1.4 第四讲 万有引力与天体运动-（教师用书）【金版新学案】2026年高考物理大二轮专题复习与测试

第四讲　万有引力与天体运动 学生用书⬇第17页 考点一　开普勒定律与万有引力定律 1.开普勒定律的理解 (1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2。 (2)根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则a为椭圆轨道的半长轴；若为圆轨道，则a为圆轨道的半径。 (3)运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。 2.应用万有引力定律计算天体质量和密度的思路 注意：(1)天体表面的重力加速度g＝是g的决定式，具有普适性。 (2)若绕行天体绕中心天体表面(如近地)做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。 (多选)2025年4月24日23时49分，神舟二十号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱。如果神舟二十号飞船升空后先进入停泊轨道(即近地圆形轨道)，之后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与天和核心舱对接，如图所示。已知中国空间站轨道为圆形轨道，距地面高度为h，飞船在停泊轨道运行的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.从停泊轨道进入转移轨道需要在P点减速 B.天和核心舱的向心加速度大小为()2g C.可估得地球密度为 D.飞船从P点运行到Q点需要的时间为T 答案：BC 解析：飞船从停泊轨道进入转移轨道需要在P点加速，A错误；设天和核心舱的向心加速度大小为a，质量为m0的地表物体受到的重力m0g＝G，由G＝ma，解得a＝()2g，B正确；飞船在停泊轨道运行的周期为T，根据万有引力提供向心力有G＝m()2R，解得M＝，地球的密度为ρ＝，解得ρ＝，C正确；设飞船在转移轨道运行的周期为T'，由开普勒第三定律有＝，整理可得T'＝T，故飞船从P点运行到Q点所需的时间为TPQ＝T'＝，D错误。故选BC。 预测1.(多选)(2025·福建厦门二模)某国际天文学团队发现“超级地球”——行星HD20794d。如图所示，该行星围绕着一颗类太阳恒星运动，运行轨道呈椭圆形，位于宜居带内、外缘之间，Q、M、P、N是椭圆轨道的顶点。已知类太阳恒星质量小于太阳质量，“超级地球”沿逆时针方向运动，则“超级地球”(　　) A.运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于地球公转轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方之比 B.从Q到M所用时间大于从M到P所用时间 C.在Q点的速度大于在P点的速度 D.在Q点的加速度小于在P点的加速度 答案：BD 解析：“超级地球”围绕类太阳恒星运动，中心天体是类太阳恒星，地球围绕太阳运动，中心天体是太阳，中心天体不同，轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不同，故A错误；“超级地球”围绕类太阳恒星做椭圆运动，从Q到M的平均速度大小小于从M到P的平均速度大小，所以从Q到M所用时间大于从M到P所用时间，故B正确；由开普勒第二定律可知，在Q点的速度小于在P点的速度，故C错误；根据万有引力公式F＝G，可知“超级地球”在P点受到的万有引力大，根据牛顿第二定律可知，在Q点的加速度小于在P点的加速度，故D正确。故选BD。 预测2.(多选)(2025·山东日照一模)将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg0；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。引力常量为G，下列判断正确的是(　　) A.地球的质量为 B.地球的自转周期为2π C.地球的平均密度为 D.地球静止卫星的高度为(－1)R 答案：ACD 解析：在地球北极点时，物体受到的重力与万有引力大小相等，有G＝mg，解得M＝，故A正确；由于在地球赤道上该物体的重力为mg0，则有mg－mg0＝mω2R，解得ω＝，故地球自转的周期为T＝＝2π，故B错误；地球的体积为V＝πR3，则地球的平均密度为ρ＝＝，故C正确；由于地球静止卫星围绕地球转动的周期等于地球自转的周期，由万有引力提供向心力可得G＝m'ω2(R＋h)，联立解得地球静止卫星的高度为h＝(－1)R，故D正确。故选ACD。 学生用书⬇第18页 考点二　人造卫星与宇宙航行 (2025·湖南高考)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝h，M＝。下列选项正确的是(　　) A.a为T1，b为T0，c为T1 B.a为T1，b为T0，c为T0 C.a为T0，b为T1，c为T1 D.a为T0，b为T1，c为T0 答案：A 解析：卫星在同步轨道运行有G＝m(R＋h)，在小行星表面附近运行有G＝mR，联立解得R＝h，M＝，对比题干信息可知，a＝T1，b＝T0，c＝T1。故选A。 人造卫星运动问题的分析要点 (2025·河北模拟)我国发射的嫦娥六号探测器被月球引力捕获，进入环月轨道，经过连续多次近月制动，轨道逐渐降低。先在距离月球表面200 km的环月轨道Ⅰ上运行，随后变轨进入近月点离月球表面15 km、远月点离月球表面200 km的轨道Ⅱ上，如图所示，A处为变轨位置，A、B分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点，下列说法正确的是(　　) A.嫦娥六号在A处变轨时应加速 B.嫦娥六号在轨道Ⅱ从A到B运行时机械能增大 C.嫦娥六号在B点的速率小于在轨道Ⅰ上运行的速率 D.嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行时的周期大于在轨道Ⅱ上运行时的周期 答案：D 解析：嫦娥六号在A处由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ上，需要减速，故A错误；嫦娥六号在轨道Ⅱ从A到B运行时只有引力做功，机械能保持不变，故B错误；嫦娥六号在B点需要减速后才能做匀速圆周运动，且在B点做匀速圆周运动的速率大于在轨道Ⅰ上运行的速率，故嫦娥六号在B点的速率大于在轨道Ⅰ上运行的速率，故C错误；轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行时的周期大于在轨道Ⅱ上运行时的周期，故D正确。故选D。 1.卫星变轨的分析思路 — 离心运动 近心运动 变轨 起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力 分析 G＜m G＞m 变轨 结果 变为椭圆轨道运动或变轨到半径较大的圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或变轨到半径较小的圆轨道上运动 2.