精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026高一下学期第一次月考数学试题

兆麟中学2025—2026年度下学期第一次月考 高一学年数学学科试题 考试用时：150分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 0 3. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 4. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 5. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，则动点的轨迹经过的外心 D. 若，且，则的面积是面积的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 14. 已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 已知平面直角坐标系中，，，． （1）若A，B，P三点共线，求实数t的值． （2）若，求实数t的值． （3）若是锐角，求实数t的取值范围． 17. 在中，. （1）求； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，判断与的大小，并证明． 19. 已知中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兆麟中学2025—2026年度下学期第一次月考 高一学年数学学科试题 考试用时：150分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 2. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以. 3. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，且， 又平面平面， 所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 4. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 5. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 6. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】中设，，， 因为，， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以， 又，所以， 在中，，，， 根据，所以，， ， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 为线段上的一点， 则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 所以的最小值为. 8. 在锐角中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】对 A ，先对复数 分母有理化化简得到标准形式，再利用复数模长公式计算模长；对 B ，根据共轭复数定义（实部不变、虚部变号），由化简后的直接写出其共轭复数，判断正误；对 C ，先代入化简后的，计算并化简，再与相加，判断结果是否为实数；对 D ，计算得到新复数，根据复数与复平面内点的一一对应关系，写出对应点坐标，判断所在象限. 【详解】由题意， 对于A：，故A正确； 对于B： 的共轭复数为，故B错误； 对于C：，为实数，故C正确； 对于D：，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，则动点的轨迹经过的外心 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将转化为，然后求数量积；B选项，将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C选项，由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断D； 【详解】选项A.，故A正确； 选项B.设中点为，中点为， ， 即，所以点为中线靠近点的三等分点，所以，故B错； 选项C.设中点为，则， 结合题设. 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上，所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； 选项D.设为中点，，所以， 即，由，所以，所以，，三点共线， 所以．故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解. 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 14. 已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设的外接圆半径，根据题意并结合正弦定理得，再根据得，，最后根据三角恒等变换求最值即可得答案. 【详解】解：设的外接圆半径，则， 由正弦定理知， 所以，即, 因为，即，所以，即， 所以，， 所以， ，其中 因为，所以， 所以，当时，有最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 16. 已知平面直角坐标系中，，，． （1）若A，B，P三点共线，求实数t的值． （2）若，求实数t的值． （3）若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】（1）-2 （2） （3），且． 【解析】 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【小问1详解】 ，B，P三点共线，． ，，，． 【小问2详解】 ，，． 【小问3详解】 若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 17. 在中，. （1）求； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【小问1详解】 ，， ，，. 【小问2详解】 条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 18. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，判断与的大小，并证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【小问1详解】 因为向量, 所以, 所以. 【小问2详解】 因为. 所以, . . 所以. 【小问3详解】 方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以. 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 19. 已知中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）已知的角度，从而得到，结合三角公式，将方程的未知量只保留，从而得解； （2）（i）先将方程化简为，代入，利用是钝角的条件将方程只保留未知量，解得三角形的三个角度，结合正弦定理和三角形面积公式求解； （ii）设，在和中使用正弦定理，将用含的式子表达，然后结合，最后用角平分线定理求解. 【小问1详解】 时，， 即， 由辅助角公式，， 结合可得，， 则，结合，可得 【小问2详解】 （i）， 整理可得， 即， 由可知， 代入上式可得，， 即， 由题知，可知， 则，得到， 故，解得， 由正弦定理，，则， 由面积公式可知； （ii）设， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 两式相乘可得， 由题干可得， 则， 则，则（负值舍去）， 由于，只可能，得到， 即是的平分线， 根据角平分线定理结合正弦定理， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $