7.2《平行线》课件--2025～2026学年人教版七年级数学下册

7.2 平 行 线 01 7.2.1 平行线的概念 生活中，你见过类似这种关系的直线吗？ 问题2：生活中，还有类似这种关系的直线吗？ 设计意图：通过生活情境，激发学生的学习兴趣，引发学生的联想和思考． 3 观察：在同一平面内的三根木条，木条b、c不动，不断转动木条a，（把木条abc想象成直线） 可以发现，在a转动过程中，存在a与b不相交的位置， 在同一平面内，当直线ab不相交时，我们说直线ab互相平行，记作”a∥b“叫做平行线。 1．演示：分别将木条a，b与木条c钉在一起，，并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线．转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交．想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？   有，这时直线a与直线b左右两旁都没有交点． 2．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 直线AB与直线CD平行，记作“AB∥CD”． 4 　　注意： 　　（1）“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行； 　　（2）平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行； 　　（3）“不相交”就是说两条直线没有公共点． 注意：（1）“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行； （2）平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行； （3）“不相交”就是说两条直线没有公共点． 5 　　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 相交 平行 （3）“不相交”就是说两条直线没有公共点． 问题：在同一平面内两直线的位置关系有几种？ 归纳：同一平面内两直线的位置关系有平行和相交两种． 注意：这里所指的两条直线是指不重合的直线． 设计意图：通过观察、讨论、探究，使学生认识到两直线间的另一种位置关系——平行． 6 　　平行线的画法： （1）放 （2）靠 （3）推 （4）画 再来看上面的实验，想象一下，在转动木条a的过程中，有几个位置使得a与b平行？ 有且只有一个位置使a与b平行． 学生活动： 1．回忆小学学过的用直尺画平行线的方法． 2．如图，已知直线AB和AB外的一点P，过P画直线CD，使CD平行于AB． 教师强调： ①在推动三角尺时，直尺不要动； ②画平行线必须用三角尺和三角板，不能用手画． 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为： 一“贴”（三角板的一边贴在已知直线上）； 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）； 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）； 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）． 设计意图：通过回忆小学学过的用直尺画平行线的方法，为学习平行公理作准备． 7 　　练习：读下列语句，并画出图形． 　　1．如图，过点A画EF ∥ BC；　 F E C B A 练习：读下列语句，并画出图形． （1）如图，过点A画EF ∥ BC； 8 　　2．如图，在∠AOB内取一点P，过点P画PC∥OA交OB于C，PD∥OB交OA于D． C P D O B A （2）如图（2），在∠AOB内取一点P，过点P画PC ∥ OA交OB于C，PD ∥ OB交OA于D． 9 　　过直线a外一点B作直线a的平行线，看看你能作出吗？能作出几条？ 动手实践: a B 一条． 思考：在图1中转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与b平行？如下图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？ 10 结论： 　　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（平行线的基本事实） 　　说明：人们在长期实践中总结出来的结论叫基本事实，也称为公理，它可以作为以后推理的依据． 只能画一条． 则画出的这条直线与已知直线平行． 从实验和作图，我们可以得到怎样的事实？ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 这一基本事实是人们在长期的实践中总结出来的，我们称它为公理，这个结论叫做平行公理． 过点C画的直线a的平行线与过点B画的直线a的平行线相互平行． 这说是说，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这条直线也互相平行． 11 因为b∥a，c∥a， 于是过点P就有两条直线b，c都与a平行， 根据平行公理，这是不可能的． 也就是说，b与c不能相交，只能平行． 　　如图：三条直线a，b，c．如果b∥a，c∥a， 那么直线b与c可能相交吗？ a b 假设b与c相交， 设b与c相交于点P． P c 符号语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c． 假设b与c相交，设b与c相交于点P．因为b∥a，c∥a，于是过点P就有两条直线b，c与a平行，根据平行公理，这是不可能的．也就是说，b与c不能相交，只能平行．所以上面的结论是平行公理的推论．   12 平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行． 因为b∥a，c∥a，(已知） 所以b∥c．(如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行） a b c 总结： 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 设计意图：通过观察和思考，使学生体验平行公理的探究过程，通过做一做，加深对平行公理中“唯一性”的理解，通过对结论的归纳，培养学生的归纳概括能力． 13 　　1．下列说法正确的是（ 　 ）． 　　A．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种 　　B．在同一平面内，不垂直的两直线必平行 　　C．在同一平面内，不平行的两直线必垂直 　　D．在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直 D 1．下列说法正确的是（ ）． A.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种 B.在同一平面内，不垂直的两直线必平行 C.在同一平面内，不平行的两直线必垂直 D.在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直 答案：D． 14 　　2．直线a，b，c，d在同一平面内，且a∥b，c∥a，d∥b，c与d平行吗？为什么？ 答：因为a∥b，c∥a， 　　所以b∥c（两直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行）． 　　又因为d∥b， 　　所以c∥d（两直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行）． 2．直线a，b，c，d在同一平面内，且a∥b，c∥a，d∥b，c与d平行吗？为什么？ 解析：要判定c与d是否平行，可以考虑利用定义或平行公理解答． 答案：因为a∥b，c∥a， 所以b∥c（两直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行）． 又因为d∥b， 所以c∥d（两直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行）． 15 　　3．如图所示，在∠AOB内有一点P． 　　（1）过P画l1∥OA； 　　（2）过P画l2∥OB； 　　（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样 　　关系？ P O B A 3．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 16 　　解：（1）（2）如图所示， 　　（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2； ∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补． P O B A l1 l2 2 1 解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补． 设计意图：通过练习加深对直线位置关系的理解，同时培养学生由几何语言转化为几何图形的能力． 17 02 7.2.2 平行线的判定 　　把图（1）简化为如图（2），∠1与∠2构成同位角，它们具有怎样的位置关系？图中还有的同位角吗？ (1) E F 2 1 A B C D (2) 8 7 6 5 4 3 H G F E D C B A 2 1 把图（1）简化为如图（2），∠1与∠2构成同位角，它们具有怎样的位置关系？图中还有其他的同位角吗？ 19 7 4 8 6 5 3 H G F E D C B A 2 1 　　∠1与∠2在截线EF的同旁，在直线AB，CD的同侧．具有这种位置关系的两个角是同位角． 　　还有∠3与∠6，∠4与∠7，∠5与∠8分别也都是同位角． 师生活动： ∠1与∠2在截线EF的同旁，在直线AB，CD的同侧．具有这种位置关系的两个角是同位角，还有∠3与∠6，∠4与∠7，∠5与∠8分别也都是同位角． 20 　　练一练1：找出下列图形中的同位角． （1）∠1和∠4． （2）∠1和∠4；∠2和∠7；∠3和∠6． （1） （2） 练一练1：找出下列图形中的同位角． （1） 答案：∠1和∠4． （2） 答案：∠1和∠4；∠2和∠7；∠3和∠6． 设计意图：复习相关知识，为进一步学习直线平行的判定方法作准备． 21 　　思考：用直尺和三角尺画平行线的过程，三角尺起着什么样的作用？ 　　三角板的斜边边与靠在直尺上的直角边所成的角没有变． 　　∠1与∠2是三角板斜边与靠在直尺上的直角边所成的角移动前后的位置，显然∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？ 1．思考：我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线．在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？ 三角板的斜边与靠在直尺上的直角边所成的角没有变． 简化图 ∠1与∠2是三角板斜边与靠在直尺上的直角边所成的角移动前后的位置，显然 ∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？ 22 　　判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 　　简单说成：同位角相等，两条直线平行． 　　符号语言：∵∠1＝∠2（已知）， 　　　　　∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． F E D C B A 2 1 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两条直线平行． 符号语言：∵∠1＝∠2（已知）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． 设计意图：从实物抽象到几何图形，是学生能力的一种培养，通过学生的讨论，归纳总结，得出结论，使学生对平行的判定方法有一个深刻的认识，同时培养了学生的归纳总结能力． 23 　如图：你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？ 　　用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等，两条直线平行”，可知这样画出的就是平行线． F E D C B A 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？ 用直尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等，两直线平行”画出的平行线． 设计意图：通过对问题的解决，既培养学生的说理能力，又让学生体验生活中的数学现象，感受数学与生活的联系． 24 　　如下图所示：∠1与∠2是同位角，那么∠2与∠3，∠2与∠4具有怎样的位置关系？ 　　∠2与∠3是内错角：在截线c的两旁，被截线a，b的内部，具有这种位置关系的两个角是内错角． 　　∠2与∠4同旁内角：在截线c的同旁，被截线a，b的内部，具有这种位置关系的两个角是同旁内角． c b a 2 1 4 3 3．如下图所示：∠1与∠2是同位角，那么∠2与∠3，∠2与∠4具有怎样的位置关系？ ∠2与∠3是内错角：在截线c的两旁，被截线a、b的内部，具有这种位置关系的两个角是内错角． ∠2与∠4同旁内角：在截线c的同旁，被截线a、b的内部，具有这种位置关系的两个角是同旁内角． 设计意图：直截了当的切入本节课的中心内容，通过猜想、讨论，引起学生的探究欲望． 25 　　思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能否利用内错角，或同旁内角来判定两条直线平行呢？ 　　如下图，如果∠2＝∠3，能得出a∥b吗？ c b a 2 1 4 3 4．思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能否利用内错角，或同旁内角来判定两条直线平行呢？ 如下图，如果∠2＝∠3，能得出a∥b吗？ 26 　　判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 　　简称：内错角相等，两直线平行． 　　符号语言：∵∠2＝∠3（已知）， 　　　　　　　∴a∥b （同位角相等，两直线平行）． c a 2 1 4 3 判定方法2：两条直线被第三条直线所截如果内错角相等，那么这两条直线平行．（简称：内错角相等，两直线平行．） 符号语言：∵∠2＝∠3（已知）， ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． 27 推理过程：如图 ∵∠2＝∠3（已知） 而∠3＝∠1（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． c a 2 1 4 3 如上图： 推理过程：∵∠2＝∠3（已知）而∠3＝∠1（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． 28 　　判定方法3：两条直线被第三条直线所截如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 　　简称：同旁内角互补，两直线平行． 　　符号语言：∵∠2＋∠4＝180°（已知） 　　　 　　∴a∥b （同位角相等，两直线平行）． c b a 2 1 4 3 判定方法3：两条直线被第三条直线所截如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．（简称：同旁内角互补，两直线平行．） 符号语言：∵∠2＋∠4＝180°（已知） ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． 29 推理过程：用方法1推方法3 ∵∠2＋∠4＝180°（已知） 而∠1＋∠4＝180°（邻补角的定义）， ∴∠1＝∠2（同角的补角相等）， ∴a∥b （同位角相等，两直线平行）． c b a 2 1 4 3 推理过程：用方法1推方法3 ∵∠2＋∠4＝180°（已知）而∠1＋∠4＝180°（邻补角的定义）， ∴∠1＝∠2（同角的补角相等）， ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． 30 用方法2推方法3 ∵∠2＋∠4＝180°（已知） 而∠3＋∠4＝180°（邻补角的定义）， ∴∠2＝∠3（同角的补角相等）， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）． c b a 2 1 4 3 用方法2推方法3 ∵∠2＋∠4＝180°（已知）而∠3＋∠4＝180°（邻补角的定义）， ∴∠2＝∠3（同角的补角相等）， ∴a∥b (内错角相等，两直线平行)． 设计意图：让学生经历从图形到文字到符号的转换过程，使学生加深对数学语言的理解．发展推理能力，引导学生及时反思，养成更正、归纳的学习习惯． 31 　　练一练2：如图，BE是AB的延长线． 　　（1）由∠CBE＝∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ 　　（2）由∠CBE＝∠C可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ E D C B A AD∥BC，理由是同位角相等，两直线平行． AE∥DC，理由是内错角相等，两直线平行． 练一练2：如图，BE是AB的延长线． （1）由∠CBE＝∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ （2）由∠CBE＝∠C可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ 解：（1）由∠CBE＝∠A可以判定AD∥BC，理由是同位角相等，两直线平行． （2）由∠CBE＝∠C可以判定AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行． 设计意图：及时巩固平行线的判定方法． 32 　　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ 答：这两条直线平行．理由如下： 如图， ∵ b⊥a，c⊥a(已知)， ∴∠1＝∠2＝90°(垂直定义)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． b c 1 2 a 例　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 第一种情况：如下图． ∵b⊥a，c⊥a(已知)， ∴∠1＝∠2＝90°(垂直定义)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． 第二种情况：如下图，用内错角相等的方法写出理由． ∵b⊥a，c⊥a(已知)， ∴∠1＝∠2＝90°(垂直定义)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． 第三种情况：如下图，用同旁内角互补的方法写出理由． ∵b⊥a，c⊥a(已知)， ∴∠1＝∠2＝90°(垂直定义)． ∴∠1＋∠2＝180° ∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)． 所以 ． 从而 （同旁内角互补，两直线平行）． 第四种情况：如果 ， 不是同位角，也不是内错角、同旁内角，如下图，教师启发学生用化归思想将它转化为已知问题来解决，并且有条理地陈述理由： ∵b⊥a，c⊥a(已知)， ∴∠1＝∠2＝90°(垂直定义)． ∵ ， ∴ ． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． 设计意图：巩固平行线的判定方法，经过证明后得到：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 33 1．如图，下列判断不正确的是（　 ）． A．因为∠1＝∠4，所以DE∥AB B．因为∠2＝∠3，所以AD∥EC C．因为∠5＝∠A，所以AB∥DE D．因为∠ADE＋∠BED＝180°，所以AD∥BE C 5 4 3 2 1 E D C B A 1．如图，下列判断不正确的是（　 ）． A．因为∠1＝∠4，所以DE∥AB B．因为∠2＝∠3，所以AD∥EC C．因为∠5＝∠A，所以AB∥DE D．因为∠ADE＋∠BED＝180°，所以AD∥BE 答案：C． 34 4 3 F E D C B A 2 1 　　2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，使∠1=∠2≠90°，则（ 　）． 　　A．∠2＝∠4 　　B．∠1＝∠4　　　 　　C．∠2＝∠3 　　D．∠3＝∠4 D 2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，使∠1=∠2≠90°，则（ 　）． A．∠2＝∠4 B．∠1＝∠4　　　　C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 答案：D． 35 　　3．如图：∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180°， 则直线a，b，c的位置关系如何？ 解：因为∠1＝∠4（已知）， 所以a∥c （同位角相等，两直线平行）． 因为∠1＋∠3＝180°（已知）， ∠2＋∠3＝180°（互为邻补角）， 所以∠1＝∠2（同角的补角相等）． 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）， 所以a∥b∥c（平行与同一直线的两直线平行）． 3 d 4 2 1 c b a 3．如图：∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180°，则直线a，b，c的位置关系如何？ 解析：由∠1＝∠4，可知a∥c，可以猜想a∥b∥c．由图中可知∠2＋∠3=180°，而∠1＋∠3=180°，所以由“同角的补角相等”，可得∠1＝∠2，这样得到a∥b．再由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行”，得到a∥b∥c． 解：因为∠1＝∠4（已知）， 所以a∥c （同位角相等，两直线平行）． 因为∠1＋∠3＝180°（已知）， ∠2＋∠3＝180°（互为邻补角）， 所以∠1＝∠2（同角的补角相等）． 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）， 所以a∥b∥c（平行与同一直线的两直线平行）． 设计意图：巩固平行线的判定方法． 36 　　总结，平行线的判断方法： 　　（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 　　（2）同位角相等，两直线平行． 　　（3）内错角相等，两直线平行． 　　（4）同旁内角互补，两直线平行． 　　（5）在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线平行． 平行线的判断方法： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （2）同位角相等，两直线平行． （3）内错角相等，两直线平行． （4）同旁内角互补，两直线平行． （5）在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线平行． 设计意图：培养学生对知识点的归纳能力及语言表达能力，鼓励学生大胆发言，让学生在交流中收获本节课的主要知识点——平行线的判定，并体验到成功的喜悦． 37 03 7.2.3 平行线的性质 　　通过上一节的学习我们知道了两条直线平行的判断方法．反过来，如果两条直线平行，那么各角之间又有什么样的关系呢？ 8 7 6 5 4 3 2 1 c b a 2．如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系？导入新课． 设计意图：通过问题引入，引起学生的探究欲望，激发学生的学习兴趣．带着问题进入新课学习，并由学生先猜想，激发了他们参与的热情，提高课堂学习效果． 39 8 7 6 5 4 3 2 1 c b a 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 　　探究：利用坐标纸上的直线，或者用直尺和三角尺画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与这两条平行线相交，标出如图的角（下图）． 度量这些角，把结果填入下表： 120° 60° 120° 60° 120° 60° 120° 60° 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直线截得的同位角的关系． 1．探究：利用坐标纸上的直线，或者用直尺和三角尺画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与这两条平行线相交，标出如图的角（下图）． 度量这些角，把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数         角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数         ∠1~∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？ 40 　　请仔细分析一下前面所得出的结论，观察它们的表现形式，你可以将它们的关系分为哪几类呢？ ∠4+∠5=180°， ∠3+∠6=180°， ∠1+∠8=180°， ∠2+∠7=180°， …… ∠1=∠5， ∠2=∠6， ∠3=∠7， ∠4=∠8． ∠2=∠8， ∠3=∠5， ∠1=∠7， ∠4=∠6． 相等 互补 两类 41 两条平行线被第三条直线所截，同位角 ，(相等)内错角 ，（相等）同旁内角 ．（互补） 　　再任意画一条截线d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？ （成立） 　　如果直线a与b不平行，你的猜想还成立吗？ （不成立） 8 7 6 5 4 3 2 1 c b a d 8 7 6 5 4 3 2 1 c b a 再任意画一条截线d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？（成立） 如果直线a与b不平行，你的猜想还成立吗？（不成立） 计意图：通过动手画图，度量角度等简单易行的操作调动所有学生参加到课堂教学的活动中来，再通过自己的独立思考，小组交流验证自己的结论是否正确，使学生体验到成功的喜悦，使学生乐学爱学． 42 一般地，平行线具有性质： 性质1　两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 符号语言：∵AB∥CD（已知）， 　　∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）． F E D C B A 2 1 一般地，平行线具有性质： 性质1　两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 符号语言：∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）． 设计意图：探究平行线的性质是本节课的教学重点，让学生充分经历动手操作——独立思考——合作交流——得出猜想的探究过程，突出重点．锻炼学生的归纳、表达能力，鼓励学生敢于发表自己的观点． 43 如图，因为a∥b，c是截线． 所以∠1＝∠2．（两直线平行，同位角相等） 又∠1＝∠3（对顶角相等）， 所以∠2＝∠3（等量代换）． 　　思考：上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能根据性质1，推出两条平行线被第三条直线所截得的内错角之间的关系吗？ c b a 2 1 4 3 2．思考：上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能根据性质1，推出两条平行线被第三条直线所截得的内错角之间的关系吗？ 如图，因为a∥b，c是截线． 所以∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等） 又∠3＝∠1（对顶角相等）， 所以∠1＝∠2（等量代换）． 44 性质2　两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 符号语言：∵a∥b（已知）， 　　∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）． c b a 2 3 这样，我们就得到了平行线的性质2： 性质2　两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 符号语言：∵a∥b（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）． 设计意图：帮助学生理解文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化，为今后进一步学习推理打下基础． 45 　　类似地，由“两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于同旁内角的性质吗？ 如图， 因为a∥b，c是截线． 所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠1＋∠4＝180°（邻补角的定义）， 所以∠2＋∠4＝180°（等量代换）． c b a 2 1 4 3 3．类似地，由“两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于同旁内角的性质吗？ 因为a∥b，c是截线． 所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）． 又∠3＋∠4＝180°（邻补角的定义）， 所以∠2＋∠4＝180°（等量代换）． 这样，我们就得到了平行线的性质3. 46 性质3　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言： ∵a∥b（已知）， ∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． c b a 2 4 性质3　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言：∵a∥b（已知）， ∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 设计意图：引导学生从“说点儿理”向“说清理”过渡，由模仿到独立操作逐步培养学生的推理能力． 47 　　例　如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ D C B A 例　如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ 48 　　解：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行， 　　所以根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补． 　　于是∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°， 　　∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°． 　　所以另外两个角分别是80°，65°． D C B A 解：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补． 于是 ∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°， ∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°． 所以梯形的另外两个角分别是80°，65°． 设计意图：应用平行线的性质3来解决问题，巩固平行线的性质，提高学生分析问题解决问题的能力． 49 　　1．如图，添加 （只需写出一个条件，可使AB∥CD），你的根据是 ． 　　答案：∠C＝∠2；同位角相等，两直线平行；（或∠C＝∠4；内错角相等，两直线平行；或∠C＋∠3＝180°；同旁内角互补，两直线平行）． D C B A 4 3 2 1 1．如图，添加 （只需写出一个条件，可使AB∥CD），你的根据是 ． 答案：∠D＝∠2；同位角相等，两直线平行；（或∠D＝∠4；内错角相等，两直线平行；或∠D＋∠3＝180°；同旁内角互补，两直线平行）． 50 2．如图，如果a∥b则下列结论： （1）∠1＝∠2； （2）∠1＝∠3； （3）∠3＝∠2 正确的个数是（ 　）． A．0个 　　 B．1个 　 　C．2个　　 D．3个 D c b a 3 2 1 2．如图，如果a∥b则下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠1＝∠3；（3）∠3＝∠2正确的个数是（ ）． A．0个 　　 B．1个 　 　C．2个　　 D．3个 答案：D． 51 　　3．如图，AB∥CD，∠D＝∠C，∠1＝45°，求∠B，∠C，∠D的度数． 解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠D＝∠1＝45°（两直线平行，同位角相等）． ∵∠D＝∠C（已知）， ∴∠C＝45°（等量代换）， ∴∠B＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B＝180°－45°＝135°． D C B A 1 3．如图，AB∥CD，∠D＝∠C，∠1＝45°，求∠B，∠C，∠D的度数． 解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠D＝∠1＝45°（两直线平行，同位角相等）． ∵∠D＝∠C（已知）， ∴∠C＝45°（等量代换）， ∴∠B＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B＝180°－45°＝135°． 52 解：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠1＝∠B，∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＋∠2＝∠BED＝100°（已知）， ∴∠B＋∠D＝100°（等量代换）． ∴∠D＝100°－∠B＝100°－40°＝60°． 　　4．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠BED＝100°， 求∠D的度数． E D C B A F 2 1 4．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠BED＝100°，求∠D的度数． 解：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠1＝∠B，∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＋∠2＝∠BED＝100°（已知）， ∴∠B＋∠D＝100°（等量代换）． ∴∠D＝100°－∠B＝100°－40°＝60°． 设计意图：安排学生板演和讲解，锻炼学生的表达能力，同时培养学生的推理论证能力． 53 总结 　1．平行线的性质： 　　性质1．两直线平行，同位角相等． 　　性质2．两直线平行，内错角相等． 　　性质3．两直线平行，同旁内角互补． 　2．平行线的性质和判定的区别与联系： 　　区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 　　联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 例　如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ 54 感谢观看 55 $