2.6 指数与指数函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

解得a=-4, 所以f(x)=- 法三：（利用零点式） 由已知f(x)十1=0的两根为x1=2,x2=一1， 故可设f(x)十1=a(x-2)(x十1)， 即f(x)=a.x2-ax-2a-1. 又函教有最大值8，即4a(-2a二1)-a=8, 解得a=-4或a=0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)=一4x2十4x十7. 跟踪训练 1.C[:y=x2(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴.m2-4m<0,即0<m<4, 又m∈Z,.m=1或2或3. 又：函数的图象关于y轴对称， 2-4m为偶数，m=2.] 2.解析：第一种情况：f(x)具有①②③三个性质，由②③可 设f(x)=ax2-4x十3(a≠0)，则根据①可得.12a-16 Aa -1,解得a=1,所以f(x)=x2-4x十3. 第二种情况：∫(x)具有①②④三个性质，由①④可设 f(x)=a(x-1)2-1(a>0),则根据②可得：-2a=-4, 解得a=2,所以f(x)=2(x-1)2-1 =2x2-4x+1. 第三种情况：∫(x)具有①③④三个性质，由①④可设 f(x)=a(x-1)2-1(a>0),则根据③可得：f(0)=a-1=3, 解得：a=4,所以f(x)=4(x-1)2-1=4z2-8x十3. 第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可设 f(x)=ax2一4x十3(a≠0)，则根据④可得 4=1,解得a=2,所以f(x)=2z-4虹+3. 2a 答案：x2-4x十3或2x2-4x十1或4x2-8.x十3或2x 一4x十3.（不唯一） 题型3 [例3-1门[解析]因为f(x)=ax2-2x十1，g(x)=x, 对于A,当a=-1时，f(x)=-x-2x十1，其图象开口 向下，对称轴为x=一1， g)=工=上，其困象关于原点对称，且在(0，十©)上单 调递减，故A满足要求； 对于B,当f(x)=ax一2x十1开口向上时，a>0, 此时g(x)=z在(0，十∞)上单调递增，故B不满足要求； 对于C,当a=之时，x)=22-2x十1，其图象开口 向上，对称轴为x=2, g(x)=x方，其图象在[0，十∞)上单调递增，且越来越 缓，故C满足要求； 对于D,当f(x)=ax2-2x十1开口向上时，a>0, 此时其对称轴为x= -。2=上>0，故D不满足要求 2a a [答案]BD [例3一2][解](1)依题意a≠0，二次函数f(x)= ax2-2a.x十c=a(x-1)2一a十c,其图象的对称轴是直线 x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0, 即函数图象的开口向上，所以f(0)=f(2),则当f(m) f(0)时，有0m2.,实数m的取值范围为[0,2]. (2)f(x)=(x十a)2+1-a2,所以f(x)的图象是开口向 上的抛物线，对称轴为x=一a. ①当-a<号即a>-号时，fln=f2)=4a+5: ·31 参考答案 @当-a≥7即a<-时， f(x)m=f(-1)=2-2a. 4a十5，a> 1 2 综上，f(x)mx= 2-2a,a≤-2 跟踪训练 1.D[当a=0时，f(x)=-3x十1，满足题意；当a>0时， 函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当Q<0 时，画数f(x)的图象的对称轴为x=-a,:画数 f()在区间[-1，十∞)上单调递减，-3≤-1，得 2a -3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[-3,0].] 2.解析：解方程f(x)=x2-4x十2=2，得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x十2=-2，得x=2, 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2]. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则[a,b]=[0,2]或[a,b] =[2,4们，此时b一a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调， 且当b-a取最大值时，[a,b]=[0,4], 所以b一a的最大值为4， 所以ba的取值范围是[2,4]. 答案：[2,4] §2.6指数与指数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)x(2)根式(3)aa2.03.a+a”ab 4.(2)(0,十∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增函数减函数 自主诊断查验 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 2.B[(-2)]7-(-1)°=(2)7-1=7.] 3A[由a2=4,a>0得a=2 ∴.f(x)= ) =2 又-2>-1,2-21>2-川， 即f(-2)>f(-1).] 4.解析：由题意知 =a,所以a= 1 2 所以f(x) 、2 ,所以f(-1)= 2 、2 =√2 答案√2 跃升·关键能力题型1 [例1][解析]对于A,(0.25)立十()°-21=0.5十 1一2 =1,A错误； 对于B()-（号）”+a.)x云+- 0.5 49 () 子+（）×+1=音子+25×+1 对于C,原式=(2ab克)(-6ab)÷(-3ab)= [2X(-6)÷(-3)]a号+号古·b位+片音=4ab=4a,C错误： 对于D,当x立十x立=√6时，(x立十x立)2=x十2+ x1=6,得x十x1=4, 由(x十x1)2=x2+2十x2=16,得x2+x2=14, 所以二方D医确 [答案]BD 5 高考总复习数学 跟踪训练 BC[对于A,1-3)-3=3=3t-5≠-3，所 以A错误：对于B(a)(-3)÷(号a） -9a景+÷吉，b位+片音=-9a(a>0,b>0),所以B正确； 对于C,√万=√9行=9时=3时=5，所以C正确： 对于D,因为(x十x1)2=x2+2十x2=4, 所以x十x1=士2，D错误.] 题型2 [例2](1)[解析]对于A,2a-3a十2=1且a>0,a≠1， a=合，A正确：对于B,不论0<a<1,还是a>l,值城都 为(0，十∞)，B错误；对于C,f(x)=a向左平移一个单 位得到f(x)=a+1,C错误；对于D,令2x十3=0，则x 名，y=0,所以画餐y=。-1恒过定点 (是0）小故D正确 [答案]AD (2)[解析]①当0<a<1时，y=a-1的图象如图1. 因为y=2a与y=|a-1的图象有两个交点，所以 1 0<2a<1,所以0<a<2 ②当a>1时，y=a-1的图象如图2，而此时直线y= 2a不可能与y=a-1的图象有两个交点.综上，a的 取值范围是0<a<之 2a y=2a 图1 图2 [答案] y y=2027 跟踪训练 y=2026 1.ABD[如图，观察易知a,b的关 系为a<b0或0<ba或a=b =0.] 2.A[由y=9=3x,根据平移法 0 则即可解出 因为y=9=32,所以将函数y=3”的图象上所有点的 機坐标变成原来的子倍，纵坐标不变，即可得到函数y 9的图象，故选：A.] 题型3 [例3-1][解析]A选项，(-2.5)=(2.5)，(-2.5) =(25,因为2.5>1，号>子又因为指数画数y 2.5在R上单调递增，所以(2.5)>(2.5)，即 (-2.5)>(-2.5)京，故A正确：B选项，(0.4)= (停)：因为0<号<1，-合>-名：又因为指数画 数y=(号)在R上单调递减，所以（得）< (04),故B正确：C选项，因为（兮）>1，（受） <1,所以（仔）>（受），故C错误：D选项，因为 2.56>1,202<1,所以2.56>202.故D正确. [答案]C 3 [例3-2】(1D[解析]将21≤（仔）】 化为x2十1≤ -2(x-2),即x2十2x-3≤0，解得x∈[-3,1]，所以2-3 ≤2≤2，所以函数y=2的值城是[合2] [答案]B (2)[解析]①当a<1时，由f(1-a)=f(a-1)得 4-=2-0-,即2-0=2，所以2-2a=1,解得a=号； ②当a>1时，由f(1-a)=f(a-1)得4"-1=2-1-， 即22a-2=2a-1,所以2a-2=2a-1,无解.综上可知，a = 1 21 [答案]之 [例3-3][解](1)由f(x)=g(x)-h(x)可知f(-x) =g(一x)一h(一x),由g(x)为奇函数，h(x)为偶函数， 可知g(-x)=-g(x),h(一x)=h(x), 则f(-x)=-g(x)-h(x), 则g(x)=fx）-f-2=。-a 2 2 (2)由(1)得)=-f)+f-2=-十a 2 2, 当a>0,且a≠1时，a>0,则a+a=a+1 a,1=2,当且仅当a=1,即x=0时取等号， 2a 故h(x)=一g2“一在R上的最大值为一1， 跟踪训练 1.D[由题意易得，号≥1，所以Q的取值范周是[2，十∞).] 2.ACD[对于函数f(x)= F22十a(aeR),令2-1≠ 0,解得x≠0， 所以f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，故A正确； 因为2>0，当2-1>0时22>0，所以22十a> 高-1K2-10时2-2所以22+a<-2+a, 2 综上可得f(x)的值域为（一∞，-2十a)U(a,十∞）， 故B错误； 当a=1时，f(x)= 2十1=2+出 2x-1 2*1 则f(-0=?1--f, 2x-12*-1 所以f(x)=2二中1为奇函数，故C正确3 当a=2时f)=2名十2=}十1. 2-1 刻-+”号+1十告1=2，成D 正确.门 §2.7对数与对数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.对数V log,M log.V log,M log.N2.(0,十o∞) (1,0)增函数减函数3.y=logry=x 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.B[若a>1,则y=a是增函数，y=log(-x)是减函数； 若0<a<1,则y=a是减函数，y =log（一x)是增函数，排除A,C,D.由于y=log（-x) 只能在y轴左侧，B正确.] 6高考总复习数学 §2.6指数与指数函数 ★[考试要求] 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解 指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单 应用 复盘》必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (2)指数函数的图象与性质 1.根式 a>1 0<a<1 (1)如果x”=a,那么叫做a的n次方根， yy=a y=\ y 其中n>1,且n∈N*. 图象 (0,1)☑/ 0y=-1 oi (2)式子a叫做 o1元 ,其中n叫做根指数， a叫做被开方数. 定义域 (3)(a)”=. 值域 当n为奇数时，a= 过定点 ,即x=0时，y=1 a,a≥0， 当n为偶数时a"=|a= -a,a<0. 当x>0时， 当x<0时， 2.分数指数幂 性质 当x<0时， 当x>0时， 正数的正分数指数幂，a”=a"(a>0,m, 在(-∞，十0∞) 在(-∞，十∞) n∈N",n>1). 上是 上是 正数的负分数指数幂，a号=上=】(a>0, a" a 知识拓展用活 m,n∈N*,n>1). 1.指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a), 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指 (-1,),依据这三点的坐标可得到指数函 数幂没有意义， 数的大致图象， 3.指数幂的运算性质 a'a'= 2.函数y=a与y= (a>0,且a≠1)的 ;(a')°= (ab)'= (a>0,b>0,r,s∈R). 图象关于y轴对称. 4.指数函数及其性质 3.底数a与1的大小关系决定了指数函数图 (1)概念：函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数 象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象 函数，其中指数x是自变量，函数的定义域 “上升”；当0<a<1时，指数函数的图象 是R,a是底数. “下降”. ·32· 第二章函数 自主诊断查验 2.化简[(-2)]一(-1)°的结果为() A.-9 B.7 C.-10 D.9 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” 3.设函数f(x)=alx(a>0,且a≠1)，f(2) 或“X”) =4,则 () (1)函数y=一a是指数函数， A.f(-2)>f(-1) (2)指数函数y=a与y=ax(a>0,且a≠1) B.f(-1)>f(-2) 的图象关于y轴对称. C.f(1)>f(2) (3)若am<a"(a>0,且a≠1)，则m<n. ( D.f(-2)>f(2) 4.若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图象经 (4)函数y=a+2(a>0,且a≠1)过定点(0,2). 过点P2,》则-1 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 指数幂的运算 跟踪训练 [例1] [多选]下列运算正确的是 [多选]下列计算正确的是 A.(-3)=-3 A.(0.25)+()°-21=0 B.e6(-a-3ao】 9a(a>0, +0.08)+×元 b>0) (π-1)°=1 C丽=3 D.已知x2十x2=2,则x十x1=2 C.(2a.b)(-6a.6)÷(-3a.万) 题型2( 指数函数的图象及应用 =1 [例2](1)[多选]下列选项正确的是( A.函数f(x)=(2a2-3a+2)·a是指数 D若+x三，则二23 函数，则。-司 规律方法」 B.函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的值域 指数幂运算的一般原则 为R C.函数f(x)=a+1的图象可以由f(x)= (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做 a'向右平移一个单位得到 指数运算， D.函数y=a2r+3-1恒过定点 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂 (2)若直线y=2a与函数y=|a-1|(a>0 的倒数 且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值 (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 范围是 先化成分数，底数是带分数，先化成假 规律方法 分数. 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用 特殊点，判断选项中的图象是否过这些 幂的形式表示，运用指数幂的运算性质 点，若不满足则排除 来解答， (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指 是从最基本的指数函数的图象入手，通 过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地， 数，也不能既有分母又含有负指数，形式 当底数a与1的大小关系不确定时应注 力求统一 意分类讨论， ·33 高考总复习数学 日跟踪训练 [尝试解答] 1.[多选]已知实数a,b满足等式2026= 2027,则下列关系式成立的是 A.0<b<a B.a<<0 C.0<a<b D.a-b 2.(2025·北京卷)为得到函数y=9的图象，只需 把函数y=3的图象上的所有点 ( A,横坐标变成原来的，倍，纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C.纵坐标变成原来的号倍，横坐标不变 D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 题型3 指数函数的性质及应用 [角度1]比较指数式的大小 [例3一1]下列大小关系不正确的是( A.(-2.5)>(-2.5) B() <(0.4)- 规律方法 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方 c)<】 程、不等式，最重要的是“同底”原则，比 D.2.51.6>2-0.2 较大小还可以借助中间量. [角度2]解简单的指数方程或不等式 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题， [例3-】1若x满足不等式2≤() 要明确复合函数的构成，涉及值域、单调 区间、最值等问题时，都要借助“同增异 则函数y=2”的值域是 减”这一性质分析判断. 2 B. 日跟踪训练 1.设函数f(x)=2x在区间(0,1)上单调递 D.[2,+∞) 减，则a的取值范围是 (2)已知实数a≠1，函数f(x) A.(-∞，-2] B.[-2,0) =/≥0， C.(0,2] D.[2,+o∞) 若f(1-a)=f(a-1),则a 2a-x,x<0, 2.[多选]已知函数f(x)- 的值为 2r+a(a∈R), 2 [角度3]指数函数性质的综合应用 则 () L例3一3]已知函数f(x)、奇函数g(x)和偶 A.f(x)的定义域为（一o∞，0）U(0,十∞) 函数h(x)的定义域均为R,且满足f(x)= B.f(x)的值域为R g(x)-h(x),若函数f(x)=a(a>0, C.当a=1时，f(x)为奇函数 且a≠1). D.当a=2时，f(-x)+f(x)=2 (1)求g(x)的解析式； C温馨提可 (2)求h(x)在R上的最大值， 学习至此，请完成配套训练课时冲关11 ·34。