课时22 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

(2)证明：要证f(x)≤e2x,即证ln二+4.解：1)由题意知(=一(x>0. +2≤e2x,只需证x(e2x-2)-lnx 当a0时，当x∈(0，十∞)时，f'(x)》 x >0,f(x)在(0，十∞)上单调递增； -1≥0. 当a>0时，当x∈(0，a)时，f(x)<0: Ag(x)=x(e2r-2)-In x-1, 当x∈(a,+∞)时，f'(x)>0, 其中x>0, f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上 则g(x)-(2x+1)e2x-1+2x 单调递增，综上，a0时，f(x)在 (0,十∞)上单调递增；a>0时，f(x】 -(2+D(e2-） 在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单 调递增。 令h(r)=e2a-1(x>0),则(x)= (2)证明：：f(x1)=f(x2)(x1<x2), x Tiraln2 22+>0,所以h()在(0，+∞) 即a= II x2一x1 上单调递增， 又a≥1，要证x1十x2>2,只需证 因为h(什）-E-4长0，h(合) 2rycra ln =e-2>0, x1十2> x2-x1 (0<x1<x2). 所以存在∈（宁，）使() 即证2--21n9>0,0 e2- 1 =0,可得2x0=-lnx0, 设g)=t-上-2nE,r>1, 当x∈(0，xo)时，h(x)<0,即g(x)<0, 则g(x)在(0，x0)上单调递减； 则gx)--1D2≥0. 当x∈(xo,十∞)时，h(x)>0,即g(x) >0,则g(x)在(x,十∞)上单调递增 g(x)在[1，十∞)上单调递增，： 所以g(x)mn=g()=x(e2-2)- h6-1=(3-2）+2,-1=0.所 >1g(会）>g1)=0.不等式① 成立，即x1十2>2成立. 以g(x)≥0，所以f(x)≤e2x. 5.解：(1)设直线y=2x十1与曲线 3.解：(1)由已知得f(x)=x十1-a y=f(x)相切于点(x0,f(xo)), 4,因为f(x)存在极值点1，所以 ,f(x)=(x十a+1)e2, ∴.f'(xo)=(xo+a+1)e=2: f(1)=0,即2-2a=0,a=1,经检验 又f(.xo)=(.xo十a)e=2xo十1， 符合题意，所以a=1. ∴.2-eg=2xo十1，即em+2xo-1=0: (2)f'(x)=x+1-a -a=(x十1)· 设g(x)=e2+2.x-1, 则g(x)=e+2>0, 1-）x>0 g(x)在R上单调递增， 又g(0)=0,g(x)有唯一零，点x=0, ①当a0时，f'(x)>0恒成立，所以 ,·x0=0, f(x)在(0，十∞)上为增函数，不符合 ∴.a十1=2，解得a=1: 题意： ∴.f(x)=(x+1)er, ②当a>0时，由f(x)=0,得x=a, f'(x)=(x+2)e, 当x>a时，f'(x)>0,所以f(x)单调 则当x∈(-oo,-2)时，f(x)<0: 递增，当0<x<a时，f(x)<0,所以 当x∈(-2，十∞)时，f(x)>0； f(x)单调递减，所以当x=a时，f(x) ,∴.f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在 取得极小值f(a). (一2，十0∞)上单调递增， 又f(x)存在两个不同的零点x1,x2, (2)由(1)知：f(x)nmin=f(-2) 所以a)<0,即2.2+(1-a)a -e2<0 当x<-1时，f(x)<0:当x>一1时， alna<0,整理得lna>1-之a, f(x)>0,.r1<-2<x2<-1; 作y=f(x)关于直线x=a的对称曲 要运A·>4,只需证山<号<-2： 线g(x)=f(2a-x), f(x)在(-∞，-2)上单调递减， h(x)=g(x)-f(x)=f(2a-x)- f(x)-2a-2r-aln 2a-x 六只需证f)>f(): x 又f(x1)=f(x2),则只需证f(r2)> 则N'(x)=-2+(2a-x)z 2a2 f(侍)时任意∈(-2，-1)恒 2a2 成立； =-2+-（x-a)2+a' 因为在(0,2a)上，h(.x)≥0，所以h(x) 设)=)-f()-2K-. 在(0,2a)上单调递增，不妨设x1a /(x)=(x+2)e+8〔x2e x2,则h(x2)>h(a)=0,即g(x2)= f(2a-x2)>f(x2)=f(x1),又2a -x+2)e(xe÷+8: x2∈(0，a),x1∈(0，a),且f(x)在 (0,a)上为减函数，所以2a一x2<x1, 设p(x)=x3e÷+8(-2<x<-1), 即1十x>2a,又lna>1-2a,易 则p(x) 知a>1成立，故x1十x2>2. =e·[(+受）+子]o ·519· 参考答案 ·(x)在（一2，一1）上单调递减， ∴.p(x)<p(-2)=一8十8=0， 又当-2<x<-1时，x+2)e ∠0 h'(x)>0, h(x)在(-2，-1)上单调递增， .h(x)>h(-2)=f(-2)-f(-2) -0.即x>f()在x(-2 -1)时恒成立，又x2∈(-2，-1)， “)>(母)原不等式得运 6.证明：(1)f(x)=xlnx-ax2+x =In x+1-2ax+1=In x-2ax+2, f(1)=2-2a,又f(1)=1-a, ∴.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 方程为y-(1-a)=(2-2a)(x-1), 即y-21-a)(-）当x- 1 时，y=0,故直线1过定点(20） (2)证明：：工，2是f(x)的两个零点， 且x2>2x1, lnx1-ax+西=0， "{x2lnx2-a.x号+xo=0, 可得n西十1=a西， In x2+1-ax2, :n西+1ln2i 1 _ln()+2_lm2-ln五. x1十x2 x2-x1 令t=2(>0),lnx1x2+2 x (+)h2 1-=+1)1ln, x2-x1 t-1 构造函数g(t)= (t+1ln1, t-1 1- 1-2Int g(t)= (t-1)2 令h(t)=1-i 1 -2lnt,则h'(t)= 1-1)2>0,则h()在(2，十∞)上单 12 调运增，西A(2)=2-合-21n2=号 2 -21n2>0,.g(t)>0,则g(t)在 (2,十∞)上单调递增， g(t)>g(2)=3ln2,可得ln(x1x2)+ 2>3h2,则lh(2)>h3, 即1n>8, ,则√+>21 e 课时冲关22 l.B[,a是第三象限角，.2kπ十元<a <2x+k∈+受<号< -x+至<x-受<-x+受， 故当为偶数时，不一号是第一象限 角：故当长为奇数时，元一号是第三象 限角.] 高考总复习数学(BS) 2.B[因为点P(cosa,tana)在第三象 、1 2 限，所以cos<0,tana<0,则sin>0, 所以孤AB长=2Xnn,孤田 角α的终边在第二象限，] 3.C[当友=2a时，2m十至<a≤2m十 的面积=Sa卷m一Sa0m=子×2X 受；当k=2m十1时，2m十x+不≤a≤ (品)°-×2x品 4 1 1 2x+x+.] sin21 tan 1' 4.D[设A、B两点再次重合小圆滚动 2 1 1 的图数为n,则n×2π×3=6nπ=k× 答案：in I sinI tan 2πX4=8kπ，其中k、n∈N+,所以n= 10.解：设扇形AOB的半径为r,弧长为 普则当-3时m-4故A,B两点 l,圆心角为a, 再次重合小圆滚动的图数为4.门 5.C[因为0是第一象限角， 山白题意可科仔一3 12r+l=8, 即2kx<K受+2kπ，k∈Z, 年将化2化： 所以x号<晋+EZ a==号或==6 所以号是第一或第三象限角，则 (2)法一：，2r十l=8, sn号>0或sin号<0am号>0，故 0 0 Sa--子1…2r≤ 排除D:又因为4kπ<20<π十4kπ，k∈ ()-÷×(） =4, Z,所以20的终边在第一、第二象限或 在y轴的非负半轴上，则sin20>0,当 当且仅当2r=,即a=1=2时，扇形面 20的终边在y轴的非负半轴上时， tan20无意义，故排除A、B.] 积取得最大值4. 6,ABC[设扇形半径为r,圆心角孤度数 ,∴.圆心角a=2,弦长AB=2sin1×2 =4sin 1. 为a,则由题意得 2a2=2, 解得 法二：2r十l=8, Sa--号r(8-2r）-r4- 1a=1, 可得圆心角的孤度 =-(r-2)2+4≤4， 数是4或1.门 7.AC[由三角函数定义， 当且仅当r=2,即a=上=2时，扇 r 1- sin a- 形面积取得最大值4， V√m2+(1-m)2 ∴.