专题03 导数及其简单应用（期中真题汇编，江西专用）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题03 导数及其简单应用 5大高频考点概览 考点01 导数的概念及几何意义 考点02 利用导数判断函数的单调性 考点03导数与函数图像问题 考点04 极值和最值问题 考点05 不等式和恒成立问题 一、单选题地 城 考点01 导数的概念及几何意义 1．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据导数的定义结合题意求解即可. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：B 2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知函数，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 则 故选：D 3．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)设函数在处可导，且，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，故-3，由导数的定义可得，所以，应选答案C． 4．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)设，若，则（    ） A． B． C．1 D．In2 【答案】C 【分析】对函数求导，由将代入，即可求得. 【详解】函数，，则， 又，即，解得. 故选：C. 5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，即可得到时，的正负，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由是奇函数可得，两边同时求导可得， 即，所以是偶函数， 又当时，，所以时，， 由是偶函数可得，两边同时求导可得， 即，所以是奇函数， 当时，，当时，， 对于A，因为与的大小关系不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，由时，，可得，故C错误； 对于D，由时，，可得，故D错误； 故选：B 6．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 7．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)若函数在处的切线与直线垂直，则实数的值是（    ） A． B．2 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】求得函数在处的切线的斜率，由此求得的值. 【详解】，依题意有. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题. 8．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 9．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用导数的求导法则得出，利用可求出值，再求函数值即可. 【详解】由求导，得， 则，得，则， 所以. 故选：D. 10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知（    ） A．0 B．2x C．6 D．9 【答案】B 【分析】由基本导数公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：B 11．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义分别为求切线方程，进而列式求解即可. 【详解】对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 由题意可得， 由可得， 则，整理可得，解得或， 所以公切线斜率为或. 故选：B. 12．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-5 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义可求，切线过切点可求，可得结论. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以. 故选：D. 13．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可. 【详解】， 故选：C. 14．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知曲线在点处切线的斜率为8， A． B． C． D． 【答案】D 【详解】y′=4x3+2ax 由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D. 二、多选题 15．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据导数运算法则及复合函数导数的求法逐项判断可得结果. 【详解】令，， 因为，，所以，故A正确； 因为为常数，所以，故B错误； 令，， 因为，，所以，故C正确； 因为，所以 ，故D错误. 故选：AC. 16．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)下列选项正确的是（   ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】CD 【分析】利用求导公式求导，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：CD 17．(24-25高二下·江西萍乡·期中)下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 令，则，又，， 则，故D正确. 故选：BD. 18．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知，则下列函数在处的导数值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数计算公式，即可求解. 【详解】对于A，设，，，故A正确； 对于B，设，，，故B正确； 对于C，设，， 所以，故C错误； 对于D，设，， 所以，故D正确. 故选：ABD 19．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可. 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 三、填空题 20．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数，则=__________. 【答案】 【分析】首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解. 【详解】， 则，得， 所以， 故. 故答案为： 21．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解. 【详解】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 22．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________； 【答案】 【分析】先根据题中给出的结论确定函数的对称中心，再结合函数的对称性求值. 【详解】因为，所以，. 由 . 又，所以点是函数的拐点，也就是函数的对称中心. 所以， 所以，，…，，， 所以 . 故答案为： 地 城 考点02 利用导数判断函数的单调性 1、 单选题 1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【分析】首先对函数求导，令导数大于0，结合定义域即可求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，. 所以对函数求导得：. 令，则，解得. 又，所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，则单调递增，所以， 即，则； 令，则，当时，，单调递增， 所以，即，即． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2）. 3．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 4．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，在上单调递减，等价于在上恒成立，进而根据不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有2个实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由题意， ，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 当时，可得， 当 所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点， 结合图象可得实数的取值范围. 故选：B. 6．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，又， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 7．(24-25高二下·江西萍乡·期中)函数在上的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得函数的导数，求得函数的单调性，即可求得最小值，再求出函数在的端点处的函数值，比较大小，可求得最大值，进而得出函数的值域. 【详解】由求导，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 又， 所以函数在上的最大值为， 因此函数在上的值域是. 故选：C 8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令，解不等式即可. 【详解】，定义域为，， 令，解得. 故答案为：D 9．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，由在上有解得的范围．转化为求函数的最最小值． 【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是. 故选：B. 2、 多选题 10．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．当，时，函数在定义域上单调递减 C．若，且，a的最小值是 D．曲线是中心对称图形 【答案】ACD 【分析】利用对数的性质求函数的定义域，结合对数复合函数的单调性判断的单调性，对求导，问题化为在上恒成立求参数最小值，依次判断A、B、C；由判断D. 【详解】由解析式，即定义域为，A对； 若，，则， 而在上单调递增，且在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，B错； 若，则，故， 由，即在上恒成立， 而时取得最大值为，即，C对； 由， 所以，即关于中心对称，D对. 故选：ACD 3、 填空题 11．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 地 城 考点03 导数与函数的图像问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象. 【详解】由的图象可得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增. 则仅有选项C符合以上要求. 故选：C 2．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以可得x＞0和x＞0时，导函数均为负，从而可得答案 【详解】∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数， ∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0. 故选：D 3．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求导得到，根据奇偶性排除，特殊值计算排除得到答案. 【详解】，则，则函数为奇函数，排除； ，排除； 故选：. 【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用. 4．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（    ） A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C 【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案. 【详解】由题设，，则， 又直线与曲线相切于两点且横坐标为且， 所以的两个零点为，由图知：存在使， 综上，有三个不同零点， 由图：上，上，上，上， 所以在上递减，上递增，上递减，上递增. 故至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选：C. 5．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，以及利用导数研究函数的单调性，即可判断． 【详解】解：因为，所以， 所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除， 当时，，故排除C， ，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D； 故选：． 6．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)如图，直线l是曲线在点处的切线，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据图可得直线l的斜率，结合导数的几何意义即可得结果. 【详解】由图可知：直线l过点和，则直线l的斜率， 由导数的几何意义可得. 故选：D. 7．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可排除A、D；再利用导函数判断在上的单调性，即可得出结论. 【详解】因为，故排除A、D； 令 在是减函数, 在是增函数, 存在，使得 单调递减， 单调递增, 所以选项B错误，选项C正确. 故选：C. 二、多选题 8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（    ）    A．在上单调递减 B．有极小值 C．有3个极值点 D．在处取得最大值 【答案】ABC 【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可. 【详解】由的图象可知时，， 则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确； 当时，，则单调递增，所以， 则在处不能取得最大值，故D错误． 故选：ABC． 9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（    ） A．在上为减函数 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处取极大值 【答案】ABD 【分析】根据导函数的图象判断的符号，进而确定的区间单调性和极值，即可得答案. 【详解】由图知：在区间上，即递增； 在区间上，即递减； 所以、处取极大值，处取极小值， 综上，A、B、D错，C对. 故选：ABD 10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 11．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极小值点 【答案】AC 【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解. 【详解】由图可知：当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误； 又由图可知，且在左边导数， 所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确. 故选：AC 地 城 考点04 极值和最值问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，，则函数的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可. 【详解】∵，∴当时，单调递增， 当时， 单调递减， ∴. 故选：C. 2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果. 【详解】，， ∴或， 当时，， 令，得或；令，得； 从而在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，不合题意， 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 二、多选题 4．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增． B．在上两个零点 C．当 时，恒成立，则 D．若函数只有一个极值点，则实数 【答案】ACD 【分析】求出导函数，由确定增区间，判断A，然后可得，再利用导数确定的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B，构造函数，由在上递减，求得范围，判断C，利用导数研究的单调性与极值点，得的范围，判断D． 【详解】，令， 得，故A正确 ， ，令得，得， 故在上为减函数，在上为增函数． 当时，；当时，且 的大致图象为 只有一个零点，故B错． 记，则在上为减函数， 对恒成立 对恒成立 ． 故C正确． ， ，设， 只有一个极值点， 只有一个解，即直线与的图象只有一个交点． ， 在上为增函数，令，得， 当时，；当时，． 在上为减函数，在上为增函数， ， 时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）： 直线与它只有一个交点，则．故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用． 5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可． 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值， 若函数在区间内有最小值， 此时，解得， 当，即时， 整理得，解得或， 所以， 综上，满足条件的取值范围为，． 故选：CD． 6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】 本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 7．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数的导数为，若存在，使得，则是称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A，，令，得或，有“巧值点”； 对于B，，令，得，有“巧值点”； 对于C，，令，作出与的图象，如图， 结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”； 对于D，，令，无解，无“巧值点”. 故选：ABC. 8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，下列命题正确的是（    ） A．若是函数的极值点，则 B．若在上单调递增，则 C．若，则恒成立 D．若在上恒成立，则 【答案】AD 【分析】利用导数结合极值点求出判断A；利用导数结合单调性求出的范围判断B；利用函数最小值判断C；利用恒成立的不等式求出的范围判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，由是函数的极值点，得，解得， 此时，显然是在上的变号零点，因此，A正确； 对于B，在上单调递增，则，， 而函数在上单调递增，恒成立，因此，B错误； 对于C，由，得，，， 当时，，递减，当时，，递增， 因此，而，C错误； 对于D，，， 令，求导得，当且仅当取等号， 因此函数在上单调递增，，所以，D正确. 故选：AD 三、填空题 9．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解 【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号， 又，令，则有两个不同的实数根， 令，则， 令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增. 且当时，当时，且，， 故作出图象. 可得当有两根时 故答案为： 10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的极值点为，则实数__________. 【答案】 【分析】先求导函数，利用极值条件求得的值. 【详解】，，得， 此时. 当时，在上单调递减； 时，，在上单调递增. 所以在处取得极小值，符合题意. 故答案为：. 11．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数在处取得极值，则实数的值为______． 【答案】 【分析】由函数可导，则在极值点处导函数为，可得，即可得解. 【详解】由， 可得， 所以. 故答案为： 地 城 考点05 不等式和恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 3．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令解不等式即可，注意函数定义域. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为 A．（-∞，1-e] B．（-∞，-3] C．（-∞，-2] D．（-∞，2- e2] 【答案】B 【解析】化简得到，根据化简得到答案. 【详解】根据题意：. 设，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故. 根据，，故. 故选：. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键. 5．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的、，当时，都有， 即，即， 所以，函数在上为减函数，且， 参变分离可得，令，其中，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. 故选：C. 6．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列， 又数列满足， 所以，，即， 即，解得. 故选：C. 二、多选题 7．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，直线，则下列说法不正确的有（   ） A． B．若有两个不等实根，则 C．若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为 D．当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方 【答案】ABC 【分析】求导函数由单调性即可判断AB，结合函数图象可得即可判断C，利用相切时的切线斜率即可判断D. 【详解】，故当时，，此时单调递减， 当时，,此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值， 故，又，， 画出的大致图象如图： 对于A，由于在上单调递减，故，故A不正确， 对于B，若有两个不等实根，则，故B不正确， 对于C，由于直线恒过定点， 若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方,则只有2个整数解， 结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，故解得， 故C不正确， 对于D，当直线与相切于第一象限时，设切点为， 所以切点为的切线方程为，在切线上， 此时，故， 故切点处的横坐标为，故当， 当时，即，此时，在y轴右侧直线恒在曲线上方，正确. 故选：ABC 三、填空题 8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】同构变形得，设，根据导数得到其单调性则，再分离参数得，设，利用导数求出最值即可. 【详解】由题意，原不等式可变形为， 即，设，则当时，恒成立， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则，所以，， 因为在上单调递增， 所以要使，只需， 在上恒成立，取对数，得， 因为，所以．令，，因为， 所以在上单调递增，所以， 所以，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构思想得到， 在上恒成立，再分离参数，利用导数求出最值即可. 9．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】. 【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据已知条件化简，再构造函数设，结合函数单调性得出函数最值即可求参. 【详解】由，得，由，得， 设，则， 设，则， 知在上单调递增，且， 则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 又， 所以当时，，则在上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其简单应用 5大高频考点概览 考点01 导数的概念及几何意义 考点02 利用导数判断函数的单调性 考点03导数与函数图像问题 考点04 极值和最值问题 考点05 不等式和恒成立问题 一、单选题地 城 考点01 导数的概念及几何意义 1．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C． D．1 2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知函数，则（    ） A．3 B．6 C． D． 3．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)设函数在处可导，且，则等于 A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)设，若，则（    ） A． B． C．1 D．In2 5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 7．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)若函数在处的切线与直线垂直，则实数的值是（    ） A． B．2 C．-4 D．4 8．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 9．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知，若，则（    ） A． B． C． D．1 10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知（    ） A．0 B．2x C．6 D．9 11．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 12．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-5 13．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)函数的导数为（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知曲线在点处切线的斜率为8， A． B． C． D． 二、多选题 15．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)下列选项正确的是（   ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 17．(24-25高二下·江西萍乡·期中)下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知，则下列函数在处的导数值为4的是（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 三、填空题 20．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数，则=__________. 21．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 22．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________； 地 城 考点02 利用导数判断函数的单调性 1、 单选题 1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有2个实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·江西萍乡·期中)函数在上的值域是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 10．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．当，时，函数在定义域上单调递减 C．若，且，a的最小值是 D．曲线是中心对称图形 3、 填空题 11．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 地 城 考点03 导数与函数的图像问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（    ） A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点 5．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)如图，直线l是曲线在点处的切线，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 7．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（    ）    A．在上单调递减 B．有极小值 C．有3个极值点 D．在处取得最大值 9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（    ） A．在上为减函数 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处取极大值 10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 11．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极小值点 地 城 考点04 极值和最值问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，，则函数的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 二、多选题 4．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增． B．在上两个零点 C．当 时，恒成立，则 D．若函数只有一个极值点，则实数 5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则t的最小值为2 7．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数的导数为，若存在，使得，则是称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，下列命题正确的是（    ） A．若是函数的极值点，则 B．若在上单调递增，则 C．若，则恒成立 D．若在上恒成立，则 三、填空题 9．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的极值点为，则实数__________. 11．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数在处取得极值，则实数的值为______． 地 城 考点05 不等式和恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为 A．（-∞，1-e] B．（-∞，-3] C．（-∞，-2] D．（-∞，2- e2] 5．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，直线，则下列说法不正确的有（   ） A． B．若有两个不等实根，则 C．若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为 D．当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方 三、填空题 8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________． 9．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $