1.6 探究课1 三角形中的特殊线段问题 [教考衔接]-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

探究课1　三角形中的特殊线段问题　[教考衔接] 【原题再现】　(链接人教B版必修第四册P22C组T2) 已知△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，且△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长. 解：(1)如图所示， S△ABD＝AB·AD·sin ∠BAD， S△ACD＝AC·AD·sin ∠CAD， 因为S△ABD＝2S△ACD，∠BAD＝∠CAD， 所以AB＝2AC. 由正弦定理可知＝＝. (2)因为BD∶DC＝S△ABD∶S△ACD＝2∶1，DC＝，所以BD＝. 设AC＝x，则AB＝2x， 在△ABD与△ADC中，由余弦定理可知， cos∠ADB＝＝， cos∠ADC＝＝， 因为∠ADB＋∠ADC＝π， 所以cos∠ADB＝－cos ∠ADC， 所以＝－， 解得x＝1，即AC＝1. 　　此类三角形模型问题是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和其对边上的任意一点构成的几何图形(如图所示)，且常出现在高考中.求解此类问题的常见解法是“邻补角策略”“算两次”，依据正、余弦定理列方程. 教考衔接 延伸探究1　三角形中的高线问题 1.h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度. 3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关. 学生用书⬇第21页 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高. 解：(1)因为A＋B＝3C， 所以π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0＜A＜， 所以sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理，＝， 可得AC＝＝2， 所以h＝AC· sin A＝2×＝6. 规律反思 　　解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和角来表示三角形的面积，然后解S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝×边长×h，求高h. 预测练1.(2025·江西上饶一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2. (1)求A； (2)若b＝3，BC边上的高为，求△ABC的周长. 解：(1)由b＝2⇒b＝b－asin B， 所以bcos＝asin B. 由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B，因为sin B≠0，所以cos＝sin A，即cos A＝sin A， 所以tan A＝，又A∈，所以A＝. (2)因为b＝3，BC边上的高为， 所以bsin C＝⇒sin C＝. 根据正弦定理＝⇒＝⇒a＝c. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A⇒a2＝9＋c2－3c， 所以c2＝9＋c2－3c⇒c＝2或c＝－6(舍去)， 所以a＝. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝＋3＋2＝5＋. 延伸探究2　三角形中的中线问题 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝，联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2.中线的向量表示：＝＋＋2｜｜·｜｜cos ∠BAC). 学生用书⬇第22页 推导过程：易知＝＋)，则＝＋)2＝＋＋｜｜·｜｜cos ∠BAC， 所以＝＋＋2｜｜｜｜·cos ∠BAC). (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E，于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 规律反思 解决三角形中线问题的常用方法 1.利用角互补(如本例中∠ADB与∠ADC互补，其余弦值互为相反数)及余弦定理求解. 2.利用中线长定理求解，但要书写其证明过程. 3.利用向量法求解. 预测练2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos C＝－. (1)求角B； (2)若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长. 解：(1)由cos C＝－， 得2bcos C＝2a－c. 利用正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C， 即2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C， 化简得sin C＝2sin Ccos B. 因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos B＝， 又因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由正弦定理得＝2⇒b＝3， 设D为AC边上的中点， 则AD＝CD＝，BD＝. 法一：在△BCD中，cos ∠CDB＝， 在△ABD中，cos ∠ADB＝. 因为∠ADB＋∠CDB＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠CDB＝0， 所以a2＋c2＝17. 由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B， 可得9＝c2＋a2－ac，即ac＝8， 由三角形的面积公式得S△ABC＝acsin B＝2. 又(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝17＋2×8＝33， 所以a＋c＝， 所以△ABC的周长为3＋. 法二：利用向量的加法法则得2＝＋， 两边平方得4＝＋＋2， 即25＝c2＋a2＋ac. 由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B， 得9＝c2＋a2－ac， 两式相减得16＝2ac，即ac＝8. 由三角形的面积公式得S△ABC＝acsin B＝2， 由25＝c2＋a2＋ac， 得(a＋c)2－ac＝25，a＋c＝， 所以△ABC的周长为3＋. 延伸探究3　三角形中的角平分线问题 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1.利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝. 推导过程：在△ABD中，＝； 在△ACD中，＝，联立两式可得＝. 学生用书⬇第23页 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即＝＝. 3.等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin∠BAC， 所以(b＋c)AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). (2025·山西吕梁一模)如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos A. (1)求∠BAC的大小； (2)若b＝4，c＝6，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长. 解：(1)由acos B＋bcos A＝2ccos A得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A. 又因为sin Acos B＋sin Bcos A＝sin＝sin C， 所以2sin Ccos A＝sin C. 又因为C∈，sin C＞0， 所以cos A＝. 又因为A∈，所以A＝. (2)因为S△BAD＋S△DAC＝S△BAC， 所以AB×ADsin∠BAD＋AD×ACsin∠DAC＝AB×ACsin∠BAC. 又因为AB＝c＝6，AC＝b＝4，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝， 所以6AD×＋4AD×＝6×4×， 所以AD＝. 规律反思 解决与三角形的角平分线有关问题的方法 1.利用角平分线定理找边之间的关系. 2.角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面积求解. 预测练3.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，4cos C＝b－csin A. (1)求A； (2)已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长. 解：(1)根据题意可得acos C＋csin A＝b， 由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B. 又sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C， 故sin Asin C＝cos Asin C. 又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则tan A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 所以bcsin∠BAC＝AM·c·sin∠BAM＋AM·b·sin∠CAM. 又AM平分∠BAC， 所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝， 所以bc×＝×c×＋×b×， 则bc＝(b＋c)，即bc＝(b＋c). 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即16＝b2＋c2－bc， 所以16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)， 解得b＋c＝2(负值舍去)， 故△ABC的周长为2＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $