课时18 利用导数研究函数的极值，最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

主题二第三章导数及其应用 课时冲关18 利用导数研究函数的极值、最值 [答题栏] [基础训练组] 6.函数f(x)=号2-sinx,若f(x)在 1.设函数f(x)=xe+1,则 2 A.x=1为f(x)的极大值点 0,受上有最小值，则实数a的取值范围是3一 B.x=1为f(x)的极小值点 4 C.x=一1为f(x)的极大值点 A.(0,+∞) B.(0,1) 5 D.x=一1为f(x)的极小值点 C.(-∞，0) D.(-1,0) 2.已知函数f)=-x+2sinx∈[0受]， 7.(多选)函数y=f(x)的导函数y=(x)的7 则函数(x)的最大值为 图象如图所示，下列命题中正确的是( ）8 A.0 B2- 13.- 14 C. D.-君 3.已=号是函数f)=h2x)-ax的 3-2-101 极值点，则实数a的值为 ) A.一3是函数y=f(x)的极值点 A.1 B号 B.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 C.2 D.e C.-1是函数y=f(x)的最小值点 4.如图，可导函数y=f(x)在点P(xo,f(xo)处 D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 的切线为1：y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x), 8.（多选)(2024·新课标I卷)设函数f(x)= 则下列说法正确的是 ( (x一1)2(x一4)，则 () =g(x) A.x=3是f(x)的极小值点 P B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) =fx) C.当1<x<2时，-4<f(2.x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) A.3x∈R,h(x)>0 9.f(x)=Iln(a.x)-2|十ax,f(x)的最小值为 B.Hx∈R,h'(x)<0 C.h'(xo)=0,x=xo是h(x)的极大值点 D.h'(xo)=0,x=x0是h(x)的极小值点 10.已知a>0,函数g(x)=x+1+a-2在 5.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时， [2,十o∞)上的最小值为1，则a= f)=lnx-aa>),当xe(-2,0)时， 1.设函数fx)=1nx-ar2-b若x=1 f(x)的最小值为1，则a的值为 是f(x)的极大值点，则实数a的取值范围 A c D.1 为 ·271· 高考总复习数学(BS) 12.已知函数f(x)=a.x-1-lnx(a∈R) 15.在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC,当 (1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的 底边上高h∈(0，t]时，△ABC的面积取得最 个数： 大值35R,则：的取值范围是 (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，Hx 4 ∈(0，+o∞)，f(x)≥bx一2恒成立，求实数 16.已知函数f(x)=ex(x-a)2. b的最大值. (1)若f(x)在x=一1处的切线与x轴平 行，求a的值； (2)f(x)有两个极值点x1,x2,比较 色士)与生的大小： 2 (3)若f(x)在[一1,1]上的最大值为4e,求 a的值. [能力提升组] 13.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x) =2x3-3a.x2+1,则 () A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的 对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y= f(x)的对称中心 14.已知函数f(x)=[a.x2-(4a+1)x+4a+ 3]e,若x=2是f(x)的极小值点，则实数 a的取值范围是 ( A(,号] s合+】 C.(-∞，0) D.(-1,+∞) ·272·(2f(x)=lnx-1+1,:f(x)> g(1),即f(e)+lne>1,则有f(e)> ax对0<x<1恒成立，a<f卫在 0,A成立对于B,。<1,则()】 (0,1)上恒成立， <,则f()十=（） 设g(x)=卫=血上-L+ x -11,即有f(日)<2，故B成立： <x<1),则g()=1-lnz+ 1 对于C,g(x)在(1，e)上为增函数，且 g(1)=1,则有f(x)+lnx>1,则 2 2x-xln r-2 f(x)>1-lnx,又当1<x<e时， 0<lnx<1,则f(x)>0,符合题意： h(r)=2x-xln x-2(0<x<1), h(x)=2-In x-1=1-In x>0, 对于D,当xE1,e)时，有>> ∴h(x)在(0,1)上单调递增，∴h(x)<h (1)=0,g'(x)<0,.g(x)在(0,1) 是>0.此时有g)>g(付）即 上单调递减，·g(x)>g(1)=0, .a0. f)+inx>f()+(）支 13.D[g(x）=f sin r' 形可得f(x)-f()+2mx>0 ∴g'(x)= f(r)sin r-f(r)cos r 又当l<x<e时，0<lnx<1,则fx) sinr :当x(0,受)时，f(smx -(）十2>0恒成立，不行合题意.] 15.解析：①函数f(x)=3.x+a2在(1，+∞》 f(r)cos<0...g'(r<0. 上单调递增，f(1)=3十a2>0, ∴g(x)在(0，受)）上单调递减， 所以函数f(x)在区间(1，十∞)上无 零，点，则函数f(x)=x3十3ax在 :f(x)是定义在（-受，0）U (-∞，1]上有2个零点，即x十3ax =0,x(x2+3a)=0,则x=0,或x= (0,)上的奇函数， -√-3a或x=√-3a,a<0, 故g(一x)= f(-r)f() 1 sin(-r) sin x 则√一3a>1,解得a<-3, g心gx)是定义在（音，0）U 所以a的一个值是一1： ②函数f(x)=3x+a2在(1，+∞)上 (0,)上的偶函数. 单调递增， 则在(-∞，1]上，f(x)=x3+3a.x也 g)在(-受，0）上单调递增。 单调递增，且13+3a≤3×1十a2, 若函数在f(x)=x十3ax在区间 ①当xe(0,受)时，simx>0, (-∞，1]上单调递增，则f(x)= 则不等式fx)<2f()sinx可转 3x2+3a≥0，即a≥一x2在区间 (一∞，1]上恒成立，即a≥ (-x2)max,即a≥0，不等式13+3a 化为 f(x) ≤3×1十a2,解得a≥2或a≤1，综上 sin x 即g(x)< sin 可知，0≤a≤1或a≥2. (晋)>吾故（答） 答案：①-1(a<-号内的值都可 以)②[0,1]U[2,+∞) ②当x(-受，0）时，simx<0, 16.解：(1)当b=1时， f(x)=In x+x2-3x, 则不等式f(x)<2f()sinx可转 f1)=-2,f(x)=1+2x-3, (x) () f(1)=0, 化为 故曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的 sin x sn吾 切线方程为y=一2. 即g>g(告)(-吾)片 (2)f(x)=blnx+x2-(b+2)x, 其定义域为(0，十∞)， .I>- 吾故x(吾0） 则f(x)=6+2x-(b+2) 不等式f(x)<2f(答）sinx的解集 -2x2-(b+2)x+b 为一 若o)u(吾，)] (2x-b)(x-1) 14.APC[根据题意，若定义域为(0，十∞) 的函数f(x)的导函数f'(x)满足 ①当台≤0，即6≤0时，令fx)< xf(x)+1>0,则有f(x)+>0,则 0,得0<x<1,令f(x)>0,得x>1, 故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单 有(f(x)+lnx)>0,设g(x)=f(x)+ 调递增区间为(1，十∞). nx,则g(x)=f(x)+是>0，则 ②当号>0，即b>0时，由f()=0, g(x)在(0，十∞)上为增虽数，依次分 析进项：对于A,e≥1，则g(e)> 得1==1 ·513· 参考答案 (1)当0< 2 <1,即0<b<2时， 令f(>0,可得0<r<台或 x>1: 令f()<0,可得合<r<1, 故f(x)的单调递增区间为 (0台)和(1，十四)，单调运减区间 为（台） (i)当合=1，即6=2时，f(x)= 2x-2)(x-D-2x-1D20. 故f(x)的单调递增区间为(0，十∞)， 无单调递减区间. (面)当合>1，即6>2时， 令f'(x)>0,可得0<x<1或 令f()<0,可得1<r<台， 故f(x)的单调递增区间为(0,1) 和（台+小 单调递减区间为(（1,2) 综上，当b0时，f(x)的单调递减区间 为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞)； 当0<b<2时，f(x)的单调递增区间 为(0，号)和1，十∞)，单调运减区 间为（台）： 当b=2时，f(x)的单调递增区间为 (0,十)，无单调递减区间； 当b>2时，f(x)的单调递增区间为 0,1)和（台十四）单调递浅区间 课时冲关18 1.D[由于f(x)=xex+1,可得 f'(x)=(x十1)e2,令f'(x)=(x+1) e2=0,可得x=-1,令f(x)=(x十 1)e2>0,可得x>一1，即函数在 (-1,十∞)上是增函数，令f(x)= (x十1)e20可得x<一1，即函数在 (一∞，一1)上是减函数，所以x=一1 为f(x)的极小值，点.] 2.C[,f(x)=-1十2cosx,∴当x∈ [0音)时f()>0.1)单满运 增，当x(昏，受]时f()<0 f(x)单调递减，∴.f(x)max ()--子] 3.C[由题意可得：f(x)=ln(2x)十 2 -a=ln(2zx)+1-a, 因为t=号是函数f(x)=rln(2x） ar的板值点，故f(）=lne+1-a -2-a=0,得a-2,经验证：a-2时， f(x)=ln(2x)-1,当0<x<号时， f()<0,f(x)递减，当x>号时， 高考总复习数学(BS) f(x)>0,f(x)递增，则x=号是函数 (一3,1)上单调递增，故B正确：则一3 是函数y-f(x)的极小值点，故A正确； f(x)=xln(2x)-a.x的极小值，点，故a 在（一3,1）上单调递增，.一1不是 =2. 函数y=f代x)的最小值点，故C不正确： 4.C[因函数y=f(x)在点P(xo ,函数y=f(x)在x=0处的导数大于 f(xo)处的切线为y一f(xo)= 0,∴切线的斜率大于零，故D不正确.] f'(xo)(x-xo),g(x)=f'(xo)x- 8.ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x xof(ro)+f(xo),h(x)=f(x)- 4),则f'(x)=3(x一1)(x-3),对于 g(r)=f(r)-f'(xo)r+xof(xo)- A有，x=3左右的两侧符号变化为由 f(xo),于是，h'(x)=f(x)-f(xo), 负到正，故其为极小值点，故A正确： 由图知，当x<x0时，f(x)>f(xo), 对于B有，当0<x<1时，函数单调递 此时h'(x)>0,当x>x0时，f(x)< 增且x2<x,故f(x2)<f(x),故B错 f'(xo),此时h'(x)<0. 误；对于C有，当1<x<2时，得1 对于B项，由上分析，B项显然错误； 2x一13且f(1)=0,f(3)=-4,故 对于C,D项，由上分析，当x<x0时， 一4f(2x-1)<0,故C正确：对于D h(x)单调递增；当x>x0时，h(x)单 有，当一1<x<0时，f(x)单调递增， 调递减，即当x=x0时，h(x)取得极大 f(2一x)>f(x)成立，故D正确.故选 值，且h(x0)=0,故C项正确，D项错 择ACD.] 误；对于A项，由以上分析知x=x 9.解析：令ax=t∈(0，十∞)，则y= 时，h(x)取得极大值h(xo)=0,也是 最大值，则有Hx∈R,h(x)≤0，故A 1lnt-21+t=+ln1-2,≥e2, li-In 1+2,0<e2, 项错误。] 5.D[f(x)是奇函数，f(x)在(0， 当t⊙e2时，y=lnt十1-2单调递增， 2)上的最大值为-1.当x∈（0,2)时， ymin=e2,当0<1<e2时，令g(t)= f(x)=1 -a,令f(x)=0得x=1 -1n++2,8=-+1- 又a>20<日<2当0<r< 0<1<1时，g(t)<0,g(t)递减， a a t>1时，g(t)>0,g(t)递增，g(t)min 时，f()>0fx)在(0，日)上单调 g(1)=3.综上，f(x)mim=3. 答案：3 道增：当>合时f<0f(x)在 10.解析：由题意得g(x)=1一1+9 r2 (日，2）上单调诡减f(xs =2-1+a) f(位）ln-a-1,解a 当√1+a2,即0<a3时，g(x) a >0,g(x)在[2，十∞)上单调递增， =1.] 6.A[由题意，函数fx)-受2-imx 故g0)n-g(2)=1e-1. 2 解得a=1: 可得f(x)=ax-cosx, 当√1十a>2,即a>3时，当2x< 若a≤0时，当x∈(o,受)时，可得 √I十a时，g(x)<0,g(x)单调递减， f(x)<0,x)在(0，受）上单调递 当x>√1+a时，g(x)>0,g(x)单 调递增，故g(x)min=g(√1十a)=2 减，此时函数f(x)在(0，受)上没有 干a-2-1,解得a-子，不将合a 最小值，不符合题意； >3,舍去，综上，a=1. 当a>0时，令f(x)=0,即ax-cosx 答案：1 =0,即y=ax与y=osx的交点， 11.解析：f(x)的定义域为(0，十)， 画出函数y=ax与y=cosx的图象，如 图所示， f(x)=⊥ -ax-b,由f(1)=0,得 b=1-a.∴f(x)=1 -a.x+a-1 -03 =-ax2+1+ax-￡ -(ax+1)(x-1) 08 ①若a≥0，当0<x1时，f(x)>0, 结合图象，可得存在∈(0，乏）使 f(x)单调递增：当x>1时，f(x) 0,f(x)单调递减， 得f(x0)=0. 所以x=1是f(x)的极大值点. 当x∈(0，x0)时，f'(x)<0,f(x)单调 ②若a<0,由f'(x)=0,得x=1或x 递减； 1 当x(,2)时，f(x>0f(x)单 a 因为x=1是f(x)的极大值点，所以 调递增，此时函数f(x)在(0，受)上 1>1,解得-1<a<0.综合①② 有最小值，符合题意，综上可得，实数 得实数a的取值范国是（一1，十∞）. a的取值范固是(0，十∞).] 答案：（一1，十∞） 7.AB[根据导函数图象可知：当x∈ 12.解：(1)f(x)的定义域为(0，十). (-∞，-3)时，f(x)<0,在x∈ (-3,1)时，f(x)≥0，.函数y= f'(x)=a-⊥=ax-1 x f(x)在（一∞，一3）上单调递减，在 当a≤0时，f(x)≤0在(0，+o∞)上 514· 恒成立，函数f(x)在(0，十∞)上单调 递减.f(x)在（0，十∞)上没有极 值点. 当a>0时，由f(x)>0,得x> a 所以)在(0，日）上单调运减，在 (仔，十）上单润递增，即f)在x =二处有极小值， 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上 没有极值点：当a>0时，f(x)在(0， 十∞)上有一个极值点， (2):函数f(x)在x=1处取得极 值，f(1)=a1=0,则a=1, 从而f(x)=x-1-lnx. 因此fx)≥bx-2,即1+L-lnz x ≥b,令g0=1+士 则g'(x)=lnx-2 由g(x)≥0，得x≥e2, 则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2, 十∞)上单调递增，g(x)min-g(e2) =1- 。,故实数6的最大值 1 是1- 13.AD[求导得f(x)=6x(x-a),于 是：A正确，当a>1时，极大值f(0) =1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所 以必有三个零，点：B错，a<0时，x=0 应为极小值点；C错，任何三次函数 不存在对称轴：D正确，当a=2时 f(x)=2(x-1)3-6(x-1)-3,关 于(1，一3)中心对称.] 14.B[由f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a +3]e,得f(x)=(a.x-1)(x-2) ex,f(x)=(ax-1)(x-2)e>0 →(ax-1)(x-2)>0, 若a<0,则(ax-1)(x-2)>0→a <<2,此时在（位2）上单调运 增，在(2，+∞)，(-∞，）上单调 递减，这与x=2是f(x)的极小值点 矛盾，故舍去， 若a=0,可知x=2是f(x)的极大值 点，故不符合题意， 若号>a>0.(ar-1(r-2>03x <2>日，此时fu)在(-，2 (位十）上单调递增，在 (,合)上单销递减，可知-2是 f(x)的极大值点，故不符合题意. 当a>,(ax-10(x-2)>03x> 2,x<,此时f()在 (∞，日)水2，十∞)上单调递增， 在(，日)上单调跪减，可知工=2 是f(x)的极小值点，符合题意. 若a=子，x)在定义城内单调适增， 无极值，不符合题意，舍去，综上可知 实数a的取值范周是（合十∞），门 15.解析：设圆内接等腰三角形的底边长 为2x,高为h,△ABC的面积为S,则 x2=h(2R-h), S=xh, .S2=x2h2=h3(2R-h) =-h4+2Rh3(0<h<2R), 令f(h)=-h4+2Rh3,(0<h<2R), ∴.f(h)=-4h3+6Rh2=2h2(3R 2A,令了0)=0，解得h=要 当0<<要时f0>0,高教) 单调道增，当费<2R时，f<0, 函数f(h)单调递减， ∴f-f(瓷) 27R 16 Snax-3R2 4 h= Re(0,小， 2 1的取值范因为[受2R) 答案：[婴2R) 16.解：(1)f(x)=e2(x-a)2十e·2(x -a)=e[x2+(2-2a)x+a2-2a], 由f(-1)=e1[1-(2-2a)+a2- 2a]=0,解得a=士1， 当a=1时，f(x)=e'(x-1)2, f(-1)=4e-1,符合题意； 当a=-1时，f(x)=e2(x+1)2, f(一1)=0，此时切线与x轴重合，不 符合题意：所以a=1. (2)由(1)知：f'(x)=ex(x2+(2 2a)x+a2-2a)=e'(x-a)[x-(a 2)],令f(x)=0,可得x=a或a 2,则f(x)在(-∞，a-2),(a,十∞) 上单调递增，在(a一2，a)上单调递 减，则a一2，a是f(x)的两个极值点， 不妨设x1=a一2，x2=a, 则（白士）-（牛） =f(a-1)=e-1, f(r)+f(r2)f(a-2)+f(a) 2 =4e2+0=2e-2, 2 又e-1=e·ea-2>2e-2」 即f(）小+ 2 (3)由(2)知：f(x)在(-o∞，a-2), (a,十∞)上单调递增，在(a-2,a)上 单调递减. 当a≥3时，a一2≥1，则f(x)在 [-1,1]上单调递增，则f(x)max= f(1)=e(1-a)2=4e,解得a=3或 一1，故a=3； 当1<a<3时，-1a一2<1，则 f(.x)在[一1，a一2)上单调递增，在 (a-2,1]上单调递减，则f(x)nmax一 f(a-2)=4ea-2=4e,解得a=3,不 满足1<a<3,不合题意； 当a=1时，a-2=-1,则f(x)在 [-1,1]上单调递减，则f(x)mx f-10-e1(-1-2-≠4e 不合题意： 参考答案 当-1<a<1时，a-2<-1,则f(x) 当0<x<e时，f(x)>0,所以函数 在[一1，a)上单调递减，在(a,1]上单调 f(x)在(0，e)上单调递增， 递增，则f代x)max={f(-1),f1)}max, 因为0<2<√5<e,则f(√2)< 若f(-1)≥f(1),则f(x)mmx=f(-1) =e-1(-1-a)2=4e,解得a=2e-1 f,),即2血E<2血5，即1n2< 或一2e一1，不满足一1<a<1,不合 √E 题意， √②1n3,所以b<c,因为35-243<256 若f(1)>f(-1),则f(x)max=f(1) =e(1-a)2=4e,解得a=3或-1， -2,故5n3<8lm2,即1n3<号1n2 不满足一1a1,不合题意； <5ln2,即a<b,因此，c>b>a.] 当a≤一1时，则f(x)在[一1,1]上单 6.Aa=ex-3,6=In(ex-2e), 调递增，则f(x)ms =f(1)=e(1-a)2 即a=ex2)-1,b-ln(eπ-2e) =4e,解得a=3或-1，故a=-1:综 =ln(π-2)+1， 上，a=3或-1， 令f(x)=e-1-x(x>1),则f(x)= 课时冲关19 e2-1-1>0在(1，十o)上恒成立， 1.B[令函数g(x)=f(x)-2x3-2x, 故f(x)在(1，十∞)上单调递增， 则g(x)=f(x)-6.x2-2>0,所以 则有f(π-2)=ex-2)-1-(x-2)> g(x)在R上单调递增.因为g(2)= f(1)=0,即a>c,令g(x)=lnx-x f(2)-2×23-2×2=0,所以原不等 +1(x>1),则g(x=1-1=1-5 式等价于g(x)>0=g(2),所以所求 不等式的解集为{xx>2}.] <0在(1，十∞)上恒成立，故g(x)在 2.A[设函数f(r)=xlnx,f(x)=1 (1,十∞)上单调递减，则有g(π一2) +lnx,当x (日+）f>0 =ln(π-2)+1-（π-2）<g(1)=0, 即<c,故b<c<a.] 此时fm)单调递增，当r∈(0，） 7.D[令f(x)=lnx,g(x)=√E-1, h(x)=f(r)-g(r)=In x-+1, f(x)<0,此时f(x)单调递减，由题 1 12-x In 5=-5In a, ,1h3=-3nb,2- h'(x)= b x2√E2x ,可以判断 c h(x)在[0,4]上单调递增， -2nc,将alha-号n，l6 a-b=21n1.01-√1.02+1 1 -ln1.012-√.02+1-ln1.0201 √.02+1>ln1.02-√.02+1- 周为<<<所以号号 h(1.02)>h(1)=0, 所以a>b, 1 1 11n→31m3·别aln4>h (b+1)2-(c+1)2=1.02- 1 (1+o) 2 2 1 加，且ab,c∈（日，+∞） =100-10-101= 1 所以a>c>b.] 202-200 2 3.B[构造函数F(x)=xf(x), 100X10i-1012-100X10i-1012 因为f(x)为奇函数，所以F(一x) >0,所以(b+1)2>(c+1)2,又因为b -xf(-x)=xf(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数， 1.02-1>0.c=>0,所以b+ 因为当x<0时，xf(x)十f(x)<0, 1>c十1，即b>c,所以ba.] 即F(x)0, 8.A[函数f(x)的定义域为(0，十o), 所以x0时，函数F(x)单调递减， 则f+(lnr)fx)>0台f(x)+ x>0时，函数F(x)单调递增， 因为f(一1)=0， f(r)In r>0,g(r)=f(r)In r,x>0, 所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1) =0.因为f(x>0,所以F卫>0，所 则g)-f)+fln>0,即 g(x)在(0，十o∞)上单调递增， 以∫x>0, 对于A,g(3)>g(2),即f(3)ln3> F(x)0, 所以x>1 f(2)ln2=f(3)log23>f(2),A正确： 或-1<x<0.] 4.A[令gx)=f2(r>0. 对于B,g(登)>g1,即f31n子 22 >f(1)1n1=0,B不正确：对于C, 则gx)=f(x)-2xf g(3)<g(9),即f(3)ln3<f(9)ln9= 2f(9)ln3=f(3)2f(9),C不正确： =f(x)-2f(x) 对于Dg(）gI,即f() ,xf'(x)>2f(x),∴.g'(x)>0, ∴·g(x)在(0，十∞)上单调递增， <f1)m1=0,有-2f()下0 g(2024)<g(2025),即f202L 20242 f()）>0D不正确.] ..2021f20>22s 9.解析：x十mlnx十 ≥x可支为x十 1 f(2024).] 5,D[构造函数f代)=2血工，其中>0， ≥x-mlnx→x+e≥x x lnxm,再变形可得，ex一lnex≥x 则f(x=2(1-lnx) -lnxm,设f(x)=x-lnx(x>0),原 不等式等价于f(ex)≥f(xm),因为 ·515·