2.5 二次函数与幂函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.5二次函数与幂函数 ★[考试要求] 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称 性、顶点、最值等). 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 续表 1.幂函数 函数 y=ar2+bx+c y=ax2+bx+c (a>0) (a0) (1)幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中x 值域 4ac-b2 ∞，4ac-b2 Aa Aa 是自变量，a为常数。 (2)常见的五种幂函数的图象 对称轴 I=- b 2a y y=ry=x2 y=x 顶点 b 4ac-b2 坐标 （2a1 Aa 当b=0时是偶函数，当b≠0时是 奇偶性 非奇非偶函数 (3)幂函数的性质 在 ]上单在（∞，品]上单 -oo,一2 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； 调递 调递 单调性 ②当a>0时，幂函数的图象都过点 在 +∞）上单在[品+∞）上单 2a 和 ,且在(0，十∞)上单调递增； 调递 调递 ③当α<0时，幂函数的图象都过点 知识拓展用活 且在(0，+∞)上单调递减； 1.巧识幂函数y=x“的图象和性质 ④当a为奇数时，y=x为 在直线x=1右侧，幂函数 当a为偶数时，y=x为 的指数由下向上逐渐增大 2.二次函数 当α>0时，函数在第一象 限内单调递增 (1)二次函数解析式的三种形式 当a<0时，函数在第一象 一般式：f(x) 限内单调递减 图象恒过点(1,1) 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点 2.一元二次不等式恒成立的条件 坐标为 (1)“a.x2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)， 件是“a>0且△<0”. x1,x2为f(x)的 (2)“ax2十bx十c<0(a≠0)恒成立”的充要条 (2)二次函数的图象和性质 件是“a<0且△<0”. 自主诊断查验 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c 函数 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” (a>0) (a<0) 或“X”) 图象 y (抛物 (山)函数y=是幂函数。 () 线) (2)若幂函数y=x是偶函数，则α为偶数. 定义域 R () ·29· 高考总复习数学 (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴 3.函数f(x)=2.x2-x-1(-1≤x≤1)的值 下方，则a<0且△<0. ( 域是 (4)若二次函数y=ax2十bx十c的两个零点确 A.[0,1] B. 定，则二次函数的解析式确定 ( ) 2.已知幂函数f(x)=k·x的图象过点 C.[1,2] 1√2 22 ,则k十a等于 4.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x) 在区间[一4,6]上是单调函数，则实数a的 A.2 B.1 C.2 D.2 取值范围为 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1{ 幂函数的图象与性质 日跟踪训练 [例1](1)下列命题中正确的是 ( 1.已知幂函数f(x)的图象过点(2,32)，若 A.当m=0时，函数y=x”的图象是一条直线 f(a+1)+f(一1)>0，则a的取值范围为 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 ) C.幂函数y=xm图象不可能在第四象限内 A.(2,+∞) B.(1,+∞) D.若幂函数y=x”为奇函数，则y=x”是 C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 定义域内的严格增函数 2.[多选]已知f(x)=x(a∈R),则下列说法 (2)若四个幂函数 正确的是 () y=x“,y=x,y=x, A.当a=-1时，f(x)的值域为R y=x4,在同一平面直 B.当a=3时，f(π)>f(3) 角坐标系中的图象如 图所示，则a,b,c,d的 C当a=2时，(x)是偶函数 大小关系是 A.d>c>b>a B.a>b>c>d D.当a=时，产(x)是奇函数 C.d>c>a>b D.a>b>d>c (3)已知幂函数f(x)=x满足2f(2)= 题型2 二次函数的解析式 f(16),a=f (log 2),b=f(In 2),c= [例2] 已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， f(5),则a,b,c的大小关系是 ( f(一1)=一1，且f(x)的最大值是8，试确 A.ac>b B.a>b>c 定此二次函数的解析式. C.b>a>c D.b>c>a 尝试解答] 规律方法 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y=x“(α∈R),其中只 有一个参数α，因此只需一个条件即可 确定其解析式， (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函 数图象越靠近x轴（简记为“指大图 低”)，在区间(1，十∞)上，幂函数中指数 越大，函数图象越远离x轴. (3)当a>0时，幂函数y=x在(0，十o∞)上 单调递增，当a<0时，幂函数y=x°在 (0,十∞)上单调递减. ·30· 第二章函数 规律方法 [尝试解答] 求二次函数的解析式，一般用待定系数法， 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数 解析式的形式，一般选择规律如下： 三点坐标 →宜选用一般式 顶点坐标 对称轴 宜选用顶点式 最大（小）值 与x轴两交点坐标一→宜选用零点式 :跟踪训练 1.幂函数y=xm-4m(m∈Z) 的图象如图所示，则m的 值为 ( ) 规律方法 A.0 B.1 C.2 D.3 求解二次函数的单调性及最值的策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方 2.写出一个同时具有下列四个性质中的三个 性质的二次函数：f(x) 向与对称轴的位置，若开口方向或对称 轴的位置不确定，则需要分类讨论求解： ①f(x)的最小值为一1；②f(x)的一次项系 (2)解决二次函数最值的方法，抓住“三点 数为-4；③f(0)=3;④f(x)=f(-x+2). 轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点 题型3{ 二次函数的图象与性质 和中点，“一轴”指的是对称轴，可用下面 [角度]二次函数的图象 的思维流程图表示： L例3-1][多选]函数f(x)=ax2一2x+1 看已知 图象开口方向，区间，对称轴 与g(x)=x”在同一直角坐标系中的图象不 可能为 ) 定类型 轴定区间定 轴动区间定 抓关键 画草图，确定对称轴与区间的关系 解答 利用分类讨论思想求解 ①跟踪训练 1.已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间 [一1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范 围是 [角度2]二次函数的单调性与最值 A.[-3,0) B.(-∞，-3] [例3-2](1)设二次函数f(x)=ax2-2ax C.[-2,0] D.[-3,0] +c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤ 2.函数f(x)=x2一4x+2在区间[a,b]上的值域 f(0),求实数m的取值范围； 为[一2,2]，则b一a的取值范围是 (2)已知函数f(x)=x2+2ax+1,求f(x) C温馨提弱 在区间[一1,2]上的最大值. 学习至此，请完成配套训练课时冲关10 ·31…高考总复习数学 任取x1x2, fx)-f)=()（中） 1 1 1+e21十e1 e1-e2 (1十e'2)(1十e1)' :x1>x2,则e>e2,即e-e>0, 1>f,.)=日在R上是增画 数，C正确； e>0,.1十e>1, 0 。<1，则<中e< 1 11 1 1+e 即-<f)< g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0，D错误. [答案]BC 跟踪训练 BD[对于A,函数y=f(x)的图象是断续的点集，不是 两条直线，A错误； 对于B,当x为有理数时，f(x)=1, 所以f(f(x))=f(1)=1, 当x为无理数时，f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,B正确； 对于C,f(W3)=0,f(1)=1, 所以f(1)>f(W3),C错误； 对于D,由题意，函数定义域为R, 且f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x十T也是有理数： 若x是无理数，则x十T也是无理数； 所以根据函，数的表达式，任取一个不为零的有理数T, f(x十T)=f(x)对Hx∈R恒成立， 故f(x十2)=f(x)=f(一x)=f(1-x), 所以Hx∈R,都有f(1一x)=f(2十x),D正确.] §2.5二次函数与暴函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)y=x°(3)(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数 2.(1)a.zx2十bx十c(a≠0)(m,n)零点(2)减增增减 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)× k=1, 2.C[由暴函数的定义，知 =·() 所以k=1a=，所以k十=子] 3.D[f)=2x-x-1=2(-)广-8， 因为-1≤≤1，所以fx)在[-1，]上单调递减， 在（仔]上单调递增， 又f(1)=2-1-1=0,f(-1)=2+1-1=2, 故)=2x-x一1在-1长≤1上的值城为[一号，2小门 4.解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=一a, 所以要使f(x)在[一4,6]上是单调函数，应有-一a一4 或-a≥6，即a≤-6或a≥4. 答案：(-0∞，-6]U[4,十∞) 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对A,当m=0时，函数y=x”的图象 是一条直线除去点(0,1)，所以A项不正确； 对B,幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0,0)，所以 B项不正确： ·31 对C,幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内，所以C 项正确； 对D,当m=一1时，幂函数y=zm为奇函数，但在定义 域内不是严格的增函数，所以D项不正确； [答案]C (2)[解析]由幂函数的图象可知在区间(0,1)上幂函 数的指数越大，函数图象越接近x轴，在区间(1，十∞) 上幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴，由题图 知a>b>c>d. [答案]B (3)[解析]幂函数f(x)=x°中，2f(2)=f(16), 所以2X2=16°，即2+1=21，所以a十1=4a,解得a= 号，所以)=，所以)是定义域为R的单调增函 数，又a=flog12),b=fn2),c=f(5立)， 且1og,2=2n2>lnvE=2 5专=2<号，所以5专三0g12<n2 即f(5立)<f(log12)<f(ln2),所以b>a>c. [答案]C 跟踪训练 1.C[设幂函数y=f(x)=x°，其图象过，点(2,32)， 所以2=32，解得a=5,所以f(x)=x. 因为f(一x)=(一x)=一f(x),所以f(x)=x为奇函 数，且在R上单调递增， 所以f(a十1)十f(-1)>0可化为 f(a+1)>-f(-1)=f(1), 可得a十1>1，解得a>0, 所以a的取值范围为(0，十∞).] 2.C[当a=-1时f)=子 此时f(x)的值域为{yy≠0，故A错误， 当a=3时，f(x)=x在R上单调递增， 所以f(π)>f(3),B正确， 当a=时，Hx∈R,f(r)=f(-x))=f(x2),所以 f(x)是偶函数，C正确， 当a=令时，f(x)=x,(x≥0)，则f(z)=x,(x≥0)， 定义域不关于原，点对称，故为非奇非偶函数，D错误.门 题型2 [例2][解]法一：（利用一般式） 设f(x)=a.x2十bz十c(a≠0). 4a十2b十c=-1, 1a=-4, 由题意得a-b+6=一1，解得=4， Aac-b2 =8, (c=7. L4a 所以所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 法二：（利用顶，点式） 设f(x)=a(x-m)2十n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以地物线的对称轴为工=2十（G一卫=1 2 21 所以m=之，又根据题意函数有最大值8， 所以n=8, 所以f)=a(-)）+8. 因为2)=-1，所以a(2-号）+8=-1， 4 解得a=-4, 所以f(x)=- 法三：（利用零点式） 由已知f(x)十1=0的两根为x1=2,x2=一1， 故可设f(x)十1=a(x-2)(x十1)， 即f(x)=a.x2-ax-2a-1. 又函教有最大值8，即4a(-2a二1)-a=8, 解得a=-4或a=0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)=一4x2十4x十7. 跟踪训练 1.C[:y=x2(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴.m2-4m<0,即0<m<4, 又m∈Z,.m=1或2或3. 又：函数的图象关于y轴对称， 2-4m为偶数，m=2.] 2.解析：第一种情况：f(x)具有①②③三个性质，由②③可 设f(x)=ax2-4x十3(a≠0)，则根据①可得.12a-16 Aa -1,解得a=1,所以f(x)=x2-4x十3. 第二种情况：∫(x)具有①②④三个性质，由①④可设 f(x)=a(x-1)2-1(a>0),则根据②可得：-2a=-4, 解得a=2,所以f(x)=2(x-1)2-1 =2x2-4x+1. 第三种情况：∫(x)具有①③④三个性质，由①④可设 f(x)=a(x-1)2-1(a>0),则根据③可得：f(0)=a-1=3, 解得：a=4,所以f(x)=4(x-1)2-1=4z2-8x十3. 第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可设 f(x)=ax2一4x十3(a≠0)，则根据④可得 4=1,解得a=2,所以f(x)=2z-4虹+3. 2a 答案：x2-4x十3或2x2-4x十1或4x2-8.x十3或2x 一4x十3.（不唯一） 题型3 [例3-1门[解析]因为f(x)=ax2-2x十1，g(x)=x, 对于A,当a=-1时，f(x)=-x-2x十1，其图象开口 向下，对称轴为x=一1， g)=工=上，其困象关于原点对称，且在(0，十©)上单 调递减，故A满足要求； 对于B,当f(x)=ax一2x十1开口向上时，a>0, 此时g(x)=z在(0，十∞)上单调递增，故B不满足要求； 对于C,当a=之时，x)=22-2x十1，其图象开口 向上，对称轴为x=2, g(x)=x方，其图象在[0，十∞)上单调递增，且越来越 缓，故C满足要求； 对于D,当f(x)=ax2-2x十1开口向上时，a>0, 此时其对称轴为x= -。2=上>0，故D不满足要求 2a a [答案]BD [例3一2][解](1)依题意a≠0，二次函数f(x)= ax2-2a.x十c=a(x-1)2一a十c,其图象的对称轴是直线 x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0, 即函数图象的开口向上，所以f(0)=f(2),则当f(m) f(0)时，有0m2.,实数m的取值范围为[0,2]. (2)f(x)=(x十a)2+1-a2,所以f(x)的图象是开口向 上的抛物线，对称轴为x=一a. ①当-a<号即a>-号时，fln=f2)=4a+5: ·31 参考答案 @当-a≥7即a<-时， f(x)m=f(-1)=2-2a. 4a十5，a> 1 2 综上，f(x)mx= 2-2a,a≤-2 跟踪训练 1.D[当a=0时，f(x)=-3x十1，满足题意；当a>0时， 函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当Q<0 时，画数f(x)的图象的对称轴为x=-a,:画数 f()在区间[-1，十∞)上单调递减，-3≤-1，得 2a -3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[-3,0].] 2.解析：解方程f(x)=x2-4x十2=2，得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x十2=-2，得x=2, 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2]. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则[a,b]=[0,2]或[a,b] =[2,4们，此时b一a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调， 且当b-a取最大值时，[a,b]=[0,4], 所以b一a的最大值为4， 所以ba的取值范围是[2,4]. 答案：[2,4] §2.6指数与指数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)x(2)根式(3)aa2.03.a+a”ab 4.(2)(0,十∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增函数减函数 自主诊断查验 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 2.B[(-2)]7-(-1)°=(2)7-1=7.] 3A[由a2=4,a>0得a=2 ∴.f(x)= ) =2 又-2>-1,2-21>2-川， 即f(-2)>f(-1).] 4.解析：由题意知 =a,所以a= 1 2 所以f(x) 、2 ,所以f(-1)= 2 、2 =√2 答案√2 跃升·关键能力题型1 [例1][解析]对于A,(0.25)立十()°-21=0.5十 1一2 =1,A错误； 对于B()-（号）”+a.)x云+- 0.5 49 () 子+（）×+1=音子+25×+1 对于C,原式=(2ab克)(-6ab)÷(-3ab)= [2X(-6)÷(-3)]a号+号古·b位+片音=4ab=4a,C错误： 对于D,当x立十x立=√6时，(x立十x立)2=x十2+ x1=6,得x十x1=4, 由(x十x1)2=x2+2十x2=16,得x2+x2=14, 所以二方D医确 [答案]BD 5