浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试数学试题

浙江省温州市普通高中2026届高三二模 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.已知命题p:3x∈R,x2-x+1≤0，那么p为 A.x∈R,x2-x+1>0 B.3x∈R,x2-x+1>0 C.x∈R,x2-x+1≤0 D.3x∈R,x2-x+1≥0 【答案】A 【解析】p:(3x∈R,x2-x+1≤0台xeR,x2-x+1>0 2.双曲线 -2=1的实轴长为 2 A.1 B.2 C.2 D.2√2 【答案】D 【解析】上-x=1可化为上。 2 若万=la2=2a=2实长=2a-25 3.若(1-x=a+a,x+a2x2+…+ax5,则a-a+a2-43+a4-a的值为 A.0 B.16 C.32 D.64 【答案】C 【解析】令f(x=(1-x3=a,+a,x+a2x2+…+a,x5,则 a-a+a,-a+a4-a,=f(-l=[1-(-1]=25=32 4已知函数八)=simx+>0在区向(0 内恰有一个极值点，则⊙可能的取值为 4 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】∫'(x)=ocos 0x+ 4 π 极值点满足 +kπ ①X+ =0→0x+交=交+kx→x=4 42 -,k∈Z 由0<x< +k元 得0<4。 2 -< 台0<+k<。.区间内恰有一个极值点，故仅有k=0满足， 2 4 2 0<01 ≤1→ 24 。<0≤。.四个选项中只有0=2满足 2 5.已知正项等比数列{an}中，a5-4=15,a4-42=6,则a,= B.2 C.2 D.4 【答案】D 【解析】设公比为9，则q>0,且a,=a,g1, ag-1=15,ag3-q=6. g115g+g-912g-5g+2=0g=2成g-月 9-96q(g2-1) 2g2 又a93-q=6>0,且a>0.9>1,故9=2，a(8-2=6→a=1, 43=a492=4. 6甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩， 组织者对甲说：“很遗撼，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这 五名同学的名次排列的种数为 A.24 B.54 C.72 D.120 【答案】B 【解析】1P甲最后一名有C4=18个结果， Σ甲不是最后一名有CC24=36个结果，18+36=54 7.己知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为16π，若圆台内接于球0，则球O的半径为 A.2V2 B.V21 c2v21 D.√2I 3 3 【答案】C 【解析】设圆台母线长为1，高为h,则π(1+3)1=16π→1=4 又12=h2+(3-1)2→16=h2+4→h=2V3 作圆台的轴截面，得一等腰梯形，其上、下底长分别为2,6，高为2√5. 在截面内建系：下底端点为-3,0)，3,0)，上底端点为（-1，h),1,h), 设外接圆圆心为(0，c,半径为r,则2=32+c2=12+(h-c2 代入h=23,9+c2=1+(23-c2=13-45c+c2, 28_221 8.已知O为坐标原点，直线1与x轴交于Q点，与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，且0A.0B=-4,则 A OB-1 =1 B.jo4f "JOBf 111 111 C.OB4 D.OB4 【答案】D 【解析】Q(n,0),设AB:x=my+n,A(x,y),B(x2,y2) /”消回得4少=4n=0,4,式=空发163 =n2 4416 0A.0B=xx2+y2=n2-4n=-4,n=2,yy2=-8,x2=4 24 =1+m22B=v1+m2y 11 1 1 1y+y2 24 OB Vm2+1y m2+1y2 m2+1 y,y2 y-y2y+22-4y-6m2+32 非定值 8Vm2+1 8Vm2+1 8Vm2+1 11 1 1(y+2)2-2yy=116m2+16-1 o4QB2 (m2+1)(m2+1y m+1 m2+1 644 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9有一组样本数据x1,x2,…,xg,且x<x2<.<x,,平均数为x,中位数为M,现对这组数据做如下变换： 少，=+(i=1,2,…,9),得到一组新数据，y2,…,y,,则下列说法正确的是 A.新数据的极差等于原数据的极差 B.新数据的平均数等于x+5 C.新数据的方差大于原数据的方差 D.新数据的中位数等于M+5 【答案】BCD 【解析】原极差6一x,后来极差x,+9-x+1)=x-x,+8≠x。-x,A错 原平均数x,后平均数x+ 1+2+3++9=x+5,B对 9 现离散程度比之前离散程度大，即现方差比原方差大，C对 原中位数为M,现中位数M+5,D对： 方法二：由y41-y=(x41-x)+1>0,得<y2<…<, 对A,,-y=(,+9)-(x1+1)=x,-+8≠x)-x1,A错 则B7-号2g立+号2+58对 对cΣ--2-可-2[-+-列2-可 -2--列+52--2-列+9 名[4利x+3x-+23-+小+9>0放新数都的方差大于原 数据的方差，C对 对D,=x+5=M+5,D对 10.已知函数f(x)=x3-3a2x(a>0)的极大值点和极小值点分别记为x和x2,过点 Mx,f(x)月，N(x2,f(x,)月分别作x轴的平行线交f(x)的图象于点C,A过点M,N构造矩形 ABCD,如图所示，则下列说法正确的是 A.x2-x=2a B.点M为线段CD的三等分点 C.当a=1时，四边形ABCD为正方形 D.当a=1时，四边形AMCN为菱形 【答案】AC 【解析】f'(x=3x2-3a2=3x+a(x-a,x<-a→f'(x)>0, -a<x<a→f'(x)<0,x>a→f'(x>0,故x=-a,x3=a,则x2-x=2a,A对 M-a,2a3,Na,-2a3.由x3-3a2x=2a3→(x+a2(x-2a=0,得 C(2a,2a);由x3-3a2x=-2a3→(x-a2(x+2a=0,得A-2a,-2a） 故B2a,-2a）,D(-2a,2a3.对B,CD=4a,DM=a,MC=3a, DM:MC=1:3,B错 对C,当a=1时，AB=4,AD=4,故四边形ABCD为正方形，C对. 对D,当a=1时，A-2,-2),M(-l,2,C(2,2),N(1,-2,AM=V17,MC=3,CN=√17，NA=3,四边 形AMCN不是菱形，D错 l1.若曲线『满足条件：存在正数a和点PE厂，对于任意点A∈『，总存在点B∈『，使得PA·PB=a,则 称该曲线是“a-封闭曲线”，则下列曲线是“a-封闭曲线”的是 A.2x2+y2=1 B.x2+xy=1 C.x2+y2=sin2x+cos2y D.sin(x+2y)=2x-y 【答案】AC 1方于4改P0oh。是=1。 令a= 2 2 √2 符合，A正确， 对于B,显然x≠0，y= 1-上-1一x作出该函数图象：该图象是无界的，当PA→0时，但对给定的 PE「而言，PBm是一个具体的正数，PAPB→+o,矛盾，B错， 对于C,x2+y2=sin2x+cos2y,它关于x轴，y轴及坐标原点均对称且x2+y2≤2，.∴.该曲线「上的点均 在⊙：x2+y2=2的内部，图象是有界的，取P(0,0),设PAmn=元，PAmx=4取a=元μ，由 PA-PBl=2H,对YAer,PA∈2，，此时PB=∈2，川，C正确 对于D,当x→+oo时，y=2x-sinx+2y→+o(.2x→+o,sinx+2y)∈-1,1).曲线 sin(x+2y)=2x-y图象无界，当PA→+oo时，对给定的P廷T而言，PBmn是一个具体的正数，此时 PAPB→+o,这与PAPB=a,a为有限数矛盾，D错 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.card(A)表示有限集合A中元素的个数，已知card(AUB)=25,card(A)=22,card(B)=20,则 card(A∩B)= 【答案】17 【解析】card(A0B)=card(A)+card(B)-card(AUB)=22+20-25=17 13.若i为虚数单位，则i+2i2+3i+…+100= 【答案】-6+5i 【解析】设s=i+22+33+…+100, 则s=i+2i2+33+4)+53+6i+7i+8）+(92+100） i+22+33+4=i-2-3i+4=2-2i,53+66+7i7+88=5i-6-7i+8=2-2i, 9°+100=9i-10.∴.s=(2-21)+(2-2i)+(9i-10)=-6+5i 14.已知圆0，：(x+1)2+y2=1与圆02：(x-2)2+(y-3)2=r2,则圆0,02的公切线最多有 条；该情 况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是 【答案】4：217 【解析】公切线最多有四条，且⊙02半径为2时，⊙0，与⊙02的两条公切线一条为y轴(x=0)(记为()， 另一条为y=1(记为12)，另两条为马，14，设两侧公切线满足1⌒l2,l3⌒1,14⌒l均在y轴，方程为 y=kx+b, 02 k+6-1 [k-9+面[k-9-回 0-1,0),022,3), Vk2+1 8 或 8 2k+b--2 6=3+7 6=3-17 Vk2+1 2 2 直线，y= 173+:9-i73- 8 8 2 -41+⑦）7-1、 直线0.0，：y=x+1.=-3xn=9+7 2 XE= DE7..S.m=7x427 9-17 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.如图所示，三棱锥A-BCD中，BC⊥BD,AD⊥BD,且BC=√2，BD=AD=L,E,F分别为 AB和CD的中点 (I)证明：BD上存在点P,使得AD/面PEF; (②)当<DA,BC>=元时，求二面角B-AC-D的正弦值 4 【解析】(I)证明：取BD中点P,E为AB中点，∴.AD/PE ADa[平面PEF,PEC平面PEF,.ADII平面PEF (2)如图建系，.B(0,0,0,C(V2,0,0,D(0,1,0),设Aml,n UA E D DA=(m0,n,BC=(2,0,0) π DA.BC √2m √2 ∴.C0S 4 DA BCm+2 今m=n>0 -aoc-是1-90-i10 设平面ABC与平面ACD的一个法向量分别为川=(，乃，)，”2=(x2,y2,2) 「V2x=0 √2 2.→n=(0,1-2), -y-23=0 2 75-%之=0→=2.- -V2x2+y2=0 2√2√6 设二面角B-AC-D的平面角为0.cos0= 3x23 sino=3 3 16.已知函数f=lnr+ax+2,be0,l） (1)当a=0时，若f(x)的值域为0，+o),求b的值； (2)若x=1为f(x)的极小值点，求实数a的取值范围 【解折】0当a=0时，f到=r+/到=会=- xx-x 当0<x<b时，f'(x<0,当x>b时，f'(x)>0, ∴.∫(x)在x=b处取得最小值， x→0*→fx)→+0，x→+0→f(x)→+0 ∴f(x)mn=fb)=lnb+1 ~f(x的值域为[0，+o),lnb+1=0→b=1 ②f(刘=1+a-b-a2+x-b 4x2 x2 :x=1为f(x的极小值点，f'(1)=0→a+1-b=0→a=b-1 代入得f=6-1r+r-b_(x-[b-x+b] x2 x2 要使x=1为极小值点，则x=1附近应有(b-1x+b>0,2b-1>0→b> 又be(0,2h<1a=-10 故a的取值范围为 17在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算 法：“向正方向姿态修正一次”记为+1个单位，向“负方向姿态修正一次”记为-1个单位 (1)求6次姿态修正后达到+2个单位的概率： (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到+2个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到-2个单位（需紧急千预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽） (①)求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； (D设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求E(X） 【解析】 (1)6次姿态修正达到+2，说明4次向正方向，2次向负方向 sp-c (2)①记事件A为能源耗尽，事件B为校准到位 c(9 .P(B A) P(AB) P(A (①)X的所有可能取值为2,4,6 Px==+x== nx-n-c X的分布列如下 6 :E(X)=2x+4×2+6x=7 4 ×42 sin(A+C)a2+c2+ac 18.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为4，b,C,且 sin(A-C)a2-c2 (I)求B; (2)若c=1,点D在AC上，直线BD上一点P满足CB.CP=CD.CP,在点C和点D的变化过程 中， (①)求PA2+PC2的最小值； (①当PA2+PC2最小时，求BABD的值 【解析】()由正弦定理。= sinA sinC 得 sin(A+C）_ sin2A+sin'C+sinAsinC sin(A-C) sin2A-sin2C 又sin2A-sin2C=sin(A+C)sin(A-C）,故sin2(A+C)）=sin2A+sin2C+sinAsinC. sin2(A+C)-sin2A-sin'C=2sinAsinCcos(A+C)=sinAsinC.机密★考试结束前 温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 数学试题卷 2026.4 本武卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 考生须知： 1.答卷前，考生务必用黑色宇迹钢笔或签字笔将自己的姓名.准考证号填写在答题卷上.将 条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处” 2.作答选择题时，选出每小题答聚后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答秦信息点 涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答橐，答案不能答在试題卷上 3。非进择题必须用黑色字迹钢笔或签宇笔作答，答素必须写在答题卷各题目指定区城内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答素：不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答泰无放 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠.不要弄破 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知命题p:3x∈R,x2-x+1≤0，那么p为（▲） A.x∈R,x2-x+1>0 B.3x∈R,x2-x+1>0 C.x∈R,x2-x+1≤0 D.3x∈R,x2-x+1≥0 2.双曲线兰-？=1的实轴长为（▲） 2 A.1 B.√5 C.2 D.2√2 3.若(1-x)3=a+ax+a2x2++ax3，则a-a1+a2-43+a4-a的值为（▲） A.0 B.16 C.32 D.64 4已蜘函数/心)=加(@x+孕@>0)在区间习内恰有-个极值点，则m可能的取值为 (▲) A B.2 C.2 D.4 5.已知正项等比数列{(an}中，a5-a=15,a4-a2=6,则4=（▲） B. 1-2 C.2 D.4 高三数学试题卷第1页（共4页） 6.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人 去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未金到冠军.”对乙说：“你当然不会是最 差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（▲） A.24 B.54 C.72 D.120 7.已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为16π，若圆台内接于球0，则球0 的半径为（▲） A.2N2 √21 2W21 B. D.√2i 3 3 8.已知O为坐标原点，直线1与x轴交于Q点，与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，且 0A0B=4,则（▲） 1 1=1 1o41o4 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.有一组样本数据，x2,x,且为<x2<…<x,平均数为x,中位数为M,现对这组数 据做如下变换：y=x+i(亿=1,2，，9)，得到一组新数据y,y2,…,,则下列说法正确的 是（▲） A.新数据的极差等于原数据的极差 B.新数据的平均数等于x+5 C,新数据的方差大于原数据的方差 D.新数据的中位数等于M+5 10.已知函数f(x)=x2-3a2x(a>0)的极大值点和极小值点分别记为x和x,过点 M(,∫)，N(:,∫3)分别作x轴的平行线交∫(x)的图象于点C,A,过点M,N构造 矩形ABCD,如图所示，则下列说法正确的是（▲） Ax2-为=2a B.点M为线段CD的三等分点 0 C.当a=1时，四边形ABCD为正方形 D.当a=1时，四边形AMCN为菱形 第10题图 高三数学试题卷第2页（共4页） 11.若曲线T满足条件：存在正数a和点PT,对于任意点A∈工，总存在点B∈T,使得 PAPB=a,则称该曲线是“a封闭曲线”，则下列曲线是“a封闭曲线”的是（▲） A.2x2+y2=1 B.x2+y=1 C.x2+y2=sin2x+cos2y D.sin(x+2y)=2x-y 非选择题部分（共2分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答秉填在题中的横线上 12.card(A)表示有限集合A中元素的个数，已知card(AUB)=25,card(4)=22,card(B)=20, 则card(AnB)=▲ 13.若i为虚数单位，则+22+3++10i10=▲ 14.已知圆01：(c+1)2+y2=1与圆02：(x-2)2+0y-3)2=2,则圆01,02的公切线最多有 △条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在轴上，则另外三个交点围成的三 角形面积是▲。 四、解答题：本大题共5小题，共7门分.解答应写出文宇说明。证明过程或流算步骤 15.(本小题满分13分)如图所示，三棱锥A-BCD中，BC⊥BD,AD⊥BD,且BC=√2， BD=AD=1,E,F分别为AB和CD的中点. (1)证明：BD上存在点P,使得AD∥面PEF; (2)当<DA,BC>=亚时，求二面角B-AC-D的 正弦值， 第15题图 16.(本小题满分15分)已知函数f问=血x+x+。,b∈0，). (1)当a=0时，若f(x)的值域为[0，+o),求b的值： (2)若x=1为f(x)的极小值点，求实数a的取值范围. 高三数学试题卷第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下 完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为+1个单位，向“负 方向姿态修正一次”记为一1个单位. (1)求6次姿态修正后达到+2个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到+2个单位（校准到位）： 情况2：累计姿态偏移达到一2个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. ()求在能源耗尽的条件下校准到位的概率： ()设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求E(X幻. 18.(本小题满分17分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin(A+C)a2+c2+ac sin(A-C) a2-c2 (1)求B: (2)若c=l,点D在AC上，直线BD上一点P满足CB.CP=CD.CP, 在点C和点D的变化过程中， (i)求PA2+PC2的最小值： (i)当PA+PC2最小时，求BABD的值 19.(本小题满分17分)已知曲线B:女+ 4+京=16>0)与点P(W5,0),0为原点，动点2∈E, 且∠OP2的最大值为 41 (1)求曲线E的方程： (2)已知有n+1个点A,A,A2,·,A按逆时针顺序依次在E上，且A(2,0),A(-2,0) (i)当A,A关于y轴对称，且△O44的面积为1时，求直线A2A的斜率： (i)当△OA-141≤k≤n)的面积都相等时，记多边形AA42An的周长为Cn.若对于 HneN°，都有Cn<入，求整数入的最小值. 高三数学试题卷第4页（共4页）