4.5 三角函数的图象与性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第四章三角函数与解三角形 §4.5三角函数的图象与性质 ★[考试要求] 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助图象理解正弦 函数、余弦函数在[0,2]上，正切函数在一2，)上的性质 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 1.对称性与周期性 (1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中，五 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻 个关键点是：(0,0)， 两对称轴之间的距离是？个周期，相邻的 经，-12x,0. 对称中心与对称轴之间的距离是是个 (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中， 周期。 五个关健点是：(0,1，（台0 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半 o).D. 个周期. 2.奇偶性 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 若f(x)=Asin(wx十p)(A,w≠0)，则 k∈Z) 函数 y=sin x (1)f(x)为偶函数的充要条件是9一+x y=cos r y=tan x (k∈Z). 图象 (2)f(x)为奇函数的充要条件是p=kπ(k∈Z) 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” 定义域 或“X”) 值域 R (1)正切函数y=tanx在定义域内是增函数. () 周期性 2元 (2)已知y=ksin x十1，x∈R,则y的最大值为 奇偶性 奇函数 k+1. 递增 (3)函数y=sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中 [2-2x+】 kπ一 区间 心对称. 递减 (4)y=sinx|与y=|sinx都是周期函数. 3元 区间 [2k+,2k+ ( 对称 中心 (x+受，0） 2.(教材改编)已知函数f)=2 inr-晋 对称轴 (w>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调 方程 x=k红十受 递增区间为 ) ·81· 高考总复习数学 A[x-x+ (k∈Z) 3.(2024A·北京卷)设函数f(x)=sin wx(w>0), 6 已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且x1一x2的 B[2x-吾2kx+}k∈Z 个 最小值为交，则ω () c. A.1 B.2 C.3 D.4 4.写出一个图象关于直线x=2对称且在[0， D.k- ，kx+k∈ 2]上单调递增的偶函数：f(x)= 跃升>关健能力 核心考点分类突破 题型1〔 三角函数的定义域和值域 2.(2024·天津卷)已知函数f(.x)= [例1] D函数f)=-2am2x+晋)的定 sin 3c 十w>0)的最小正周期为x,则 义域是 fx)在 π 126 的最小值为 ) A{≠} A.3 B.- 3 2 C.0 B{≠一 题型2〔 三角函数的周期性与对称性 C.{x≠x+，k∈Z >[角度1]三角函数的周期性 [例2-1] 函数y=2sin2x十sin2x的最小正 D.{x≠经+吾e 周期是 () C.π (2)(2025·上海卷)函数y=osx在[-2， A至 B哥 D.2π 》[角度2]三角函数的奇偶性 军]上的值域为 [例2-2] 已知函数f(x)= sin(x+0)+ .规律方法 5cosx+0c[-受)是偶函数，则0 三角函数定义域、值域的求解策略 ( 1.求三角函数的定义域 的值为 实际上是解简单的三角不等式，常借助三 A.0 B D.于 角函数线或三角函数图象来求解， [角度3]三角函数的对称性 2.求解三角函数的值域（最值）常见到以下 几种类型的题目： T例2-3](1)记函数f(x)=sin (I)形如y=asin wx十bcos wx十c的三角函 数化为y=Asin(wx十p)十c的形式，再 w>0)的最小正周期为T.若之T<元 求值域（最值）； (2)形如y=asin'x十bsin x+c的三角函 且y=f(x)的图象关于点 管2巾心对称， 数，可先设sinx=t,化为关于t的二次 函数求值域（最值） 则) ( 日跟踪训练 A.1 R号 c D.3 1.函数y=ln(3-2x-x2)+√2sinx-1的定 (2)(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0) 义域是 是函数y=2anx-的图象的一个对称 3 A[ B(1 中心，则a的最小值为 ( c（-3 A否 B晋 C. ·82· 第四章三角函数与解三角形 教考衔接上面2025年全国一卷T4源于 跟踪训练 必修第一册P213习题5.4Tg 1.当x=不时，函数f(x)=sin(x十p)取得最 求函数y=ta 2x-)x≠晋+经k∈) 小值，则函数y= 的周期。 考题与习题问法不同，实则内涵一致，习题 A是奇函数且图象关于点受，0]对称 中子晋+经∈)正是求对称中心的思 B.是偶函数且图象关于点（π，0）对称 想之一，而且“2”分别在内外，真是一对“互 C.是奇函数且图象关于直线x=艺对称 型题” D.是偶函数且图象关于直线x=π对称 2.(2024·新课标Ⅱ卷，T,)对于函数f(x)= sin2x和g(x)=sin 2x-)下列说法正 确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 题型3 三角函数的单调性 [角度1]求三角函数的单调区间 例3-1] 已知函数f(x)=cos2x一sin2x,则 ( A.f(x)在 π 个 单调递减 B.f(x)在 412 上单调递增 C.f(x)在 0,上单调递减 规律方法 求函数y=Asin(wx十p)的对称中心、 D.f(x)在 上单调递增 对称轴问题往往转化为解方程问题： D[角度2] 根据单调性求参数 1.因为正弦曲线的对称中心是(kπ，0)(k∈ [例3-2] 已知f(x)=sin wx+√3 cos wx(w>0) Z),所以求y=Asin(wx十p)图象的对称 中心时，由方程wx十o=kπ，k∈Z,解出x 在区间[]上 单调递增，则ω的取值范 即可. 围是 2.因为y=sinx的对称轴是直线x=kπ十 A引 受6∈，所以由方程x十9=kx十受： B,u[, k∈Z,解出的x,即为函数y=Asin(wx十p) 的对称轴 c. 3.注意y=tanx的对称中心为 u2 D. ·83· 高考总复习数学 规律方法 跟踪训练 三角函数单调性问题的解题策略 1.函数y=2sin -2x](x∈[0，x])的单调递 (1)求三角函数单调区间的两种方法：①代 增区间是 ( 换法：求函数的单调区间应遵循简单化 「π7π7 原则，将解析式进行化简.化为y B.1212 Asin(wx+p)或y=Acos(wx+p)的形 C. [ 式.求形如y=Asin(wx十p)或y= 2.已知函数f(x)=-2sin(2x+p)(|p<π)， Acos(w.x十p)(其中w>0)的单调区间 若f(x)在区间 时，要视“wx十9”为一个整体，通过解不 人吾，上单调递增，则的 等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助 取值范围是 ( A. 9π 3π 诱导公式将“化为正数，防止把单调性 10 10 弄反.②图解法：若函数的图象能够容易 B. 「2π9π 画出，可利用图象直观迅速求解.如某些 含绝对值的三角函数.注：正、余弦型单 c[品到 调区间长度为半周期. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求 (x 出函数的单调区间，然后利用集合间的 C温馨提 关系求解 学习至此，请完成配套训练 课时冲关25 [热点强化课9] 三角函数中ω的范围问题 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉 及的知识点多，历来是我们复习中的难点， 工典例] (1)函数f(x)=-sinwx+-罗其中 名师点拨 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻 w>0,若3x1,x2∈[0，π](x1≠x2),使得 f(x1)+f(x2)=2,则w的取值范围为 对称中心之间的“水平间隔”为了，湘邻的对 称轴和对称中心之间的“水平间隔”为了，这 (2)将函数f(x)=sinx的图象先向右平移 就说明，我们可根据三角函数的对称性来研 哥个单位长度，再把所得函数图象上的每个 究其周期性，解决问题的关键在于运用整体 点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而 可以研究“ω”的取值范围. (w>0)倍，得到函数g)的图象.若函数 跟踪训练 g(x)在（一受0上单调递增，则ω的取值范 为了使函数y=sin wx(w>0)在区间[0,1] 上至少出现50次最大值，则w的最小值为 围是 () (] A.98π B.197x 2 c.0.] D.(0,1] c D.100元 ·84·高考总复习数学 (2)由题意，(cosa十cosB)=cos2a十2 cos acos B-+cos2B =0 (sina+sinm2=sima+2 sin in叶simB=号0 ①十②得 2+2(cos acos B+sin asin B)=2+2cos(a-B) =1+113 4936 所以c0s(a一)=一器 [例2-3][解析]1 a(0受)e(0,) s&=osa-9 scos个m羽-3四 10 六cos(a+B)=cos cos月-sin asin=25x3Y四 5 10 ×号又a叶gGo,ietA÷ 51 10 [答案]B 跟踪训练 1.A[根挑要--受-（骨十结合诱导公式求解即可 (径-=m[竖-(+]-o(+x 2.C[由题意可得2(cosa-siia）=cos于cosa十sin平sina, 即2(case-sino(e0sa-sin6y-号((coa叶simo. 由a∈(0，受）可得cosa十sina≠0，所以cosa-sina 9学式两边年方，可得1一血2a=合所以s如a=专] 3.B [因为2tana= sin95n月所以2a sin 28 cos a 2sin Bcos B 2cos B sin B+sin'B 1+sin B' 所以sina十sin asin B=cos acos B, 所以sina=cos acos B-sin asin B-=cos(a十B), 所以o(受-a）-cos(a+m, 图为age(0,2)小所以-a∈(0，）a+e0m, 所以受-a=a+B所以2a十B=受.] 题型3 [例3][解]连接OB,设∠AOB=0,则 AB=OBsin 0=20sin 0,OA=OBcos 0= 20c0s0,且0c(0,受国为A,D关于 原点对称，所以AD=2OA=40cos日. 设矩形ABCD的面积为S,则S=AD·AB=40cos0X 20sin0=40sin2a.因为9e(0,2）,所以当sin20-=1, 即0=于时，S=40m.此时A0=D0=10V2m. 故当A,D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面 积最大，其最大面积是400m ·3 跟踪训练 解析：连接BP,设∠CBP=a,其中O<a<受，则PM= 1-sina,PV=2-cosa,四边形OMPN的周长C=6 2(sina十cosa),因为(sina十cosa)2=1十2 sin acos a 1十sin2a,所以要让周长最小，即让(sina十cosa)最大， 即sin2a最大，因为sin2a在a=子时取到最大值1， 所以当a=至时，周长有最小值为6-2E 答案：6-2√2 §4.5三角函数的图象与性质 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)(π，0)(2)（π，-1）2.[-1,1][-1,1]2ππ 奇函数偶函数[2kπ一元，2kπ][2kπ，2kπ十π](kπ，0) x=kπ 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.D[根据已知得绍=x,得a=2.由不等式2次m一受≤2z 晋≤2x+受（∈刀，解得r-否<x<r十号∈D,所 以函数f)的单调递增区间是[红一晋，k红十号]∈D.] 3.B[由题意可知：1为f(x)的最小值，点， x2为f(x)的最大值点， 则一西。召=号中T=x 且o>0,所以@=号=2.] 4.解析：如fx)=-os受x,f(-x)=-cos(-受） 一cs受x=fx),所以f()为偶函数， 由受x=k元，k∈Z,得x=2k,k∈Z,当=1时， f(x)=一c0s受x的圈象关于直线x=2对称. 由x∈[0,2]，得受x∈[0，]，则由余孩画数的性质可知， 函数f八)=一c0s受x在[0,2]上单调递增，故符合条件 的可以是f)=-0s受 答案：一c0s受（答案不唯一） 跃升·关键能力题型1 [例1】（1D[解析]由2x+合≠受+（∈2， 得x≠晋+经(kE, 2 故画数f)的定义域为{红x≠吾+受，∈Z☑ [答案]D (2)[解析]本题考查了余弦函数的值域. “y=c0s2,E[受，平]由余孩画数的圈象可知x =一 乏时，ym=0, 当x=0时y=1.故y=cosx在[受，牙]上的值 域为[0,1]. [答案][0,1] 98 跟踪训练 1.A[由题知， 13-2x-x2>0, 12sinx-1≥0， 由3-2x-x2>0,解得-3<x<1, 由2simx一1≥0，解得否十2km≤x≤+2k,k∈Z. -3<x<1, 当k=0时，由 (6 当=1时，区间（一31）和(，1号)无交集： 当=-1时，区网(-3（一）无交象： 所以函教的定义城[后，1）门 2.A[f)=m3(+号) =sin(3wx十π)=-sin3ur, 由T=经=，得w= 2 30 即f(x)=-sin2x, []时，2xe[吾] 画出f(x)=-sin2x图象，如图， 由图可知，f(x)=-sin2x 在[一登]上单调递减， 6 12 所以，当x=看时 V3 f()n-sin3- 3 2· 题型2 [例2-1][解析]函数y=2sinx十sin2x= 2Xgs2延+sin2x=Esin(2x-子）十1，则函数的 2 最小正周期为竖=元 [答案]C [例2-2][解析]据已知可得f(x)=2in(z+0十） 若函数为偶函数，则必有目十号=km十受（∈Z),又由 于9∈ 「ππ -22 ]故有日十号=受，解得9=晋，经代 入检验符合题意。 [答案]B [例2-3]1)[解析]由画教的最小正网期T满足号 <T<,得<2红<π，解得2<w<3, 3 又因为画盘图象关于点（受，2）对称， 所以受a+至-kmk∈Z且b=2, 所以仙= f)=sm(受+）十2， 5 所以f(受)=s（停x+） +2=1. [答案]A (2)[解析] 依题知a一 -受，即=+晋，其中 3 k∈Z,又a>0,所以当飞=0时，a取得最小值号 [答案]B ·3 参考答案 教考衔接 解：y=tan(or十p)的周期T=, ·y=tan(2x-)的周期T=受 跟踪训练 1,C[:当x=时，函数f代x)取得最小值， ∴sin(平+9）-1,9=2kr 3证(k∈Z). fx)=sin(e+2x-要）=sin(-平）】 ay=f(要-）=si(-)=-sin云 y-f(-是寺画餐，且国泉关于直线x受对称] 2.BC[A错，代x=0便知：B显然对，两者值域相同： C显然对，两者最小正周期都为π；D错，前者对称轴为 x=十经，后者是x十经] 题型3 [例3-1][解析]因为f(x)=cos2x-sinx=cos2x.对 于A选项，当受<<-晋时，<2x<-号，则f(x) 在（受，看）上单调递增，A错， 对于B选项，当-晋<1<造时，受<2<晋， 4 则f)在（子最）上不单调，B错： 对于C选项，当0<1<晋时0<2<号 则f八)在(0，)上单调递减，C对： 对于D选项，当<<时，受<2< 则f)在（子，）上不单洞D错。 [答案] C [例3-2][解析]f(x)=sin wx十√3 cos wx =2sin(ar+)w>0, 由2kx-受<r+号≤2kx+受∈Z, π 2k元一6 得 9音e2 即函数∫(x)的单调递增区间为 2x+1 ,k∈Z. :f)在区同[若，]上单调递增， 2k元 5π 6≤ 6 1w≥12k-5, 即 4， 即126-5区u≤8+号，kez w>0, 5当k=0时，-5长w≤号，即0<w≤号， 9 高考总复习数学 当=1时7<警： 当k=2时，19≤u≤0，此时不成立】 综上a的取值范是(0，]U[,号] [答案]B 跟踪训练 1.C[y=2sim(6-2x）=-2sin(2z-石)由+ 2kπ≤2x- 6 k红k∈Z,即画数的单调运增区间为[晋十，晋+小 k∈乙当=0时，单润递培区间为[答，晋]门 2.C[:通数x)=-2sin(2x+g)在区间（得，）上 单调造增画数y=2in2x十g)在区间（胥，晋）上单 调适减，由受十2x≤2十9<受+2k,k∈Z,解得是十 “无十kx≤号≤晋十m,k∈1品十2m≤g≤平十 2km,k∈Z,:g<π，令为=0，解得器≤≤平， e的取值范国是[品，]门 热点强化课9三角函数中ω的范围问题 [典例](1)[解析]由已知得f(x)在[0，π]的图象至少 有2个最大值，根据正弦函数的性质即可求解. 由题可知，f(x)在[0，π]的图象至少有2个最大值， 当)=sim(ar+号)=1时，a+号=受十2kx,k∈ Z,解得x= (后+2)片 当=0时=×晋≤≥日 w 6 当=1时=（后+2）≥ 6 综上，当a≥号时，3，∈[0，]（≠），俊得 f(x1)十f(x2)=2. [答案] (2)汇解析]首先求函数g(x)的解析式，再根据x∈ (一受，0）代入函教的解析式，结合正弦画数的图象和 性质，即可求解 由三角函数的图象变换规律可知， gr)=sin(ax-） 因为画数g)在(-受0）上单调递增，所以-受a >-受，且>0，得0<≤号 [答案]B ·4( 跟踪训练 B[由题意，在[0,1]上至少出现50次最大值即在[0,1] 上至少需要9子个周期，即个周期， 所以192T=197.2红≤1， 4 4ω 所以w≥1竖。的最小值为要.] 2 §4.6函数y=Asin(wx+9) 自主诊断查验 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 2.C[由题意知A=2=7-会-在初相为-号] 3.D[所得图象对应的函数解析式为 y=sn[(是+)小即y=sin(2x+是)门 4C[由题园可知，号-经-吾=受T=,由T 6 积可知，经=，。=2，不坊取。=2，则1() sin2x+g,又：图象过（后0）sin（5十9）=0，又 :答是f(z)的下降零点，心号十g=元+2k,k∈Z, 9=号+2x6∈7不坊取g=5 对f)=sim(x+)厂sm[(2x+晋)十受] =cos(2x+吾）w)-=sin(2z+等) =sim[x-(5-2z)]卡im(肾-2r）门 跃升·关键能力题型1 [例1】[解](1)y=2sin(2x+5)的振幅A=2, 周期T-经=，初相9=晋 (2)令X=2x+号5，则y=2sin(2x+号)-2sinX 列表如下： 亚 7π 5π 6 12 X 0 3π 2π y=sinX 0 1 0 1 y=2sin(2x+吾) 0 0 -2 0 描，点画出图象，如图所示 2 6 -2. (3)方法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移 号个单位长度，得到y=si血（红+号）的国象：再把 y=si血（十）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的