弦长AB=2sin1×2=4sin1. n cos a= 11.ABD[设两个质点重合时，所用时 Vm2+(1-m)2 间为t,则重合时点P,Q的坐标均为 所以对于A选项，当m∈(0,1)时，sinc (cos 2t,sin 2t), >0,n∈(1，十o∞)时，sina0,n=1 时，sina=0,所以选项A符号无法确 由题意可得，51-21-苓+2kr,k∈ 定；对于B选项，cosa= >0，所以选项B符 解得1=后+k∈乙 w√m2+(1-m)2 号确定；对于C选项，sina一cosa= 当-0时-吾2-否所以点Q 1-2m 故当n∈ √m2+(1-m) 的金标均为(os吾an吾)，故连 项A正确； 0,2）时，sina=cosa>0,m月 当k=1时，t= (合+）时，sina-cosa<0,m 2-所以点Q 9 2时，sina一c0sa=0,所以选项C的 的坐标均为（号m号）- 符号无法确定；对于D选项，sina十 (s晋.-m号）放选项B cos 1一m 正确： √m2+(1-m)2 1 当-2时1-1号2-2答，所以点 = √m2+(1-m)2 √m2+(1-m) >0,所以选项D符号确定，所以下列 Q的坐标均为(os2gdn2) 各式的符号无法确定的是AC选项.门 8.解析：依题意知OA=OB=2,∠AOx (-cos否，sin吾）故遮项D正确， =30°，∠B0x=120°， 选项C错误.] 设点B坐标为(x,y), 12.C[当n→十∞时，扇形的半径为 则x=2cos120°=--1，y=2sin120°= 10,弧长无限接近于8十8=16，则圆 3,即B(-1,√3). 答案：(-1，√3) 心角为吕×1四≈917，所以漫后 9.解析：由题意可知：BC=AC=1,AO 拼成的大扇形的圆心角的大小大 0c-品品 AC 1 于] ·520· 1B,解析：设P(,)加国，当△PAB 沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚 动时， y B P2 N A: 开始时，P先绕A旋转，当B旋转到 B1时，P旋转到P1,此时 P(+.) 然后再以B1为圆心旋转，旋转后P 旋转到P2此时P(D十号，0小 当三角形再旋转时，P不旋转，此时 A旋转到A2, 当三角形再旋转后，必以A2为圆心 旋转，旋转后P旋转到P3, 点P从开始到B2时是一个周期，故 y=f(x)的周期为MN=3, 如图，xp,xp,为y=f(x)相邻两个 零点，y=f(x)在[xp,·xn]上的图 象与x轴围成的图形的面积为：2X 号×x12+5x12=+ 3 答案：32x+ 34 14.解：(1)若P点的横坐标为一3，因为点 P在圆C:(x十3)2+(y-4)2=1上， 所以P(-3,3)或P(一3,5)， 5 所以tana=一1或-3， 所以当tana=一1时， sin 2a-2sin acos a sin a+cos2a 2tan a =-1, tan a+1 当tana= 号时 sin 2a- 2sin acos a sin a+cosa 2tan a 15 tan2a+1 =一17 (2)易知sin8的最大值不超过1， 下面证明：sinB的最大值是1，只需 证明。一经8一受满足条件 ①由于a+g=7匹满足sin(a十 6 1 ②设P(-3+cosx,4+sinx), 则tana=一√尽-4十sinx -3十cosx' 即33-41 2 simx+ 2cos x in(c+)e[-1,. 所以存在点P使得。=严 综上所述，sinB的最大值是1. 课时冲关23 1.D[由sim（艺十a）-3,可得cosa 1 a∈(0，x),.sina=√1-cos2a= 2,sin (x+2a)--sin 2a高考总复习数学(BS)》 [答题栏] 课时冲关22 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1 「基础训练组] 8.在直角坐标系Oy中，O为坐标原点， 21.若a是第三象限的角，则x一号是 ( A(√3,1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B 点，则B点坐标为 3 A.第一或第二象限的角 9.《九章算术》是中国古代的数 B.第一或第三象限的角 B -4 学名著，其中《方田》章给出了 C.第二或第三象限的角 弧田面积的计算公式.如图所 5 D.