江苏省南通中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

2026年4月通中月考卷 一、单选题 1．若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 2．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3． 一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（）种. A．48 B．60 C．90 D．120 4．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 5．某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为( )． A．(0,] B．(0,] C．(0,] D．(0,] 7． 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 8．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为（ ）． A． B． C． D． 二，多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．若样本数据的方差，则所有的都相等 B．以模型去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则， C．在的展开式中，含项的系数是-40 D．某校高三年级男生的身高（单位：cm）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则 （若，则，） 10．如图，已知正方体的棱长为4，P，Q分别是线段，上的动点，M是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则（    ）    A．当时，平面 B．当P为线段中点时，直线到平面的距离为 C．直线与平面所成角的最大角的正弦值为 D．的最小值为 11．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化为 D．可化为 三，填空题 12．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是__________. 13．有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记为标有数字的球被取出的次数，，则__________. 14．设n为给定的大于2的整数．有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,···,n)个袋中有k个红球，n-k个白球．将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)．求第三次取出的为白球的概率为_______． 四，解答题 15．为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关； (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16．当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； (2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. (3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 17．已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.    (1)若平面平面，求三棱锥的体积； (2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值. 18．某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 19．甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3关，他每次从装有1个红球，2个黑球，3个黄球的袋中有放回地摸出1个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制. 参考公式：若，则. (1)求甲摸球3次恰好通关成功的概率； (2)已知X，Y是随机变量，则，现用表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求； (3)设甲摸球次后通关成功的概率为，求出与的递推关系式，并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】先确定满足关系，，，，再证明，由此求结论. 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 2．C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 3．D 【分析】利用插空法进行计算即可. 【详解】总共有 8 股股道，要停放 4 列火车，那么剩下的空股道有股. 这 4 股空股道排好后，会形成 个可以插入火车的 “空隙”（包括两端）. 首先，从 5 个空隙中选 4 个，有 种选法， 然后，将 4 列不同的火车在这 4 个位置上进行全排列，有种排法. 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数，即： 种. 故答案为：D. 4．C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 5．B 【分析】先计算一台电器使用寿命超过小时的概率为，再由台这样的电器服从可得结果. 【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布， 所以元件1、元件2、元件3使用寿命超过小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过小时，是元件1使用寿命超过小时，并且元件2、元件3至少有一个使用寿命超过小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过小时的概率为， 显然台这样的电器，使用寿命超过小时的台数， 所以台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为． 故选：B． 6．C 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此. 答案：C 7．C 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 答案：C 8．C 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 所以事件“存在，，使得”的概率为 故答案为：C 9．AC 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，由回归方程，得， 所以，所以，故B错误； 对于C,正确； 对于D，因为高三年级男生的身高（单位：cm）近似服从， 所以，，， 即，， 所以，故D错误. 10．BCD 【分析】根据已知构建空间直角坐标系，A应用向量法判断平面是否成立，B问题化为求到平面的距离，应用向量法求点面距，C、D设且，且，根据已知有在圆的四分之一圆弧上，向量法求线面角正弦值的含参表达式、向量数量积的坐标表示得含参表达式，应用三角换元求最值. 【详解】构建如下图示的空间直角坐标系， A：，则，且，又， 所以，可得，则，此时， 又，则，，， 显然、，则平面不成立，错； B：且，，又，则，可得， 所以，则，而， 若是的一个法向量，则， 令，则，而， 显然直线到平面的距离，即为到平面的距离，对； C：令且，且，， 则，可得，且， 由，，若是面的一个法向量， 所以，令，则， 所以直线与平面所成角的正弦值， 要使夹角最大，即最大，而在圆的四分之一圆弧上， 令且，则， 所以或时，最大， 此时最大正弦值为，对； D：由C分析，则， 所以， 令且， 则且， 所以的最小值为，对. 