精品解析：河北唐山市开滦第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025唐山市开滦第一中学高二下期中数学 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入计算可得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：B 2. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 【答案】B 【解析】 【分析】每位乘客都有4种选择，因此乘客下车的可能方式有种. 【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有种. 故选：B 3. 某人射击一次击中目标的概率是，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：此人恰有2次击中目标的概率为： . 故选：B. 4. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出值，求出随机变量X的均值，再根据其性质求解. 【详解】由题可知，解得. 所以， 所以. 故选：A 5. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 6. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在区间上函数值的正负，用排除法得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除A. 故选：C. 7. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 8. 若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出函数在切点出的切线方程，进而得到，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得到答案. 【详解】由，则切点为 求导，则切线斜率， 切线方程为，即 则 令，则，令，得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故当时，函数取得最小值，即的最小值为 故选：C 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法： (1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：． (2)已知斜率k，求切点，即解方程. (3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可． 二、多选题 9. 下列求导数运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】赋值法即可求解所有项的系数和.根据二项式展开的通项特征可求指定项的系数. 【详解】令，得，故A错误；令得，即，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得，所以．故D正确． 故选:BCD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 存在b，使得恰有1个零点 B. 是的极小值点 C. 存在m，n，使得函数为奇函数 D. 若存在两个极值点且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】取，求出零点判断A；举例说明判断B；取，计算判断C；求出极值点求解判断D. 【详解】对于A，取，由，解得，A正确； 对于B，求导得，当时，0不是极值点，B错误； 对于C，取，， 令，，即函数是奇函数，C正确； 对于D，函数的零点为，由存在两个极值点，得， 是两个变号零点，因此是的两个极值点， 则，整理得，解得，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】-30 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项公式，再结合两个二项式相乘，即可求得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：-30 13. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为1，则发送的信号是0的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有 . 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 故答案：. 14. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料 （1）杨辉三角中第8行的各数之和为_______. （2）记第行的第个数为，则_______. 【答案】 ①. 256 ②. 【解析】 【分析】根据条件，分析可得第8行的各数之和为，计算即可得答案；分析可得，代入整理，结合二项式的展开公式，即可得答案. 【详解】杨辉三角中第8行的各数之和为 记第行的第个数为，则， 则. 四、解答题 15. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）256 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据分步计数乘法原理即可得答案； （2）只需利用分步计数乘法原理，求出除甲乙外的其余2人观看影片的不同方法即可； （3）利用分步计数乘法原理，先选两名同学看同一部电影，再选看哪部电影，进而可得答案, 【小问1详解】 现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看， 每位同学都有4种观看方法， 所以不同的选择方法共有种； 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以只需确定其余2人观看影片的不同方法，共有种 ； 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片, 先选两名同学看同一部电影，再选看哪一部电影， 最后两名同学在剩余的三部电影中分别选一部观看， 所以不同的选择方法有种. 16. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求a的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）1； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后结合垂直斜率关系计算求参； （2）应用导函数的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以，又函数在点处的切线与直线垂直， 所以，解得，即a的值为1. 【小问2详解】 由（1）知，，令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为、，单调递减区间为， 又，，所以的极大值为，极小值为. 17. 已知． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数的性质求解即可. （2）利用二项式定理求解指定项系数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 可得， 化简得，解得(另一个根舍去)，故的值为10. 【小问2详解】 由上问得，所以， 由二项式定理得通项展开式为， 令，解得，所以项的系数为. 18. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 【答案】（1）； （2）选择投票给学生甲；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可. 【小问1详解】 由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为：. 【小问2详解】 令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则；；． 所以． 由题意，随机变量，所以． 又，． 所以，， 可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定， 所以选择投票给学生甲． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若只有一个零点，求的取值范围； （3）设，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后根据的范围分类讨论即可求解； （2）设，由题意得只有一个根，由导数得出的单调性进而画出简图，数形结合即可求解； （3）当时，，设，根据导数进而得出，即可求解． 【小问1详解】 ， 当时，，所以在单调递增， 当时，令，解得， 当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 令，则， 设，由题意得只有一个根， 则，令，解得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，又当时，，画出简图，如图所示， 因为只有一个根，所以或． 【小问3详解】 由， 令，则，故， 当时，， 以下证明，设， 则， 令，则，令，解得， 当，，则在单调递减， 当，，则在单调递增， 所以，即， 所以时，，则在单调递减， 所以时，，则在单调递增， 所以， 综上所述，实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025唐山市开滦第一中学高二下期中数学 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 3. 某人射击一次击中目标的概率是，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 8. 若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 1 二、多选题 9. 下列求导数运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 存在b，使得恰有1个零点 B. 是的极小值点 C. 存在m，n，使得函数为奇函数 D. 若存在两个极值点且，则 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 13. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为1，则发送的信号是0的概率为________. 14. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料 （1）杨辉三角中第8行的各数之和为_______. （2）记第行的第个数为，则_______. 四、解答题 15. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 16. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求a的值； （2）求的单调区间和极值. 17. 已知． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 18. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若只有一个零点，求的取值范围； （3）设，若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $