课时23 同角三角函数的基本关系与诱导公式&课时24 三角恒等变换-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 2.B[因为点P(cosa,tana)在第三象 、1 2 限，所以cos<0,tana<0,则sin>0, 所以孤AB长=2Xnn,孤田 角α的终边在第二象限，] 3.C[当友=2a时，2m十至<a≤2m十 的面积=Sa卷m一Sa0m=子×2X 受；当k=2m十1时，2m十x+不≤a≤ (品)°-×2x品 4 1 1 2x+x+.] sin21 tan 1' 4.D[设A、B两点再次重合小圆滚动 2 1 1 的图数为n,则n×2π×3=6nπ=k× 答案：in I sinI tan 2πX4=8kπ，其中k、n∈N+,所以n= 10.解：设扇形AOB的半径为r,弧长为 普则当-3时m-4故A,B两点 l,圆心角为a, 再次重合小圆滚动的图数为4.门 5.C[因为0是第一象限角， 山白题意可科仔一3 12r+l=8, 即2kx<K受+2kπ，k∈Z, 年将化2化： 所以x号<晋+EZ a==号或==6 所以号是第一或第三象限角，则 (2)法一：，2r十l=8, sn号>0或sin号<0am号>0，故 0 0 Sa--子1…2r≤ 排除D:又因为4kπ<20<π十4kπ，k∈ ()-÷×(） =4, Z,所以20的终边在第一、第二象限或 在y轴的非负半轴上，则sin20>0,当 当且仅当2r=,即a=1=2时，扇形面 20的终边在y轴的非负半轴上时， tan20无意义，故排除A、B.] 积取得最大值4. 6,ABC[设扇形半径为r,圆心角孤度数 ,∴.圆心角a=2,弦长AB=2sin1×2 =4sin 1. 为a,则由题意得 2a2=2, 解得 法二：2r十l=8, Sa--号r(8-2r）-r4- 1a=1, 可得圆心角的孤度 =-(r-2)2+4≤4， 数是4或1.门 7.AC[由三角函数定义， 当且仅当r=2,即a=上=2时，扇 r 1- sin a- 形面积取得最大值4， V√m2+(1-m)2 ∴.弦长AB=2sin1×2=4sin1. n cos a= 11.ABD[设两个质点重合时，所用时 Vm2+(1-m)2 间为t,则重合时点P,Q的坐标均为 所以对于A选项，当m∈(0,1)时，sinc (cos 2t,sin 2t), >0,n∈(1，十o∞)时，sina0,n=1 时，sina=0,所以选项A符号无法确 由题意可得，51-21-苓+2kr,k∈ 定；对于B选项，cosa= >0，所以选项B符 解得1=后+k∈乙 w√m2+(1-m)2 号确定；对于C选项，sina一cosa= 当-0时-吾2-否所以点Q 1-2m 故当n∈ √m2+(1-m) 的金标均为(os吾an吾)，故连 项A正确； 0,2）时，sina=cosa>0,m月 当k=1时，t= (合+）时，sina-cosa<0,m 2-所以点Q 9 2时，sina一c0sa=0,所以选项C的 的坐标均为（号m号）- 符号无法确定；对于D选项，sina十 (s晋.-m号）放选项B cos 1一m 正确： √m2+(1-m)2 1 当-2时1-1号2-2答，所以点 = √m2+(1-m)2 √m2+(1-m) >0,所以选项D符号确定，所以下列 Q的坐标均为(os2gdn2) 各式的符号无法确定的是AC选项.门 8.解析：依题意知OA=OB=2,∠AOx (-cos否，sin吾）故遮项D正确， =30°，∠B0x=120°， 选项C错误.] 设点B坐标为(x,y), 12.C[当n→十∞时，扇形的半径为 则x=2cos120°=--1，y=2sin120°= 10,弧长无限接近于8十8=16，则圆 3,即B(-1,√3). 答案：(-1，√3) 心角为吕×1四≈917，所以漫后 9.解析：由题意可知：BC=AC=1,AO 拼成的大扇形的圆心角的大小大 0c-品品 AC 1 于] ·520· 1B,解析：设P(,)加国，当△PAB 沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚 动时， y B P2 N A: 开始时，P先绕A旋转，当B旋转到 B1时，P旋转到P1,此时 P(+.) 然后再以B1为圆心旋转，旋转后P 旋转到P2此时P(D十号，0小 当三角形再旋转时，P不旋转，此时 A旋转到A2, 当三角形再旋转后，必以A2为圆心 旋转，旋转后P旋转到P3, 点P从开始到B2时是一个周期，故 y=f(x)的周期为MN=3, 如图，xp,xp,为y=f(x)相邻两个 零点，y=f(x)在[xp,·xn]上的图 象与x轴围成的图形的面积为：2X 号×x12+5x12=+ 3 答案：32x+ 34 14.解：(1)若P点的横坐标为一3，因为点 P在圆C:(x十3)2+(y-4)2=1上， 所以P(-3,3)或P(一3,5)， 5 所以tana=一1或-3， 所以当tana=一1时， sin 2a-2sin acos a sin a+cos2a 2tan a =-1, tan a+1 当tana= 号时 sin 2a- 2sin acos a sin a+cosa 2tan a 15 tan2a+1 =一17 (2)易知sin8的最大值不超过1， 下面证明：sinB的最大值是1，只需 证明。一经8一受满足条件 ①由于a+g=7匹满足sin(a十 6 1 ②设P(-3+cosx,4+sinx), 则tana=一√尽-4十sinx -3十cosx' 即33-41 2 simx+ 2cos x in(c+)e[-1,. 所以存在点P使得。=严 综上所述，sinB的最大值是1. 课时冲关23 1.D[由sim（艺十a）-3,可得cosa 1 a∈(0，x),.sina=√1-cos2a= 2,sin (x+2a)--sin 2a 8.解析：y= sin cos 0 十tan0 3 I sin tan sin a × cos a tan a sin a cos a tan a 2.B[sim（e+受）cosa ,又a sin (2kx- ∈（0）sima=- √/1-cos2a sin (2kx -() 25 cos2kπ- 5 tan a- cos(2x-)】 sin a=-2.] cos a tan(2kx- 3.C[令月=a-吾，则a=+否， am(2x-吾) 所以由2sn(a+登）-co(e-受)） cos 5 得2sim(+受)=os(g-吾） 即2cos- 乞os+zsim3, tan 5 即sing-(4-√5)cosB,得tang4-5, 所以tam(e-吾)-ang=4-6.] -tan 5 4.C[为n(-）-以号 一sim5+ cos5 -tan 5 sim子 π tan 5 (cos a-sin a)= .所以osa一sina 6 -1+1-1=-1. 答案：-1 所以1-2 i- 1 9.解析：cos(F+0） 得sin acos a= 合，因为cosa十na -m[x-(告-0)] √1+2 sin acos&- √17 = 3, =-os(答-0）-a sin a sin a 所以1十ana1十 sin(5-）=s[受+（答-）] cos a =w(答-）-a, sin acos a 9 cosa十sina /17 1平 ∴s(答+0）+m(F-0）-0. 3 答案：0 5.D[:sim(Ξ+0）+3cos(x-)= 10.解：(1)由cos(a十3x)十2sin(a十6π) =0,可得-cosa+2sina=0,即tana cos 0-3cos 0=-2cos 0=sin (-0)= = -sin0,∴.tan0=2,则sin0cos0叶cos20 2 片 3π sina+5cosa)cos a (2) 6.ABC[在△ABC中，有A+B+C= 2+2cos 2a π，则sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; sin a+5sin acos a A 2+2(2cos2a-1) = sin2a+5sin acos a tan(A十B)=tan(π-C)=-tanC 4cos a (C≠受)：os(A+B)-cos(x-C) sina5sin geos a cos2 a cos a --cos C. 4cos2a 7ABD[由题意知osa-吉，角e的 cosa 终边在第一象限，则n=sina= -tan'a+5tan a V-cosa=子，所以1ame=82= 16 cos a 11.C[充分性： 产，A正确：由题意知日=Q十于 3 ，所以 因为△ABC为锐角三角形， osgos(e+）--sina=- 所以A十B>受， 4 sing=sin(a+）=csa=，tam 即受>A>乏-B>0, 2 sin B cos B =-号，即Q点的坐标为 所以mA>血（受-B）-osB, 同理可得sinB>cosC,sinC>cosA, (是号）所以可得B.D正确，C 故充分性得证：必要性： sin A>cos B,sin B>>cos C,sin C 错误.] >cosA成立时， ·521· 参考答案 若存在某个角为钝角或直角，不妨设 , 则A十B=元-C≤受，可得A≤受 -B, 且A与受一B均是锐角， 两边取正弦得s血A≤im(受-B） =cosB与sinA>cosC矛盾，因此 角C为锐角，同理可证A,B也应为 锐角， 所以△ABC为锐角三角形，必要性 得证，综上所述，为充分必要条件.] 1 12.解析：：sinx十cosy= sinx∈[-1,1]， .'sin x= 4-cosy∈[-1,1]， 1 1 “sinx一in2y=4-sy1-cox2》 -cos'y-cos y 3 -(osy)-1. 利用二次函数的性质知，当cOsy= 4 时，(sinx-sin2y）max= (-)-1- 9 答案品 13,解析：由题意得sina-cosa=立， (sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2 =2, 即(sina+cosa)2+ () =2, 7 故(sina+cosa)2= 又a∈(0，受），因此有sina十osa 2 所以 cos 2a cos a-sin2a (-) (na-cosa） 2 --√2(sina十cosa)= 应 2 答案：一 14 2 14.解：因为si加a=1-si加（经十）=1 -cosB,所以cos3=1-sina. 因为-1cos1,所以-11一sin a1,0sin a2, 又-l≤sina≤1，所以sina∈[0,1]. 所以sin2a+sin(受-3）十1=sim2a cos 8+1=sin2a-sin a+2= 2 【sina-2十4，（*) 高考总复习数学(BS) 又sma∈[0,1小，所以当sina-号 时，()式取得最小值子 当sina=1或sina=0时，（￥）式取 得最大值2， 故所求取位范因为[子2] 课时冲关24 1.C[因为角a终边在直线2x十y=0 上，所以tana=-2,.cos2a=5 in(牙-a）o(a-f)） -in(径-a）os(f-a） -之×2sm(任-a）o(径-a） n[2×(÷-e)] in(受-2a） 0s 2(2oa-1) 1 2.B[对A,tan20°+tan25°+tan20 tan25°=tan45°(1-tan20tan25°)+ tan20°tan25°=1，故错误；对B, 2sin75°c0s75°=sim150°=号，故正 确：对C,sin45°cos15°+cos45°sin15 专in(45+15)=n60°，故错 误对D1-2是-音-。 故错误.] 3.B[由题意 2 sin a+sin acos a 1 2 cos a-2 sin acos a. 1 cos2a=立sin2a, 即tan2a=尽，所以tan(2a+子） tan2a十tan1_5+1_(5+1)2 π 1-tam2atan子1-后 -2 =-2-5.] 4.A[由已知可得A= √3-tan20° sin(180°-20) -3cos20°-sin20 sin20°cos20° 2(sin60cos20°-cos60°sin20) 之sin40° 4sin40° sin 40 =4.] 5.D [f(x)-4sin(3x+5)）十 cos(3xr-若) =(m+号s3)+9s3r -2sin 3+23cos3co sin40° 2sin20°cos20° 2cos 3.r+ cos60°cos20° 合m3x-号n3x+i9s3 c0 20 2 =4sin20°=4cos70°， 因此0=70°（实际上0=k·360°士70°， -5sim(3x+）片 k∈Z). f(x)最大值为5.] 答案：70°（答案不唯一） 6.ABC[A选项，4sin15cos15°-2sin30° =2×号-1，故正确B选项， 9.解析：1+，5-sin80+cos80 tan 80 sin80° 2sin(80°+60) 2sin1409 2(o2吾-i2）-2=2× sin 80 2sin40°cos40 2sin40° 号-1，故正确：C谁项m 2tan22.5° 2sin40°cos40 cos 40 sin 50 =tan45°=1，故正确；D选项， sina,则sina=sin50,故a=k. 1 √+2o吾√+x π 1 360°+50°，k∈Z或a=k·360°+ 2 130°，k∈Z,故答案为50°，130°，410°， 2+E≠1，故错误.] 490°等均符合题意. 答案：50°，130°，410°，490°等均符合 7.CD[因为a为第一象限角，所以a∈ 题意 (2k,2kx+受)，k∈么a+ 10.解：1)因为点P的横坐标为2，P 7 (2x+，2x+）∈. 在单位圆上，a为锐角，所以cosa- 1 周为(+)）是所以是< 27,所以cos2a=2cog2a-1= 2 一n子，所以e十号是第二象限角， (②)因为点Q的纵坐标为35， 141 所以sinB= 3 141 3为第三象限角， 又因为B为锐角，所以c0sB 13 )tEz. 14 所以B∈（2kπ十π，2kπ十 因为cosa=2y ,且α为锐角， g-吾∈(2x+号，2k+子x: k∈Z, 所以sina= √21 7 因为c0s(日晋)-器所以 因此sin2a=2 sin acosa=4y5 7 子是第二象限角或第三象限角， 7 当日-受是第二象限角时， 35_5 im(g吾）音，此时casa+》 142 因为a为锐角，所以0<2a<元又cos2a o[(+吾)）+(e晋)门 >0,所以0<2a<受，又B为锐角，所 =os(+5)os(e吾） 以-罗<2a-<受，所以2a-B n(+)·sm(e-) ()×()是×最-器 11.ACD [f (x)=sin 2x+3(1- cos 2x)=sin 2x-3 cos 2x+3= 当B-子是第三象限角时， 2sm(（x-吾)）十，T-受=x,A 此时cos(a十) 正确：（否）是曲线f(x)的一个 -o[(+)+(2-晋)] 对称中心，B错误：2江-受=受十 =os(+)小ms(-) -语+经k∈=-1时， x=一是x=一登是曲线f(x)的 ()×() - 一条对称轴，C正确：一受<2x-哥 6 65·] <受-吾<2x<晋-<< 8.解析：由题意4cos0-√3-tan20 =tan60°-tan20°-h60-n20 而（晋）=（意) cos60° cos 205 =sin60°cos20°-cos60°sin20 )在（后，登）上单调递增， cos 60cos 20 D正确.] ·522· 12.解析：y=cos acos B-sin asin B+ cos a-cos B-1=(cos B+1)cos a sin Bsin a-(cos B+1) =(cos B+1)2 +sin2 8sin (a+) -(cos 8+1)=2+2cos Bsin (a+ p)-(cos8+1), 由sin(a+g)∈[-1,1]， 得-√2+2cosB-(cosB+1)≤ y√2+2cos3-(cos3+1), 令t=√/1+cosB,则t∈[0，w2], 则-√2t-≤y≤√②t-2, 所以≥-2-2=- 合>-4，音且仅音1-E,即60s 1时取等号，且y≤√2t-t2= 之时取等号，所 以y的取位范避为[一小，宁] 答案-4，打 13.解析：在Rt△PAQ中，∠PAB=a∈ (0号）AP=60来， ,∴.PQ=APsin a=60sina(米)， 在Rt△PAR中，可得PR= 60sin(管-a） 由超可知∠QPR-晋△POR的 1 面积为S△nOR= ·PQ·PR· sin∠QPR=子×60sneX 60sin(-e）sim号 =900V5 in asin(号-a） =40(n2a+2s2a） 1 =450[m(2a+若)] 又ae(,受） 2a+晋∈（晋） 当2a+吾-受，即a-时， △PQR的面积有最大值225√3平方 米，即三角形绿地的最大面积是 2253平方米. 答案：60sina米225√5平方米 14.解：(1)由辅助角公式得 f(x)=sin x+cosx =Em（+)} 则y-[r(+受)] [(] =2n2（e+）】 -1-cos(2x+5) =1-sin2x,所以该函数的最小正周 期T-=元 参考答案 (2)由题意y=f(x)f(-至) 又g<受g=- -Esin(x+子）sin 则f(x)=-V2cos2x.故f(x)在 -2sim(r+子）sinz (0,受)上单调递增，故A正确，C不 =2sinx· √2 2 cos x 正偏：)在（受，受）上没有单调 性，故B、D不正确.] =√2sin2x+√2 sin rcos r 5.D[因为不等式sin rcos-cos2x+ -.I-cos 2sin2r 2 合十m≥0(m∈R)对Yx∈ [受，晋]世成立，所以不等式一m -sin(2- )+ 号m()对 由∈[，号]可得2x π [-] [] 恒成立， 所以当2x一 受，即= 令-号m(2-子）因为 8 函数取最大值1十 []所以2红- 4 2 课时冲关25 1.C[由)为奇函数，可得g=受十 1,所以f(x)mn=一 2 x6∈么当-0时9-受] 所以一n≤ 9部得≥ 21 2.C[由通数f(x)=an(ar-至)a >0)的图象与直线y=1的相邻两个 所以m的最小管为盟】 交点的距离为受，则有f(x)的周期T 6.AC[f(x)- 合os2r =吾-合解得仙=2于是得f代 sin(2x-吾)则f() tan(2x-千） =1,即函 所以f(x)的图象的对称中心横坐标 方程满是2至-经，(kZ, 数关于直线x一子对称，故A正确，D 解得-吾+经.(k∈，可知 错误f(后）-sin(2×否-若) (餐，0）为其一个对称中心.] 管-品数不关于直线 3.C[由题意可得：y-2如(3x-看）可 吾时称，故B错误：() 知最小正周期T- 经作出y一血上和 m(2x音-吾)0，即fx)关于 y=2sim(3x石)在[0.2x]上的函数图 (臣0）对称，故C正确] 象，观察即可得到6个交点。 7.ABc[当上=吾时f(答)=mx y=2sin(3x- =0,所以y=f(x)的图象关于点 (后0）对称，A正魔：当x--音 2元 时f(-是)=s血受=1，所以y f代x)的图象关于直线x=一是对称， 4.A[函数fx)=sin(cwx十p) B正痛：当z[0,晋]时，a=2x+号 osar+gl=Esa(ar+g子） (@>0g<受)的最小正月期为二- e[肾号]f()m“在 π，∴.w=2, [肾智]上单河递减，裁C玉确：吉 即fx)-in(2x+g-牙） x∈【-音，0]时，“=2x+受∈ 又f(-)-f(x)9--罗 [肾，]r)=si血u在 kk∈Z,则g=于+k,k∈乙 [答，]上的最小值为，D错误.] ·523·高考总复习数学(BS) [答题栏] 课时冲关23 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1 [基础训练组] 8.已知角a=2k元一 21已知sm+a=e0x则sm(+2a) （∈Z),若角0与角a的 终边相同，则y sin 0 cos 0 tan 0 -.3 ( sin0可十 lcos Itan 0[ 的值为 ..4 A.日 C.4② D.-4② 9 9.已知cos -0 a(|a|≤1)，则 5,a∈ 5,已知sina十2/-5 (-受0小则 cos+sin 2π -0的值是 tan a- ( 10.已知cos(a十3π)+2sin(a十6π)=0. 7 A.2 B.-2 c D.-1 (1)求tana的值； 2 3π cos a (2)求 sin a+5cosa2 一的值 2+2cos 2a tan-)- A.-4-√5 B.