变轨过程中的能量变化 卫星在同一轨道上稳定运行过程中，机械能守恒。在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加；点火减速，做近心运动，轨道降低，机械能减少。 地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) 学生用书⬇第19页 A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D.每隔一年会出现一次“火星冲日” [审题指导] 题眼 点拨 火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，两者的相对速度最大 出现“火星冲日”的时间间隔等于地球比火星绕太阳多转一周的时间 模型 方法 1.天体运动的参量比较； 2.“行星冲日”模型 答案：B 解析：由题意知火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得＝＝，A错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力有mg＝，解得g＝，根据题目中所给条件无法计算出自由落体加速度的比例关系，C错误；设经过时间t会出现一次“火星冲日”，地球比火星多绕太阳运动一周，则－＝1，所以t＝ 年＞2年，D错误。故选B。 天体追及问题的分析方法 　　两卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示： (1)当两卫星转过的角度之差Δθ＝k·2π(k＝1，2，3，…)，即满足ωaΔt－ωbΔt＝k·2π(k＝1，2，3，…)时，两卫星再次相距最近。 (2)当两卫星转过的角度之差Δθ＝(2k＋1)π(k＝0，1，2，…)，即满足ωaΔt－ωbΔt＝(2k＋1)π(k＝0，1，2，…)时，两卫星相距最远，如图乙所示。 考点三　双星与多星模型 (2025·河北模拟)2024年，中国天眼(FAST)发现了罕见的双中子星系统。如图所示是其简化示意图，经观测A、B两颗中子星距离为L，均绕两者连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动，A中子星的轨道半径为RA(RA＜)，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A.A中子星的质量为 B.B中子星的质量为 C.A、B中子星运动速度大小的比值为 D.A、B中子星质量之和与质量之差的比值为 模型剖析 第一步：模型构建，双星模型 两星体为一个独立的系统，不受外界其他星体的作用力，构成一个双星系统。 第二步：分析向心力的来源，分析各自的轨道半径 向心力来源于两星体之间的万有引力，两星体围绕同一圆心做圆周运动，A中子星的轨道半径为RA，B中子星的轨道半径为L－RA。 第三步：列式解题，由向心力公式列式解题 (1)对B中子星有G＝mB(L－RA)，可得A中子星的质量为mA＝； (2)对A中子星有G＝mARA，可得B中子星的质量为mB＝； (3)由T＝＝，可得＝； (4)A、B中子星的质量之和与质量之差的比值为＝。 解决双星或多星问题的技巧 1.确定系统中心及半径：明确双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 2.明确向心力：星体所受的向心力由其他天体对它的万有引力的合力提供。 3.抓住角速度特点：星体的角速度相等。 4.清楚星体的轨道半径不是天体间的距离：要利用几何知识，寻找星体轨道半径之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 学生用书⬇第20页 (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　) A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π C.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2 D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 答案：BD 解析：在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A错误；由T＝可知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π，B正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C错误；由2Gcos 30°＝ma可得a＝，D正确。故选BD。 1.科技情境类 (2025·河南高考)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　) A.13天 B.27天 C.64天 D.128天 答案：A 解析：由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T＝2π，又M恒＝M日，rG＝r日地，解得TG≈13天。故选A。 2.科技情境类 (2025·山东高考)轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动。轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱。分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2，G为引力常量。此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，组合体分开过程动量守恒，有(m轨＋m返)v＝m轨v轨＋m返v返，又v返＝2，m轨＝5m返，可得v轨＝。故选C。 3.科技情境类 (2025·四川高考)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设该卫星转动的周期为T'，根据题意可得－＝2π，可得T'＝，根据万有引力提供向心力有G＝mr，可得r＝，代入T'＝，可得r＝。故选A。 4.科技情境类 (2025·河北高考)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0－)(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：飞行器在轨道半径r＝2R0处的总机械能包括动能和引力势能。飞行器在轨道半径r＝2R0处的引力势能为Ep＝mg0R0，根据万有引力提供向心力有G＝m，在该星球表面有G＝mg0，解得轨道速度满足v2＝，对应的动能Ek＝mv2＝mg0R0，总机械能E总＝mg0R0，根据机械能守恒，则初始动能m＝E总，解得v0＝。故选B。 学科网（北京）股份有限公司 $