6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1.1 初识分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新知探究 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 完成一件什么事 如何完成这件事 “给一个座位编号” 用大写英文字母编号，26种 用阿拉伯数字编号，10种 分析： “两类方案” 这两类号码数相加就得到号码的总数：26＋10＝36种. m n m＋n 作者编号：32100 概念生成 如果完成一件事有两类不同方案， 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 注意：两类不同方案中的方法互不相同 一、分类加法计数原理 作者编号：32100 典例剖析 例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表. A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学   如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 典例剖析 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学   分析：1. 要完成的一件事 2. 如何完成 “选专业” “在两所大学中选其中一所，且只能选一个专业” 解析：第一类：A大学专业，m＝5； 第二类：B大学专业，n＝4. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以可能的专业选择种数为N＝m＋n＝5＋4＝9. 分类 计数 求和 方法总结 利用分类加法计数原理解题的一般思路 (1)分类：对完成这件事的方案进行分类，要不重不漏； (2)计数：分别计算每一类方法的个数； (3)求和：把各类的个数相加，得出总数. 作者编号：32100 当堂训练 试一试：某校高一年级共 8 个班，高二年级共 9 个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有(　　) A．8 种 B．9 种 C．17 种 D．72 种 (1)核心：分类计数原理的核心就是分类，完成一件事的方法为若干类. (2)特点：各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方法都可以独立完成这件事。 C 解析：N＝m＋n＝8＋9＝17. 典例变式 例2 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B，C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表. 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ A大学 B大学 C大学 生物学 数学 金融学 化学 会计学 土木工程 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学   解析：N＝5＋4＋2＝11 新知推广 如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ m1＋m2＋m3 如果完成一件事有 n 类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ m1＋m2＋……＋mn 分类加法计数原理的推广： 作者编号：32100 当堂训练 1．家住 A 地的小明同学准备周末去 B 地旅游，从 A 地到 B 地一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次，则小明乘坐这些交通工具去 B 地的不同方法有(　　) A．240 种　 B．180 种　 C．120 种　 D．90 种 解：根据分类加法计数原理，共有30＋20＋40＝90(种)不同方法． D 当堂训练 2．一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 . 9 解：5＋4＝9 当堂训练 3．设集合A＝{1，2，3，4}，m，n ∈A，则方程 ＝1表示焦点位于 x 轴上的椭圆有(　　) A．6 个 B．8 个 C．12 个 D．16 个 解：因为椭圆的焦点位于 x 轴上，所以 m＞n． 当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2； 当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6个． A 当堂训练 4. 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有 个. 十位 个位 1 2，3，4，5，6，7，8，9 2 3，4，5，6，7，8，9 …… …… 解析：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别有：8个，7个，6个，5个，4个， 3个，2个，1个. 由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有8＋7＋6 ＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 36 分析： 新知探究 思考：用 A、B、C、D、E、F 这 6 个大写英文字母和 1~9 这 9 个阿拉伯数字，以 A1、A2、…… B1、B2 ……的方式给教室里的座位编号，有多少种不同的号码？ 分析： 号码由一个英文字母和一个阿拉伯数字组成， 即得到一个号码要经过以下两个步骤. 第 1 步：选一个英文字母，有 6 种 第 2 步：选一个数字，有 9 种 作者编号：32100 新知探究 追问：能用树状图列出所有可能的号码吗？ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 树状图 字母 数字 得到的号码 … 由树状图可知，共有6×9＝54种不同的号码 9种 作者编号：32100 概念生成 如果完成一件事需要两个步骤， 做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意：只有各个步骤都完成才算做完这件事情. 二、分步乘法计数原理 作者编号：32100 例3 某班有男生 30 名、女生 24 名，从中任选男生和女生各 1 名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 2. 如何完成 1. 要完成的一件事 “分步” 分析： “选两名代表” 第 1 步：选一个男生，m＝30种； 第 2 步：选一个女生，n＝24 种； 共有不同选法的种数：N＝m×n＝30×24＝720 (先选男生，再选女生) 解析： 典例剖析 方法总结 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的方法分成若干步； (2)计数：分别计算每一步的方法数； (3)求积：把各类的个数相乘，得出总数. 作者编号：32100 例4 某班有男生 30 名、女生 24 名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，另有任课老师 9 名，选 1 名老师带领团队，共有多少种不同的选法？ 典例变式 完成一件什么事 怎么完成这件事 有什么要求 选两名班级代表和一名带队老师 1名男生，1名女生和1名老师 第1步： 第2步： 第3步： 从男生中选1名 从女生中选1名 30 24 从老师中选1名 10 总计N＝30×24×10＝7200种 新知推广 分步乘法计数原理的推广： 如果完成一件事有 n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，……，做第 n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 如果完成一件事有三个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第 3 步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 有m1×m2×m3种不同的方法 作者编号：32100 当堂训练 1. 从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 村去 C 村，不同路线的条数是 ． A B C 6 解析：3×2＝6 当堂训练 2. 某地地铁一号线正式开通的时候，两位同学同时乘坐地铁，已知该地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有( ) A. 15 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 64 种 C 3. 已知 x∈{2，3，7}，y∈{-3，-4，8}，则 x·y 可表示不同的值的个数为( ) A. 10 B. 6 C. 8 D. 9 D 1. 书架上第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法？ 分析： 要完成的一件事 怎样完成这件事 (1) (2) 从书架上任取1本书 分三类完成 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书 分三步完成 综合应用 1. 书架上第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法？ 解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层任取一本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层任取一本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层任取一本体育书，有2种方法。根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N＝4＋3＋2＝9. 综合应用 1. 书架上第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书. (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法？ 解：(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N＝4×3×2＝24. 综合应用 变式训练 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． (1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ (2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 解：从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法； 从高三年级的学生中选取1名，有4种选法； (1)从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有 3＋5＋4＝12种不同选法； (2)从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有 3×5×4＝60种不同选法. 课堂总结 回顾本节知识，回答以下问题： 1．分类加法计数原理的最主要特点是什么？ 各类中的每一种方法都可以单独完成一件事． 2．应用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？ 标准明确、不重不漏． 3．区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？ 关键看一步能否完成这件事，若能完成则是分类，否则，就是分步． 作者编号：32100 课堂总结 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情 注意点 不重不漏 步骤完整 作者编号：32100 $