-4+3 C.4-√3 D.4+√3 4已知0n(任--则。 sin a 的值为 ( A. B.24 13 C.47 51 D.27 13 5.已知sim（号+0十3cos(x-0)=sin(-0. [能力提升组] 则sin0cos0+cos20= 11.“△ABC为锐角三角形”是“sinA>cosB, A.号 B台 c得 D是 sinB>cosC,sinC>cosA”的() A.充分不必要条件 6.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 ( ) D.既不充分也不必要条件 A.sin(A+B)=sin C B.sin B+C c0s2 12.已知sinx十c0sy=子则snx-sm2y的 最大值为 C.tan(A+B)=- tan C c≠ 13.已知sina= 2 +osa,且a∈（0， D.cos(A+B)=cos C 7.(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边 则cos2a 的值为 与单位圆交于点P 号n小a>≥0，将角a的 终边按逆时针方向旋转后得到角B的终 14.已知sina=1 sim(受+，求sina十 边，记角3的终边与单位圆的交点为Q,则 sim(管-月)十1的取值范图。 下列结论正确的为 A.tan a=4 B.sinB= 4 C.tan B3 D.Q的坐标为 34 55 ·280· 主题二第四章三角函数、解三角形 [答题栏] 课时冲关24 三角恒等变换 1- [基础训练组] 7.(多选)已知a为第一象限角，B为第三象限2 1.若角a顶点与原点重合，始边与x轴非负半 轴重合，终边在直线2x十y=0上，则 则cos(a十B)可以为 )4 sin(-a cos (a- c器 A.±号 B士告 D 6-- 8.写出一个满足tan20°+4cos0=√3的0= 7-- 2.下列各式中值为2的是 ( 11.-.- 1 A.tan20°+tan25°+tan20°tan25 9.若1+⑤ tan80°sin 一，则α的一个可能角度 B.2sin75°cos75° 值为 C.sin45°cos15°+cos45°sin159 10.在平面直角坐标系xOy D.1-2sin 中，锐角α，B的顶点为坐 标原点O,始边为x轴的 3.已知sin asin a+6 cos asin -小 3 正半轴，终边与单位圆O 则tam(2a+)月 的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为 27 A.2-√3 B.-2-√3 一·点Q的纵坐标为，3 C.2+5 D.-2+5 (1)求cos2a的值； 4.若λsin160°+tan20°=√3，则实数入的值为 (2)求2a-B的值. ( A.4 B.4√3 C.2√3 D.4 3 5函数f)=4in(3z+)十co3x-】 的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5 6.(多选)下列三角式中，值为1的是() A.4sin15°cos15 B2(eos2吾-sim2看 C.,2tan22.5° 1-tan222.5 D+os ·281· 高考总复习数学(BS) [能力提升组] (2)求函数y-f()f)在[0，] 11.(多选)已知函数f(x)=2 sin xcos a十2√3sinx, 则 的最大值， () A.f(x)的最小正周期为π B.(石0是曲线f(x)的一个对称中心 C.x=- 是曲线f代x)的一条对称轴 Df)在区同（无，》 上单调递增 12.y=cos(a十B)+cosa一cosB-1的取值范 围是 13.某地进行老旧小区改 造，有半径为60米，圆 心角为的一块扇形空 置地（如图），现欲从中 规划出一块三角形绿 地PQR,其中P在BC上，PQ⊥AB,垂足 为Q,PR⊥AC,垂足为R,设∠PAB=a∈ 0,)则PQ (用a表示)；当 P在BC上运动时，这块三角形绿地的最 大面积是 14.设函数f(x)=sinx十cosx(x∈R). )求函数y=[/(+] 的最小正 周期； ·282·