3.5 函数中的综合问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第三章一元函数的导数及其应用 §3.5函数中的综合问题 ★[考试要求] 不等式证明问题、恒成立问题、函数的零点问题在高考中占有很重要的地位，不等式证明经 常与函数的性质、函数的零点与极值等相结合，恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程 等相交汇，解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等. 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔利用导数研究恒（能）成立问题 规律方法」 例1] 已知函数f(x)=专，其中e 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的 思路 2.71828…为自然对数的底数. 用分离参数法解含参不等式恒成立问题 (1)求函数f(x)的单调区间： 是指在能够判断出参数的系数正负的情 (2)证明：f(x)≤e-1; 况下，可以根据不等式的性质将参数分离 (3)设g(x)=f(x)-e2+2ae-4a2+1(a 出来，得到一个一端是参数，另一端是变 ∈R),若存在实数x。使得g(xo)≥0，求a 量表达式的不等式，只要研究变量表达式 的最大值 的最值就可以解决问题. 尝试解答] 2.求解含参不等式恒成立问题的关键是过 好“双关” 通过分离参数法，先转化为f(a)≥ g(x)(或f(a)≤g(x))对Hx∈D 转化关 恒成立，再转化为f(a)≥g(x)mm (或f(a)≤g(x)min) 求函数g(x)在区间D上的最大值 求最值关 (或最小值)问题 :跟踪训练 已知f(x)=alnz+号2-2x(a∈R且 a≠0)在(0，+o∞)上单调递增，g(x)= cos x+xsin x. ()当a取最小值时，证明f(x)≤号x2 x-1恒成立. (2)对V∈-1,1，∈[&e小使得 f(x2) -a≤g(x1)成立，求实数a的取值 T2 范围. ·59· 高考总复习数学 规律方法 判断函数零点个数的3种方法 题型2〔 利用导数研究函数的零点 令f(x)=0,则方程解的个数即为零点 直接法 的个数 [例2]函数f(x)=aln(x+1)+x2-x. (1)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切 转化为两个易画出图象的函数，看其交 画图法 线，求实数a的取值范围； 点的个数即可 (2)设0<a<1,试探究函数f(x)的零点 利用零点存在性定理判定，可结合最值、 个数. 定理法 极值去解决 [尝试解答] :跟踪训练 已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极 大值 (1)求实数c的值； (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的 零点，求实数a的取值范围. 60· 第三章一元函数的导数及其应用 [尝试解答] 规律方法 1.欲证函数不等式f(x)>g(x)(x>a),只 需证明f(x)-g(x)>0(x>a),设h(x) =f(x)-g(x),即证h(x)>0(x>a).若 h(a)=0,h(x)>h(a)(x>a).接下来往 往用导数证得函数h(x)是增函数即可. 题型3( 利用导数证明不等式 2.欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是 工例3] 已知函数f(x)=xln(x+1), 区间)，只需证明f(x)一g(x)>0(x∈I). (1)判断0是否为f(x)的极小值点，并说明 设h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证h(x) 理由； >0(x∈I),也即证h(x)mm>0(x∈I) (若h(x)mm不存在，则须求函数h(x)的 2x+1. 下确界)，而这用导数往往容易解决 ·61。 高考总复习数学 日跟踪训练 设a为实数，函数f(x)=e一2x十2a,x∈R, (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln2-1且x>0时，e>x2 -2ax+1. C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关20 培优拓展4 指对同构 指对同构的常用形式 ①同左构造形式：e士a>en士lnb,构造 (1)乘积型：ae“≤blnb(b>0),一般有三种同 函数f(x)=e士x; 构方式： ②同右构造形式：e士lnea>b士lnb,构造 ①同左构造形式：ae≤etnIn b,构造函数 函数f(x)=x士lnx. f(x)=xe; [典例] (1)设a,b都为正数，e为自然对数的 ②同右构造形式：elne≤blnb,构造函数 底数，若ae<blnb,则 ( f(x)=xIn x; A.abe B.6>e ③取对构造形式：a+lna≤lnb+ln(lnb) C.ab<e D.<e (a>0,b>1),构造函数f(x)=x十lnx. (2)设实数k>0,对于任意的x>1,不等式ke (2作商g≤品6>0，且61)，一般有 ≥nx恒成立，则k的最小值为 三种同构方式： 名师点拨 ■①同左构造形武：≤nb,构造函数f(x) 利用恒等式x=lne和x=enx,通过幂转 e 指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后 由构造的函数的单调性进行研究， ②同右构造形式：e。 。≤品。构造两数 :跟踪训练 已知函数f(x)=e+x和g(x)=ln(xe), f(a)-In 若存在实数a,B,使得f(a)一g(B)=0,则a3 ③取对构造形式：a-lna≤lnb-ln(lnb) 的最小值为 ( ) (a>0,b>1),构造函数f(x)=x-lnx. A.-e B.-1 (3)和、差型：e“士a>b士lnb(b>0),一般有两 种同构方式： e D.- ·62· 第三章一元函数的导数及其应用 [热点费化课4] 三次函数的图象与性质 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的 ①当定点P在对称中心N或在I和Ⅲ区域 性质 时，过点P的切线有且仅有一条； 1.奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b ②当定点P在曲线上或在切线1上且不在 =d=0时是奇函数， 对称中心N时，过点P的切线有两条； 2.对称性：中心对称，且对称中心是 ③当定点P在Ⅱ和V区域时，过点P的切 线有三条 (品（品）》若有极值.则它的 对称中心是两个极值点的对称中心， 0N1 引申性质：若y=f(x)是可导函数，①若函 数图象关于点(m,n)对称，则y=f(x)图 a< a 图1 图2 象关于直线x=m对称；②若函数图象关 [典例][多选]三次函数f(x)=x3+ax+2 于直线x=m对称，则y=f(x)图象关于 叙述正确的是 () 点(m,0)对称；③奇函数的导数是偶函数， A.当a=1时，函数f(x)无极值点 偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数 B.函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称 还是周期函数， C.过点(0,2)的切线有两条 3.韦达定理 D.当a<一3时，函数f(x)有3个零点 设a.x3+bx2+cx+d=0的三个根分别为 名师点拨 x1,x2,x3,则ax3+bx2十cx+d=a(x-x1) 三次函数是一类重要的函数，其规律性强， (x-x2)(x-x3)=a.x3-a(x1+x2+x3)x2 内容相对独立，且有一些独有的结论和技 十a(x1x2十x2x3十x3x1)x-ax1x2x3. 巧.如果能得当运用三次函数的有关结论， 6 可以大大简化解题过程. 比较系数可得十x2十x= xx2十 1跟踪训练 d x2x3十x3x1=,x1x2x3= a a 已知函数f(x)=2x3-3x2+9x- ,则 4.三次函数切线条数 设f(x)=a.x3+bx2+cx+d(a>0)在对称 f22)+f226)+f(2826)+…+ 6 2025 中心N一 处的切线为l,f(x) 3a f八2026 的图象及l把坐标平面分成I、Ⅱ、Ⅲ、V四 A.2024 B.2025 2 个区域，如图1(a<0)、图2(a>0)所示. C.2025 D.2026 》培优拓展5 洛必达法则 在解决不等式恒（能）成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法， 转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“8”型的代数式，就无法求其最值，“骨”型的代数 式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则 >[法则1]若函数f(x)和g(x)满足下列 (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导 条件： 且g(x)≠0. (1)limf (x)=0 limg (x)=0. (3lmfC3-A,那么1im/g=lim ()-A. ag(x) ag(x)ag(I) ·63· 高考总复习数学 ●[法则2]若函数f(x)和g(x)满足下列 跟踪训练 条件： 已知函数f(.x)=x(e-1)-a.x2(a∈R), (1)limf(x)=o∞及limg(x)=o∞. (1)若f(x)在x=一1处有极值，求a的值； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导 (2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值 且g'(x)≠0. 范围. (3)lim f'(x) =A,那么im f (x) lim f'(x) xag(x) ag(x) ag'(x) =A. [典例]已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1). 若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实 数a的取值范围. [尝试解答] 名师点拨 用洛必达法则处理日型面数的步聚：(1)分 离变量：(2)出现9型式子：(3)运用洛必达 0 法则求值， ·64· 第三章一元函数的导数及其应用 培优拓展6 泰勒展开式 1.泰勒公式 如果函数f(x)在含有x。的某个开区间 (5)1一x =1十x+x2+.+x”+o(x"); (a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对 (6)(1+x=1+x+(aDx2+…十 2 Hx∈(a,b), a(a-1)…(a-n+1Dz"+o(x"),x∈(-1,1). 有f(x)=f(,)+f《）（x-)+ n! 11 4.两个超越不等式（注意解答题需先证明后 f"（）(x-)2+…+ f(o) x-x)” 使用) 21 n! +R,(x), (1)对数型超越放缩：二1≤n≤x-1(r>0): 其中fm(x,)表示f(x)在x=x。处的n阶 导数，等号后的多项式称为函数f(x)在 (2y指数型超越放缩：x十1<c≤十（a<1, x=x。处的n阶泰勒展开式. [典例门 (1)已知a=lh1.01,b=1:0 ,C= 30e 2.麦克劳林公式 1 f(x)=f(o)+f0z+f0z2++ 10,则 ( 1！ 21 A.a<b<c B.a<c<6 fm(02x"+R(x), n! C.c<b<a D.c<a<b 虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式， 仅仅是取x。=0的特殊结果，由于麦克劳林 (2)设a=0.1e1,b=号c=-1n0.9,则 公式使用方便，在高考中经常会涉及. 3.常见函数的麦克劳林展开式[o(x”)是高阶 A.a<b<c B.c<b<a 无穷小量] C.c<a<b D.a<c<b （1)e=1士x+2,十…大之” +n+o(x); 名师点拨 涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指 (2)sin x=x- 3。士工>1 数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展 (2n-1)1+o(x2-1): 开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用 超越不等式或其变形公式解决问题， (3c0sx=1-+ 2+4-6+…+(-1) 日跟踪训练 (2n1+o(x2"): 已知a- 6=cos子=4n则(） 0n1+2=x7+3二+(-1)”四 A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b +o(x"),x∈(-1,1]； ·65· 高考总复习数学 D [热点强化课5] 导数与数列的综合问题 [典例门 已知函数f(x)=lnx-ax+1,其中 日跟踪训练 a∈R 已知函数f(x)=e一 2ax'-z. 1 (1)若函数f(x)的图象恒不在x轴上方，求 实数a的取值范围； (1)若f(x)在x∈R上单调递增，求a的值； (2②)证明1+号+号+…+>1na+1D,其 2)证明：1+1)(+)+) 中n∈N*. e2(n∈N*且n≥2). [尝试解答] 名师点拨 由函数不等式化为数列不等式的方法 x-1≥lnx→ln(1+x)≤x(x>-1), 取x=,则上>n (n+1) 1 n ,取x= n+1, n ·66· 第三章一元函数的导数及其应用 [热点费化课6] 瓢带不等式与对数均值不等式 1.在进行放缩的时候，转 化的本质就是把曲线 2(x-1) 转化为直线进行简化运 x+】 算，即用直线代替曲线， 在切点处曲线可以近似 的用直线代替，但是随 着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放 缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代 替直线.如图所示的几个特殊函数，有如下不 等式关系 e-n< 2(x-1) (0<x<1), x+1 名师点拨 对数均值不等式实际上是对数不等式链： x+1 x 2(x-1) x+1 <II< 2 1在双变元 2.对数均值不等式：两个正数a和b的对数平 a-b 情形下的应用 (a≠b), 均定义：L(a,b) In a-In b 跟踪训练 la(a=b). 对数平均与算术平均、几何平均的大小关 已知函数f(x)=lnx-a(x-1 2在x=1处 x+1 系：Wab≤L(a,b)≤a+b 的切线为x轴， 2 (1)求数a的值： (此式记为对数平均不等式)，取等条件：当 (2)求f(x)的单调区间； 且仅当a=b时，等号成立. [典例]定义在区间D上的函数f(x)满足： （3》若>>0，证明nn 一2十2 2 若对任意x1,x∈D,且x1>x2,都有 f(x1)-f(x)、 x1一x2 2,则称f(x)是D上 x1十x2 的“Good函数” (1)若f(x)=a.x2是[1，+∞)上的“Good函 数”，求a的取值范围； (2)(i)证明：g(x)=lnx是(0，+o∞)上的 “G0od函数”； (i)设n∈N”,证明：ln(2n+1)>1+1+ 2 3++…+号 [尝试解答] 67 高考总复习数学 D [热点强化课7] 极值点偏移 1.已知函数f(x)的图象 f(x) 名师点拨 的顶点的横坐标就是 极值点偏移问题的解法 0方 极值点x。,若f(x)=c优偏移，左右对称， 二次函数) (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论 的两根的中点刚好满 若f八x）=f八x),则x+x2=2xo 图1 x1十x2>(<)2x。型，构造函数F(x) 足马十飞=，即极值点在两根的正中间，也 f(x)-f(2x一x);对结论x1x2>（<) 2 就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在 x6型，构造函数F(x)-f(x)一f x=x两侧，函数值变化快慢相同，如图1. 通过研究F(x)的单调性获得不等式. 2.若十≠，则极值点偏移，此时函数 (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双 2 f(x)在x=x。两侧，函数值变化快慢不同， 变量不等式通过代换t=化为单变量 如图2、图3. 的函数不等式，利用函数单调性证明 日跟踪训练 2 }杭 已知函数f(x)=xlnx一a.x2一x十a.若函 左陡右缓，极值点向左偏移 (左缓右陡，极值点向右偏移) 数有两个不同的极值点，记作x1,x2,且x1 若fx)=fx),则x+x>2x 若fx=fx,则x+x3<2x <x2,求证：lnx1十2lnx2>3, 图2 图3 「典例] 已知函数f(x)=2alnx-x2十 2(a-1)x+a. (1)若a=1,证明：f(x)<2x-x2; (2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,求a 的取值范围，并证明：x1十x2>2a, [尝试解答] ·68题型2 [例2](1)[解析]令g(x)=)+2 e 则g(x)=)f)-2>0, e 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2026)>g(2025), 即f2026)+2>2025)+2 e2026 e202 整理得f(2026)一ef(2025)>2(e一1)，故B正确. [答案]B (2)[解析]根据题意，2f(x)十f(x)=xe, 故2f(-1)+f(-1)=-e1, 又-0=六得2（品动）十1-1)=日 故f(-1)=0,令g(x)=e2f(x), 则g'(x)=2e2f(x)十e2rf'(x)=e2r[2f(x)+f(x)] =er·xe=xer, 即2erf(x)+erf'(x)=xe,记h(x)=e2rf'(x)=xe -2e"f(z)=xe-2g(x), 所以h'(x)=eu+3.xer-2g'（x)=er十3xer-2er= er(x十1)，当x<-1时，h'(x)<0,当x>-1时， h'(x)>0,所以函数h(x)在（一∞，-1）上递减，在 (-1,十o∞)上递增，所以h(x)≥h(-1)=e2f(-1)=0, 即ef'(x)≥0，即f(x)≥0，所以f(x)在R上单调递 增，故f(x)在R上没有极值.故选项ABC说法错误，选 项D说法正确， 「答案]D 跟踪训练 解析：设F(x)=f(x)·e,则F(x)=f(x)·e十 f(x)·e=e[f(x)+f(x)]>0, F(x)是增函数 又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e :f(x)>3e3-r等价于f(x)·e>3e3, 即F(x)>F(3), x>3,即所求不等式的解集为(3，十∞) 答案：(3，十∞) 题型3 [例3】[解折】为选函数g)-(<<受)】 则g(r)=()cosx土fr)sin工<0，即画数 (cos x) 8x)在(（0受)上单调递减，所以g(晋)>8(5） 所以()>/()同理()）>()，即 r()>f()片 [答案]CD 跟踪训练 解析：令g(x)=巴，则 sin x ()-P()sinf()cosz sin'x 因为x∈(0，π)，所以sinx>0, 因为f(x)sinx-f(x)cosx0, 所以g'(x)<0,所以g(x)在(0，π)上单调递减， 由x财()m得2） sin x sin 4 所以g(x)<g(于）因为g(x)在(0，m)上单调递减， ·3 参考答案 所以于<<，所以不等式(x)<Ef(牙)sinx的解 集为（牙） 答案：（受） 题型4 [例1解折打]设)竖，利f)-12=0 得x=√， 则f(x)在(0wWe)上单调递增，在(e,十o)上单调递减， b=f(5),c=f(W6),则b>c, 11n55-3n5_ne-lh125>0,得a>b, 又a-b=6-10 30 30 所以a>b>c. [答案]A x (2)[解析]构建f(x)=nx>e, 则了=号>0在e,十)止恒成主， 可知f(x)在(e,十o∞)上单调递增， 后品=品2 因为a=π 2 4 可知f(4)>f(π)>f(e)=e,即c>a>e; 构建g(x)=x-sinx,x>0, 则g(x)=1一c0sx0在(0，十o)上恒成立， 可知g(x)在(0，十∞)上单调递增， 则g(x)>g(0)=0,即x>sinx,x>0, 可得>sin。,且e>0,则e>e·sin。,即e>o: 综上所述：c>a>b. [答案]B 跟踪训练 Da=sn晋>n吾=-， 设f(x)=lnx十1-x,x>1,则f(x)=1二2<0， 故f(x)在(1，十∞)上为减函数， 故f(x)<f(1)=0即1nx<x-1(x>1), 所以6=h受>名-1=，数a>>h §3.5函数中的综合问题 跃升·关键能力题型1 [例1][解](1)求出f(x),判断导数正负得到函数 f(x)的单调区间：(2)利用分析法转化要证结论，要证 fx)≤e-1,即证二≤e-1,令h(x)=二-e+1,即 证h(x)≤0，利用导数判断h(x)单调性，求出最大值即 可得证； (3)g(x)=f(x)-e2r十2ae-4a十1，分别讨论当0≤a ≤时和a>2时是否存在使得g(红)>0，即可求解. (1)f八x)的定义域为R,f()=1x, 所以当x<1时，f'(x)>0:当x>1时，f(x)<0. 所以f(x)的增区间为（一o,1),减区间为(1，十∞）. (2)要证f(x)≤e-1,即证二≤e-1,令h(x)= e e十1，即证h(x)0, (x)=1亡，令m()=1-工-e,则m'(x)=-1 e -2e<0,所以m(x)在R上单调递减，又m(0)=0, 高考总复习数学 ∴.当x<0时，m(x)>0,h'(x)>0:当x>0时，m(x)< 0,h'(x)0. .h(x)在(-o,0)上单调递增，在(0，十∞)上单调递 减h(x)≤h(0)=0,所以二≤e-1,即f(x)≤e-1 得证 （3)当0a<号时，g0)=2a-4d2=2a(1-2a)≥0，即存 在=0满足题意：当。>分时，由(2)知， g(x)=f(x)-er+2ae*-4a2+1(e*-1)-e+2ae" -4a2十1 =-e2r十(2a+1)e-4a2=- (e-2a) (6a+10(1-2a2<(6a+1)1-2a)<0, 4 4 ∴.此时g(x)<0恒成立，不满足题意； 综上，所以a的最大值为公 跟踪训练 解：1D由题意可知)=是十x一2≥0在(0，十∞)上担 成立， 即a≥(2x-x2）mx=1,.am=1, 北时)=nx号产-2 x 令h'(x)>0→0<x<1,令h'(x)<0→x>1, h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， .h(x)h(1)=0 x)≤号-x-1恒成立， (2)g'(z)=-sin x+sin z+xcos x=xcos 当x(0,受)时00sx>0,g'()>0, 六gx)在(0，受)上单调道增， 当xe(经x）时c0sx<0g'()0. g)在（受）上单调递减： g0)=1g(受)=受g)=-1, g(x)在(0，π)上的最小值为-1. 易知g(x)为偶函数，由偶函数图象的对称性可知g(x) 在[一π，π]上的最小值为-1 由题意可得[小俊得 -a≤-1成立， 即a(西-ln)≥-4成立. 由(1)可知x2-lnx2≥1>0， 1 nae[片] 即只需a≥g(x)min即可. (x-1)(x-lnx)- (x)= (x-In x) (z-In z)? ·38 由(1)知lnx≤x-1得-lnx≥1-x, 1 1 一王>0 :2x-nx+1≥2x+1-x+1-=2-2x=2 令g(x)>0→1<x<e,令g'(x)<0→1<x<1, e 9x)在（日1）上单调递减，在(1，）上单调递增。 1 ∴p(x)mn=9(1)=-2, ∴a≥-，又已知a≥1，故a的取值范调为[1，十o), 题型2 [例2][解](1)f(x)=aln(x十1)十x2-x, 则'()=2x+x1十0，x>-1 x十1 由题意，存在x。∈(-1，十∞)，使得(x。)=0 即关于x的方程2x2十x-1十a=0在(-1，十o∞)上有 实根， 该方程等价于a=-2x2-x十1， 则a的取值范围是函数y=一2x2-x十1，z∈(-1，十o∞)的 值摄，又画数f)=-2x-x+1在(-1，-子)上单 调增，在（子，十）上单调适减， 且f()号 则函数y=-2x-x十1，x∈(-1，十∞)的值域为 (-,号]所以a的取值范国是(0，] 91 (2)当0<a<1时，令g(x)=2x2十x-1十a,对称轴x= 1 一4 则△=9-8a>0,g(-1)=a>0,g(0)=-1十a0 则g(x)存在两个零点x1,x2,-1<x1<0<x2, 在(-1，x1)上，g(x)>0,f(x)>0,f(x)递增： 在(x1,x2)上，g(x)<0,f'(x)<0,f(x)递减： 在(x2,十∞)上，g(x)>0,f'(x)>0,f(x)递增. 又f(0)=0,f(x1)>f(0)=0>f(x2), 在(-1,0)上，x2-x∈(0,2)，f(x)<aln(x十1)+2， 则e-1∈(-1,0)，f(e-1)<0, 所以f(x)在(-1,0)上零点个数为1 又f(1)=aln2>0,所以，f(x)在(0，十o∞)上零点个数 为1，又f(0)=0. 综上，当0<a<1时，f(x)的零点个数为3个. 跟踪训练 解：分析：(1)由题意题千中的函数进行求导，根据极值 与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； (2)由(1)明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调 性，并作图，根据零，点定义，将问题等价转化为函数交点 问题，可得答案 (1)由函数f(x)=x(x十c),求导可得(x)=(x十c) (3x十c), 由函数f(x)=x(x十c)在x=1处取极大值，则f(1) =0,解得c=-1或-3， 当c=-1时，可得f(x)=(x1)(3x-1), 另知当号<<1时，f<0:当>1时，f>0 则此时函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，舍 去； 当c=-3时，可得f(x)=(x-3)(3x-3), 易知当<1时，f(x)>0:当1<x<3时，f(x)<0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极大值，符合题意 综上所述，c=一3. 8 (2)由(1)可得函数f(x)=x(x一3)2，求导可得f(x)= 3(x-1)(x-3), 令(x)=0,解得x=1或3，所以，当x变化时， f(x),f(x)变化如下表： (-0∞，1) 1 (1,3) (3,十∞) f(x) 0 0 单调 单调 单调 f(x) 极大值 极小值 递增 递减 递增 所以函数f(x)的极大值为f(1)=4,极小值为f(3)=0, 函数g(x)=f(x)十a存在三个零点，等 价于函数f(x)图象与直线y=一a存在 y=fx) 三个交点， 如图：由图可得0<一a<4,则一4< a<0. 0 所以实数a的取值范围为（一4,0）. 题型3 [例3][解](1)0是f(x)的极小值点，理由如下： f(x)=xln(x十1)定义域为(-1，十o), 0 f(m=lnx+1)+千，其中f(0)=lh1十=0， 当x∈(-1,0)时，ln(x+1)<0x千<0， 故f)=lnx+1D十千<0， 当x∈(0，十o∞)时，ln(x+1)>0,x千>0， 故fx)=lnx+1)+克>0， 故f(.x)=xln(x十1)在(-1,0)上单调递减，在(0，十oo) 上单调递增， 故0是f(x)的极小值，点： (2)f2> -+1等价血》>-中1. +10+-x 即 >0, x 令gz)n(x+1)于2xx(-1) 1 则g'(x)= x十万-x—1二7(x>一1)、 当x>-1时，g'(x)≥0， 所以g(x)在x>一1上单调递增， 又g(0)=0, 故当x>0时，g(x)>g(0)=0,当-1<x<0时， g(x)<g(0)=0, 则 一>0恒成立， 故f2>-1 x2 x+1. 跟踪训练 解：(1)由f(x)=e*-2x十2a(.x∈R), 知f(x)=e-2.令f(x)=0,得x=ln2. 当x<ln2时，f(x)<0, 故函数f(x)在区间（一oo,ln2)上单调递减； 当x>ln2时，f(x)>0, 故函数f(x)在区间(ln2,十oo)上单调递增. 所以f(x)的单调递减区间是(-o∞，ln2),单调递增区间 是(ln2,十o∞)，f(x)在x=ln2处取得极小值f(ln2)= e2-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极大值. ·3 参考答案 (2)证明：要证当a>ln2-1且x>0时， e>x2-2a.x+1, 即证当a>ln2-1且x>0时， e-x2+2ax-1>0. 设g(x)=e-x2十2a.x-1(x>0). 则g(x)=e一2x十2a, 由(1)知g'(x)mim=g'(ln2)=2-2ln2+2a, 又a>ln2-1,则g'(x)mm>0. 于是对Hx∈R,都有g'(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增， 于是对Hx>0,都有g(x)>g(0)=0. 即e-x2十2a.x-1>0, 故e>x2-2a.x十1. 培优拓展4指对同构 [典例](l)[解析]由ae<blnb,得elne“<blnb. 设f(x)=xlnx(x>0), 因为a>0,则e“>1, 因为b>0,且blnb>ae“>0,则b>1. 当x>1时，f(x)=lnx十1>0， 则f(x)在(1，十∞)上单调递增， e"In e"<bln b,f(e")<f(b), 所以e“<b [答案]B (2)[解析]由ke"≥lnx得kxer≥xlnx, 即kxe≥er·lnx, 令f(x)=xe”,则f(kx)≥f(lnx). 因为f'(x)=(x十1)e, 所以f(x)在（一1，十∞）上单调递增， 因为kx>0,lnx>0,所以kx≥ln,即k≥h, 令h(x)=ln2(x>1),则()=1-n2, x 当x∈(1，e)时，h(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(e,十o∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 所以h(x)m=h(e)=工，即k≥1 e 所以的最小值为工」 e [答案] e 跟踪训练 C[设g(x)=lnx十x,由f(a)=g(e)=g(),又g(x) =lnx十x在定义域上单调递增，则B=e,于是a3=ae. 再利用导数求函数的最小值即可， 因为f(.x)=e+x=e+lne",g(x)=lnx十x, 所以f(a)=e十lne°，g(e)=e十lne,而f(a)-g(B) =0, 故f(a)=g(e)=g(B),又g(x)=lnx十x在定义战上单 调递增，则B=e°，于是a明=ae. 设h(a)=ae,则h'(a)=(a十1)e, 当a∈(-o∞，-1)时，h'(a)<0,h(a)单调递减， 当a∈(-1，十o)时，h'(a)>0,h(a)单调递增， 所以h(am=h()=二。.J] 热点强化课4三次函数的图象与性质 [典例][解析]对于A,a=1,f(x)=x+x十2， f(x)=3x十1>0，f(x)单调递增，无极值，点，故A正确； 对于B,因为f(x)十f(-x)=4,所以函数f(x)的图象 关于点(0,2)中心对称，故B正确； 对于C:设切点(，f(x1), 则切线方程为y一f(x1)=f(x1)(x一x1), 9 高考总复习数学 因为过点(0,2)，所以2-f(x1)=f(x1)(-x1), 2-x-a.x1-2=-3x1-ax1,解得1=0， 即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误； 对于D:f(x)=3x2十a,当a一3时， a f(x)=0,x=±-3' 时 f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈ 层时f>0,f单调适. 又)有板大值为f(√厂号 >f(0)=2>0, 所以若函数f(x)有3个零点， +2<0, 得到a<-3,故D正确. [答案]ABD 跟踪训练 B[由f()=2x-3x2+9z-子，可得rx)=62 6x十9，f(x)=12x-6. 令r(x)=12x-6=0,得x=又f(位) 2x(合)广-3x(合)广+9x立子=古所以图 象的对称中心为（合·2）1(0）】十f(信8隐)=1， f()十f(侵器)-1，f(28器)+f(282) =1,f(器)=合f(202s)+f(22) 2 f()+r() /2025 1012x1+号292 2 培优拓展5洛必达法则 [典例][解]方法一：令g(x)=f(x)-ax=(x十1) ln(x十1)-ax(x>0), 则9'(x)=ln(x十1)+1-a. x>0,.ln(x+1)>0. ①当1-a≥0，即a≤1时，9'(x)>0, ∴·(x)在(0，十o∞)上单调递增， 又g(0)=0,p(x)>0恒成立，故a≤1满足题意. ②当1-a<0,即a>1时， 令g'(x)=0,得x=e-1-1, x∈(0，e-1-1)时，9(x)<0; x∈(e-1-1,十∞)时9(x)>0, 9(x)在(0，e-1-1)上单调递减， 在(e-1-1,十o∞)上单调递增， ∴gp(x)mm=p(e-1-1)<p(0)=0与g(x)>0恒成立矛 盾，故a>1不满足题意. 综上有a1,故实数a的取值范围是（一o,1]. 方法二：当xE(0,十o∞)时， (x+1)ln(x十1)>ax恒成立， 即a<+1nx+1)恒成立. 令g(x)=+1lnx+D(x>o). g'(.x)=x-ln(x+1) ·3 令k(x)=x-ln(x十1)(x>0), )=1片>0 .k(x)在(0，十∞)上单调递增 .k(x)>k(0)=0, ∴.x-ln(x十1)>0恒成立， ∴g'(x)>0,故g(x)在(0，十∞)上单调递增. 由洛必达法则知 limg (z)=lim (z+D)In(z+D=lim[ln(z+1)+1]=1. .a≤1，故实数a的取值范围是(-∞，1门. 跟踪训练 解：(1)f(x)=e-1十xe-2ax=(x十1)e-2ax-1, 依题意知f'(-1)=2a-1=0,a= 1 经检脸Q=合符合题意. (2)方法一：当x>0时，f(x)≥0， 即x(e-1)-a.x2≥0，即e-1-a.x≥0， 令g(x)=e-1-ax(x>0), 则g(x)min≥0，p'(x)=e一a ①当a≤1时，p(x)=e-a>0, (x)在(0，十∞)上单调递增， .p(x)>p(0)=0,a≤1满足条件. ②当a>1时，若0<x<lna,则p'(x)<0, 若x>lna,则p'(x)>0. ∴.p(x)在(0，lna)上单调递减， 在(lna,十o∞)上单调递增， '.(z)min=(In a)=a-1-aln a>0. Ag(a)=a-1-aln a(a>1), g'(a)=1-(1+lna)=-lna<0, ∴·g(a)在(1，十o∞)上单调递减. ∴g(a)<g(1)=0与g(a)≥0矛盾， 故a>1不满足条件， 综上，实数a的取值范围是（一o∞，1]. 方法二：当x>0时，f(x)≥0， 即x(e-1)-a.x≥0，即e-1-ax≥0， 即ar≤e-1,即a≤e1恒成立， 令h(x)=e-1(x>0). x ∴h'(x=e(x-1)+1 令k(x)=e(x-1)+1(x>0),.k'(x)=e·x>0, k(x)在(0，十∞)上单调递增， .k(x)>k(0)=0,.h'(x)>0, ∴h(x)在(0，十o∞)上单调递增. 由洛必达法则知，lmA(x)=im1-limc=1, x a≤1.故实数a的取值范围是(-oo,1]. 培优拓展6泰勒展开式 [典例](1)[解析]由二1≤1nx≤x-1知 x 1n1.01>1.01-1=1 1.01=107=c, ∴ac, 1n1.01<1.01-1=0.01=100' 又6=1,011.01=1.01、1.01、1 30e30×3901001001 .b>a,故b>a>c. [答案]D 00 （2[解析]6=号≈0.11， 由公式c=1中十荒+ 可得e1≈1+0.1+0.，=1.105y 则a=0.1e°1≈0.1105， c=-1h0.9=n9=h(1+号)） 由公式ln(1十x)=x- 23 (I 得c=l(1+日)≈日 1 （9≈0.1049， 2 所以c<a<b. [答案]C 跟踪训练 A[根据题意，构造画数x)=1一三 g(x)=cos z,h(x)=sinz x 则a=f()b=(）c=() 由于较小， 所以对g(x),h(x)在x=0处进行泰勒展开： g(x)=1- 2!T4十o(x), A)=1-+气+a 显然，在=时， a=f()b=(分)下c=h()故a<b<] 热点强化课5导数与数列的综合问题 [典例][解](1)由函数f(x)的图象恒不在x轴上方， 且f(x)=lnx-ax十1， 即f(x)=lnx-ax十1≤0恒成立， 即a≥血+1在(0，十∞)上恒成立， 令g(x)=血+(x>0),可得g)=, x 2 当x∈(0,1)时，g(x)>0; 当x∈(1，十o∞)时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以g(x)mx=g(1)=1,所以a≥1， 即实数a的取值范围为[1，十∞). (2)由(1)知，当a=1时，f(x)=lnx-x十1≤0， 即x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号， 令x=中(m∈N),可得L>lnn+1, n n 所以1+号+号+>h导+h+h 4 十…十 n ）=ln(n+1), n 即当EN时1+子+号++女>1a+1 跟踪训练 解：1)函数f(x)=e-zar-, 求导得f(x)=e-ax-1, 由于函数f(x)在R上单调递增， 则f(x)=e一ax一1≥0恒成立， 令h(x)=e-ax-1,则h'(x)=e'-a, ·3 参考答案 当a=0时，f(x)=e-1, 当x<0时，f(x)<0,不满足条件： 当a<0时，h'(x)>0,h(x)在R上单调递增， 又(日）=中-a-1=e-20 即了（日）下0，不满足条件， 当a>0时，令h'(x)=0,得x=lna,则当x<lna时， h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h'(x)>0, h(x)单调递增，于是当x=lna时，h(x)取得最小值， h(In a)=e"-aln a-1=a-aln a-1, 于是h(lna)≥0，即a-1-alna≥0， 令u(a)=a-1-alna,则t'(a)=-lna, 当0<a<1时，u'(a)>0,u(a)单调递增； a>1时，u(a)<0,u(a)单调递减，则u(a)mx=u(1)=0, 由于a-1-alna≥0恒成立， 因此a-1-alna=0,则有a=1, 所以f(x)单调递增时，a的值为1. (2)由(1)知，当a=1时，e-x-1≥0，即有e≥x十1， 当且仅当x=0时取等号，即当x>0时，ln(x十1)<x, 因此当n∈N“且n≥2时， [1+少(+号)小-(+)】-1+-(+) +(+)+ 十… 1 而当n≥2时，京<nn-n刀 所以1+}+<1 [(-)十（合3）十+（马）门 =1+1- <2, 则[1+(+)(1+)]2. 所以，1+1D(1+子)小(1+)下， 热点强化课6飘带不等式与对数均值不等式 [典例][解](1)由题可知任意x1x2∈[1，十∞)， f(x)-f(x2) 2 且x1>x2, x1-x2 x1十x2 即ai-a>2，解得a>7 2 2x1一xgx1十x2 (x1十x2)2 因为x1十x,∈(2，十o∞)，所以a≥2 即a的取值范固为 1 (2)(i)证明：设x1x2∈(0，十∞) 则g）g(x2）-5-之=n4-lnx2-飞-5 2 x1十x2 2 x1十xg ln44-1 2 十1 X2 令x=马，且x∈(1，十oo),h(x)=1nx-2xD x+1 x∈(1，十∞) 4 -1)>0, 则()=子-可z 则h(x)在(1，十o)上单调递增， 所以h()>h(1)=0,即）(x-型 2 x1十x2 所以g(x)=lnx是(0，十o∞)上的“Good函数”. 高考总复习数学 (i)证明：由(1)可知，当x∈(1，十o)时， In z -In z2 2 x1十x2 令x1=2n十1，x2=2n-1,n∈N”, 则ln(2m+1),ln2n-D> 2 2n 即ln(2m+1)-ln(2n-1)>1 n 故ln3-ln1+ln5-ln3+…+ln(2n+1)-ln(2n-1) 化简可得162a+1D>1+号+号+}+…十 1 n 跟踪训练 屏，》图为)=h上a>0. 所以(x)=1 2a x(x+1)x>0, 又因为函数y=f(x)在x=1处的切线为x轴， 所以f=1-号=0. 解得a=2. (2)由(1)可知f()=nx-2(x-1D」 x+12,x>0, (x-1)2 所以fx)aD≥0， 所以函数在(0，十∞)上单调递增， 所以函数的单调递增区间为(0，十∞)，无单调递减 区间： (3)证明：由(2)可知函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， 且f(1)=0, 所以当x>1时，f(x)0, 又因为4>>0，所以4>1， 有f2）>0lh>ln,有1h西-ln>0, 由（）>0，得h- 十1 即ln 1+1 x1十x2 即1n1-ln,>2.二(*)， x1十x2 又因为lnx1-lnx2>0,x1十x2>0, 将(*)式两边同时乘以2(nx-1nx)' x1十x2 得n- 2 热点强化课7极值点偏移 [典例][解](1)当a=1时，f(x)=2nx-x+1,定义域 为(0，十o∞)，令g(x)=f(x)-(2x-x)=2lnx-2x十1，则 g(x)=2-2,当0<x<1时，g(x)>0:当1<x时， x g(x)<0;所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十6○)上 单调递减，故g(x)s=g(1)=一1<0，所以g(x)<0,得 f(x)<2x-x (2)因为f(x)有两个不同的零点x1,x2, 则f(x)在定义域内不单调： 由f(x)=2a-2x+2(a-1)=-2(x-a)(x+D x ·39 当a0时，f(x)<0在(0，十oo)恒成立， 则f(x)在(0，十∞)上单调递减，不符合题意： 当a>0时，在(0，a)上有f(x)>0, 在(a,十o∞)上有f(x)<0, 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,十o∞)上单调递减. 不妨设0<x1<a<x2, 令F(x)=f(x)-f(2a-x), 则F'(x)=f(x)-f(2a-x)(2a-x)'=f(x)十 了2a-)=g-2x+2a-10+3a2-22a-0） x 2(a-1)=4(a-x)2 x(2a-x)1 当x∈(0，a)时，F'(x)>0,则F(x)在(0，a)上单调递增， 所以F(x)<F(a)=f(a)-f(2a-a)=0, 故f(x)<f(2a-x),因为0<x1<a<x2, 所以f(x1)f(2a-x1), 又f(x1)=f(x2),a<2a-x1<2a, 则f(x2)<f(2a-x1),又f(x)在(a,十∞)上单调递减， 所以x2>2a-x1,则x1十x2>2a. 跟踪训练 解：f(x)=xlnx-ax2-x十a,f(x)=lnx-2ax. 因为f(x)有两个不同的极值，点x1,x2,所以lnx1= 2ax,In x:=2ax2. 欲证lnx1十2lnx2>3,即证2ax1+4ax2>3, 又0x1<x2, 3一①. 所以原式等价于a>2x十4z In 2 =2ax,In x =2ax:, In 得1n=2a(x-4)>a=2x,-x) 由①②知原问题等价于求证41> 3 2x,-xx1十2x21 即证ln 2>3(2-x1) - x1十2x2 142 令t=要，则>1，上式等价于求证1nt>3) 1+2t1 令h)=1nt-3t二(>1D. 1+2t 则h()=1-31+2)-61-1)=t-1D4t-1) t (1+2t)2 t(1+2t)2 因为t>1,所以h(t)>0恒成立，所以h(t)单调递增， h0>1n1-3X2=0, 1+2×1 即nt>3D,所以原不等式成立，即1n十2n西>3. 1十2t 热点强化课8隐零点 [典例][解](1)f(x)≤0在x∈(0，十∞)恒成立， 等价于2a≥ln2在(0，十o0)上恒成立， 记h(x)=ln,则(x)=1-n工， 当0<x<e时，h'(x)>0,当x>e时，h(x)<0, 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， 所以当x=e时，h(x)取得最大值h(e)=ne=L e e 所以2a≥。，即a的取位范国[品十） 2 (2)当a=- 分时gx)=fe)fx)=e-lnx,x>0, 则g(x)=e-1 x 因为y=e,y=一 在0，十∞)上均单调道增， 所以g'(x)在(0，十∞)上单调递增， 又g(合）=et-2<0,g11)=e-1>0. 所以在区间（合）上存在使得《）=0 当x∈(0，x)时，g'(x)<0,当x∈(z,十∞)时，g'(x)>0 所以g(x)在(0，x)上单调递减，在(z。,十∞)上单调递增， 所以gx)存在唯一极小值点x,∈（侵1）】 因为e西-1=0，即lnx=-x, 所以g(xo)=e0-lnxo=eb十xo, 国为，∈（侵1）小且y=e+x在（合，1）上单调递增， 所以g红)=c十>+子 所以)=十>号十子=2 跟踪训练 解：(1)f)=血+x+2的定义战为(0，十0)， '(x)= （2+-n+2 -In x-1 当0<<1时，∫(x)>0,f(x)单调递增， 当x>时，f(x)<0,f(x)单调递减， 故当x=时， fx)取最大值f(日）-c(1+）厂e+ (2)由ae1≥f(x)可得a≥lnx+x+2, re-I 令g(x）)=血x++2,则g(） re"-T _（+水e)-h+2e+e (xe-) 化简可得g(x)=二nz十x十1)1+2 x2e-1 由于0故号>0 又函数y=lnx,y=x十1均为单调递增函数，因此p(x) =lnx十x十1单调递增，且p(1)=ln1十1十1>0， p(e2)=-2十e2+1<0,因此存在唯一xo∈(0,1)， (xo)=0,即lnxo十2xo十1=0，且x<x时，p(x)>0, g'(x)<0,g(x)单调递减， 当o>x>0时，p(x)<0,g'(x)>0,g(x)单调递增， 故g()=g()=ln十十2。1 Toe'oI oeo-T 由lnx。十x。十1=0可得xoeo+1=1,进而xel 1 e, 故g(x)=g(,)=n十十2-1=1 Zoe'o-1 toe'o-T= 1 =e, 因此a≥g(x)nx=e,故a≥e. ·3 参考答案 第四章三角函数与解三角形 §4.1任意角和孤度制、三角函数的概念 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角(3)-a 21洋径长2(2)，女合。 3.1yx￥ 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2AC[与角号的终边相同的角为2kx+号(k∈ZD,k=2 时4+=号] 3.A[因为sin20,cos3<0,tan4>0, 所以sin2·cos3·tan4<0.] 4解析：因为9e(受，，所以cos<0, 所以r=√x2十y=√9cos8+16c0s0=-5cos0, 所以sina=义= 合ana=-- 答案：-- 跃升·关键能力题型1 [例1门(1)[解析]由于M中，x=令·180°+45°- 2 k·90°十45°=(2k十1)·45°，2k十1是奇数；而N中， x=车180+45°=k·45+45=(k+1)·45,k+1 是整数，因此必有M二V. [答案]B (2)[解析]：0是第三象限角，x十2km<0<十 2k,keZ受+<号<平+xkeZ, :号的终边落在第二、四象限，又c0s号 -60s号c0s号<0号是第二象限角。 [答案]B 跟踪训练 1.C[因为直线y=尽x的倾斜角是于，所以终边落在直线 y=5x上的角的取值集合为{知a=kr+号，∈Z.门 2.AC[,a是第二象限角， “受+26m<a<x+20x,k∈Z. ·平+r<受<受十x,k∈Z 当k为偶数时，受是第一象限角： 当k为奇数时，号是第三象限角] 题型2 [例2][解]1a=60=晋，1=10x号=19(cm. 33 (2)设弓形面积为S,.由题知1-受cm (号-)cm. 93