1.2 常用逻辑用语-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 对于C,因为A={xx<0或x>2},B={x1<x<3}, 所以A∩B={x2<x<3,所以C正确； 对于D,因为A∩B={x2<x<3}, 所以A∩B是{x2<x<5}的真子集，所以D正确.] 2.D[集合A={x-1<x<2,B={x-2<x<a} 若A二B则2≤a,即a的取值范围是[2，十o∞).] 3.解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别 为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人，由题意 可得如图所示的Venn图. (26-6-x) A数学 ◇ (15-4-6) C化学 物理 (13-4-) 由全班共36名同学可得(26-6-x)+6十(15-4一6) 十4十(13-4-x)+x=36, 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人 答案：8 培优拓展1集合的新定义问题 [典例][解析]①当A=时，A2={1,2,3},只有1种 分拆； ②当A1是单元素集合时（有三种可能），则A2必须包含 除该元素之外的两个元素，也可能包含三个元素，有2种 情况（如A1={1}时，A2={2,3}或A2={1,2,3}),所以 当A1是单元素集合时有6种分拆； ③当A1是含两个元素的集合时（有三种可能），则A,必 须包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含 A1中的一个或两个元素，有4种情况（如A1={1,2}时， A2={3}或A2={1,3}或A2={2,3}或A2={1,2,3}), 所以当A1是含两个元素的集合时有12种分拆； ④当A1是含三个元素的集合时（只有一种可能），则 A,可能含零个、一个、两个或三个元素，有2种情况（即 A1={1,2,3}时，A2可以是集合{1,2,3}的任意一个子集)， 所以当A是含三个元素的集合时，有2=8种分拆. 故集合A={1,2,3}的不同分拆的种数是1十6十12十8 =27. 「答案1A 跟踪训练 BD[对于A,设n(A)=m,则A的子集个数为2m, 故n[P(A)]=2”,显然2"=5无非负整数解，故A错误； 对于B,若A二B,则A的所有子集都是B的子集， 故P(A)二P(B),故B正确； 对于C,若A∩B=必，则A,B的公共子集只有空集心， 故P(A)∩P(B)={⑦}，故C错误； 对于D,若n(A)一n(B)=2,不妨设n(A)=m, 则n(B)=m一2， .n[P(A)]=2m,n[P(B)]=2m-2, 显然n[P(A)]=4Xn[P(B)],故D正确.] §1.2常用逻辑用语 复盘·必备知识必备知识掌握 1.充分必要充分不必要必要不充分充要 既不充分也不必要2.(1)V(2)33.Hx∈M,p(x) 3x∈M,(x)3x∈M,p(z)Hx∈M,p(x) 自主诊断查验 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ ·36 2.AC[A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命 题，且为真命题；B选项中，“都”是全称量词，它是全称量 词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题： C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命 题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题.] 3.C[若ab,则x(x十1)十2x=0, 即x2十3x=0,解得x=0或x=一3， ∴.A错，C对；若a∥b,则2(x十1)-x2=0, 即x2-2x-2=0,解得x=1土√5，故B、D错.] 4.B[由题意得，{xx≥2}是{xx≥a}的真子集， 故a<2.门 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析门因为y=x在定义域R上单调递增， 由a<b可得a<b, 因为y=2026在定义域R上单调递增，由2026“< 2026<1可得a<b<0, 所以由a<b推不出2026<2026<1，即充分性不 成立； 由2026<2026<1推出a<b,即必要性成立； 所以“ab”是“2026<2026<1”成立的必要不充分 条件. [答案]B (2)[解析门已知A,B为两个等高的几何体，由祖啪原 理知q→p,而p不能推出q,可举反例，两个相同的圆 锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相 等，但在同一高处的裁面积不相等，则力是q的必要不 充分条件 [答案]C 跟踪训练 1∠x<3 1.C[2x2-5x-3<0,- 观察四个选项可知（合3）是(-1,3）的真子桑，故 “-1<x<3”是“不等式2x2-5x-3<0”成立的一个必 要不充分条件.] 2.A[由x=0→sin2x=sin0=0,由sin2x=0→2x= km,x=经，k∈Z不一定为x=0 ∴.sin2x=0Px=0 .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 题型2 [例2](1)[解析]命题“Vx∈[1,2]，x2-a≤0”为真命 题，可化为“Vx∈[1,2]，a≥x2”恒成立，即只需 a≥(x2)ms=4,即“Hx∈[1,2]，x2-a≤0”为真命题的 充要条件为α≥4，而要找的是一个充分不必要条件，即 为集合{aa≥4}的真子集，由选项可知C符合题意. [答案]C (2)[解析]由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10， 故P={x-2x10, 由x∈P是x∈S的必要条件，知S二P. 1-m≤1十m, 则{1-m≥-2，∴.0≤m≤3. (1十m≤10， ,当0m3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]. [答案][0,3] 跟踪训练 1.A[因为q:x十2a<3, 所以q:-2a-3<x<-2a十3， 记A={x-2a-3<x<-2a十3}， 2 p:x≥a,记为B={xx≥a}. 因为p是q的必要不充分条件，所以A二B, 所以a≤-2a-3,解得a≤-1.] 2.解析：由(.x-a)<1得a-1<x<a十1. 因为1<x2是不等式（x一a)<1成立的充分不必要 条件， 所以满足a一1·且等号不能同时取得， a+1≥2 即8：得1a<2 答案：[1,2] 题型3 [例3一1](1)[解析]命题“3x≥0，e一1≥x”的否定 是“Hx≥0，e-1<x” [答案]D (2)[解析]全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以，命题“Hx∈[0，十∞)，x3十x≥0”的否定是 ]x∈[0，十∞)，x3十x<0. [答案]C [例3-2][解析]对于A项，Hx∈R,2-1>0,A项正 确；对于B项，x2十1一2x=(x一1)≥0， x十1≥2x,B项错误；对于C项，当x<0,y<0时， x十y<0<2√xy,C项错误；对于D项，取x=y=0时， 则sin(x十y)=sin(0+0)=sin0十sin0=sinx十siny, D项正确. [答案]AD [例3一3](1)[解析]由题意可知，不等式x2一2x十 m<0有解，.△=4-4m>0,<1,∴.实数m的取值范 围为（一0∞，1）. [答案](-∞，1) (2)[解析]由题意得不等式a.x一a.x十1>0对x∈R恒 成立.①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合 题意 ②当a≠0时，若不等式ax2-ax十1>0对x∈R恒成 立，则∫a>0, 解得0<a<4. {△=a2-4a<0, 综上，实数a的取值范围是[0,4). [答案][0,4) 跟踪训练 1.B[Hx∈R,e>0,e>0,则e十e≥2v√e·ex= 2,当且仅当x=0时取等号，故p为真命题； 当x∈(0,10)时，V0-≤十0-2=5，当且仅当 2 x=5时取等号，故q为假命题，q为真命题， 所以命题力与一q均为真命题，B正确.门 2.AD[对于A,“Hx∈R,3x2-2≥0”的否定是“]x∈R, 3x2一20”，故A正确； 对于B,log(2x十1)>2，即1og(2x十1)>log9,解得x>4, 因为x>4→x>3所以“x>3”是“10g(2.x十1)>2”的必 要不充分条件，故B错误； 对于C,命题的否定是假命题，则命题“了x∈R,x2十 (a-1)x十1<0”是真命题，即△=(a-1)2-4>0,解得 a>3或a<-1,故C错误； 对于D,因为yxER,2ar+ax-是≤0"是真命题，即 2ar2+ar-冬<0，对Vx∈R恒成立.当a=0时，命题 度立青0时名十g得-9a0.特上 可得，一3a0,故D正确.] ·36 参考答案 §1.3等式性质与不等式性质 复盘·必备知识必备知识掌握 1.>= <2.b=aa=c 3.b<aa>c ac>bc ac<bca十c>b十dac>bd>0 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.C[A.a2-(2a十1)=a2-2a-1=(a-1)2-2,无法判 断；B.a-(2a-1)=(a-1)2≥0，不成立；C.4a2-a (3a-1)=(2a-1)2≥0，成立；D.a2-3a-(a-4)= a”-4a十4=(a-2)≥0，不成立.] 3.ABD[根据a>b,c>d,不妨设a=1,b=0,c=-1, d=-2,则=-1<d=0,A不正晚：同是号=-<台 =0,D不正确：因为c>d,由不等式的性质得一c<一d,根 据不等式的同向可加性得B不正确，C正确.] 4.解析：：0<b<1,.-1<-b<0, 0<a<2,.-1<a-b2. 答案：(-1,2) 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对选项A,x2-2x十3=(x-1)+ 22>0,∴.x2-2x>-3,故A正确； 对选项B,a3十b3-a2b-ab=a2(a-b)十b(b-a)= (a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). (a-b)2≥0，a十b的符号不定，所以a3十b与ab十 ab的大小不定，故B错误； 对选项C,a2+b-2a十2b+2=(a-1)+(b+1)≥0， ..a2十b2≥2(a-b-1),故C错误； 对选项D月作送此较台 6>a>≥0，m>0∴>0台<故D b(b-m) 正确， [答案]AD (2)[解析]因为实数m,n,力满足m=4e,n=5e京，力 则m>0,n>0,巾>0， 所以四=4e n =4·e<1, 5e3 5 所以mn; 又g-签号e>1,所以m>p e 所以p<m<n. [答案]A 跟踪训练 1C[P-Q-a++是+d)-2a+2=a-1y+ 6-1+(-2)≥0. 故P-Q≥0，所以P≥Q.] 2解析：方法-（作商法）：因为a>062>0, 所以号-3×品2--8=e9>1 所以a>b. 方法二（作差法）：a-6=1-2=日(2n3-3h2) Γ3 2 =言n9-h8)>0,即a>6 答案：a>b 63高考总复习数学 培优拓展1 集合的新定义问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的 热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某 种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类 型.解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目 中的条件，设法进行套用. [典例]已知集合A1,A2满足A={xx∈A1, (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用 或x∈A2},则称A1,A2为集合A的一种分 列举法或描述法写出所求集合中的所有 拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A,A2)与 元素 (A2,A)为集合A的同一种分拆，则集合A !跟踪训练 {1,2,3}的不同分拆的种数是 A.27 B.26 C.9 D.8 [多选]定义一个集合A的所有子集组成的 名师点拨 集合叫做集合A的幂集，记为P(A),用 集合新定义问题的“3定” n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列 (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利 命题，其中正确的命题是 () 用列举法写出所有元素， A.存在集合A,使得nLP(A)]=5 (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求 B.若A二B,则P(A)二P(B 解集合的运算问题转化为集合的交集、 C.若A∩B=必，则P(A)∩P(B)= 并集与补集的基本运算问题，或转化为 D.若n(A)-n(B)=2,则n[P(A)]=4×n 数的有关运算问题. [P(B)] §1.2 常用逻辑用语 ★[考试要求] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、 数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.全称量词与存在量词 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词，并用符号“”表示 若→q,则p是q的 条件，q是p的 条件 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在 逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“” p是q的 条件 p→q且qPp 表示 3.全称量词命题和存在量词命题 p是q的 条件 ppq且q→p 名称 全称量词命题 存在量词命题 对M中任意一个x, 存在M中的元素 p是q的 条件 p台q 结构 (x)成立 x,使(x)成立 简记 p是g的 条件p羚g且qPp 否定 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 知识拓展用活 (4)当p是q的充分条件时，q是p的必要 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 条件 () A={xlp(x)),B=(xlq(x)) 2.[多选]下列命题中，是全称量词命题且是真 ①若p是q的充分条件，则A二B; 命题的是 () ②若力是q的充分不必要条件，则A三B; A.任何一个实数乘以0都等于0 ③若p是q的必要不充分条件，则B三A; B.自然数都是正整数 ④若p是q的充要条件，则A=B. C.实数都可以写成小数形式 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量 D.一定存在没有最大值的二次函数 词，否定结论” 3.(2024·全国甲卷)设向量a=(x十1，x), 3.命题p与p的否定的真假性相反， b=(x,2),则 () 自主诊断查验 A.x=一3是a⊥b的必要条件 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” B.x=一3是a∥b的必要条件 或“X”) C.x=0是a⊥b的充分条件 (1)写全称量词命题的否定时，全称量词变为 D.x=一1+√5是a∥b的充分条件 存在量词. () 4.“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.( 的取值范围为 () (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词 A.(3,+∞) B.(-∞，2) 命题 ( C.(-∞，2] D.[0,+c∞) 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 充分、必要条件的判定 规律方法 充分、必要条件的三种判定方法 [例1] (1)“a3<b3”是“2026<2026<1”成 (1)定义法：根据p→q,q→p是否成立进行 立的 ( 判断 A.充分不必要条件 (2)集合法：根据p,q成立对应的集合之间 B.必要不充分条件 的包含关系进行判断. C.充要条件 (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行 D.既不充分也不必要条件 一系列的等价转化，直到转化成容易判 断充分、必要条件是否成立为止。 (2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命 题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂” 跟踪训练 1.不等式2x2一5x一3<0成立的一个必要不 是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个 充分条件是 等高的几何体，如在等高处的截面积相等， 则体积相等.设A,B为两个等高的几何体， A-3<x<号 B-<x<3 p:A、B的体积相等，q:A、B在同一高处的 C.-1<x<3 截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的 D.3t53 2.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2x =0”的 () A.充分必要条件 A.充分不必要条件 B.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ·5 高考总复习数学 题型2〔 充分、必要条件的应用 [角度2]含量词的命题的真假判断 [例2] (1)命题“Vx∈[1,2]，x2-a≤0”为 [例3-2] [多选]下列命题中，为真命题 的是 () 真命题的一个充分不必要条件是 A.Hx∈R,2x-1>0 A.a≥4 B.a≤4 B.]x∈R,x2+1<2x C.a≥5 D.a≤5 (2)已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合 C.Hxy>0,x+y≥2xy S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S D.,yER,sin(x+y)=sin x+sin y 的必要条件，则m的取值范围为 卜[角度3]含量词的命题的应用 规律方法 [例3-3](1)若命题“3x∈R,x2一2x+m<0 根据充要条件求解参数范围应注意的2点 为真命题，则实数m的取值范围为 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要 (2)已知命题“Hx∈R,ax2-a.x+1>0”为 真命题，则实数a的取值范围是 条件或充要条件转化为集合之间的关 规律方法 系，然后根据集合之间关系列出关于参 含量词命题的解题策略 数的不等式（组）求解， (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成 (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区 立；要判定存在量词命题是真命题，只要找 间端点值的检验，尤其是利用两个集合之 到一个成立即可.当一个命题的真假不易 间的关系求解参数的取值范围时，不等式 判定时，可以先判断其否定的真假 是否能够取等号决定端点值的取舍，处理 (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由 不当容易出现漏解或增解的现象。 命题的真假求参数的范围；二是可利用 跟踪训练 等价命题. 1.已知p:x≥a,q:|x十2a|<3,且p是q的必要 日跟踪训练 不充分条件，则实数a的取值范围是( 1.已知命题p:Hx∈R,e+e≥2，命题q: A.(-∞，-1] B.(-∞，-1) 3x∈(0,10)，wx(10-x)>5,则 C.[1,+∞) D.(1,+∞) A.命题p与g均为真命题 2.若不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件 B.命题p与一q均为真命题 是1<x<2,则实数a的取值范围是 C.命题p与g均为真命题 题型3 全称量词与存在量词 D.命题饣与q均为真命题 [角度1] 含量词的命题的否定 2.[多选]以下说法正确的是 [例3-1] (1)命题“]x≥0，e一1≥x”的否 A.“Hx∈R,3x2-2≥0”的否定是“]x∈ 定是 R,3x2-2<0” A.3x<0,e-1<x B.“x>3”是“1og3(2x+1)>2”的充分不必 B.]x≥0，e-1<x 要条件 C.Yx<0,e-1<x C.若命题“3x∈R,x2+(a一1)x+1<0”的 D.Hx≥0，e-1<x 否定是假命题，则实数a的取值范围是 (2)命题“Hx∈[0，+∞)，x3+x≥0”的否 (-1,3) 定是 D.“Hx∈R,2ax2+ax- ≤0”是真命题， 3 A.Hx∈(-∞，0)，x3+x<0 则-3≤a≤0 B.Hx∈(-o∞，0)，x3+x≥0 C.]x∈[0，+o∞)，x3+x<0 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 课时冲关2 D.]x∈[0，+∞)，x3+x≥0 6