2.3 培优课3 利用递推关系求通项-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

培优课3　利用递推关系求通项 　　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用. 题型一　an与Sn的关系型 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，＝－nan＋2(n∈N*)，则＝(　　) A.190 B.210 C.380 D.420 (2)(多选)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，数列{bn}的前n项积为Tn且Tn＝，下列说法正确的是(　　) A.Sn＝ B.{bn}为递减数列 C.＝ D.an＝－) 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)数列{an}中，n∈N*，＝－nan＋2，当n≥2时，Sn＝an－(n－1)＋2，两式相减得＝－(n＋1)an＋(n－1)，即(n＋1)an＝(n－1)，因此(n＋1)nan＝n(n－1)，显然数列{(n＋1)nan}是常数列，而S2＝a2－a1＋2，解得a1＝1，于是(n＋1)nan＝2×1×a1＝2，因此an＝，所以＝＝210.故选B. (2)当n＝1时，2a1＝a1＋，解得a1＝(舍负)，当n≥2时，2Sn＝Sn－＋，即－＝2，且＝2，所以数列{}是首项为2，公差为2的等差数列，所以＝2＋2·(n－1)＝2n.又an＞0，所以Sn＝，故A正确；当n≥2时，有an＝－＝－).取n＝1时，a1＝－)＝，符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝－)，故D正确；因为数列{bn}的前n项积为Tn且Tn＝＝2n，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，bn＝＝＝＝＝1＋，显然n＝1不适用，故数列{bn}的通项公式为bn＝显然b1＝b2＝2，所以数列{bn}不是递减数列，故B错误；由当n≥2时，bn＝，得＝＝，故C正确.故选ACD. 规律反思 　　递推关系中同时含有Sn与an的形式，求解数列{an}的通项公式时借助关系an＝操作时一般有以下两种思路： 思路一：将条件中所有的an转化为Sn的形式，即使得递推关系中只含有Sn，进而视{Sn}为新数列，先求出Sn的通项公式，再结合an＝求出an. 思路二：将条件中所有的Sn形式退位，再将原递推关系式与退位过后的递推关系式作差，将其转化为只含有an的形式，再构造等比或等差数列求出{an}的通项公式. [注意]　an＝Sn－的应用条件为“n≥2”. 预测练1.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n∈N*)，则an＝(　　) A.n－1 B.n C.n＋1 D.n＋2 答案：C 解析：当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝①，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)＝②，①－②并整理可得an＝n＋1，代入a1＝2验证符合，所以an＝n＋1.故选C. 预测练2.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，nan＝Sn＋n(n－1)(n∈N*)，设bn＝(－1)nan，则数列{bn}的前51项之和为(　　) A.－149 B.－49 C.49 D.149 答案：B 解析：因为nan＝Sn＋n(n－1)(n∈N*)，当n≥2时，nan＝n(Sn－)＝Sn＋n(n－1)，即(n－1)Sn－n＝n(n－1)，可得－＝1.又＝a1＝－1，所以是以－1为首项，1为公差的等差数列，所以＝－1＋n－1＝n－2，则Sn＝n(n－2).当n≥2时，＝(n－1)(n－3)，所以an＝Sn－＝n(n－2)－(n－1)(n－3)＝2n－3.当n＝1时，an＝2n－3也成立，所以bn＝(－1)nan＝(－1)n(2n－3)，可得数列{bn}的前51项之和为(1＋1)＋(－3＋5)＋…＋(－95＋97)－99＝2×25－99＝－49.故选B. 题型二　an＋1＝pan＋f(n)型 (1)在数列{an}中，a1＝5，＝3an－4，则数列{an}的通项公式为　　　　　　. (2)已知数列{an}满足＝3an－4n－5，a1＝5，则数列{an}的通项公式为　　　　　　. (3)在数列{an}中，a1＝－1，＝2an＋4·，则an＝　　　　　　. 答案：(1)an＝3n＋2　(2)an＝－＋2n＋　(3)an＝4·－5· 解析：(1)法一：(构造法)由＝3an－4，设－λ＝3(an－λ)，即＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2，则－2＝3(an－2).又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2. 法二：(不动点法)令3x－4＝x，解得不动点x＝2.由＝3an－4，得－2＝3(an－2)，所以数列{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2. (2)由＝3an－4n－5，设＋λ(n＋1)＝3(an＋λn)＋m，即＝3an＋2λn－λ＋m，故－2(n＋1)＝3(an－2n)－7.令bn＝an－2n，则上式为＝3bn－7. 法一：(构造法)设＋k＝3(bn＋k)，即＝3bn＋2k，故2k＝－7，k＝－，所以数列是首项为－，公比为3的等比数列，则bn－＝－，bn＝－＋，故an＝－＋2n＋. 法二：(不动点法)令3x－7＝x，得x＝，由＝3bn－7得－＝3(bn－)，所以数列是首项为－，公比为3的等比数列，则bn－＝－，bn＝－＋，故an＝－＋2n＋. (3)法一：原递推式可化为＋λ·3n＝2(an＋λ·).比较系数得λ＝－4，故－4·3n＝2(an－4·)，则数列{an－4·}是首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，所以an－4·＝－5·，即an＝4·－5·. 法二：将＝2an＋4·的两边同除以3n＋1，得＝＋，令bn＝ ，则bn＋1＝bn＋.设bn＋1＋k＝(bn＋k)，比较系数得k＝－，则＝，所以是以－为首项，为公比的等比数列，所以bn－＝(－)·()n－1，则bn＝－·()n－1，所以an＝3n·bn＝4·3n－1－5·2n－1. 规律反思 形如an＋1＝pan＋f(n)的数列通项公式的求法 1.构造法：构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列. 2.不动点法：(1)形如＝pan＋q的数列求通项公式的步骤：a.由x＝px＋q求出数列{an}的不动点，b.在递推公式＝pan＋q两端同时减去x，化简使其左、右两侧结构一致，c.构造数列求通项. (2)＝pan＋f(n)可转化为＝pbn＋k的形式求解. 学生用书⬇第33页 预测练3.已知数列{an}中，a1＝1，＝3an＋2，则an＝　　　　　　. 答案：2×－1 解析：因为＝3an＋2，所以＋1＝3(an＋1).因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，所以an＋1＝2×，所以an＝2×－1. 预测练4.已知数列{an}中，a1＝1，＝3an＋3n，则an＝　　　　　　. 答案：n· 解析：因为＝3an＋3n，所以－＝，所以数列是等差数列，公差为.又＝，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝n·3n－1. 题型三　＝pan＋q(a1＝a，a2＝b)型 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2＋3(n≥3)，则这个数列的通项公式为　　　　　　. 答案：an＝×＋(－1 解析：法一：(构造法)因为an＝2＋3，所以an＋＝3(＋).又a1＋a2＝7，所以{an＋}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋＝7×①.又an－3＝－(－3)，a2－3a1＝－13，所以{an－3}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3＝(－13)·(－1②，①×3＋②得4an＝7×＋13·(－1，所以an＝×＋(－1. 法二：(特征根法)数列{an}的特征方程为x2＝2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3.令an＝c1·(－1)n＋c2·3n，由故an＝－(－1)n＋·3n＝·3n－1＋(－1. 规律反思 　　形如a1＝m1，a2＝m2，＝p＋qan(p，q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2＝px＋q，① 若①有二异根α，β，则可令an＝c1αn＋c2βn(c1，c2是待定常数)； 若①有二重根α＝β，则可令an＝(c1＋nc2)αn(c1，c2是待定常数). 再利用a1＝m1，a2＝m2，可求得c1，c2，进而求得an. 预测练5.在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，＝3－2an，则an＝　　　　. 答案：2n－1 解析：由题意知－＝2(－an)，因为a2－a1＝2，所以{an－}是首项为2，公比为2的等比数列，an－＝(n≥2)，当n≥2时，an＝(an－)＋(－)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋2＋1＝＝2n－1.显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1. 题型四　＝型 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝　　　　. 答案： 解析：因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝.又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.所以＝1＋(n－1)×＝＋，所以an＝. 规律反思 求形如an＋1＝的通项公式的方法 　　两边同时取倒数转化为＝＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出bn的表达式，再求an. 预测练6.在数列{an}中，若a1＝1，＝，则an＝　　　　. 答案： 解析：取倒数得＝＋2，即－＝2(n≥1)，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝. 题型五　＝p(p＞0，an＞0)型 在正项数列{an}中，a1＝1，＝2，则数列{an}的通项公式为　　　　　　. 答案：an＝ 解析：取以2为底的对数，得到log2an＋1＝log2(2)，log2an＋1＝log22＋2log2an，log2＝1＋2log2an. 设bn＝log2an，则有＝1＋2bn，则＋1＝2(bn＋1)，所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n－1，所以bn＝2n－1－1，log2an＝2n－1－1，an＝. 规律反思 　　若an＋1＝p(p＞0，an＞0)，则构造＝q，最终求得通项. 、 预测练7.已知数列an＝＋3an－1＋，a1＝2，则log2(a5＋1)＝　　　　　　. 答案：31log23－15 解析：由an＝＋3＋可得an＋1＝＋1)2 .因为a1＝2＞0，根据递推公式可得出a2＞0，a3＞0，…，进而可知，对任意的n∈N*，an＞0，在等式an＋1＝＋1)2两边取对数，令bn＝log2(an＋1)，则bn＞0，可得bn＝2＋log2，则bn＋log2＝2(＋log2)，所以数列是等比数列，且首项为b1＋log2＝log2(a1＋1)＋log2＝log2，公比为2，所以b5＋log2＝24log2＝16(2log23－1)＝32log23－16，即log2(a5＋1)＝32log23－16－log2＝31log23－15. 学科网（北京）股份有限公司 $