2026届高考数学模拟卷（三）（新课标I卷）

2026年高考数学模拟卷（三）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东广州·一模）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 2．（2026·江苏扬州·一模）已知集合，，则集合的子集个数为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】先求出集合，再结合交集、子集的定义，即可求解. 【详解】由，则，元素个数为3个， 则集合的子集个数为个； 故选：C 3．（2026·山东枣庄·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，. 4．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 5．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，直线，圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 因为直线与圆有2个公共点， 所以，整理可得． 若，则；若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则， 所以直线与圆有2个公共点的概率是. 6．（2026·浙江宁波·二模）已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 7．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】通过对已知条件变形，构造单调函数，利用函数唯一性得到与的对数关系，进而代换消元求出. 【详解】由得，即， 令，则定义域，且， 当时，，在单调递增， 由可得，且， 所以，即，所以，得. 【点睛】利用指数与对数的同构构造单调函数，通过函数单调性建立变量关系，实现消元求值. 8．（2026·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连接.设二面角，，大小分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出，，从而平面，推导出，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出． 【详解】如图所示： 平面，平面，， 由，，，平面， 平面，又平面，所以，即是直角三角形， ， 在中，，，， ，． ． 如图以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 由题意得二面角的平面角为， ，， 设平面的法向量为， 由， 令，得， 又平面的一个法向量为， 所以． ， 设平面的法向量为， 即， 令可得， ，所以． 综上，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北唐山·一模）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 10．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】先由平移变换得，再是偶函数，得，进而可得及，再结合三角恒等变换得，根据正弦函数的性质可判断BC选项，对D，将函数的零点转化为函数与图象在上的交点的横坐标，进而转化为函数在与交点的横坐标，从而可判断结果. 【详解】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又因为是偶函数， 所以，得，即， 再由，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 因为，所以，函数在单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以函数在上的零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标， 令，所以函数在有两条对称轴和，如图： 当时，函数与有两个交点，且关于对称， 即，所以，得. 当时，函数与有3个交点，， ，所以，得. 所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误. 11．（2026·湖北孝感·一模）曲线，，下列说法正确的是（    ） A．若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B．若曲线C表示双曲线，则其离心率 C．若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D．不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 【答案】ABD 【分析】根据题意，对各选项进行分析即可. 【详解】A：将点代入方程左边： 由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确. B：曲线方程可改写为：，当时，即， 此时方程为：， 即标准双曲线形式：， 其中，， 双曲线离心率公式：， 所以B正确. C：因为，所以， 方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，， 因为，所以，故，焦点在y轴上， 所以C错误. D：将直线代入曲线方程： ，展开：， 整理成关于的二次方程： ， 根据判别式：， 化简得：，因为，所以恒成立, 方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点. 所以D正确 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东淄博·一模）平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 【答案】 【详解】由，， 得，， 则在上的投影向量为. 13．（2026·江苏南京·一模）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况， 所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值. 【详解】（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 设，由（1）知平面， 则为平面的法向量. 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 记平面与平面所成角为，则. 当时，取到最大值. 16．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 17．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【详解】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： （3）由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 18．（2026·湖北·一模）已知动圆与圆：外切，同时与圆：相内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设曲线与轴交于，两点（在左侧），过的动直线交于，两点，直线，交直线于，两点，证明： （i）以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标； （ii）直线与圆相切. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，圆过定点和.；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆与圆相切可得，依据椭圆的定义可求椭圆方程； （2）（i）设动直线的方程为：，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求得，再结合数量积可得，从而可求定点或设以为直径的圆与轴的交点，则，结合韦达定理化简前者可得定点；（ii）用坐标表示的纵坐标，结合韦达定理化简后可证与的方向向量垂直，从而可得直线与圆相切. 【详解】（1）圆化为标准方程为，圆心，半径 圆化为标准方程为，圆心，半径 设动圆圆心，其半径为. 由题意，圆与圆外切，与圆内切，故， 两式相加得. 即动点到两定点与的距离之和为常数12，且 满足椭圆的定义，于是其方程为： （2） 曲线与轴交于，两点， 由方程令，得，即，，点为椭圆的右焦点. （i）法1：设过点的动直线的方程为：， 代入椭圆方程整理得：， ， 设，，则，， 不妨记，则 直线的方程为：，与直线交于点，则， 同理，直线与直线交于点，则， ，，， 而， 在以为直径的圆上即圆过定点， 由对称性知，圆还过定点，所以圆过定点和. 法2：设过点的动直线的方程为：， 代入椭圆方程整理得：， ， 设，， 则，，， 直线的方程为：，所以点，同理， 设以为直径的圆与轴的交点，则， 即（*）， 而 ， 代入（*）可得，得或即圆过定点， 定点坐标为或. （ii）直线的方程为：，点， 同理，， 而 ， ，而的方向向量， ，于，故直线与圆相切，切于点. 19．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出和，并作差比较即可； （2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可； （3）根据，结合求出的通项表达式，再令，由（2）可得不等式，又令，可得，再结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以． （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（三）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东广州·一模）若，则（ ） A. B. C. D. 2．（2026·江苏扬州·一模）已知集合，，则集合的子集个数为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 3．（2026·山东枣庄·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江宁波·二模）已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 7．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 8．（2026·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连接.设二面角，，大小分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北唐山·一模）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 10．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 11．（2026·湖北孝感·一模）曲线，，下列说法正确的是（    ） A．若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B．若曲线C表示双曲线，则其离心率 C．若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D．不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东淄博·一模）平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 13．（2026·江苏南京·一模）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 16．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 17．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 18．（2026·湖北·一模）已知动圆与圆：外切，同时与圆：相内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设曲线与轴交于，两点（在左侧），过的动直线交于，两点，直线，交直线于，两点，证明： （i）以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标； （ii）直线与圆相切. 19．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $