2.8 函数的图象-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.8函数的图象 ★[考试要求] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象 理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题， 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (4)翻折变换 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 保留x轴上方图象 ①y=f(x) 将红轴下方图象翻折上去y一 确定函数的定义域并化简函数的解析式 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、 保留y轴右边图象，并作其 对称性) ②y=f(x) 产y 关于y轴对称的图象 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊 表 点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最 知识拓展用活 (极)值点、对称点等 1.函数图象自身的轴对称 描 画出直角坐标系，准确描出表中所表示的 各个点 (1)f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关 用光滑的曲线依次连接所描的各个点，得 于y轴对称 线 图象 (2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称台 2.利用图象变换法作函数的图象 f(a+x) (1)平移变换 =f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x) =f(2a+x). y=f(x)+k (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x) 上k(k>0) 移个单位长度 =f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于直 左移 y时fx+a） a(a>0) 右移 a(a>0) y=f(x-a) 个单位长度下kk>0)个单位长度 线生对称 移个单位长度 2.函数图象自身的中心对称 (1)f(-x)=一f(x)台函数y=f(x)的图象 (2)伸缩变换 关于原点对称。 a>1,横坐标缩短为原来的】，纵坐标不变 ①y=fx a (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称台 0<4<1,横坐标伸长为原来的】倍，纵坐标不变 f(a+x)=-f(a-x)f(x)=-f(2a-x) y= 台f(-x)=-f(2a十x). ②y=f(x) a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 (3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 对称台f(a十x)=2b-f(a-x)台f(x)= y- (3)对称变换 2b-f(2a-x). 关于x轴对称 3.两个函数图象之间的对称关系 ①y=f(x) y- (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关 ②y=f(x)- 关于y轴对称 y 于直线x22对称（由u十1=6x得对 ③y=f(.x) 关于原点对称 产y 称轴方程) ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y (2)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图象关于 直线x=a对称. ·38· 第二章函数 (3)函数y=f(x)与y=2b-f(一x)的图象关 个距学校的距离 个距学校的距离 于点(0，b)对称. (4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象 时向 0 时间 关于点(a,b)对称. A B 自主诊断查验 ◆距学校的距离 个距学校的距离 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 或“×”) 0 时 时间 (1)函数y=|f(x)|为偶函数. () G D (2)函数y=f(1一x)的图象，可由y=f(一x) 3.已知图甲中的图象对应的函数y=f(x),则 的图象向左平移1个单位长度得到. 图乙中的图象对应的函数在下列给出的四 式中只可能是 (3)当x∈(0，十∞)时，函数y=|f(x)|与y= f(|x)的图象相同 () (4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数 y=f(x)与y=f(一x)的图象关于y轴对 A.y=f(|x|) B.y=f(x) 称. C.y=f(-|x) D.y=-f(|x|) 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交 4.函数y=f(x)的图象与y=e的图象关于y 通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快 轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个 速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则 g(x)= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 作函数的图象 例1] 作出下列各函数的图象： 1)y=21 x-1 (2)y=1x2-4x-5|; 10 y- 1 [尝试解答] ·39· 高考总复习数学 规律方法 题型2 函数图象的辨识 函数图象的画法 [例2] (1)(2025·天津卷) 当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基 已知函数y=f(x)的图象 直接法 本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的 关键点直接作出图象 如图，则f(x)的解析式可 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转 能为 ( 化为分段函数来画图象 A.f(x)= 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移」 1-x 图象 翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注 变换法 意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的 要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位 B.f(a)-Iz-1 及解析式的影响 C.f(x)= x :跟踪训练 1-x2 分别作出下列函数的图象， D.f(x)=- x 2-1 (1)y=2-2x+1+z, (2)已知函数f(x)的部分 图象如图所示，则f(x)的 (2)y=|x-2|(x+1); 解析式可能为 (3)y=1log2(x+1). A.f(x)=xcos[π(x+1)] B.f(x)=(x-1)cosπx C.f(x)=（x-1)sin元x D.fx)=x3-2x2+x-1 规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析 ①从函数的定义域，判断图象的左右位 置；从函数的值域，判断图象的上下 位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性。 (2)抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析 解决问题。 :跟踪训练 1.函数f(z)=nz:cos巴的图象大致为 ·40· 第二章函数 2.已知函数f(x)的部分图 规律方法。 象如图所示，则它的解析 式可能是 利用函数图象所解题型 A.f(x)=_e (1)利用函数的图象研究函数的性质 sin x 对于已知或易画出其在给定区间上图象 B.f(x)=_e 的函数，其性质[单调性、奇偶性、周期 cos x 性、最值（值域）、零点]常借助于图象研 C.f(x)=e"cos x D.f(x)=esin x 究，但一定要注意性质与图象特征的对 应关系 题型3( 函数图象的应用 (2)利用函数的图象研究方程根的个数 [角度1]研究函数的性质 当方程与基本函数有关时，可以通过函 例3一1][多选]设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1) 数图象来研究方程的根，方程f(x)=0 =f(x-1),已知当x∈[0,1]时，f(x)= 的根就是函数f(x)图象与x轴的交点 (侣)，则下列结论正确的是 的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函 ) 数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. A.2是函数f(x)的周期 (3)利用函数的图象研究不等式 B.函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3) 当不等式问题不能用代数法求解但其与 上单调递增 C.函数f(x)的最大值是1，最小值是0 函数有关时，常将不等式问题转化为两 函数图象的上、下关系问题，从而利用数 D.当x∈(3,4)时，f(x)= 形结合求解。 [角度2]图象在不等式中的应用 跟踪训练 [例3一2]设奇函数f(x)在(0，十∞)上为增 1.[多选]对任意两个实数a,b,定义min{a,b} 函数，且f(1)=0,则不等式fx)-f(-x） a,a≤b, b:a-b, 若f(x)=2-x2,g(x)=x2,下 <0的解集为 A.(-1,0)U(1,+∞) 列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说 B.(-∞，-1)U(0,1) 法正确的是 ) C.(-∞，-1)U(1,+∞) A.函数F(x)是偶函数 D.(-1,0)U(0,1) B.方程F(x)=0有三个解 [延伸探究]若将“奇函数f(x)”改为“偶函 数fx)”,不等式fx)+f-<0的解集 C.函数F(x)在区间[一1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 为 2.(2024·北京卷)已知M={(x,y)|y=x十 ●[角度3]求参数的取值范围 t(x一x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐 [例3一3]已知函数f(x) 标系中的点集.设d是M中两点间的距离 log号x(0<x<2), 若关于x的方程 的最大值，S是M表示的图形的面积，则 -x2+8x-15(x≥2)， f(x)=x一2有三个互不相等的实根，则实 A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 数的取值范围是 ( A. C.d=10,S<1 D.d=√J10,S>1 B.2,-21+8 ⊙温馨提弱 C.(-2√13+8,1) . 学习至此，请完成配套训练课时冲关13 ·41。高考总复习数学 1 ∫>- 所以 ()}+3a-a=}-2a≥0， 解得-1≤a≤2， 所以。的取值范调是[一1，号] [答案] [] 跟踪训练 1.B[设2十log2x=3十l0gy=5十log之=t,则x=2-2,y =33,x=55,取t=0,易知x>y>之，排除A;取t=5, 易知y>x>之，排除C;取t=8,易知y>x>x,排除D;故 选B.] 2.C[当x<-a时x十a<0,当x>-a时x十a>0, 当x<1-b时ln(x十b)<0, 当x>1-b时ln(x十b)>0, 所以要f(x)恒非负，必须一a=1-b,即b-a=1, 以。+6=a》a+≥名 2 当且仅当a=一之6=2时取等号.] 1 §2.8函数的图象 复盘·必备知识必备知识掌握 2.(1)f(x)-k(2)f(ax)af(x)(3)-f(x)f(-x) -f(-x)logx(a>0且a≠1)(4)f(x)|f(|x) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运 动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速， 后段比前段下降的快，故应选C.] 3.C[B项中y>0,D项中当x>0时，开口向下，B、D排 除，A项中，x<0时，开口向下，可排除A项.] 4,解析：f(x)=e”,则g(x)=e)=e+ 答案：e+1 跃升·关键能力题型1 例1][解](1)原函数解析式可 化为y=2十片故画数图象可 由画数y=的图泉向右平移1 个单位长度，再向上平移2个单-10123元 位长度得到，如图所示. (2)y=x2-4x-5的图象可由函 数y=x2一4x-5的图象保留x轴 上方的部分不变，将x轴下方的部 分翻折到工轴上方得到，如图 所示 一1 (3)y= (合) 一1，其图象可看 作由函数y=(侵)的周象向右 -102 平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y 2,x<0, 共图象可由y=(合)的图象保留 x≥0时的图象，然后将该部分关于y 0 轴对称得到， 则=（合）】 一1的图象如图所示. ·31 跟踪训练 解：(1)设m(x)=y =√-2.x+1+x m(x) x,x<0, -x十2,0<x≤1， (x,x>1, 01 其图象如图. (2)当x≥2，即x-2≥0时，y= y (x-2)(x十1)=x2-x-2= 2 (2）-当<2，即x-2 <0时，y=-(x-2)(x十1)=-x2 -1/ 十x十2=一 -2)+ (-）广-号≥2 9 这是分段函数，每段函 ()+2 29 数的图象可根据二次函数图象作出（如图）. (3)设t(x)=y=log(x十1)，x=-1y 则其图象可由y =log2x的图象向左平移1 x) 个单位，再保留x轴上方部 分不变，将x轴下方部分翻 折到x轴上方得到，如图. 0 题型2 [例2](1)[解析]本题考查了函数的图象，考查函数的 性质，奇偶性，对称性，由图象可知，图象关于y轴对称.A 中，fx)=1-x=-x千=-f(-x)(x≠±1)为 奇函数，其图象关于原点对称，故排除A;B中，f(一x) 一x -x-1 =-f(x)(x≠士1)为奇函教， x 故排除B:C中，f(一x)=1=()=1-之 一x x =f(x)为 偶画数，当x=2时，2)=己=-号<0，故排除C 「答案]D (2)[解析]对于A选项，f(0)=0,A选项错误；对于C 选项，f(0)=0,C选项错误：对于D选项， f(x)=3x2-4x十1，f(x)=0有两个不等的实根，故 f(x)有两个极值点，D选项错误；对于B选项，f(x)= x-1cosa,f0)<0:当xe（合2)）k∈Z时 osu>0,x-1<0,此时f)<0,当xe(合l）k∈Z 时，0s<0,x-1<0,此时fx)>0,当xe(1,号） k∈Z时，c0sπx<0,x一1>0，此时f(x)<0,依次类推 可知f(x)函数值有正有负；显然f(x)不单调；因为当x =合十k,k∈Z时f=0,所以)有多个零点：调为 f(2)=1,f(一2)=-3，所以f(2)≠f(一2)，f(2)≠ 一f(一2)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，以上 均符合，故B正确 [答案]B 跟踪训圳练 1.A[由函数f(x)=nx:cos工可得函教的定义战为 {xx≠0}， 由f(-x)=n-x·cos-2=-nx·cosx 一f(x)可知函数f(x)为奇函数， 8 其图象关于坐标原点对称，故舍去B,D两项； 又由f(2)=血2·，0s2<0可得C项不合题意，故A项 2 正确. 2.D[由图象可知，函数f(x)的定义域为RA项，f(x) s而工画数f()的定义城为{zx≠kx,k∈Z,所以A 不符合题意； c05工，函数f八x)的定义城为 B项，f(x)=e {女≠受十k∈所以B不符合题意， C项，当0<x<π时，f(x)=e·cosx,则f(x) =e·cosx-e·sinx=e(cosx-sinx), 当0<x<于时，f(x)>0,当开<x<开时，f(x)<0. 所以fx)在(0，)上递增，在（于）上递减， 所以（受）是画教的板大值，站合图形， f(牙)不是极大值，故C不符合题意： D项，当0<x<π时，f(x)=e·sinx 则f'(x)=e·cosx十e·sinx=e(cosx十sinx), 当0<x<3严时f(x)>0,当驱<<元时，f(x)<0, 所以x)在（买）上递增，在(x)上递减，站合图 形，D符合题意.] 题型3 [例3一1][解析]由已知 条件得f(x十2)=f(x),则y =f(x)是以2为周期的周期 -10 函数，A正确；当一1≤x≤0 时，0≤-x≤1，f(x)=f(-x)= () ,画出函数 y=f(x)的部分图象如图所示，由图知B正确，C不正 确；当3<x<4时，-4<-x<-3,0<4-x<1,f(x)= x-4)=4-)=(2)】 ,因此D正确。 [答案]ABD [例3一2][解析]f(x)为奇函数， fx)-f-2<0台f2<0台 xf(x)<0,由题意可知f(x)的大 致图象如图所示，所以所求不等式 的解集为（一1,0）U(0,1). [答案]D 延伸探究 [解析] 作函数f(x)的图象如图所示： y -10/1 [答案](-o∞，-1)U(0,1) [例3-3][解析]作出函 数f(x)的图象如图所示，直 线y=kx一2恒过点(0，一 3 2),当y=kx一2过点(2， 1D时，解得=合此时直线 3-2-1,02作 y=kx一2与f(x)有两个交 点，故关于x的方程∫(x)= kx一2有两个互不相等的实 ·31 参考答案 根；将y=kx-2代入y=-x2十8x-15得x2+(k-8)x 十13=0，当x≥2时，直线与抛物线只有一个交点，则△ =(k-8)2-52=0,解得k=8-2√/13或k=8十2√13. 当k=8十2√13时，解得x=一√13，不满足x≥2，应舍 去，即k=8一2√3.所以实数k的取值范围 是（合-2+8） [答案]B 跟踪训练 1.ABD[根据函数fx)=2-x 与g(x)=x,画出函数F(x) =min{f(x),g(x)}的图象，如 图.由图象可知，函数F(x)= min{f(x),g(x)》关于y轴对称， -2 所以A项正确；函，数F(x)的图 象与x轴有三个交，点，所以方 程F(x)=0有三个解，所以B 项正确；函数F(x)在(-∞，一1]上单调递增，在[一1,0] 上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，十∞)上单调递 减，所以C项错误，D项正确.门 2.C[1≤x≤2，.x2-x∈[0,2]，∴.y= ↑y x十(x-x)t,0≤t≤1可看作关于t的一 次函数，则y关于t单调递增或y是关 于t的常数函数. 又y=tx2十(1-t)x,1x2,,函 2 数y=tz2+(1一t)x图象的对称轴为 11 直线x=22:≤0y关于x的函数012元 在[1,2]上单调递增，又t,x均为非负数. ∴.当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两点间 的距离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4) 间的距离最大，得d=√10. M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去 小正方形及两个梯形的面积，可得S1.] §2.9函数的零点与方程的解 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x)=0(2)零点x轴(3)f(a)·f(b)<0 (a,b)f(c)=02.f(a)·f(b)<0一分为二零点 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.C[根据零，点存在性定理可知，函数f(x)的图象是一段连 续不断的曲线，若在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)<0,则函 数f(x)在区间(a,b)上存在零，点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满 足f(a)·f(b)0, 所以C选项不能用二分法求图中函数零点，门 3.C[y=f)=lnx-三的定义裁为(0，十o∞)，因为y=lhx 与y=-2在(0，十0)上单调递增，所以f(x)=1nx 2在(0，+o∞)上单调递增，又f(1)=ln1-2=-2<0 f2)=n2-1<0f(e)=ne-2=1-名>0，所以 e f(2)·f(e)<0,所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零，点.] 4.解析：要求函数y=f(x)一1的零点，则令y=f(x)-1 =0,即f(x)=1,①当x≤0时，f(x)=e,由e=1,解 得x=0;②当x>0时，f(x)=x2-1,由x2-1=1,解得 x=√2（负值舍去）.综上可知，函数y=f(x)一1的零，点 是0和√2. 答案：0和√2 9