精品解析：福建泉州实验中学2025-2026学年九年级下学期阶段考试（1）数学试卷

泉州实验中学2026届初三下学期阶段考试（1）数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义． B、，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义． C、被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义． D、的被开方数3不含分母，且3不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义． 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为4 B. 最小值为4 C. 最大值为6 D. 最小值为6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数，得到，图象开口向下，函数有最大值，根据顶点坐标，即可得出函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴该二次函数有最大值，最大值为6． 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 7. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 8. 在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，关键是m的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，据此解答即可． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧与图象符合，故B选项正确； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴右侧，与图象不相符，故D选项错误． 故选：B． 9. 如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 28 B. 24 C. 22 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为22． 故选：C 10. 点在抛物线上，其中，，若对于任意，都有，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线配方得到对称轴，利用开口向上二次函数的性质：点离对称轴越远，函数值越大，将恒成立转化为：内所有点到对称轴的最大距离不超过到对称轴的距离，解绝对值不等式得到m的范围 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴等价于对任意恒成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 情况1：，解得， 情况2：，解得 综上，m的取值范围是或． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 13. 将函数的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的函数解析式为； 故答案为：． 14. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 15. 若关于x的分式无解，则a的值是______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法与恒等变形，分式方程的无解问题，分式方程无解的情况包括化简后的整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可． 【详解】解：， ，即 ， 整理得：， 当时，即时，方程无解； 当时，， 若，则，解得，此时为增根，方程无解； 综上，或， 故答案为：1或3． 16. 如图，菱形边长为4，是中点，为上一点，交于点，，的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，延长交于点，证明和为等腰直角三角形，得出相等的边以及相关线段的长度，证明，根据对应边成比例进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， 且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂、绝对值的定义计算即可． 【详解】解：． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求的值； （2）求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式． （1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解： 方程有一实数根为3， ， 解得； 【小问2详解】 略 21. 阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． （1）解决“已知实数x、y满足，证明：”这一问题可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（）▪（ ），且， 所以 0， 0 ，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且x，y均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以（不等式的传递性） 所以． （2）请你尝试证明：若，则． 【答案】（1）；，，，； （2） 解：∵， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【小问1详解】 请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为=（）▪（），且， 所以， ，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且x，y均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）所以（不等式的传递性） 所以． 【小问2详解】 略 22. 实验室有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水．实验开始后，甲水箱开启注水模式，以升／秒的速度匀速注水；同时乙水箱开启放水模式，匀速向外排水．8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阈值，暂停注水和放水操作，保持水量稳定；24秒时，乙水箱切换为注水模式，以升/秒的速度匀速向水箱内注水；30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为升．之后，甲、乙水箱同时开启排水模式，以相同的速度匀速排水，直至水箱排空．甲、乙水箱的水量（单位：升）与实验时间（单位：秒）间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． （1） ， ； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升？ 【答案】（1）3，24 （2） （3）秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据24秒时，乙水箱切换为注水模式，以升/秒的速度匀速向水箱内注水，30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，求出b的值，然后再求出a的值即可； （2）待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设甲水箱在注水过程中水箱内水量与注水时间的函数表达式为，把代入得：， 解得：， ∴甲水箱在注水过程中水箱内水量与注水时间的函数表达式为； 当时，， 解得：或； 当时，甲、乙两个水箱中水量始终相差8升，不符合题意； 当时，（秒）； 当时，两个水箱内水量相同，不符合题意； 综上，甲、乙两个水箱在实验进行到秒或秒或秒时，它们的水量差为2升． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的图象和性质． 23. “智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一 计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二 比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三 设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 【答案】 任务一：原购置的机器人每小时清洁平方米； 任务二：原机器人先完成基础清洁任务； 任务三： 解：依据完成时间最少为优先原则，最佳人工清洁方案为： 清扫流程：甲乙两个团队先合作完成任务包后，甲团队完成任务包，乙团队完成和任务包； 完成时间： ；甲工时为，乙工时为； 外包费用： ，，（元） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，方案选择问题． 任务一：设原购置的机器人每小时清洁平方米，根据题意列方程求解即可； 任务二：通过比较各楼层的清扫面积，可得新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层，设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为，比较清扫时间即可； 任务三：依据完成时间最少为优先原则，尽量减少费用，先合作，再分工，减少等待时间，可确定最佳方案，计算完成时间和外包费用即可． 【详解】任务一： 解：设原购置的机器人每小时清洁平方米， 根据题意可得 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原购置的机器人每小时清洁平方米． 任务二： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层， 设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为， 根据题意可得， 又∵， ∴， ∵ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴原机器人先完成基础清洁任务． 任务三：略 24. 【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 （1）请补全余下的证明过程． （2）【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． （3）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 【答案】（1） 证明：由题意可知，， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 作射线交于点，以为一边，在外作，在上取，连接，则此时三点共线，即为所求； 【解析】 【分析】（）由四点共圆可得，得到三点共线，由是等边三角形得，进而即可求证； （）过点作于，则，由等边三角形的性质和圆周角定理得，即得，得到，，，再根据解答即可求解； （）作射线交于点，以为一边，在外作，在上取，连接，则此时三点共线，即为所求，再根据等边三角形的性质和勾股定理表示出的面积即可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知， ∴， ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为， ∴； 【小问3详解】 证明：如图，过点作于点， ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴当取最大值时，取最大值， ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点是点． （1）求抛物线对应的函数表达式 （2）点是抛物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点坐标； （3）将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它的顶点为．直线过点，且与抛物线交于点、．轴于点、轴于点，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3） 证明：由（1）知抛物线， 平移后新的抛物线解析式为， 顶点，即， 设过点的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设交点、， 由韦达定理得、， ， 轴于点、轴于点，且、， 、， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式即可 （2）作的中垂线交轴于点E，连接，则，进而得到，设，则，在中，由勾股定理得，解出的值，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，过点A作，交轴于点，交抛物线于点，则，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，求出点P的坐标；作点关于轴的对称点，连接，同理求出点P的坐标； （3）易得到平移后新的抛物线解析式为，设过点的直线的解析式为，与新抛物线解析式联立得到，设交点、，根据韦达定理可得、，进而得到、，据此计算与的值是否相等即可． 【小问1详解】 解：将，两点代入得： ， 解得， 因此，抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线表达式为， 当时，， 则， 作的中垂线交轴于点E，连接，则， ， ， 、， 、， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 直线的解析式为， 过点A作，交轴于点，交抛物线于点，则， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ； 将代入得：， ， 作点关于轴的对称点，连接， 、， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数与一次函数的图像性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2026届初三下学期阶段考试（1）数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为4 B. 最小值为4 C. 最大值为6 D. 最小值为6 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 28 B. 24 C. 22 D. 18 10. 点在抛物线上，其中，，若对于任意，都有，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 因式分解：__________． 13. 将函数的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式是_______． 14. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 15. 若关于x的分式无解，则a的值是______． 16. 如图，菱形边长为4，是中点，为上一点，交于点，，的长度是___________． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求的值； （2）求证：无论取何值，方程总有实数根． 21. 阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． （1）解决“已知实数x、y满足，证明：”这一问题可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（）▪（ ），且， 所以 0， 0 ，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且x，y均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以（不等式的传递性） 所以． （2）请你尝试证明：若，则． 22. 实验室有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水．实验开始后，甲水箱开启注水模式，以升／秒的速度匀速注水；同时乙水箱开启放水模式，匀速向外排水．8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阈值，暂停注水和放水操作，保持水量稳定；24秒时，乙水箱切换为注水模式，以升/秒的速度匀速向水箱内注水；30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为升．之后，甲、乙水箱同时开启排水模式，以相同的速度匀速排水，直至水箱排空．甲、乙水箱的水量（单位：升）与实验时间（单位：秒）间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． （1） ， ； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升？ 23. “智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一 计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二 比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三 设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 24. 【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 （1）请补全余下的证明过程． （2）【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． （3）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 25. 如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点是点． （1）求抛物线对应的函数表达式 （2）点是抛物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点坐标； （3）将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它的顶点为．直线过点，且与抛物线交于点、．轴于点、轴于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $