第三章 第3节 利用导教研究函数的极值最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） 规律总结… 上为减函数，试求a的取值范围. 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b) 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调 递增，则f(x)≥0；若函数单调递减，则f(x) ≤0”来求解 易错警示 f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b) 都有f'(.x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间 上f(x)不恒为0，应注意此时式子中的等号不 [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 能省略，否则漏解 (-1,1),求a的值. 跟踪训练 1.已知a= 2-1n2,则这三个数的 e2 大小关系为 A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 2.已知f(.x)的定义域是(0，十∞)，f(x)为f(x) 的导函数，且满足∫(x)<'(x),则不等式 [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） exf(x2+x)>e-2f(2)的解集是 ( 上不单调，求a的取值范围. A.(-2,1) B.(-o∞，-2)U(1,+o∞) C.(-1,2) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 3.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)= a+(1十a)在(0，十o∞)上单调递增，则a的取值 范围是 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关17 第3节 利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间 上函数的最大值、最小值 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极 1.函数极值的概念 大值与极小值统称为极值. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=-f(x) (1)求导函数f(x). 在任何不为x0的一点处的函数值 点 (2)求方程f(x)=0的根 x0处的函数值，称点xo为函数y=f(x)的 (3)列表，检验f'(x)在方程f(x)=0的根左右两 ,其函数值f(xo)为函 侧的函数值的符号，如果 ,那么函 数的 数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果 (2)在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x) ,那么函数y=f(x)在这个根处取得 在任何不为。的一点处的函数值 点 极小值：如果左右两侧符号一样，那么这个根不 xo处的函数值，称点xo为函数y=f(x)的 是极值点 ,其函数值f(xo)为函数的 (4)得极值，由表得极大值与极小值。 ·52· 主题二第三章导数及其应用 3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 2.函数极值与最值的关系 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 (1)极值只能在定义域内取得（不包括端点），最值 (2)将函数y=f(x)的 与端点处的 却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的 有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值， 一个是最小值，得出函数f(x)在[a,b]上的最值. 非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必 定在极值处取， 4.利用导数求解实际问题中的优化问题 (2)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值 (1)在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最 点，则相应的极值一定是函数的最值 小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些 自主诊断查验 问题通称为 问题. ◆[思考辨析] (2)应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建 里打“√”，错误的打“X” 立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯 限制条件下的最大（小）值问题.此过程用框图表 一的 (2)函数的极大值不一定比极小值大. ( 示如下： (3)对可导函数f(x),f(xo)=0是xo点为极值 实际问题 用函数表示的数学问题 点的充要条件. (4)函数的极大值一定是函数的最大值.( (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值， 实际问题的答案←用导数解决数学问题 说明：常将问题中能取得最大值或最小值的那 (6)函数f(x)=上在区间[-1,1门上有最值. 个变量设为y,而将另一个与y有关的变量设 ) 为x,然后利用导数求出所列函数的极值点，再 ◆[小题查验] 进一步分析可得出函数的最值. 1.函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是 ( (3)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的 A.x=1 B.x=-1 实际意义确定最值 C.x=1或-1或0 D.x=0 2.如图是f(x)的导函数f'(x) …重要结论 的图象，则f(x)的极小值点 1.函数极值与导数的关系 的个数为 3-210124 (1)f(xo)=0是xo为f(x)的极值点的必要不 A.1B.2 C.3D.4 充分条件.例如，f(x)=x3,子(0)=0，但x=0 3.函数y=xe的最小值是 A.-1 不是极值点， B.-e (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极 C.- e D.不存在 大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1);在 4.(忽视参数的检验致误)函数f(x)=x3十a2+b x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值 +a2在x=1处有极值10，则a的值为 b的值为 为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大 5.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x一1) 小关系 (x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= 跃升>关健能力 题型突破素养提升 题型1〔 利用导数研究函数的极值 A.h(x)只有一个极值点 B.h(x)有两个极值点，且极小值点小于极大 [命题点1门 由函数图象判断其极值情况 值点 1.如图，直线y=a,x十2与曲 线y=f(x)交于A、B两 C.g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值为一2 点，其中A是切点，记h(x) D.g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值为2 y=f(x) =f(r) [命题点2]利用导数求函数的极值 g(x)=-f(x)-ax, 2.已知函数f(x)=x2-8.x+6lnx+1,则f(x)的 则下列判断正确的是 极大值为 ( ) 0 ( A.10 B.-6 C.-7 D.0 53· 高考总复习数学(BS) …方法指导 题型2 利用导数研究函数的最值 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤 [典例] (1)已知0<x<π，则 sin x 64 (1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导 1-cos x 1+cos x 数f(x): 的最小值为 (2)已知函数f(x)=x2ear,其中a≤0，e为自然 (2)求方程f(x)=0的根； 对数的底数. (3)检查'(x)在方程根的左右的值的符号，如 ①讨论函数f(x)的单调性； 果左正右负，那么∫(x)在这个根处取得极大 ②求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. 值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值.如果左右符号相同，则此根处不是 极值点 易错警示 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值，那么y= f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单 调函数没有极值. [命题点3]已知极值求参数的取值 3.已知函数f(x)=a(sinx+cos十x在(0，x) e 上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( A.o. B.(-o∞，er) 方法指导… 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，首先可 C.(0,er) + D. 判断函数在[a,b]上的单调性，若函数在[a,b]上 单调递增或单调递减，则f(a),f(b)一个为最大 4.(2024·新课标卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. 值，一个为最小值.若函数在[a,b]上不单调， (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处 般先求[a,b]上f(x)的极值，再与f(a),f(b)比 的切线方程； 较，最大的即为最大值，最小的即为最小值 (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取 易错警示 值范围 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参 数时，要讨论参数的大小. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=(x一1)e十a.x2的最小值为一1， 则实数a的取值范围为 2.已知函数f)=alnr-2r-g(a≠0). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值： (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值. ·54· 主题二第三章导数及其应用 题型3〔利用导数研究生活中的优化问题 方法指导 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 [典例]某企业拟建造如图所示的容器（不计厚 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实 度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左 际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积 y=f(x). 为立方米，且>≥2假设该容器的建造费用 (2)求导数f(x),解方程f(x)=0. 仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建 (3)判断使f'(x)=0的点是极大值点还是极小 造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用 值点. (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问 为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元. 题中作答.一般地，对于实际问题，若函数在 给定的定义域内只有一个极值点，那么该点 也是最值点. 1跟踪训练 (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的 定义域； 销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千 (2)求该容器的建造费用最小时的. [思维导引门(1)建造费用=表面积×单价，用x 克)清足关系式y-二3十10(x-6,其中3< 把1表示出来，再由≥2r得到r的取值范围，即 x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时， 函数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造 每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； 费用最小时的r (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价 格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 最大 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关18 ·55③当a-2时三-1，在xE0+ 内，f(x)≥0，f(x)单调递增 @当a>2时，0</层<1.当re (0√)或x1,+∞)时f >0,f(x)单调递增， 当x∈ 层)*f0 单调递减 综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)上 单调递增，在(1，+∞)上单调递减： 当0<a<2时，f(x)在(0,1)上单调递 增，在 (√侣)上单调递减，在 当a=2时，f(x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>2时，x)在（√侣）上单河 递增，在 (√侣)上单调递成，在 (1,十∞)上单调递增 跟踪训练 解：f(x)的定义域为(-1，十o∞)， f(x)=r-(a2-2a] (x+1)(x+a)2 ①当1<a<2时，若x∈(-1，a2-2a), 则f(x)>0,f(x)在(-1，a2-2a)上是 增函数： 若x∈(a2-2a,0),则f(x)<0,f(x) 在(a2-2a,0)上是减函数. 若x∈(0，十∞)，则f(x)>0,f(x)在 (0,十∞)上是增函数. ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0成 立当且仅当x=0,f(x)在（一1，十∞） 上是增函数. ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则 f(x)>0,f(x)在（一1,0）上是增函数； 若x∈(0，a2-2a),则f(x)<0,f(x) 在(0，a2一2a)上是减函数； 若x∈(a2-2a,十∞)，则f(x)>0, f(x)在(a2-2a,十o∞)上是增函数. 题型3命题点1 1.CD[设g(x)=2 cos x 则g(xr）=f·osr+f)·sinx coSr 因为x∈(0，)时，cos(x)十 sin f)<0,所以x∈(0，)时， g(x)= (x)·cosx十f(x)·sinz <0.因此g(x)在(0，受)上单调递 减，所以g()>g(子)小g(百)> g()小即 ()、() 2 ()>厨() () 2 r()）(传) 参考答案 2.A[构造函数g(x)=fx》 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单调 g(x)=x.f()-2f(x) 递减区间为 =1,即a=3. xf(x)-2f2,当x>0时， [子题4]解：f(x)=x3一ax一1， f(x)=3x2-a. xf(x)-2f(x)>0,故g(x)>0, g(x)在(0，十∞)上单调递增， 由f)=0,得=士(a≥0》. 又f(x)为偶函数，y= 为偶函敦， 1 :f(x)在区间(-1,1)上不单调， 所以gx)=f为偶函数，在(-0,0) 0<@<1,得0<4<3， 3 x 单调递减 即a的取值范国为(0,3) f(-3)=1,则f(3)=1,g(-3)= 跟踪训练 8(3)=f3》=1.fCx1 9t, ,c[令f(x)-=,f(x) 当>0时，即9<分g<日 1 2-21n,令f(x)>0,得0<x<e, (2.x)2 =g(3),所以x∈(0,3)； 令f(x)<0,得x>e, 当x<0时，即f2>1 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e, 9g(x)>1 9 十∞)上单调递减，因为c=2-l1n2 =g(-3),所以x∈(-∞，-3). 综上所述，x∈（一∞，-3）U(0,3) e2 命题点2 [母题][解](1)f(x)=3.x2-a. e2 ①当a0时，f(x)≥0， 所以f(x)在(-∞，十∞)上为增 -f2).6=元-fe.则fe> 4 函数 ②当a>0时，令3x2-a=0, f()>f2),脚a<<6.] 得x-土3a 2.B[令h(x)=巴，则∥(x) 3 er 当>@或-@时， ∫(x)一f(x>0,所以函数h(x)在区 3 3 e f(x)>0: 间(0，十∞)上单调递增，所以e一 当-3@<r<30时，f(r)<0. f(x2+x)>e-2f2)台fr+2 3 3 因此f(x)在-，- √3a 3 f2台h(x2+x)>h(2)台x2+x>2, (+）上为增画教，在 解之得x一2或x>1,即原不等式 的解集为（一∞，一2）U(1,十∞).] 3a,3u 3.解析：由函数的解析式可得f(x)= 】上为减函数 3 3 alna+(1+a)xln(1+a)≥0在区间 综上可知，当a≤0时，f(x)在（一∞， (0,十∞)上恒成立， 十∞)上为增函数： 则(1+a)rln(1+a)≥-alna,即 当a>0时，f(x)在-oo,- V3a 3 (信）≥o在区何0+) (+四）上为增画教， 在 上恒底主，此（告）”-心 In a (,)上为减画数 1n(1+a),而a+1∈(1,2)， (2)因为f(x)在（一∞，十∞）上是增 故ln(1+a)>0, 函数，所以f(x)=3x2-a≥0在 故n(a+1)≥-lha, 10a<1, (-∞，十∞)上恒成立，即a≤3x2对 x∈（一∞，十∞）恒成立.因为3.x2≥ 即aa+1)≥1故51≤a<1, 10<a<1, 2 0,所以只需a0.又因为a=0时， f(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在 结合题意可得实数a的取值范国 (一∞，十∞)上是增函数，所以a0, 即a的取值范围为（一o∞，0]. [学) [子题1]解：因为f(x)=3.x3-a,且 f(x)在区间(1，十∞)上为增函数，所 答案[ 以f'(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， 第3节 即3x2一a≥0在(1，十∞)上恒成立， 复盘·必备知识必备知识掌握 所以a3.x2在(1，十∞)上恒成立，所 1.(1)都小于极大值点极大值 以a3,即a的取值范围为（一∞，3]. (2)都大于极小值点极小值 子题2]解：由f'(x)=3x2一a≤0在 2.(3)左正右负左负右正 (-1,1)上恒成立，得a≥3x2在(-1， 3.(1)极值(2)各极值函数值fa), 1)上恒成立，因为一1x<1,所以 f(b)4.(1)最优化 3.x2<3,所以a≥3，即当a的取值范国 自主诊断查验思考辨析 为[3，十o)时，f(x)在（一1,1）上为减 (1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ 函数 (6)X ·399· 高考总复习数学(BS) 小题查验 1.C「f(x)=x4-2x2+3. :由f(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x -1)=0,得x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时，f(x)<0,当-1<x<0 时，f(x)>0,当0<x<1时，f(x)<0, 当x>1时，f(x)>0,x=0,1,一1都 是f(x)的极值，点.门 2.A[由题意知只有在x=一1处 f(一1)=0，且其两侧导数符号为左负 右正，] 3.C[y=e2十x·e2,令y'=0,则x= -1,x<-1时，y<0,x>-1时， y>0,.x=一1是函数的唯一极小 值点，即为最小值点，x=一1时， ymin=一1 4.解析：f(x)=3x2十2ax十b,依题意得 f(1)=10,解得 (a=4, {f(1)=0, {6=-11或 {8a.3当8-n时f)=3 b=3, +8.x-11=(3x+11)(x-1),所以 f(x)在x=1处取得极值： 当名g8·时，f)-32-6x+3 =3(x-1)2,此时f(x)在x=1处无 极值.所以a=一3，b=3. 答案：一33 5.解析：因为f(x)=(x2-3x十2)(x-a) (x∈R), 所以f(x)=(2x-3)(x-a)+(x2 3x+2) 由f'(2)=0得：2-a=0,所以a=2, 所以f(x)=(x-1)(x一2)2且f'(x) =2(x-1)(x-2)+(x-2)2=(x 2)(3x-4) 当x变化时，f(x),f(x)变化如下表 x(-,合)专(÷2）22，+) f(x》 0 0 单调 f(x) 极大单调极小单调 递增 值递减值递增 即a=2时，x=2是f(x)的极值，点 所以f(0)=一4 答案：一4 跃升·关键能力题型1命题点1 1.D[设切点A的坐标为(x0,f(xo), 则由条件得f(x0)=a,且当x<xo 时，f(x)>a;当x>x0时，f(x)<a, 'g(x)=f(r)-ax, .8(x)=f'(x)-a, .当x<xo时，g'(x)=f(x)-a>0, g(x)单调递增， 当x>xo时，g'(x)=f(x)-a<0, g(x)单调递减， .当x-xo时g(x)有极大值，且极大 值为g(x)=f(xo)-ax0=2, 同理g(x)有极小值，结合题图可得 g(x)的极小值点大于极大值，点，门 命题点2 2.B[函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=2x-8+6 =2(x-1)(x-3) 令f(x)=0,解得x=1或x=3, 当x变化时，f(x),f(x)的变化如 题型2 下表 [典例] (1)[解析] 设f(x) (0,1) 1 (1,3)3 (3,+8o) sin r 64 2sin乞cos乞 f(x)+ 0 0 1-cos x T1+cos x 2sim2号 f(r) 单调极大 单调极小 单调 递增值递减值 递增 64(sim2艺+cos2艺） 所以f(x)的极大值为f(1)=一6.] 1 命题点3 22号 3.D[由题意可得fx)=二2asin上+1， 32tam2乏+32， 因为函数f(x)在(0，π)上恰有两个极 值点，所以 设tan立=，由x∈(0x),得>0， f(x)在(0，π)上有两个变号零点. 令f(r）=二2asin上+1=0， 则f0-+322+32. f)-+6=41-0. 12 可得a= 2sin c' 得1= 令g(x)=2 sin∈(0，元. 当(0，）时f<0,)在区 则直线y=a与函数y=g(.x),x∈(0，π) 的图象有两个不同的交点， 同(0，宁)上单捐逅减， g(x）=2e(simx-cosx (2sin x)2 当(+）时，f>0,f 2i 在区间（什，十）上单调递增， (2sin c)2 所以当1=时，f)取得最小值 当x(于，x时，gx)>0, 所以g(x)在（平，x上单调递增， f()-38. 当x∈(0，于）时g(x)<0。 申品十的最小值 为38. [答案]38 所以g()在(0，开)上单调递减，又 (2)[解]①f'(x）=2.xex十x2ae 因为（任）=c,当x趋近于0 =x(a.x十2)er 当a=0时，由f(x)>0,得x>0,由 时，g(x)趋近于十o∞，当x趋近于π f(x)<0,得x<0. 时，g（x)趋近于十∞，所以可作出 故函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， g(x)的图象如图所示，数形结合可知 在(-∞，0)上单调递减； 当a0时，由f'(x)>0,得0 e,即实效a的取值范国 2 a 是(9，+）门 由f(x)<0,得x<0或x>-名 故函数f(x)在0，- )上单润 增，在(-,0)与（ ，+）上单 2 调递减。 ②当a=0时，f(x)在区间[0,1]上单 元 调递增，其最大值为f(1)=1: 当一 4.解：(1)a=1,f(x)=e2-x-1,切点 2>1,即-2<a<0时，f(x)在 (1,e-2),f'(x)=e2-1,k=f(1)= 区间[0,1]上单调递增，其最大值是 e一1，所以要求的切线方程为y一(e一2) f(1)=ea; =(e-1)(x-1),即y=(e-1).x-1. 当0<- ≤1，即a≤-2时x= (2)f(x)=e-a,当a≤0时，f(x) a >0,f(x)在R上单调递增，此时无极 2是函数f(x)在区间[0,1门上唯一 值，∴a>0,令f'(x)=0,x=lna, 的极大值点，也就是最大值点， fx)在(-∞，lna)上单调递减，(lna, 此时函数f(x)最大值是 十o∞).上单调递增，∴·fx)机小值一f(na) 4 =a-aln a-a3<0,:.1-In a-a2<0, f() 8(a)--a2-In a+1,8 (a)- 综上可得当一2<a≤0时，f(x)在 上<0，g(a)在(0，+∞)单调 -2a- [0,1]上的最大值是e“; 当a≤-2时，f(x)在[0,1]上的最大 递减，而g(1)=0,.g(a)0白a>1, 值为a2e 44 ∴.a的取值范围(1，十∞) ·400· 跟踪训练 1.解析：因为f(x)=(x-1)e+ax2, 专（四-小南于企2. 所以f'(x)=rer+2ax=x(e+2a), 若a≥0，则x∈（一∞，0）时，f(x) 因地号(9-）≥2. 0,故f(x)在（一o∞，0）上单调递减， x∈(0，+∞)时，f(x)>0,故f(x)在 整理得0≥5r,故0<r≤2.所以建造 (0,十∞)上单调递增， 费用y=2πrlX3十4元r2c 所以当x=0时，f(x)有最小值f(0) =一1，满足题意； =2wx号(2-）X3+rc 若a<0,则当x无限趋近于负无穷大 时，f(x)无限趋向于负无穷大，f(x) 因此y=4x(c-2)2+160r,0<r≤2. 没有最小值，不符合题意； 综上，a≥0，所以实数Q的取值范围为 (2)由(1)得y-8x(c-2)r-160x 「0，十∞). 8a2(-9)0<<2. 20 答案：[0，十∞) 2 1 2.解：(1)当a=1时，fx)=lnx-2x 由于c>3,所以c-2>0, x x∈(0，+∞)， 当 20 /20 c-2 =0时r=√-21 则f(x)=1 20 -2x2+x+1--(2x+1)(x-1 令√2m,则m>0, 所以y-8C2(,一m(,2+m+m. 