1.5 培优课2 极化恒等式与等和(高)线-（教师用书）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

培优课2　极化恒等式与等和(高)线 一、极化恒等式及其应用 　极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点.则＝(｜AC｜2－｜BD｜2). (3)三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则＝｜AD｜2－｜BD｜2. 题型一　利用极化恒等式求值 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.＝4，＝－1，则的值为　　　　. (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则＋＝　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据极化恒等式，有＝＝－＝9n2－m2＝4，＝＝－＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝，m2＝.因此＝－＝4n2－m2＝.即＝. (2)易知四边形EFGH为平行四边形，连接EG，FH交于点O(图略)，则＝＝－＝1－()2＝，＝＝－＝1－()2＝，因此＋＝. 规律反思 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 第一步：取第三边的中点； 第二步：利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. [注意]　对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再应用极化恒等式. 预测练1.如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，若F为DE的中点，则的值为　　　　. 答案：4 解析：取BD的中点N，连接NF，EB，因为AB＝4，AE＝2，∠BAC＝60°，故BE⊥AE，所以BE＝2.在△DEB中，FN綊BE，所以FN＝，故＝2＝2(－)＝2×(3－1)＝4. 题型二　利用极化恒等式求最值(范围) (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)· 的最小值是　　　　. (2)平面向量a，b满足｜2a－b｜≤3，则a·b的最小值为　　　　. 答案：(1)－　(2)－ 解析：(1)如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(＋)·＝2，由极化恒等式得＝－ 2＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，(＋)·取得最小值－. (2)由极化恒等式知a·b＝＝≥＝－，当且仅当｜2a＋b｜＝0，｜2a－b｜＝3，即｜a｜＝，｜b｜＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值－. 规律反思 　　利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解. 预测练2.如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是　　　　. 答案：[0，2] 解析：由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，则＝－＝－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1， ]，所以∈[0，2]. 学生用书⬇第20页 二、等和(高)线及其应用 　　平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0. (1)(一题多解)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D.1 (2)(2025·河南南阳模拟)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A. B. C.2 D.2 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)法一(通法)：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝＋)＝＋＝＋＝＋－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.故选A. 法二(等和线法)：如图，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝.故选A. (2)设圆O与AB边相切于点E，连接DE，连接BO并延长交AC于点N，交DE于点P，易知N为圆O与AC切点.令＝λ＋μ，所以DE是定值k为1的等和线.AC是过圆上的点最远的等和线，则＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k'，则k'＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.故选C. 规律反思 利用等和线求系数和的值或最值(范围)的解题思路 　　一是确定值为1的等和线；二是平移该线，作出满足条件的等和线；三是从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 预测练3.(一题多解)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是　　　　. 答案：2 解析：法一：以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，则A(1，0)， B(－，)，设∠AOC＝α(α∈［0，］)，则C(cos α，sin α).由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 法二：令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图②，切点为点D，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $