3.2 导数与函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第三章 一元函数的导数及其应用 跟踪训练 A.y=0 1.若曲线y=3(x2一x)e-1在点(1,0)处的切 B.2ex-y-e=0 线与y=a.x十2平行，曲线y= h气在点 C.y=0或2ex-y-e=0 D.y=0或ex-y-1=0 (1,0)处的切线与直线x一by+1=0垂直， (2)若曲线C:y=a.x2(a>0)与曲线C,:y=e 则a十b= 存在公共切线，则a的取值范围为 2.(2024·全国甲卷)设函数f(x)= 规律方法 。十2sinx,则曲线y=f(x)在点(0,1)处 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜 1+x2 率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列 的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组 积为 求解.或者分别求出两函数的切线，利用两 切线重合列方程组求解， d跟踪训练 c号 n号 已知曲线y=e在点(x1,y)处的切线与曲 线y=lnx在点(x2,y2)处的切线相同，则 题型3 两曲线的公切线 (x1+1)(x2-1)= [例3](1)已知点P是曲线y=xe与曲线y A.-1 B.-2 C.1 D.2 =ex的公共点，则两曲线在点P处的公共 C温馨提污 切线方程是 学习至此，请完成配套训练 课时冲关16 §3.2 导数与函数的单调性 ★[考试要求] 1,结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.利用导数判断函数单调性的步骤 1.函数的单调性与导数的关系 第1步，确定函数的 条件 恒有 结论 第2步，求出导数f(x)的 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划 f(x)在区间(a,b)上 f(x)>0 分为若干个区间，列表给出(x)在各区间 上的正、负，由此得出函数y=f(x)在定义 函数y= 域内的单调性， f(x)在区 f(x)在区间(a,b)上 f'(.x)<0 知识拓展用活 间(a,b)上 可导 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈ f(x)在区间(a,b)上是 (a,b)时，f(x)≥0恒成立；若函数f(x)在 f'(x)=0 (a,b)上单调递减，则x∈(a,b)时，f(x)≤0 恒成立 ·51. 高考总复习数学 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间， (3)在(a,b)内f(x)≤0且f(x)=0的根有有限 则x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函数 个，则f(x)在(a,b)内单调递减. () f(.x)在(a,b)上存在单调递减区间，则 (4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数， x∈(a,b)时，f'(x)<0有解」 () 自主诊断查验 2.函数y=x一lnx的单调递增区间是() 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” A.(0,1) B.(0,2) 或“X”) C.(0,+∞) D.(1,十) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0, 3.函数f(x)=e一2x在[1，e]上的最小值为 则f(x)在此区间内没有单调性.( (2)函数在某区间内单调递增，则一定有f(x) 4.已知函数f(x)=m,x一cosx在R上单调递 >0 增，则m的最小值为 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1（ 不含参函数的单调性 (2)讨论函数f(x)的单调性； [例1](1)函数f(x)=(2x一1)e的单调递 [尝试解答] 减区间是 2 c(-3o 0, (2)已知定义在区间（一π，π）上的函数f(x) =xsin x+cosx,则f(x)的单调递增区间 是 规律方法 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数 单调性的步骤即可，但应注意：一不能漏掉 求函数的定义域，二函数的单调区间不能用 并集，要用“逗号”或“和”隔开 日跟踪训练 函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是 A. B.(o.) D. 题型2 含参数的函数的单调性 [例2] 已知函数fx)=lnx+2 -ax (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f1) 处的切线方程； ·52· 第三章一元函数的导数及其应用 规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参 数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义 域内讨论，还要确定导数为零的点和函 数的间断点 日跟踪训练 已知函数g(x)=lnx十a.x2-(2a十1)x.若 a>0,试讨论函数g(.x)的单调性， 题型3 函数单调性的应用 [角度1]比较大小或解不等式 [例3-1] (1)设a=1, 23则 3 ( A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.6<c<a (2)已知函数f(.x)=3.x-sinx,若f(a)+f(a 一2)>0，则实数a的取值范围为 [角度2]根据函数单调性求参数 [例3-2] 已知函数f八x)=2r+2ax-nx, 若f)在区间号2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 延伸探究] 在本例中，把“f(x)在区间 [号2]上单调道增”改为“/)在区同 [3,2]上存在单调递增区间，求a的取值 范围 ·53· 高考总复习数学 [尝试解答] 教考衔接上面2024年新课标Ⅱ卷T,源 于人教A版选择性必修第二册Pg拓广探 索，T13 利用信息技术工具， 根据给定的a,b,c,d G=5.00 d=-1.00 的值，可以画出函数 fx)=ax+bxtc± f(x)=ax+bx2+ cx+d(a≠0)的图 A 象，当a=-4,b=1, c=5,d=一1时，f(x)的图象如图所示.改 变a,b,c,d的值，观察图象的形状： (1)你能归纳函数f(x)图象的大致形状吗？ 它的图象有什么特点？你能从图象上大致 规律方法 估计它的单调区间吗？ 根据函数单调性求参数的一般思路 (2)运用导数研究它的单调性，并求出相应 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x) 的单调区间. 在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单 调区间的子集. (2)f(x)单调递增（减）的充要条件是对任 意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0('(x)≤ 0),且在(a,b)内的任一非空子区间上， f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等 号不能省略，否则会漏解 (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化 为不等式有解问题。 跟踪训练 1.已知函数f(x)=lnx 总，设a=1cg,2》, b=f(loga.20.5),c=f(n4),则a,b,c的大 小关系为 A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 2.(2024·新课标Ⅱ卷，T11)设函数f(x)= 2x3-3ax2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x) C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关17 的对称中心 ·54。1 直线x一by十1=0的斜率为k:=方，由导数的几何意义 可得，之，=-1，所以6= 1 2 所以a十b=立 5 答案：号 2.A[f(x)=e+2sinx」 1十x ∴f(0=e+2os)1+)-(e+2sin)·2z (1+x)2 (z-1)'e+2(1)cos z-4zsin (1+x2)9 则f(0)=3, y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0), 即3x-y十1=0 令x=0,得y=1, 令y=0得x=宁 ∴y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三 角形的面积为S=合×-吉×1=合] _1 题型3 [例3](1)[解析]设P点的坐标为(x,yo), 对曲线y=xe求导得y'=e十xe, 对曲线y=ex2求导得y=2ex, 得，c心=2解得=1， lzoeo=ezo, 得P点坐标为(1，e),切线方程为2ex-y-e=0. [答案]B (2)[解析]由y=a.x(a>0),得y=2a.x, 由y=e,得y=e, 曲线C:y=ax(a>0)与曲线C2:y=e存在公共 切线， 设公切线与曲线C1切于，点(x1,ax1), 与曲线C2切于点(x2,e2), 则2au1=e=e-az x2一x1 可得2x=十2，a=2x,记fzx)=3+1 2x 则f(x)=+1(z-2 4.x 当x∈(0,2)时，∫(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(2，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. e .当x=2时，f(x)m= a的取值范国是厂g】 [答案] 跟踪训练 B[根据常用函数的导数可知：y=e→y'=e,y=lnx y=1, 则两函数在点(x1,y1)和(x2,y2)处的切线分别为：y一y =e1(红-x)y-为=1(x-),化简得y=ex十 1 1=)ey=+l-1 由题意可得： e=1 (1-zx1)e=lnx2-1 化简得x1x2十x2一x1十1=0→(x1十1)(x2-1)=-2.] ·3 参考答案 §3.2导数与函数的单调性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.单调递增单调递减常数函数2.定义域零点 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ 2.D[函数y=x-lnx的定义域为(0，十o∞)， y=1一1=二1，所以y=x-nx在区间 (1,十∞)上y>0,函数单调递增.] 3.解析：因为f(x)=e-2,当x∈[1，e]时， f(x)=e一2>0，所以f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)m=f(1)=e-2. 答案：e-2 4.解析：因为函数f(x)=mx一cosx在R上单调递增， 所以f(x)=m十sinx≥0在R上恒成立， 即m≥一sinx在R上恒成立， 所以m≥1. 答案：1 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]因为f(.x)=(2x一1)e,所以f(x) =(2十1De,不等式了(x)<0,解得x<-之，因此函数 1 fx)=(2x-1e的单调递减区间是(-oo,-2) [答案]A (2)[解析]f(x)=sinx十ccos x-sinx=xcos x, 令f'(x)=xcos>0, 则其在区间(-，)上的解案为(-，-)和(0，受) 即f)的单调递增区间为(，-受)和(0，受)片 [答案] (-,-)和(0受)】 跟踪训练 B[因为函数f(x)的定义域为(0，十oo),且f(x)=lnx十 土=lnx+1,令fxK0,解得0<日故f)的单 调逼减区间是(0。）门 题型2 [例2][解] 1)当a=2时f()=nx+合2 1 2x, 求导得f(x)= 十x2 2 则f1)=是f1)=0,即切点为1.0. 切线的斜率为受 所以切线方程为：y-0=号(x-1),即3x一2y-3=0 (2)画数f)=lnx十号r-ax的定义域为0，十eo)… 求导得r)=士+xa 当a≤2时，f(x)=1十x-a≥2-a≥0， 则函数f(x)在(0，十o)上单调递增； 当a>2时，由f'(x)=1+x-a=t-ax+1=0, 得x1-0-4,-+合4. 2 2 由f(x)>0,得0<x<x1或x>x2,由f(x)<0,得 I<x 3 高考总复习数学 因此函数f(x)在(0，x1),(x2,十o∞)上单调递增， 在(x1,x2)上单调递减， 所以当a≤2时，函数f(x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>2时，fx)在0，a- 2 上单调递增，在 a-a-4,a十a4上单调 2 递减 跟踪训练 解：因为g(x)=lnx十a.x2-(2a十1)z, 所以g'(x)=2ax-(2a+1)x+1 =（2a.x-1)(x-1) 由题意知函数g(x)的定义域为(0，十∞)， 由gx>0得>1成0<六 由gu)0得品<1 所以画数x)在(0品)，1，中)止单调晓增， 在(a1）上单调递减： 1 若右>1，即0<a<, 由ga>0得>品成0<1. 由R)0得1K<品 所以画数g2)在01，（会十）上单调递培。 在（品）上单粥造减 若品=1，即a=名，明在(0，十0)止恒有gx)≥0 所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增. 综上可得，当0<a<号时，画数g(x)在(0,1)， (a十∞）上单调递增，在(1,2a)上单调递减： 当a=之时，函教g(x)在(0，十o∞)上单调递增： 当a>2时，函数g(x)在(0,2a)）1,十∞)上单调递 增，在（品）上单调递减。 题型3 [例3-1](1)[解析]设fx)=n工， x 则f(x)=1-ln, 令fx)=1-h2=0,则x=c x 所以当x∈(0，e)时，f（x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(e,十∞)时，f(x)<0,f八x)单调递减； 又a==o62-=c-g- 2 f(3),所以f(e)>f(3)>f(4),即b<c<a. [答案]D ·3 (2)[解析]函数f(x)=3.x一sinx的定义域为R, f(-x)=-3x+sin x=-f(x), 所以f(x)=3x-sinx为奇函数， 又f'(x)=3-cosx>0, 所以f(x)=3x一sinx在R上单调递增， 不等式f(a)十f(a-2)>0, 即f(a2-2)>-f(a)=f(-a), 等价于a-2>-a,解得a>1或a<-2, 所以实数a的取值范围为（一∞，一2）U(1,十∞). [答案](-∞，-2)U(1,十∞) [例3-2][解析]由题意知f(x)=x十2a- 1≥0在 [哈2]小上世成立，脚2a≥-+士在[片]小上恤成 2(+）号2a≥号中≥号 [答案] [+∞） 延伸探究 [解]了x)=1+2a-子，若八x)在[号2]小上存在单 调递增区间，则当x∈[日2]时，「(x)>0有解，即 2a>-+有解，：x∈[合2小(+） -2计=-子2a>-号即a>-子a的取值 2 范国是(-是十∞)） 跟踪训练 1.A[因为f(x)=lnx- 专，则x∈(0，+0)， 所以∫(x)=1-1-x=e+x2-x x e xe 1 又当xe0+∞)时>1(-2）广->-子 所以f(x)>0恒成立， 所以f(x)=lnx-二在(0，十oo)上单调递增. e 又010g32<1, 1 0<1og.0.5=log+2=log2<1og2,ln4>1, 所以ln4>log2>loga20.5,则c>a>b.] 2.AD[求导得f(x)=6x(x-a),于是：A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以必 有三个零，点；B错，Q<0时x=0应为极小值点；C错，任 何三次函，数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 教考衔接 解：(1)函数f(x)=ax3十bx2十cx十d的图象大致是个 “双峰”形状，类似“∩”或“个”的形状.若有极值， 则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值， 从图象上能大致估计它的单调区间. (2)因为f(x)=ax3十bx2十cx十d(a≠0)， 所以f'(x)=3a.x2+2bx十c 分a>0和a<0两种情况： ①当a>0且b-3ac>0时，设方程f'(x)=3ax2十2b.x 十c=0的两根分别为x1,x2,且z1<x2 x∈(-o∞，x1)或x∈(x2,十∞)时，f(x)>0,f(x)单调 递增；x∈(x1,z2)时，f(x)<0,f(x)单调递减. 4 当a>0且b-3ac0时，f'(x)=3ax2十2bx十c≥0， f(x)在R上单调递增. ②当a0且b-3ac>0时，设方程f'(x)=3ax2十 2bx十c=0的两根分别为1，x2,且1<x2, 当x∈（1，x2)时，f(x)>0,∴.f(x)在(1，x2)上单调递 增；当x∈(-∞，x1)或x∈(x2,十o∞)时，f(x)<0, ∴f(x)在(-o∞，x1),(x2,十o∞)上单调递减. 当a<0且b-3ac≤0时，f(x)=3ax2+2bx十c≤0， .f(x)在R上单调递减. §3.3导数与函数的极值、最值 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f'(x)0f(x)>0(2)f(x)>0f(x)0 (3)极值点极值2.(1)连续不断(2)极值 端点处的函数值f(a),f(b) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)X 2.AC[由图象可知，x∈(3,5)时，f(x)<0, 所以(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故A正确； 由图象可知，x∈(4,5)时，f(x)<0,所以(4,5)为函数 y=f(x)的单调递减区间，故B错误；由图象可知， f(3)=0,且当x∈(0,3)时，f(x)>0,当x∈(3,5)时， f(x)<0,所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单 调递减，故函数y=f(x)在x=3处取得极大值，故C正 确；由图象可知，(4)≠0，故x=4不是函数的极值点， 故D错误.] 3.B[因为f(x)=1-1=12,当x∈(0,1)时，)>0； x 当x∈(1，e时，f(x)<0,所以当x=1时，f(x)取得最大值 ln1-1=-1.] 4.解析：，f(x)=e十ax在x=2处取得极值， .f(2)=e十a=0,解得a=一e,经检验，符合题意. 答案：一e 跃升·关键能力题型1 [例1一1][解析]由极值点的定义可知，a是极小值点， 无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间 (a,十oo)上是增函数. [答案]ABD [例1-2](1)[解析]f(x)=3, e :f（x)=3e-3x·E=31-卫，当x>1时， e e f(x)<0,f(x)在区间(1，十∞)上单调递减，故A错误； 当x<1时，f'(x)>0,f(x)在区间(-∞，1)上单调递 增故B错误：当z=1时，x)=巴取得极大值吕， 无极小值，故C正确，D错误， [答案]C (2)[解析]f(x)=2cos2x一1，令f(x)>0,得0<x <晋或吾<<◆f)<0,得晋<<晋f 在(0，晋)(x)上单调递增，在（晋，）上单调递 减心(2)的极大值点为爱 [答案]晋 [例1一3][解析]由函数f(x)=x(x一c)2, 可得f(x)=(x-c)2十2x(x-c)=(x-c)(3x-c), 因为函数在x=一2处取得极小值，可得f(一2)=0， 解得c=一2或c=一6， 当c=-2时，令f>0,解得<-2或>-号； ·38 参考答案 令f)<0,解得-2<<-号， 函数f(x)在（一∞，一2)上单调递增 在(-2，一号)上单调递减，在（号+©）单调递培。 所以f(x)在x=一2处有极大值，不符合题意，舍去； 当c=-6时，令f(x)>0,可得x<-6或x>-2; 令f(x)<0,可得-6<x<-2, 函数f(x)在(-∞，一6)上单调递增， 在（一6，一2）上单调递减，在（一2，十∞）单调递增， 所以f(x)在x=一2处有极小值，符合题意， 综上可得，c=-6. [答案]A 跟踪训练 1.C[分析：利用导数求出函数f(x)在[2，十)上的极大 值，根据函数f(x)有最大值可得出关于实数饣的不等式组， 即可得出实数k的最大值. 当x≥2时，f()=ln2,则f(x)=1ln工， t? 当2≤x<e时，f(x)>0,此时，函数f(x)单调递增， 当x>e时，f(x)<0,此时，函数f(x)单调递减， 则函数f(x)在x=e处取得极大值，且极大值为f(e) 1 In x ,x≥ 1k0 因为函数f(x) 有最大值，则 (kx,x<2 2k≤1，解 得0<k≤六 因光，实数飞的最大值为品] 2.B[)+ax() f(x)=1+x-a, x :画数f)=nx+之-ar>0)在[23]上有且 仅有一个极值点， =∫)在[合3]小上只有-个支号零点 令f(x)=1十x-a=0,得a= x x 设g=上十，则g在[合小]小上单调递该， 在[1,3]上单调递增， g(x)mm=g(1)=2, 又（位）号g8)=9。 5 31 当号<a<号时w=fx)在[合3]上只有-个变号 零点 实数口的取值范因为[层昌)门 题型2 [例2] [解](1)因为f(x)=ln(1十x)-x十 r,k∈(0，号） 所以∫'(x)=十 1 -1十x-3kx =1-1-x十x十x2-3kx2-3kx 1十x -3k.x 1 不