河北黄骅中学2026届高三下学期一模数学试题

数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 则 A.{-1} B.{-1,3} C.{-1,0} D.{-1,0,3} 2.在平面直角坐标系中曲线 的长度为 A.π C.2π 3.等比数列{bn}中 则 A.2 B.±2 C.-2 D. 4.已知复数 则 A. B. C. D. 5.已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次.如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是(参考数据： A.5 B.6 C.7 D.8 6.我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先.某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量a=(sinx,cos2x),接收端参考信号抽象为向量b=(1, sinx),定义信号匹配度函数f(x)=a·b,则f(x)的最大值为 A. B. C. D. 7.已知函数 则函数y=|f(|x|-1)|的单调递增区间为 A. (1-e,0),(e-1,+∞) B. (-e-1,-2),(1,2),(e+1,+∞) C. (-e-1,-1),(e+1,+∞) D. (-e-1,-2),(-2,-1),(e+1,+∞) 8.已知抛物线 的焦点为F，过点 M(-1，0)作斜率为k的直线交抛物线于第一象限内的A，B两点,若|BF|=2|AF|,则k= A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.定义在 R 上的奇函数f(x)周期为2，则 A. f(2x)-f(2x+2)=0 B. f(-2x)+f(2x)=0 C. f(x)+f(2-x)=0 D. f(x)+f(2+x)=0 10.设数列{an}的前n项和为 Sn,若不存在i<j<k,(i,j,k∈N*),使得 成等差数列，则称{an}具有性质 P.则下列选项中数列具有性质 P 的有 A. B. C. D. 11.空间直角坐标系中，满足条件{(x，y，z)|0≤x≤y≤z≤1}的点构成一几何体，则该几何体 A.为正多面体 B.体积为 C.外接球体积为 D.内切球表面积为( 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知二项式 展开式中x³的系数为40，则实数a= . 13.函数 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是 ，焦距是 14.设定义在 R 上的函数 有三个不同的零点x₁,x₂,x₃,且. 则 的值是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本题满分13分) 在 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 asin(B-C)+bsin(A-C)=csinC. (1)证明: (2)若 求 面积的最大值. 16.(本题满分15分) 如图，直四棱柱 的底面ABCD 为直角梯形， 三棱锥 的体积是四棱柱 体积的 (1)证明: (2)若 求平面 与平面 夹角的余弦值. 17.(本题满分15分) 已知函数 (1)求函数f(x)的最大值; (2)已知 为数列 的前n项和，证明： 学科网（北京）股份有限公司 18. (本题满分17分) 已知椭圆E的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为F(1，0)，离心率为 直线 OA，OB 与椭圆E交于不同的两点A，B，且直线OA，OB的斜率之积为 (1)证明: 为定值； (2)以椭圆E上一动点M为圆心作与直线OA，OB均相切的圆，探究圆M的面积是否为定值，若是定值，求出圆M的面积，若不是定值，说明理由； (3)求四边形 OAMB 面积的最大值. 19.(本题满分17分) 单循环赛制是指所有参赛队伍(或选手)相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次.现有 n 支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军.并将第i 支球队的胜场数记为xᵢ，负场数记为yᵢ， (1)当n=6时，求单循环赛的总比赛场数，并计算 的值； (2)证明: (3)现n支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案与解析 1.D2.D3.A4.C5.A 6.C【解析】由题意f(x)=a·b=sinx+sinxcos2.x=2 sinxcos2x, 【法一】由cos2x=1-sin2x,得f(x）=2sinx-2sin3x, 令sinx=t,t∈[-1,1]，得g(t)=2t-2r3→g'(t)=2-612, 知0)在[-山，停]单调鳗流，在[-厚]单调诞增，在[停，】单洞适浅 又g(1D=0=g()-4, 得/八x)=a·b的最大值为4 9故选C 【法二】因为f(x)=2 sinxcos2x奇函数，又求其最大值，可只研究sinx>0,cos2x>0, sincocos (sinxcosx)2=4sin'x cos.cos 2 2≤4( 2 3 当且收当：：=行a=子时￥号成之， 故s)=2的最大位为4g故越C 7.B【解桥】由)=流e(0,1)U(1,+),且f()=nr, 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减，当x∈(1，e)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减， 当xE(e,+)时，'(x)>0,则八x)单调递增，且八x)=点在x=e取得极小值e得其简图如下左图所示 2 4 3 0 e 2 2 -10 又y=-)可由x)=点作如下变换得到，先将x)的图象向右平移一个长度单位，得到y=x 1)的图象，再将y=x-1)图象y轴左侧的图象去掉，y轴右侧的图象对称到y轴左侧，得到y=f(x|-1) 的图象，然后将y=∫(|x-1)的图象x轴下方的图象对称到x轴上方，去掉原来下方图象得到函数y= /代|x|-1)的图象如上右图.故选B. 【数学答案第1页（共8页）】 8.B【解析】如图，由题意知抛物线准线方程为1：x=-1, 延长BF交y2=4x于点C,由抛物线性质知，点A,C关于x轴对称. 分别过，点B,C作直线1：x=-1的垂线，垂足为B',C', IBFI =IBB'I,ICFI ICC'I, 过点C作直线BB的垂线，垂足为D,则ICCI=IDBI, 不妨设1CCI=x,得IBFI=2x,IBC1=3x, IDBI =IBB'I-IDB'I =2x-x=x, 0 2 在△00G中，LBBK=8-京宁，得LBB:2 3 即1B'M-2 IBFI 2,义1B=1Bg1,将-29 所以an∠BBM=22,又∠B'BM=∠BMF,故右=an∠BMF-2 故选B. 9.ABC 10.CD【解析】对于A选项，若an=c(c为常数)则取i=1,Jj=2,k=3,S1=c,S2=2c,S3=3c成等差数列，故常 数列不具有性质P. 对于B选项，若an=n,可取i=3,j=6,k=8,S3=6,6=21,Sg=36成等差数列，故不具有性质P. 对于C选项，a=2”,可得S,=2"+-2,S=2+1-2,S,=21-2,S4=2+1-2. 若S,S,S成等差数列，2+2-4=2+1-2+2+1-2，即2+2=2+1+21，又i<j<k-i,k-j均为正整数. 等式2+2=21+2+1两边同除以2+1得，2+1-=2-+1，左边为偶数，右边为奇数， 所以不存在i<j<k,(i,j,k∈N),使得S,S,S4成等差数列.故an=2”具备性质P. 对于D选项，an=n!得Sn=1！+2！+3！+…+n. 当1≤i<j<k时，S:=1！+2!+3!+…+i!,S=1!+2!+3!+…+j1,Sg=1!+2！+3!+…+k! 若S4-S=(0+1)！+(G+2)！+…+k!, 得S-S:=(i+1)！+(i+2)！+(i+3)！+…+j川， 而(G+1)!=(G+1)j!>1！+2!+3!+…+1, 所以(0+1)！+(G+2)!+…+k!>1!+2!+3!+…+j!>(i+1)！+(i+2)川+(i+3)！+…+j!=S-S 即S-S>S-S.所以S,S,Sk不成等差数列，则D选项数列具有性质P. 综上，故选CD ,0≤x≤1 11.BCD【解析】由条件(x,y,z)I0≤x≤y≤z≤1}可知所有，点一定在0≤y≤1围成的正方体内，再由x≤y, l0≤z≤1 y≤a,可知满足条件的，点构成图中的三棱锥O-ABC.经计算得BCD正确，故选BCD. 12.±2【解析】(x-a)5的展开式的通项公式为T,+1=C5x-(-a)',r=0,1,2,…,5,所以x3的系数为 C(-a)2=40,解得a=±2.故答案为±2. 【数学答案第2页（共8页）】 13.23 3 8【解标】由通敏)-92的国家清近战为y=停：和y,知共 断近线夫角为60°，若曲线看成焦点在x轴上双曲线号-=1(@>0,6>0)，易 y= 5,23 符合=m30°=故离心丰为25共统点在了=上，联 3*+ ly=√3x 「x=-5, 故两顶点分别为(5,3)，(-5，-3)，a=25, 6==2c=V匠+F=4焦距为20=8 14.16【解析】由f(x)=3x2+(a-3)xe+2(3-a)e2有三个不同的零点知：3x2+(a-3)xe+2(3-a)e2=0 有三个不同的实根，即3()2+(a-3)+2(3-)=0有三个不同实根， 设1=亭得3+a-31+23-）=0,而r-1 所以当x<1时，t'>0,即t在(-∞，1)上单调递增；当x>1时，'<0，即t在(1，+∞)上单调递减； 又<0<<，将<0，>0，>0 :方程3+(a-3)t+2(3-a)=0为二次方程，最多有两不等根41,2， 且623+5=3得4-点4-急 3 (-2)2(是-2)（层-2）=6-2u-22=[46-24+5)+4]2=23-0-23；4+412=16 3 3 故答案为16. 15.解：(1)由asin(B-C)+bsin(A-C)=csinC, sinAsin(B-C)+sinBsin(A-C)=sinCsinC, sin(B+C)sin(B-C)+sin(A +C)sin(A-C)=sinCsinC, sin2Bcos2C-cos2Bsin2C+sin2Acos2C-cos2Asin'C=sin2C, sin2B(1 -sin2C)-(1 -sin2B)sin2C+sin2A(1 -sin2C)-(1 -sin2A)sin2C=sin2C, 整理得sin2A+sin2B=3sin2C,又由正弦定理可得a2+b2=3c2. (2)因为c=5,a2+b2=3c2, 所以a2+=9,c0sC=02+B-c-3 2abab' 得mC=√-苏，故△BC面积S=bnC=分后6-9. 9 又a2+b2=9,a2+b≥2ab,得b≤2， 9 当且仅当a=6=时，等号成立.则到 4 所以-9≤×凰-935 4 所以△16C而积的最大值为3 【数学答案第3页（共8页）】 16.解：(1)由题意可设BC=x,又直四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，CC1⊥平面ABCD, 四棱柱ABCD-A,B,CD,体积为：SEm×CC,-区+4)×2×CC, 2 三棱锥C-BCD体积为：号×Sam×CC,=了·CC, 则±492xcG×名-青·G=. A D 2 所以在梯形ABCD中，连接AC,BD, D/Bc,B1AD,又治=品得ADB~AMBc, A- ----D AC⊥BD,又AM1⊥BD,AM1,ACC平面ACCA1,A4,∩AC=A, B 所以BD⊥平面ACC,A· (2)如图，分别以AB,AD,A4所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 得A(0,0,4),B(2,0,4),C(2,1,4),D(0,4,0), 即A1C=(2,1,0),B,C=(0,1,0),CD=(-2,3,-4) 设面ACD的一个法向量n=(x,y,z), D A1C1·n=0r2x+y=0 则 ,即 c,d.n=01-2x+3y-4z=01 可取n=(1,-2,-2) A D 设平面B,C,D的一个法向量为m=(x1,y1,之)， m·B,C=0y1=0 则m=0-2a+-4=0 可取m=(2,0,-1); n·1m =4_45 因为cos<m,m>=1m·1m35=15, 所以平面4，GD与平面B,CD夹角的余弦值为5 17.解：(1)因为fx)=ln(x+1)-x,则x∈(-1，+∞)， 则/到4-1济 当xe(-1,0)时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增， 当x∈(0，+∞)时，∫'(x)<0,此时f(x)单调递减， 所以f代x)的最大值为f(0)=0. (2)由(1)知ln(x+1)≤x,当x=1时取等号. 令=228eN,得(32+1<22h22n2 2 2 即h子片h号<导h子<号，品 故h子+h子+h子+…+ln出s子+号+号 7 2 12n-i<1+3+5+…+2m-, 即ln(2n+1)<2Sn,又n(2n+1)>0, 所以Sn>ln√2n+1. 【数学答案第4页（共8页）】 18.解：(1)依题意焦点为F(1,0)得c=1, 商心率行-号，可得a=反，=2-6-2-1=1 所以椭圆方程为十=1.…2分 【法一】设A(x1,y),B(x2,2), 2=1 得受+分=1受+=1即疗=1 2 又直线01,0B的斜率之积为- 得2=一2x=21 ……4分 =4,即话=41-1-》 =4-2(+)+x同 整理得2=x+X…6分 又10A12=x+斤=1+ ,0BP=巧+发=15 10A12+10B12=2+ X行十空=3（定值）.…7分 2 【法二】参数斜率法 设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线01斜率为k,则0B斜率为-云 联立y=红与格圆方程号+=1听e行= 262 2_2(1+k2) 10A12=x2+斤= 1+2k2 联立y=六与箱圆方程号+证1- 8k22 2 10B12=+=24+1=2 42+1 求和：10412+10B12_21+)+2(4+12_2(1+2)+2(1+22)-4+6 1+2k2 4k2+1 1+2k2 1*223 故10A12+10B12=3(定值) (2)【法一】设点M为(x,yo), 则2+6=1，即号+26=2 得圆M:(x-x)2+(y-y0)2=r2,r>0, 设直线01：y=6x,0B:y=则k本=- 因为直线01,0B与圆M相切，则k。-%=,o-】 √居+1 =r,…9分 √+1 整理得(x-2)-2k1x+y后-r=0, 【数学答案第5页（共8页）】 (x号-2)房-2hx0+)-r2=0, 2 则k1,k2为方程(x后-2)2-2xyk+后-2=0的两根， 整理得2=6+2 3， 11分 又号+2=2，所以2= 3 所以存在动圆M的面积为定值 …13分 【法二】设点M为(x,yo), 则7+6=1，即后+28=2号=2-28 得圆M:(x-xo)2+(y-y)2=r2,r>0, 设直线0A:y=kx,0B:)=2欢， 因为直线OA,OB与圆M相切， 1 则。n -2元。-%k-ynl_1x+2l …9分 +1 /1 V42*1 √2+1√42+1 学为 并整理得(22-1)(x6-)=6xoo, (2E-1)(6-2=2k0① 3 r-6r-2n+8 +1 2+1 将①式和x号=2-2代入， (2-2)-2-10(2-3 得2= 3 + k2+1 化简得产-号 所以存在动圆M的面积为定值 …13分 【法三】圆M与直线OA,OB均相切，可知圆心M为∠AOB的角平分线与椭圆E的交点. 设直线0Ay=kx,0B:y=kx,OM:y=kx(k≠±1)，则k,k=-2 1 (此公式学生自行证明)， 整理得3k=(k,+k)(1-)+=, 3k 【数学答案第6页（共8页）】 +y2= 2 联立{ 2 ,解得2=2聚+1 Ly =ltx 不幼取=2得y= 2 V2k2+1 2 设M(x,o),即=√2+%=6、 2 ”W2k2+1' 所以r=k-a_k- √+1 √房+I 2=（6。-）2_(0-y0)2 +1 +1 2(k,-)2(2-)2 2产2+1+房+ + 2(k-k)2(-k)2+(-)2(+1) 22+1 居+好++1 22号-+，)+（及+1）（所+）+2. 2k2+1 码+保++1 又+6，=代入上式整理得： 3k 2=12(2+5+42+1-4 9(2+5+42+1)=3, 得 所以存在动圆M的面积为定值 3 13分 (3)由(1)(2)r=5 3 知S影am=20A+10B1r=5x10M扌10B 3+ 2 1OA2+1OB12 =1 3 2 …16分 当且仅当0M1=1081=时等号成立. 、此时直线OA:y=号x,0B:y=x 故四边形OAMB面积的最大值为1.… …17分 19.解：(1)当=6时，根据单循环赛是所有参加比赛的队均能相遇一次，则每支球队都比赛5场. 所以共比赛C=65=15场. 2 根据单循环赛的规则和题意，15场中每一场定有一队获胜，故比赛结束后所有队胜的场次和为15， 所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=15. (2)根据单循环赛的规则，每一队都要和对方比赛一场，所以x:+y:=n-1(i=1,2,3,…,n) 又因为在一场比赛中的两队一定是一胜一负，故全部比赛结束后胜的总场次数和负的总场次数相等， 【数学答案第7页（共8页）】 得x++…+花=y+为+…+，即公=含， 又x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn=x1+y1+x2+y2+…+xm+yn=n(n-1)， 所以g=含=n3》-c =1 2 又因为y:=n-1-x:, 【法-1公-7=n-1-y)-(n-1-x)月 =[2(n-1)(x:-y)+(7-x)]=2(n-1)(x,-y:)+()-x) =2(n-1)[含x-含]+8y-8=81-含x 所以宫戏=品 【法=1含-含=含-含m-1-x)户 =[-(n-1-x:)2]=-2(n-1)x+n(n-1)2 =-2(n-1)m,-1D+n(n-1)2=0 2 所以公= (3)设乙组有球队m支，则甲组有球队m+5支 由(2)知所有球队总得分为C3:=(2m+5)(2m+4)=(2m+5)(m+2) 2 又因为甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍， 所以甲组球队总得分为7(2m+5)m+2】,乙组球队总得分为2m+5)m+2), 8 8 又乙组球队在乙组内总得分为C?=m(m,山 2 而每场比赛获胜队得1分，另一队得0分，所以乙组的总得分不会少于乙组球队在乙组内总得分， 得(2m+S)(m+22≥m(m-12m'-13m-10≤0 8 2 解得3-249≤m≤1B+249<8 4 4 又2m+5)(m+21为整数，解得m只能为6. 所以甲组球队共有11支，乙组球队共6支， 所有球队总得分为C,=136分， 甲组球队总得分为119分，乙组球队总得分为17分， 甲组球队内部总得分为C,=55分，乙组球队内部总得分C6=15分， 因乙组球队总共得17分，但乙组内部总得分15分，所以乙组胜甲组的得分为2分， 所以乙组球队最高得分不大于5+2=7分， 又因为甲组共11支，而7×11=77<119， 故甲组中至少有一支球队超过7分.所以冠军在甲组球队中. 【数学答案第8页（共8页）】