第二或第四象限的角 示，弧田是由圆弧AB及其所 62.我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第 对弦AB围成的图形.若弧田的弦AB长是 几象限，这个角就是第几象限角.已知点 2,弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧 --7 P(cosa,tana)在第三象限，则角a的终 AB长为 ,弧田的面积为 --.11 边在 () 10.已知扇形AOB的周长为8. A.第一象限 B.第二象限 (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的 --12 C.第三象限 D.第四象限 大小： 3.集合{akx+至≤a≤kx十受k∈中的角 (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心 角的大小和弦长AB. 的终边所在的范围（阴影部分）是 兴，子为 4.半径为3的圆的边沿有一点A,半径为4的 圆的边沿有一点B,A、B两点重合后，小圆 沿着大圆的边沿滚动，A、B两点再次重合小 圆滚动的圈数为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如果0是第一象限角，则 A.sin20>0且tan20>0 0 B.sin2>0且tan20>0 C.sin20>0且an号>0 D.sim号>0且am号>0 6.(多选)已知扇形的周长是6cm,面积是 2cm2,下列选项正确的有 A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 7.(多选)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(m,1一m), 若m>0,则下列各式的符号无法确定的是 ( A.sin a B.cos a C.sin a-cos a D.sin a+cos a ·278· 主题二第四章三角函数、解三角形 [能力提升组] 滚动，设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x), 11.(多选)由现代教育出版社出版的《中国高 则f(x)的最小正周期为 考报告2025》中指出，高考数学试题将会全 y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与 面的加入复杂情境，更加注重数学思维能 x轴所围区域的面积为 力和思想方法的考察，考题难度加大.某教 师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问 题，质点P和Q在以坐标原点O为圆心， 半径为（的圆O上逆时针匀速圆周运动， 同时出发，P的角速度大小为2rad/s,起点 14.已知角a的顶点与原点O重合，始边与x 为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度 轴的非负半轴重合，它的终边过点P,且点 P在圆C:(x+3)2+(y-4)2=1上. 大小为5rad/s,起点为射线y=一√5.x(x≥ (1)若P点的横坐标为一3，求sin2a的值； 0)与圆O的交点，则当Q与P重合时，Q 的坐标可以为 (2)若角P满足sin(a+8)=一分求sin月 2π 的最大值 ，-sin B-os 5π 9 C.cos 9-sin 9 D.-cos- ,sin π 12.矩形纸片ABCD中，AB=10cm,BC 8cm.将其按图(1)的方法分割，并按图(2) 的方法焊接成扇形；按图(3)的方法将宽 BC二等分，把图(3)中的每个小矩形按图 (1)分割并把4个小扇形焊接成一个大扇 形；按图(4)的方法将宽BC三等分，把图 (4)中的每个小矩形按图(1)分割并把6个 小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图(1)分割并把2n个 小扇形焊接成一个大扇形.当→十∞时， 最后拼成的大扇形的圆心角 1 B(D)(2) A,小于受 B.等于受 C.大于受 D.大于1.6 13.如图，在平面直角坐标系xOy中放置着一 个边长为1的等边三角形PAB,且满足 PB与x轴平行，点A在x轴上.现将三角 形PAB沿x轴在平面直角坐标系xOy内 ·279·