a=0,∴.2 sin Bsin A=√3sinA, 又在△ABC中，sinA>0,∴2simB=5,即simB=5 B为锐角，B=正 3 3c=3a十√3b, :由亚被龙理得C=血A+停nB=血A+子 又C=x-(B+A)sim(号+A)=9osA+合sinA sin A 号osA-2sinA=2sim(号-A）=是 故可得号-A=若，即A=晋 [答案]A (2)[解析]cosA=AB+AC-BC 2AB·AC =6+4+25-4_2√3(1十5)_2 2√6(1十√3) 2√6(1+√5) F2,又0°<A<180, 故A=45°. [答案]A 教考衔接 2x6+2 解：由正弦定理得c=bsin C sin B =sin(45+755)= 2x6+2 4 32+√6 3 2 跟踪训练 解：(1)证明：因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), 所以sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A= sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C, 所以ac·a十c2-b -2hc.6+c2-a 2ac 2bc =-ab.Q+6-c2 2ab +g-6-（6+c-a)=-。+合-c 2 2 所以2a2=b2十c2: (②)因为a=5,msA-票 由(1)得b2十c2=50, 由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A, 到50-c=25 所以女=头， 故(b十c)2=b2十c2十2bc=50十31=81， 所以b十c=9, 所以△ABC的周长为a十b十c=14. 题型2 [例2一1][解析]解法一（转化为三角函数）：已知等式 可化为a[sin(A-B)-sin(A十B)]=b2[-sin(A十B) -sin(A-B)], 2第四章三角函数与解三角形 §4.6函数y=Asin(wx十p) ★[考试要求] 1.结合具体实例，了解y=Asi(ωx十p)的实际意义；能借助图象理解参数ω，p,A的意义，了解参 数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建 刻画事物周期变化的数学模型. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 3.函数y=Asin(wx+p)图象的对称轴由 1.简谐运动的有关概念 ox十p=元十受，k∈Z确定；对称中心由 y=Asin(wx+o) 振幅周期 频率 相位初相 ωx十p=kπ，k∈Z确定其横坐标. (A>0,w>0),x≥0 T2 ox+99 自主诊断查验 2.用“五点法”画y=Asin(wx十p)(A>0,w>0, 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“~/” x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 或“X”) (1)函数f(x)=Asin(wx+p)(A≠0)的最大 wx+o 0 3π 2 2 2x 值为A,最小值为一A. () 3元 0一9 29 π一2 2π-2 w (2)函数y=sin(2-)的图象是由y ) y=Asin simx+买)的图象向右平移个单位得 0 0 (ωx十p) 到的 () 3.函数y=sinx的图象经变换得到y= (3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩” Asin(wx+p)(A>0,w>0)的图象的两种途径 与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致. () 画出y=sinx的图象 骤 画出y=sinx的图象 向左（右）I个单 (4)把函数y=sinx的图象上各点纵坐标不 横坐标变为原来的倍 平移 位长度 得到y=sin(x+p)的 得到y=sin wx的 变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应 图象 骤 2 图象 横坐标变为 原来的。倍 向左（右）个单位 () 平移 长度 的函数解析式为y=sin22. 得到y=sin(ωx+p 步 得到y=sin(wx+p) 的图象 3 的图象 2.y=2sin 的振幅、频率和初相分 纵坐标变为]原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 得到y=Asin(wx+ 步骤 得到y=Asin(ωx+ 别为 p)的图象 p)的图象 A.2,4x,号 1元 知识拓展用活 B.24元3 1 1.函数y=Asin(wx十p)十k图象平移的规 D.2,4元，- 3 律：“左加右减，上加下减”. 2.由y=sin wx到y=sin(wx十p)(w>0,p>0) 3.将函数y=√2si 2x+ 的图象向右平移 的变换：向左平移2个单位长度而非9个单 吾个单位长度后，所得图象对应的函数解 位长度 析式为 ·85· 高考总复习数学 A.y=2sin 2x-12 5 4.如图是函数y=sin(wx十p) 的部分图象，则sin(wx十p) B.y-2sin2+ 5 C.y-sin2 Asin+引 B.sin D.y-/2sin+ C.cos 2x+ π-2x D.cos6 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1{函数y=Asin(ax十p)的图象及变换 工例1] 已知函数y=2si 2x+ (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的 图象； (3)说明y=2sin(2x+号) 的图象可由y= sinx的图象经过怎样的变换而得到. [尝试解答] 规律方法 作函数y=Asin(wx+p)(A>0,w>0)的图 象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y=Asin(wx 十p)的简图，主要是通过变量代换，设之 =ax十9，由之取0，受x,2,2元来求出 3 相应的x,通过列表，计算得出五点坐 标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y=sinx的图象 通过变换得到y=Asin(wx十p)的图象 有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩 后平移”. ·86· 第四章 三角函数与解三角形 跟踪训练 规律方法 1.函数f()=Asin+(w>0)的图象与 确定y=Asin(wx+9)+B(A>0,w>0)的 解析式的步骤 x轴的两个相邻交点间的距离为，得到函 (1)求A,B,确定函数的最大值M和最小 数g(x)=Acos wx的图象，只需将f(x)的 值m, 图象 则A=M与m,B=M十m 2 2 A,向左平移器个单位长度 (2)求，确定函数的周期T,则。2牙 B.向右平移至个单位长度 (3)求9，常用方法有： C.向左平移器个单位长度 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此 时要注意该点在上升区间上还是在下降区 D.向右平移费个单位长度 间上)或把图象的最高点或最低点代入 2.(2025·北京卷)设函数f(x)=sin(wx)+ ②五点法：确定p值时，往往以寻找“五 cos(wx)(w>0),若f(x+π)=f(x)恒成 点法”中的特殊点作为突破口， 立，且f()在[0，]上存在零点，则u的最 日跟踪训练 小值为 ( 1.[多选]函数f(x)=Asin(wx十 A.8 B.6 C.4 D.3 p)+k(A>0,w>0,0<p<π)在 题型2〔由图象确定y=Asin(ar十p)的解析式 一个周期内的图象如图所示， 则 ) T例2] (1)函数f(x)=2sin(ωz A.A=4 B.w=2 +) 的部分 C.9-x D.k=1 图象如图所示，则w,9的值分别 3 2.如图所示为函数 A2,-等 B.2,-晋 f(x)=2sin(ax+o) C.4,- o>0,≤≤x π D4,肾 的部分图象，其中|AB (2)如图，函数 5,则此函数的解析式为 f(x)=Asin(2x+o) 题型3〔三角函数图象、性质的综合应用 A. 的图象过 [例3][多选]摩天轮常 点(0,3)，则f(x)的函数 被当作一个城市的地 解析式为 标性建筑，如深圳前海 A.f(x)=2sin 2- 的“湾区之光”摩天轮， 如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128 B.f(a)=2sin2 米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游 客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时 C.f(x)=2sin2x+） 6 针匀速旋转t分钟，当t=15时，游客随舱旋 转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说 D.f(x)=2sin 2x- 6 法中，正确的为 () ·87 高考总复习数学 A.摩天轮离地面最近的距离为4米 产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在 B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原 h米，则h=-60cos +68 理（图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3 所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮 C.若在t1,t2时刻，游客距离地面的高度相 每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮 等，则t十t2的最小值为30 上点P从水中浮现时（图3中点P。)开始计 D.3t1,t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距 时，则下列结论正确的是 离地面的高度均为90米 规律方法 (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函 数解析式，可以根据给出的已知条件确 定模型f(x)=Asin(wx+p)十b中的待 图1 图2 图3 定系数 A.点P再次进入水中时用时30秒 (2)研究y=Asin(wx十o)的性质时可将wz B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点 十9视为一个整体，利用换元法和数形 C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 结合思想进行解题， D.点P第二次到达距水面(1十√3)米时用 跟踪训练 时25秒 [多选]筒车是我国古代发明的一种水利灌 C温馨提西 溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生 学习至此，请完成配套训练课时冲关26 §4.7 正弦定理、余弦定理 ★[考试要求] 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量 问题. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.三角形中常用的面积公式 1.正弦定理与余弦定理 (DS=dh.(,表示边a上的高)： 定理 正弦定理 余弦定理 (2)S=1 absin C-2acsin B 1 2bcsin A; a b a2= sin A sin B 内容 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切 1 sin C=2R 圆半径). 知识拓展用活 (1)a=2Rsin A, b+2-a2 在△ABC中，常有以下结论： b= cos A= 2bc 变形 cos B=cta-b (1)∠A+∠B+∠C=π. (2)asin B=bsin A, 2ac (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 bsin C=csin B, cos C= a2+b2-c2 小于第三边 2ab asin C=csin A (3)a>b台A>B台sinA>sinB台cosA< cos B. ·88·