解-(2x+1)(x-1)=0,可得x=1, 2 或x=一 是（含），所以当0<x<1时， ①当0m<2,即c>号时， f(x)>0,函数f(x)单调递增， 当r=m时，y=0； 当x>1时，f(x)0,函数f(x)单调 当r∈(0，m)时，y<0: 递减，故函数f(x)的单调递增区间是 当r∈(m,2)时，y>0. (0,1],单调递减区间是(1，+∞)， 所以r=m是函数y的极小值，点，也是 所以函数f(x)的极大值为f(1)=一3， 最小值点. 没有极小值· @当m≥2，即3<（≤号时， (2)由题意得f(x)-:-2+ 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调递减， 2x2-ax-a2 所以r=2是函数y的最小值点。 综上所迷，当3<≤，建造贷用最 9 (x-a)(2x+a) 9 小时r=2,当>之，建造费用最小时 若a≥1，当x∈(0,1]时，f(x)≥0， 20 f(x)在区间(0,1]上单调递增， r=√-2 此时f(x)的最大值为f(1)=一2一a: 跟踪训练 若0<a<1,当x∈(0，a)时，f(x)>0, 解：(1)因为x=5时，y=11, f(x)单调递增， 当x∈(a,1]时，f(x)<0,f(x)单调 所以号+10=11，即a=2. 递减，此时f(x)的最大值为f(a)= (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 aln a-3a; 若-2<a<0,则0<-号<1，当x∈ 为y-2 -3+10(x-6)2(3<x<6). 所以商场每日销售该商品所获得的利润 (0,-号）时，f(x)>0,f(x)单调递 为x)--3副[二3+10x-6r] 增，当re(号，小时f(x)<0, =2+10(x-3)(x-6)2(3x6). f(x)单调递减，此时f(x)的最大值为 从而f(x)=10[(x一6)2+2(x-3)· (x-6)]=30(x-4)(x-6). f(-)=aln(-)+3a: 于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化 情况如下表： 若a≤-2，则-号≥1，当x∈(0,1] (3,4) 4 （4,6) 时，f'(x)≥0，f(x)在区间(0,1]上单 调递增，此时f(x)的最大值为f(1) f'(x) 0 -2-a2 单调极大单调 综上可得，f(x)mx= f(.x) 递增值42递减 ,-2-a2,a≤-2或a≥1， aln a-3a,0<a<1, 由上表可得，x=4时，函数f(x)在区 间(3,6)内的极大值点，也是最大值 oh(-号）十3a.-2a<0 点，所以当x=4时，函数f(x)取得最 题型3 大值，且最大值等于42.所以当销售 [典例][解](1)设容器的容积为V, 价格为4元/千克时，商场每日销售该 由题意知V-w21+子x,又V- 商品所获得的利润最大· 热点强化课2 题型1 w-280 3r= [例1][解析]令g(x)=f(x)-2x, 则g'(x)=f(x)-2<0,则g(x)在R 上单调递减，又f(m)一f(1一2m)≥ ·401· 参考答案 6-2等价于f(n)-2n≥f(1-2n) -2(1-2n),即g(m)≥g(1-2n),由 单调性得m≤1-2加，解得n≤3 [答案]B [例2][解析]设g(x)-f(x)-x, 则g'(x)=f(x)-1, 又x∈[0，+)上，f(x)<1,则g'(x) <0,即函数g(x)在x∈[0，十∞)上单调 递减， 又f(x)是定义在R上的奇函数，则函 数g(x)为R上的奇函数，故g(x)在R 上单调递减， 又f(2026-m)-f(n)≥2026-2n, ,.f(2026-m)-(2026-m)≥f(m) 一n, 即g(2026-m)≥g(m), 可得2026-n≤m,解得m≥1013. [答案]B 题型2 [例3][解析]令x-0,则2f(0)+0 >0,∴.f(0)>0,则A错误： 令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x) +x2f'(x),当x>0时，由2f(x)+ xf(x)0,.2.xf(x)+x2f(x)>0, 则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又因为偶函数f(x)的定义域为R, g(x)=x2f(x)为偶函数，g(x)在 (0,十∞)上单调递增， …g(-3)=g(3)>g(1),9f(-3)> f(1),故B错误； .g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故 C正确：由题意，不妨假设f(x)=c>0 (c为常数)符合题意，此时f(1)= f(2)=c,故D错误. [答案]C [例4][解析]由题可知，当x≥1时， [x2fx]'-三.令g(x)=x2f(x, 则f(x）=g2, f(x)= r2g'(r)-2xg(x)In r-2g(r) 令h(x)=lnx-2g(x), '(x)=1-2g(x)=1-2n正 x 令h(x)=0,解得x=√E.可知函数h(x) 在(We,十∞)上单调递减，在(1We)上 单调递增， 又h(e)=ln√e-2g(e)=0,所以 h(x)0,f(x)≤0，所以函数f(x)在 [1,十∞)上单调递减，4ef(x)<1,可 化为fx)<-f0,又画投f 关于x=1对称，故x-1>W-1, x-1<1-√或x-1>E-1,所以不等 式的解集为(-∞，2-√)U(WE,十o∞). [答案]A 题型3 [例5][解析]由题可设F(x) 2,因为f'(x)一fx)>0 则F(x)=(xe-f(x)e -f(x)=f>0, 所以函数F(x)在R上单调递增， 又F(20240=f2024)=1,不等式 e2024