课时8 函数的奇偶性与期性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 0a<1, 则实数a的取值范国为 需要满足{2-a≥0，解得0<u≤行： .2 (2-3a≥0， {al0<a≤号或a=} 结合逸项易知，只有吾不满足] 答案：{al0<a≤或a=l} 9.BC[对于A,f(x)=3+上 12.解：(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 4-x 在R上任取x1>x2,则x1一x2>0, 二49+2=-1+己由于 7 f(x1-x2)>-1. 4一x 又f(x1)=f[(x1-x2)+x2] 已≠0，所以f()≠三1，所以 =f(x1-x2)十f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. |f(x)∈[0，十∞)，故不存在正数 (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. M,使得|f(x)≤M成立： 由fx2+2x)+f(1-x)>4,得f(x2十 对于B,令u=4一x2,则u≥0，f()= x+1)>f(3), √，当x=0时，u取得最大值4，所以u 又函数f(x)在R上是增函数，故 ∈[0,4幻，所以f(x)∈[0,2]，故存在正 x2十x十1>3，解得x<-2或x>1, 数2，使得|f(x)|≤2成立； 故原不等式的解集为{x|x<一2，或 对于C,令u=2x2-4x+3=2(x-1)2 x>1}. 5 13.A[因为函数f(x)在定义域R上 +1,则f)= ,易得u≥1，所以0 单调，且f(f(x)十2x)=1,所以f(x) f-5,即E0,5,故存在 十2x为常数，不妨设f(x)十2x=t, 则f(x)=t-2x, 正数5，使得|f(x)|5成立： 由f(f(x)+2x)=1,得f(t)=t-2t 对于D,令t=√4一x,则t≥0，x= =1,解得t=一1，所以f(x)=一2x 4-t,则f(t)=-t2+1+4= -1,所以f(-2)=-2(-2)-1 =3.] (-之)+≥0，易得f 14.B[对于A,因为M=[一1,1]，所以 f(x)<f1)在(-∞，1)上恒成立，此 <,所以f∈[0+o),藏不 时f(一1)<f(1)与f(x)是偶函数矛 盾，故A错误：对于B,不妨取f(x) 存在正数M,使得|f(x)川≤M成立.] (-1,x-1 10.解析：令g(x)=ax2一x, x,-1≤x≤1满足f(x)在x=2 当a>1时，因为函数f(x)= 1,.x>1 log,(ax2-x)在[3,4]上是减函数， 处取到最大值，故B正确：对于C,若 所以函数g(x)=ax2一x在[3,4]上 存在f(x)在R上单调递增，则对任 是减函数，且g(x)>0成立， 意xo∈R,当x<x0时都有f(x) f(xo),则此时M=R,与M=[一1， 则2石≥4， 无解， 1]矛盾，故C错误；对于D,若存在 （g(4)=16a-4>0, f(x)在x=一1处取到极小值，则存 当0<a<1时，因为函数f(x)= 在一个8>0，对于任意x满足0<x 1og(ax2-x)在[3,4]上是减函数， 十1<8，都有f(一1)<f(x),-1 所以函数g(x)=ax2一x在[3,4]上 分∈（-1-0，-1)，而由-1∈M以及 是增函数，且g(x)>0成立， M的合义知f(-1-令)<f(-1, a1, （g(3)=9a-30, 与f(一1)f(x)对于任意x满足 0<|x十1<6矛盾，故D错误.] 综上，实数a的取值范围是 15.解析：f(x)=logx,正实数m,n满 足，且f(m)=f(n),∴.-log3n= 答案：（号） l1og,∴，n1=1. 11.解析：由题意，令g(x)=(a-2)x十 ,f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 4a+1,x∈(-∞，2]，h(x)=2a-1, 2,函数f(x)在[n2,1)上是减函数，在 x∈(2，十∞)，当0<a1时，g(x)在 (1,]上是增函数， (一∞，2]上单调递减，h(x)在（2， ,.-1og3n2=2,或1og3n=2. 十∞)上单调递减，则h(x)在(2， 若-log3m2=2是最大值，得m= 十o)上的值域为(0,2a),因为f(r) 1 存在最小值，故需g(2)=(a一2)×2 ,则n=3,此时1g1=1,满足题意 十a+10.解得a≤号， 条件此时只=3÷号=9， 结合0<a<1,此时0<a≤： 同理：若logn=2是最大值，得n=9, 1 当1<a<2时，g(x)在(-∞，2]上单 则m=g' 调递减，h(x)在(2，十∞)上单调递 此时-log3m2=4,不满足题意条件. 增，则h(x)在(2，十∞)上的值域为 综上可得m=3m=3,升=9. 1 (2a,十∞)，因为f(x)存在最小值，故 需g(2)2a,即(a一2)X2+4a+1 答案：9 2a,解得a≤是，这与1<a<2矛盾； 16.解：(1)任取x1,x2∈[-1,1]， 且x1<x2, 当a=1时，g(x)=-x十5在(-∞ 则-x2∈[-1,1]，，f(x)为奇函数， 2]上单调递减，且在（一∞，2]上的值 ∴.f(x1)-f(x2)=f(x1)十f(一x2) 域为[3，十∞)，h(x)=2,此时存在最 =fx)+f(-x2) x1十(-x2） ·(x1-x2), 小值2， ·500· 由已知得f)+f-2>0,- x1十(-x2） x20, ·f(x1)-fx2)<0, 即f(x1)<f(x2). .f(x)在[一1,1]上单调递增. (2),f(x)在[-1,1]上单调递增， 1 -1+<1 -11 所以不等式的解集为 {是<-} (3)·f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单 调递增. .在[-1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为n2一2an十1≥1， 即m2-2an≥0，对a∈[-1,1]恒 成立. 设g(a)=-2n·a十m2≥0. ①若n=0,则g(a)=0≥0，对a∈ [-1,1]恒成立， ②若m≠0，则g(a)为a的一次函数， 若g(a)≥0，对a∈[-1,1]恒成立， 必须有g(-1)≥0且g(1)≥0， ·n≤-2或n≥2。 ∴，实数m的取值范围是n=0或 n≥2或m-2. 课时冲关8 1.B[选项A,函数是奇函数，不满足条 件；选项B,函数是偶函数，当x<0 时，y=2x=2-x= (合)广是减画 数，满足条件；选项C,函数是偶函数， 当<0时y=x-之是增画教，不 满足条件：选项D,函数的定义域为 (一∞，0)，不关于原点对称，为非奇非 偶函数，不满足条件，门 2.A[设F(x)=f(x)-1,则F(x)+ F(-x)=0,即f(x)-1十f(-x)-1 =0,即f(x)+f(一x)=2,所以f(1) +f(-1)=2.因为F(0)=f(0)-1= 0,所以f(0)=1,f(-1)+f(0)+ f(1)=2+1=3.7 3,B[构造函数g(x)-xln(e2x+1)- g(-x)+g(r)=-xIn (e 2z+ 1)-x2+xln(e2x+1)-x2= -2x2 =IIn e2r-2x2= e-2x+1 0,故函数g(x)为奇函数.又f(a) =g(a)+1=2,.g(a)=1,.f(-a) -g(-a)+1=-g(a)+1-0.] 4.D[当f(x)=0时，f(x)f(y)-f(x) 一y-y不恒成立，故f0)=1,A错误： 令x=0,得f(0)f(y)-f0)=-y,又 因为f(0)=1,所以f(y)=1一y,故 f(一1)=1十1=2，B错误：由B选项 可知 f(x)=1一x,则f(x十1)=一x,所以 f(x十1)为奇函数，C错误，D正确.] 5.D[f(x+1)=f(x-1), ··函数f(x)是周期为2的周期函数， 又1og232>l0g220>1og216,.4 1og220<5,∴.f(1og220)=f(1og220 4)-f(g)--f(-1og是) 又x∈(-1,0)时，f(x)=2x-1, ∴f(-1o®子）-f(1og影专) --1--号fo20)- 1 6.A[f(x)为奇函数，.f(-x) -f(x),又f(x十2)=-f(x), f(合)-f(-）)四 =--1(号)=（号+2） -()又-1<-<- 2 <0,且函数在区间[-1,0)上是增 函数， -<()f(号)n, --1>-f(-） >-(专） >(受)>f(号) 7.BC[因为f(-x)=2+2 3 =f(x), 所以f(x)= 2十2二为偶函数，因为 3 g(-x)+g(x)=ln(√1+9r2+3x) +ln(√1+9x2-3x)= ln[(W√1+9x+3x)(√1+9.x-3x)] =ln1=0, 即g(-x)=-g(x),所以g(x)= ln(√1十9x2-3x)为奇函数，所以 f(x)十g(x)为非奇非偶函数，A错误； f(-x)·g(-x)=-[f(x)·g(x)], 所以f(x)·g(x)为奇函数，B正确； g(-x) f(-x) = f(x) f,所以 得是专画数，C正确：合) =g(f(x)),H(-x)=g(f(-x)= g(f(x)=H(x),H(x)为偶函数，D 错误， 8.ABC[由定义在R上的奇函数f(x) 的图象连续不断，且满足f(x十2)= f(x),所以函数f(x)的周期为T=2, 所以A正确；由f(一1+2)=f(一1)， 即f(1)=f(-1)=-f(1),所以f(1) =f(-1)=0,且f(0)=0,又由 f(2025)=f(1)=0,f(2026)=f(0) =0,所以f(2025)=f(2026)=0,所 以B正确：由f(x十2)=f(x)=一f( x),可得点(1,0)是y=f(x)图象的一个 对称中心，所以C正确；由f(x)在 [-2,2]上有f(-2)=f(-1)=f(0)= f(1)=f2)=0,所以函数f(x)在[一2， 2]上有5个零点，所以D错误.] 9.解析：根据题意，要求f(x)包含e,且 是偶函数，则f(x)=e2十er, 答案：ex十e一x(答案不唯一) 10.解析：f(x)定义域为R, f-)=(e-e)s(-2x) (-ae+cos 2z-f(r)- 1 (e-是）os2x,所以-ae+ ex- a+(e-)-0,a=-1 答案：-1 参考答案 11.解析：因为函数f(x一2)的图象关于 所以g(1)=f(1)-2=-1, 直线x=2对称，所以函数f(x)的图 g(2)=-2-g(0)=-2,g(3) 象关于直线x=0对称，即函数f(x) g(1)=-1,所以f(1)+f(2)十…+ 是偶函数，则有f(x)=f(一x):因为对 f(50)=g(1)+g(2)+…+g(50)+ 任意x∈R,都有f(x十8)=f(x)十 2(1+2+.+50)=-4×12-1一 f(4),令x=一4，得f(一4十8)= 2+2550=2499. f(-4)+f(4)→f(-4)=f(4)=0, 所以对任意x∈R,都有f(x十8) 答案：2499 f(x)+f(4)=f(x),即函数f(x)的周 16.解：(1)因为对于任意x1,x2∈D,有 期为8，则f(2026)=f(253×8十2)= f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), f(2)=3. 所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), 答案：3 所以f(1)=0. 12.解：(1)证明：由函数f(x)的图象关 (2)f(x)为偶函数.证明如下： 于直线x=1对称，有f(x十1)= f(x)的定义域关于原点对称， f(1一x),即有f(一x)=f(x十2). 令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)十 又函数f(x)是定义在R上的奇函 数，故有f(一x)=一f(x). f(-1),所以f(-1)=2f1)=0. 故f(x十2)=-f(x). 令x1=-1,x2=x, 从而f(x+4)=一f(x+2)=f(x), 得f(-x)=f(-1)+f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(一x)=f(x), (2)由函数f(x)是定义在R上的奇 所以f(x)为偶函数 函数，有f(0)=0. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4) x∈[-1,0)时，-x∈(0,1]， =2,由(2)知f(x)是偶函数， f(x)=-f(-x)=-√-x. 所以f(x-1)2等价于f(|x一1) 故x∈「一1,0]时，f(x)=一J一x f(16). x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1,0]， 又f(x)在(0，十∞)上单调递增， f(x)=f(x+4)=-√/-x-4. 所以0<|x-1<16, 从而，x∈[-5，一4]时，函数f(x) 解得一15x17且x≠1，所以x的 =-/-x-4. 取值范国是(-15,1)U(1,17). 13.ABD[,f(x+2)=-f(x),.f(x 课时冲关9 十4)=一f(x十2)=f(x),所以函数 f(x)是以4为周期的周期函数，，偶 1.A[由f(2+x)=f(-x),令x= 函数f(x)在[一2,0]上是增函数， 号有()=f(2+受) ,f(x)在0,2]上是减函数，f(x)在 [-2,2]上的最大值为f(0),,f(x) f(是)又由fx)为R上的奇画 是以4为周期的周期的函数，·f(0) 是函数的最大值，故B正确： ,f(-x)=f(x),f(x+2)=-f(x), 数，则f(是)=-f(是)人再由 ·f(x十2)十f(-x)=0, ·f(x)图象关于点(1,0)对称，故A f2+x)=f(-x),令x=-号，有 正确： f(x)在[一2,0]上是增函数， f(2)-f(2-)-f() .f(x)在[2,4]上是增函数，故C 错误；因为T=4,所以f(x0)=f(4k 所以（名）-f(-受) 十xo),k∈Z,故D正确，] ()-f(2) 14.D[根据题意，f(x)=2r+是为奇 函数，则有f(一x)十f(x)=0, [()-2x+] 即(2+2”）+（2+是）-0， 解得a=-1. 2.D[根据题意，画出函数示意图： 因为g(x)=bx-log2(4十1)为偶函数， 则g(x)=g(-x), 即bx-1og2(4x+1) =b(-x)-1og2(4x+1), 解得b=1,则ab=-1,f(ab)=f(-1) =2-1 1 15.解析：因为f(x)的图象关于点(1,1) 对称，所以f(一x)十f(x十2)=2， 当x<0,且-2≤x-1≤0，即-1≤x 则f(-x)-2(-x)+f(x+2)-2(x+2) <0时，xf(x-1)≥0成立：当x>0, =-2,即g(-x)+g(x十2)=-2， 且0≤x一12，即1x3时，xf(x 又因为g(x)的图象关于直线x=2 一1)≥0成立：当x=0时，显然成立， 对称，则g(x十4)=g(一x), 综上，x∈[-1,0]U[1,3].] 所以g(x十4)十g(x十2)=-2， 3.A[因为f(2x一1)为偶函数， 即g(x十2)+g(x)=-2, 所以f(-2x-1)=f(2x-1), 可得g(x十4)=g(x), 即f(x-1)=f(-x-1),所以f(x)= 则g(x)是以4为周期的函数， f一x-2),又因为f(x一2)是奇函数， 因为g(0)=f(0)一2×0=0， 由f(-x)+f(x+2)=2, 所以f(一x-2)=-f(x-2), 令x=-1,得f(1)=1, 即fx)=-f(x-2),所以f(x+2) =-f(x),则f(x+4)=-f(x十2)= 。 501·高考总复习数学(BS) [答题栏] 课时冲关8 函数的奇偶性与周期性 1 「基础训练组] A.函数f(x)的周期T=2 21.下列函数中，既是偶函数又在（一∞，0）上单 B.f(2025)=f(2026)=0 调递减的函数是 ) C.点(1,0)是函数y=f(x)图象的一个对称 3 A.y=-x3 B.y=2x 中心 4 C.y=z-2 D.y=log3 (-x) D.f(x)在[-2,2]上有4个零点 52.若函数y=f(x)-1是定义在R上的奇函数， 9.写出一个包含有e的偶函数f(x) 则f(-1)+f(0)+f(1)= () 10.已知函数f(x)= -.6 兰)o2r是偶两 A.3 B.2 C.-2 D.-3 73.已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x2+1,f(a) 数，则实数a= 11.已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意 =2,则f(一a)的值为 () ---8 x∈R,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且函 A.1 B.0 C.-1 D.-2 数f(x一2)的图象关于直线x=2对称， -134.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(y)- f(2)=3,则f(2026)= f(x)=xy-y,则 () 14 12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 A.f(0)=0 它的图象关于直线x=1对称， B.f(-1)=1 (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； C.f(x+1)为偶函数 (2)若f(x)=√元(0<x≤1)，求x∈[-5，-4] D.f(x+1)为奇函数 5.定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x十1)= 时，函数f(x)的解析式. f(x-1),且当-1<x<0时，f(.x)=2x-1, 则f(1og220) () A. B一月 c.- 6.设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数， 在区间[-1,0)上是增函数，且f(x+2)= 一f(x),则有 () A.f大f)r B<f()f】 c<) Dr()ff3 7.(多选)函数f(x)= 2x+2 3 -,g(x)= ln(W1+9x2-3.x),那么 A.f(x)+g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C岩是奇函数 D.g(f(x)是奇函数 8.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图 象连续不断，且满足f(x十2)=f(x),则以 下结论成立的是 ) ·252· 主题二第二章函数 [能力提升组] (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 13.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足 (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在 f(x十2)=一f(x),且在[一2,0]上是增函 (0,十∞)上单调递增，求x的取值范围. 数，下面关于f(x)的判断正确的是() A.(x)的图象关于点P(1,0)对称 B.f(0)是函数f(x)的最大值 C.f(x)在[2,3]上是减函数 D.f(xo)=f(4k+xo),kEZ 14已知f)=2r+是为奇函数，g()）=b 1og2(42+1)为偶函数，则f(ab)=() A兴B多 C.-15 4 n-是 15.定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1) 对称，函数g(x)=f(x)一2x的图象关于 直线x=2对称.若f(0)=0,则f(1)+ f(2)+…+f(50)= 16.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满 足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)= f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值； ·253·