故选：BCD    【点睛】关键点点睛：注意构建空间直角坐标系，利用向量法判断证明位置关系、求点面距、线面角、坐标表示数量积，综合应用三角换元、圆的性质求最值. 11．AC 【分析】对AB，利用表格和频率估计概率，代入计算即可；对C、D，利用贝叶斯公式和条件概率公式化简即可 【详解】对AB，根据表格和频率估计概率：事件为动物发病，总样本数为，发病共只， 因此，。由定义 事件为此动物使用药物，发生条件下，用药共只，其中发病只， 因此，。由定义.因此选项A正确，选项B错误. 对CD，利用贝叶斯公式展开推导：根据条件概率公式：， 代入得： 又，因此：，选项C正确，选项D错误 12． 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球， 所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 13． 【分析】列出随机变量的所有取值为1、2、3，再计算所有取值的概率，最后再由期望公式求解即可. 【详解】依题意，的可能取值为1､2､3，总的选取可能数为， ，，， 所以， 故答案为：. 14． 【详解】设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2). 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形: (白，白，白)取法数为 (n-k)(n-k-1)(n-k-2)， (白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)， (红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)， (红，红,白)取法数为k(k-1)(n-k). 从而，第三次取出的是白球的种数为 （n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k） =（n-1）（n-2）（n-k）. 则在第h个袋子中第三次取出的是白球的概率为 而选到第k个袋子的概率为，故所求的概率为 15．(1)关注“苏超”赛事与性别有关 (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据独立性检验的概念，计算，判断假设是否成立即可； （2）根据超几何分布的概念和性质，计算分布列，进而求出期望. 【详解】（1）零假设：关注“苏超”赛事与性别无关， 经过计算. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能认为关注“苏超”赛事与性别有关. （2）由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， X的取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 所以. 16．(1)，正线性相关，且相关程度很强. (2)可以， (3)非线性经验回归方程的拟合效果更好，9.68千件 【分析】（1）根据表中数据，代入相关系数的计算公式求出，再根据相关系数的概念判断求解即可； （2）根据相关系数的概念可知可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系，利用最小二乘法的计算公式求出即可得解； （3）计算线性经验回归方程残差和非线性经验回归方程残差比较可得非线性经验回归方程更好，再由所给方程求出预测值即可. 【详解】（1）由表得，，， 又因为， 所以， 由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投入额这两个变量正线性相关，且相关程度很强. （2）由（1）得两个变量的线性相关程度很强， 所以可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系， 设年销售量关于年投入额的经验回归方程为， 所以，， 所以年销售量关于年投入额的经验回归方程为. （3）由（2）得，可得如下数据： 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 3 5.5 1.1 2.3 3.5 4.7 所以的残差平方和为， 由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好， 当时，(千件)， 故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件. 17．(1) (2)3 【分析】（1）过作于点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得，再在底面四边形中进行相关计算即可得解. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解即得. 【详解】（1）过作于点，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则，    在四棱柱中，平面，即平面，而平面， 于是，又平面，则平面， 又平面，则， 在底面四边形中，，即， 又，则，即，且， 又有，则在等腰直角中，，即，又，则， ，又，所以. （2）由四棱柱中，平面， 以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，    设，则，， ， 在平面中，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 则， 即，整理得，而解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 18．(1)①；② (2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析 【分析】（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望； （2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论. 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P， 则． ②依题可知，X的可能取值为0，1，2， 则由①知， ， ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； （2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下： 设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为， 则， ∵， ， ∴， 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 19．(1) (2)11 (3)，证明见解析 【分析】（1）每一关都一次通过则刚好摸球3次恰好通关，直接计算即可； （2）设表示甲从第关过关所需的摸球次数，利用参考公式分别求出每一关的数学期望再相加即可求解； （3）先设摸球次停在第3关的概率为，摸球次停在第2关的概率为，根据条件找到，，之间的表达式，由，构造等比数列化简得到 ，进而得到，即可求解. 【详解】（1）由题意：摸到黄球的概率为  摸到黑球的概率为  摸到红球的概率为 设摸球3次恰好通关为事件A，则 （2）设表示甲从第关过关所需的摸球次数 则,所以 ,所以 ,所以 由， 得 （3）设甲摸球次通关成功的概率为，摸球次停在第3关的概率为，摸球次停在第2关的概率为， 则 由， 可得 又因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以，，所以时成立， 所以 又当时， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $