2026年中考数学一轮复习 初中数学-思维导图

《思维导图伴你学》 考点思维导图——初中数学 去分母；去括号；移项；合并同类项，化为最简方程 ax=b(a≠0)；解出x=b/a 解法 -6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 规定了原点、正方向和单位长度的直线 定义 数轴 算 术 定义正数a的正的平方根，记为√a 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的 直线、射 公理 1.过两点有且只有一条直线 2.在连结两点的所有线中，线段最短 ax²+ bx+c=0, (a,b,c为常数,a≠0) 一般形式 一元 数轴上的点和所有实数是一一对应的 平方根 性质 0的算术平方根是0 圆的定义 集合。不在同一直线上的三点确定一个圆、 线和线段 线段的垂 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到 一次 性质 三角形的外接圆，三 直平分线 性质 一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1.直接开平方法 2.公式法: x=-b±,b²-aac (b²-4ac≥0) 一元二 在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数大 算术平方根永远非负 3.配方法 4.因式分解法 解法 方程 实数a和-a互为相反数 定义 相关 点的轨迹 图形是由符合条件的那些点组成的 角形的外心，圆的内 定义 有公共端点的两条射线组成的图形 对顶角. 次方程 性质 相反数 接三角形 角 分类 锐角、直角、钝角、平角、周角 对顶角相等 1.如果 x₁, x₂是一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) a,b互为相反数a+b=0 图形包含了符合条件的所有的点 余角、 的两个根, 那么 x₁+x₂=-b/a x₁x₂=a 根与系数 方程 非零实数a和 互为倒数. 定义 倒数 概念 补角、 C 当两条直线相交所成的四个角中， 邻补角 同角或等角的余角相等； a,b 互为倒数 ab=1 性质 1.假设命题的结论不成立 垂线 若有一个角是直角，那么这两条直 同角或等角的补角相等 2.以x₁，x₂为根的一元二次方程(二次 根的判别式 a(a>0) 实数a的绝对值指数轴上表示数a的点 反证法步骤 定义 项系数为1)是x²-(x₁+x₂)x+x₁·x₂=0 |a|= 定义 绝对值 线 A 0| B 线互相垂直，其中的一条叫做另一条的垂线 去分母法 分式方程 到原点的距离，记为|a| 2.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾 D 方程有两个不等实根 Δ=b²-4ac -a(a<0) 性质 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 性质 1.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ⊿>0 换元法 则x叫做a的平方根, 记为 x=±∫ā(a≥0) 段 2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短 △=0 方程有两个相等实根 换元法 如果x²=a, 定义 Δ<0 方程无实根 方程两边平方法 无理方程 增根) 方程(组) 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 平方根 圆 的 圆是轴对称图形：对称轴 平行线 定义 在同一平面内不相交的两条直线 平行公理：经过直线外一点，有 0的平方根禾算术平方根都是0；负数没有平方根 性质 垂径定理： 1.两直线平行，同位角相等 且只有一条直线与已 1.代入消元法(消元) 二元一次方程组 方程组 定义 立方根 对称性 为经过圆心的每一条直线 垂直于弦的直径平分 角 562 性质 2.两直线平行，内错角相等 知直线平行 2.加减消元法 一次方程组 如果x³=a，则x叫做a的立方根，用符号 表示 弦并且平分这条弦所 性质 圆是中心 圆心角、弧、弦、弦心距之间 对的两条弧 3.两直线平行，同旁内角互补 1.代入消元法(消元) 三元一次方程组 解方程(组) 正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0 1.同位角相等，两直线平行 2.加减消元法 二次方程组 科学记数法、近似数禾有效数字 对称图形， 的关系定理：在同圆或等圆中， 判定 推论：如果两条直线都和第三条直 二元二次方程组 的基本思想 相等的圆心角所对的弧相等， 2.内错角相等，两直线平行 先用代入法、因式分解 a-b=a+(-b);a÷b=a· (b≠0) 有理数加法与减法、乘法与除法的相互转化 对称中心 所对的弦相等，所对的弦的弦 推论：在同圆或等圆中，如果两个 3.同旁内角互补，两直线平行 线平行，那么这两条直线也 法消元降次，再求解 为圆心 心距相等 圆心角、两条弧、两条弦或两条弦 距离 互相平行 多元方程要“消元” ，次数高的方程要“降次” ，分式方程要去“分 审题时要 加法、减法、乘法、除法法则 有理数运算法则 的弦心距中有一组量相等，那么， 点到点的距离； 点到直线的距离；平行线间的距离 注意题目 一元 运算 它们所对应的其余各组量分别相等 母”，化为整式方程，最后转化为解一元一次方程或一元二次方程 中所隐含 推论： 直线与直线的平行、相交、异面的关系 以长方体的棱、对 一次 a-a-a-a=a+ 有理数的乘方 圆周角定理： 1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的 空间直线、平 角线和各面之间的 设→列→解→验→答(共五步) 步骤 列方程(组)解应用题 的条件 直线与平面的平行、垂直关系 先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减 运算顺序 圆的概念和性质 一条弧所对的圆周角等于 圆周角所对的弧也相等；2.半圆(或直径)所对的圆周角 面的位置关系 位置关系为例 不等 (如果有括号，先算括号里的；同级运算从左向右依次进行) 它所对的圆心角的一半 是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；3.如果三角形一 平面与平面的平行、垂直关系 不等式 a>0 a<0 a=0 1.不等式两边都加上(或减去) ∠ACB= ∠AOB 边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 真命题与假命题 同一个数或同一个整式，不 式(组) a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c); ab= ba;(ab)c=a(bc);a(b+c)= ab+ ac 运算律 三角形 命题、 交换一个命题的题设和结论，所得到的命题与原命题是互逆命题 x>b/a x<b/a b<0时全体实数 等号的方向不变 (利用运算律可以改变运算顺序) 圆内接四边形： 定理、 逆命题、 ax>b b≥0时无解 基本 实数及其运算 圆内接四边形对角互 逆定理 原命题是真命题，它的逆命题不一定也是真命题，如果原命题经过 2.不等式两边都乘(或除以 )同 性质 a×10²(其中1≤|a|<10,n为整数) 用科学记数法表示数 补，并且任何一个外 证明 证明是真命题，逆命题也是真命题，那么它们组成一对互逆定理 ax<b x<b/a x> ba b≤0时无解 一个正数，不等号的方向不变 E角都等于它的内对角 证明几何 1.根据题意，画出图形 b>0时全体实数 3.不等式两边都乘 (或除以 )同 所含字母相同，相同字 数字与字母的积 单项式 单项式和多项式的统称 概念 命 题 的 一个负数，不等号的方向改变 母的指数也相同的项 同类项 长度 一般步骤 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证 不等式组(a>b) 数轴表示 几个单项式的和 多项式 圆的计算 圆周长C=2πR, 弧长l= π/180 3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 不等式组的解集 先化简，再合并同类项 整式的加减 圆柱、圆锥的侧面展开图 与一元一次方程解法类似 解法 一元一次 圆面积S=πR²扇形面积,S扇形=mmR60 lR, ∫x>a x>a ↓ 不等式 a""·a"=a"+"; (a"")"=a"" 整数幂的运算性质 面积 (分别是矩形与扇形) 1.两个底角相等，两腰相等； lx>b 不等号的方向 (ab)"=a"*b";d"÷a"= am-"(a≠0,m,n均为整数) 相交 d<R 弓形面积S号=S扇±S等腰三角形 不等边三角形 底边和腰 2.顶角平分线是底边上的高，也是底边上的 注意 m(a+b+c)= ma+ mb+ ma 单项式×多项式 整式的 性质 中线，“三线合一” ∫x<a x<b 一元一次 (a+b)(m+n)= am+ an+ bm+ bn; (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 多项式×多项式: 整式的 乘 除 三角形的内切圆，三角形的内心， 圆的外切四边形，两组对边的和相等 不等的等形 lx<b 1.先分别求出不等式组 解题骤 整式 3.1.根据定义(证两边的垂直平分线为对称轴 ba x 圆禾直线 判定 中每个不等式的解集 不等式组 (a+b)(a-b)=a²-b²;(a±b)²=a²±2ab+b²; (a±b)(a²= ab+b²)=a³±b³ 乘法公式 圆的外切三角形，圆的外切多边形 相交线 x<a b<x<a 推论1：经过圆心且垂直于切线 等腰三角形 2.一个三角形中，等角对等边 lx>b b a 2.再利用数轴确定不等 a-p= ;a⁸=1(a≠0,p为正整数) 零禾负整数指数 整式的除法 性质定理： 按边分 解集 的直线必经过切点 等腰三角形的所有性质 无解 式组的解集 把一个多项式化成几个整式的积的形式 定义 圆的切线垂直 等边 性质 2.各角都等于60°，各边相等 x>a<b 运算 分类 b 于经过切点的 推论2：经过切点且垂直于切线 三角形 1.根据定义(证三边相等) ma+mb+mc=m(a+b+c) 1.提公因式法 因式 相离 半径 的直线必经过圆心 判定 2.公式法 方法 分解 d>R 2.三个角都相等的三角形 a²-b²-a+b²b²b²b²b²atb²b²a+b²a+b²=(a+b)²; 判定定理：经过半径的外端点并且垂直于 1.两个锐角互余 3.有一个角等于60°的等腰三角形 (0,+) 3.分组分解法 锐角三角形 性质 2.斜边上的中线等于斜边一半 圆 这条半径的直线是圆的切线 、平行线 按角分 (一,+) (+,+) 各象限内、坐 11 x²+(a+b)x+ ab=(x+a)(x+b) 4.十字相乘法 3.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方禾等于斜边的平方 数与式 切线长定理： 直角三角形 标轴上的点的 1.如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式 相切 d=R 4.在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半 (-,0) O| (+,0) x 坐标符号 2.如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解 步骤 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 钝角三角形 判定 1.两角和为90°的三角形必为直角三角形 (-,-) (+,-) 线长相等，圆心和这一点的连线平分 (0,-) 平面直角 3.如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或十字相乘法来分解 两条切线的夹角 2. 如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c², 点的 4.分解因式要各种方法反复尝试，分解到每一个多项式因式都不能再分解为止 则此三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理) 坐标 坐 标 系 PA=PB ∠APO=∠BPO 形如 的式子叫做分式 (其中，A、B均为整式，且B≠0)概念 外离 相交 内切 三角形的角平分线、 外切 主要线段 三角形中位线定理： ·P(x,y) 分式 圆和圆 P (x,y) P(x,y) 关于坐标 (其中M为整式, 且M≠0) 基本性质 O₁O₂>R+r R-r<O₁O₂<R+r O₁O₂=R+r O₁O₂=R-r 中线、高线、中位线 三角形的中位线平行于第三 P'(- x,y) 轴、原点 边，并且等于第三边的一半 x 对称的两 1.加减法： 2.乘 法: 边边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 P'(x,-y) P'(-x, 个点的坐 3.除 法: ab÷cd=a/b. d/c= adbc 4.乘 方: (b)°=a/b/b/b/b/b/b/b/n为正整数 ) 运算 + 边、角关系 三内角禾等于180° P点与P'点关于x轴对称 P点与P'点关于y轴对称 P点与P'关于原点对称 标 1.被开方数不含分母； 角与角 一个外角等于禾它不相邻的两个内角的和 绘画图片在 最晚长式子，/[a>0)叫做二次根式 初中数学 函数的表示方法 同类二 2.被开方数中不含能开 概念 内含 同心圆( 圆环面积公式： 边角 一个外角大于任何一个禾它不相邻的内角 解析法；列表法；图象法 次根式 得尽方的因数或因式 O₁O₂<R- 关系 等边对等角，等角对等边，大角对大边 次根式 √a≥0 (a≥0) Jab=√a·√b(a≥0,b≥0) S=π(R²-r²) .21021002100021 0.57=0.57575757… 哪些形 性质 对应边相等，对应角相等 性质 二次根式 = 2 全等三角形 函数 函数的定义 函数的图象 函数图象的性质 (∫a)²=a (a≥0) 居=焉 (a≥0, b>0) 把圆分成n(n≥3)等份: 边角边定理(SAS); 角边角定理(ASA); 1.依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 判定 一般三角形 角角边定理(AAS);边边边定理(SSS) y= kx(k为常数, 且 y= kx(k>0) 1. 当k>0时, 直线过一、 1. 与 2. a+√b与a-√b 性质 2.经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 三象限y随x的增大而增大 3. a+b/c与a-b/c4. a√b+c√d与a,√b-cJd 常用的有理化因式 分理化 直角三角形 斜边、直角边定理(HL) k≠0)的图象是过 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 (0,0)点和(1,k) 2. 当k<0时, 直线过二、 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式 尺规作图 利用基本作图作三角形 正比例函数 三角形 点的一条直线 四象限y随x的增大而减小 加减 定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 ∫a·∫b=ρb(a≥0,b≥0) 居=听(a≥0,b>0) 乘除 运算 D = kx(k<0) 计算 (2)边长αn:αn=2Rsin180°n (3)边心距 rn: rn= Rcos 180°n (1)中心角o A/ 相似与投影 常思 y= kx+b C 当k>0时，y随x的增大而增大 方程 (组)与不等式 (组) (4)半径R: R²=r²+ a²n (5)周长 Pn: Pn= nan (6)面积 Sn: B4 (k,b为常数, 且 k≠0) y▲ 锐角 的图象是过点(0，b) y= kx+b(k>0) 当k<0时，y随x的增大而减小 定义 两组对边分别平行的四边形 定义 有一个角是直角的平行四边形 次函数 且平行于直线y=kx y= kx+b(k<0) 当b=0时，即为正比例函数 三角 直线形 1.对边平行且相等 矩形 1.平行四边形的所有性质 性质 的一条直线，b叫做直 c 2.对角相等，邻角互补 2.四个角都是直角 线在 y轴上的截距 函数图象 函数 性质 3.两条对角线相等 1.当a>0时,抛物线开口向上,当x=-b2 及 性 质 函数及其图象 比例 比例的 a:b=c:d , ad= bc; a:b=b:c, b²= ac (b叫做a,c 的比例中项) 3.对角线互相平分 比例的基本性质 判定 1.根据定义判定 y=ax²+ bx+c 性 质 合比性质 如果a/b=c/d, 那么 面积 面积等于一边与这边上的高的积 2.有三个角是直角的四边形 (a,b,c为常数,且a≠0) 时，函数有最小值. 4ac-4² 线段 二 1.根据定义 D 3.对角线相等的平行四边形 的图象是一条抛物线 当a<0时，抛物线开口向下，当x=-ba B₁ △ABC中, 等比性质 如果 那么 判定 定义 次 顶点(一 时，函数有最大值 4ac-ba- 锐角三角函数值都是正数 ∠C=90° 相关 2.两组对边分别相等的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 a| 平行线分线段成比例定理：三条平行 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 四边形 b 函 对称轴为直线x=- 定理 线截两条直线所得对应线段成比例 (或两边的延长线)，所得对应线段成比例 3.一组对边平行且相等的四边形 1.平行四边形的所有性质 2a 2.当Δ=b²-4ac>0时,与x 轴有两个交点 CD 菱形 性质 2.四条边都相等 函数值变化 α 锐角三 条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，如果所截得的对应线段 攀融 4.两组对角分别相等的四边形 数 当⊿=0时，与x轴只有一个公共点 (顶点) →90° 3.两条对角线互相垂直且平分每组对角 b₂x₄,4acta₅b²) 当△<0时，抛物线与x轴没有公共点 0° 性质 ∠A的三角函数： 成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 相 似 平行四边形 函数名 角函数 5.对角线互相平分的四边形 面积 等于两条对角线乘积的一半 3. a>0,x>-ba. y随x的增大而增大 sinα 正弦: sin A=a/c 正切: tan A=a/b 平行于三角形的一边，并是把其他两边相交的直线，所截得的 0> 2a 应用 三角形 判定 1.根据定义判定 cosα 1一 >0 余弦： cosA= bc 余切:cotA= ba y随x的增大而减小 D 有一个角是直角，并且有- 2.四条边都相等的四边形 tanα 0—— 1.对应角相等 cotα ∞- 定义 组邻边相等的平行四边形 2.对应边成比例 3.对角线互相垂直平分的平行四边形 已知条件 解 法 解角三 性质 1.当k>0时，图象的两个分支分别 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° 正方形 性质 具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 y= kx k>0 在第一、三象限内，在每个象限 两条 c=Ja²+b² 3.对隋富勢 et的对廉專學籍战和对 预备定理：平行于三角形一边的直线和其 (k为常数, 且k≠0) 内，y随x的增大而减小 3 直角边 tanA=a/b,可求∠A 他两边(或两边的延长线)相交所构成的三 判定 1.有一组邻边相等的矩形 反比例函数 sinα 0 12 1 两 角形 4.周长的比等于相似比 2.有一个角是直角的菱形 2.当k<0时，图象的两个分支分别 2 2 a 和b 的图象是双曲线 ∠B=90°-∠A 相似 角形，与原三角形相似 1.同一底上的两个角相等 k<0 在第二、四象限内，在每个象限 cosα 1 12 0 条 5.面积的比等于相似比的平方 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 性质 一条直角b=,√c²-a² 多边 一般三角形相似的判定 2.两条对角线相等 内，y随x的增大而增大 不 边 判定 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， Ar D 等腰 tanα 0 1 存在 边a和 sinA=a/c,可求∠A 梯形 1.根据定义 斜边c ∠B=90°-∠A 四种基 形的 直角三角形相似的判定 两三角形相似 梯形中位线定理：梯形中位线平行于 1.求函数自变量的取值范围 BL C 判定 2.同一底上的两 cotα 存在 1 0 本类型 性质 1.对应角相等 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似 个角相等的梯形 上、下底边，并且 2.判断某已知点是否在图象上；两个函数图象是否相交(有公共点) 一条直 ∠B=90°-∠A 梯形 等于两底和的一半 sin(90°-α)=cosα c=sinA 2.对应边成比例 直角三角形被斜边上的高分成的 3.求已知函数与坐标轴的交点；求二次函数的顶点、对称轴； 互余两 条概角A -般梯形(含直角梯形) cos(90°-α)=sinα b=a·cotA 3.周长的比等于相似比 两个直角三角形与原三角形相似 判断其图象是否与x轴相交 角的三 条边和一个锐角 tan(90°-α)=cotα 角函数 斜边c ∠B=90°-∠A 4.对应对角线的比等于相似比 1.多边形内角和等于(n-2)·180° ( 其中n>2,n为整数) ,外角和等于360° 4.用待定系数法求函数解析式 和 a=c·sinA 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 2.平行线等分线段定理及推论 cot(90°-α)=tanα 锐角A b=c·cosA 5.对应三角形相似，它们的相似比等于相似多边形的相似比 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 其他性质 5.与其他知识相联系的综合计算 例，那么，这两个直角三角形相似 3.中心对称和中心对称图形的性质 6.面积的比等于相似比的平方 4.三角形面积公式及推论：等(同)底等 (同)高的三角形等积 学科网（北京）股份有限公司 目 录 学科网（北京）股份有限公司 1.第一章 数与式 第一节 实数及其运算 2.第一章 数与式 第二节 整式 3.第一章 数与式 第三节 分式 4.第一章 数与式 第四节 二次根式 5.第二章 方程与不等式 第一节 方程的基础知识 6.第二章 方程与不等式 第二节 一元一次方程 7.第二章 方程与不等式 第三节 二元一次方程与方程组 8.第二章 方程与不等式 第四节 一元二次方程及其解法 9.第二章 方程与不等式 第五节 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 10.第二章 方程与不等式 第六节 列方程解应用题 11.第二章 方程与不等式 第七节 分式方程 12.第二章 方程与不等式 第八节 一元一次不等式和不等式组 13.第三章 函数及其图像 第一节 平面坐标系与函数 14.第三章 函数及其图像 第二节 一次函数 第三节 反比例函数 15.第三章 函数及其图像 第四节 二次函数 16.第四章 图形的初步知识 17.第五章 三角形 第一节 三角形及全等三角形 18.第五章 三角形 第二节 特殊三角形与勾股定理 19.第六章 四边形 第一节 多边形的概念及性质 20.第六章 四边形 第二节 平行四边形 21.第六章 四边形 第三节 特殊的平行四边形 22.第六章 四边形 第四节 梯形 23.第七章 圆 第一节 圆的概念与性质 24.第七章 圆 第二节 与圆有关的位置关系 25.第七章 圆 第三节 与圆有关的计算 第四节 正多边形 26.第八章 相似与投影 第一节 相似三角形 27.第八章 相似与投影 第二节 投影与视图 28.第九章 图形与变换 第一节 图形的对称 29.第九章 图形与变换 第二节 图形的平移与旋转 30.第九章 图形与变换 第三节 图形的变换与坐标 31.第十章 锐角三角函数 第一节 锐角三角函数 32.第十章 锐角三角函数 第二节 解直角三角形 33.第十一章 统计与概率 第一节 统计 34.第十一章 统计与概率 第二节 概率 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第一章 数与式 第一节 实数及其运算 像5，1.5等大于0的数叫做正数. 正数 乘积为1的两个实数互为倒数. ①化简绝对值时，没有判断绝对值符号中各个数或式子的正负. 像-5，-1.5等在正数前面加上“-”号的数叫做负数. 倒数 负数 近似数 与实际数比较接近的数，称为近似数. ②实数的混合计算“两变”出现错误. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴 对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字，到 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数. 有效数字 最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字. ③用科学记数法表示数时，容易把n的值算错. 数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作a|. 相反数 科学记数法 把一个数记作a×10ⁿ的形式(其中1≤|a|<10,n为整数). 无限不循环的小数叫做无理数. 绝对值 无理数 平方根 如果 那么x叫做a的平方根，记作x=± ①关于绝对值的化简与计算问题，关键是要先判断 绝对值符号中各个数或式子的正负.再根据绝对 值的意义去掉绝对值符号. 学习误区 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作 立方根 如果 那么x叫做a的立方根，记做 知能提升 总结 正整数 升华 实数中的概念 零 ②实数的混合计算注意两变：一是把运算符号“-” 变成“+”，减数变成它的相反数；二是把运算 符号“÷”变成“×”，除数变为它的倒数，除 数不能为0. 整数 有限小数或无 负整数 限循环小数 实数 有理数 分数 正分数 知识 按定义 负分数 r ③用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，等 号右边数的形式为a×10ⁿ，a是一个只有一位整数的数， n比等号左边的整数位数小1. 儿 梳理 的分类 无理数 正无理数 无限不循环小数 负无理数 数形结合，实数与数轴上的点一一对应，我们可以将 数与形结合起来解决问题，起到化难为易的效果. 学习方法 实数及其运算 正有理数 正整数 21021004 0.57-0.57575757- 按正负 正实数 正分数 =2 正无理数 在数轴上位于原点的两侧，且 零 与原点距离相等的两个点. 相反数的几何意义 负有理数 负整数 学法 负实数 负分数 把握难点 实数的运算 负无理数 去绝对值，看符号 概念特征 指导 同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加. 加 法 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 无理数的 减去较小数的绝对值. 如 ,3 开方开不尽的数 常见类型 减 法 减去一个数等于加上这个数的相反数. 如 π/2,π+ 3等 化简后含π的数 两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘. 乘 法 如0.01001000……等 无限不循环小数 关于零 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数 个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负. 部分三角函数 要牢记 非负数 n个数相乘，有一个因数为0，积为0. 如 sin 60°,tan30°,cos45°等 要关注 实数大小 除 法 两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除. 零既不是正数，也不是负数. 利用数轴 的比较 乘 方 0除以任何一个不等于0的数都得0. 零的相反数为零，绝对值也为零. 右边的点表示的数总比 几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作a"(a≠0，n为正整数).开方与乘方互为逆运算. 零没有倒数. 左边的点所表示的数大. 利用绝对值 运算律 a-b>0⇔a>b (1)a+b=b+a; (2)a+(b+c)=(a+b)+c; (3) ab= ba; 作差法 a-b=0⇔a=b 比大小，两个负数相比较，绝对值大的反而小 a-b<0⇔a<b (4)(ab)c=a(bc); (5)a(b+c)= ab+ ac. 运算顺序 平方法 分级：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算. 作商法 三级运算的顺序是三、二、一.(如果有括号，先算括号内的；如 若a>0,b>0, 则 果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种 运算，都要注意先定符号后运算.) 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第一章 数与式 第二节 整式 1、代数式的恒等变形不恒等. 代数式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子. 2、因式分解不彻底. (1)忽略符号；(2)漏项；(3)结果不是最简形式. 单项式 数与字母的积所表示的代数式.单独一个数或一个字母也是单项式. 3、运用幂的运算法则不注意同底数出错误. 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项. 几个单项式的和叫做多项式 多项式 4、列代数式时，对一些语句理解不透容易出错，如a、b 两数的平方和与a、b两数和的平方混淆. 同类项 所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项. 5、合并同类项时把系数和次数均相加导致错误. 合并同类项 系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 不变叫做合并同类项. 6、去括号添括号时，特别是括号前是“-”的情况，容 易把某一项或某几项忘记变号而出错. 学习误区 整式的加减 就是合并同类项，遇到括号，一般先去掉括号，去 括号的方法是： +(a+b-c)=a+b-c;-(a+b-c)=-a-b+c. 1、对于幂的运算性质和乘法公式，不仅要掌握它们的结构 特征，而且要理解每一公式中字母的内涵，进而灵活、 恰当地应用. 整式有关概念 知能提升 知识 幂的运算法则 (m,n都为整数, 2、因式分解必须在指定的数的范围内进行，且必须分解到 每个多项式都不能再分解为止. 总结 梳理 整式 a≠0,b≠0) 升华 的运算 3、列代数式时，读题不能只看局部不看整体. 整式的乘法 m(a+b+c)=ma+mb+mc 3、牢记合并同类项的法则，字母与字母的指数不变来进行. (m+n)(a+b)= ma+ mb+ na+ nb 5、去括号的几 种特殊方法 单项式除以单项式，分别把系数、同底数幂 整式 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含 (1)先整体合并，再去括号.在整式的加减运算中，如果有几部分 都含有多项式A，那么把A看成一个整体，使这几部分合并成 一项，再去掉A的括号. x²+(a+b)x+ ab=(x+a)(x+b) 的除法 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因 式. (2)从外到里去括号，减少变号次数.只含有小括号和中括号， 整 式 多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除 那么把小括号内的各项视为一个整体，先去中括号，再去 以这个单项式，然后把所得的商相加. 小括号. (3)一次去掉多重括号，在含有多重括号的式子中，去括号时，括 乘法公式 零指数和负整数指数： P为整数). 号里的项是否变号，只与该项以及该项所在各层括号前的“-” 平方差公式 号相关.当某项受奇数个“-”号影响时该项变号；受偶数个 整式运算 学法 “ ”号影响时不变号. 因式分解 完全平方公式 指导 定义 把一个多项式化为几个整式的积的恒等变形 加减运算的核心是去括号与合并同类项，乘除运算的核 心是幂的运算.在运算时要把握运算法则和运算顺序. 列代数式 提取公因式法 ma+ mb+ mc=m(a+b+c) (1)平方差公式： 方法 公式法 1.认真读题，正确理解题中的数量关系，抓住题中 的和、差、积、商、乘方、开方、大、小、多、 少、倍、分、倒数等关键词语，理解量与量之间 的关系，直接列代数式. 分组 (2)完全平方公式： 去括号 因式分解 分解法 ma+ mb+ na+ nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n) 2.弄清运算顺序，正确使用括号. 多项式 因式分解， 整式乘积 十字相乘法 整式乘法 3.在同一问题中不同的对象或不同的数量要用不同 的字母表示. 注意事项 1.因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和差 为积的变形，多项式转化→几个整式的积. 步 骤 4.在列代数式时，要注意代数式的格式和单位的书写. 十字相乘法 1.若多项式的各项有公因式，则先提取公因式； 2.因式分解与整式乘法是互逆的. 1.注意括号前是“-”时，括号里各项要改变符号. x. a 左竖乘： 2.若无公因式，可尝试用公式分解； 3.在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式， 如 这种变形就不是因式分解. x b 右竖乘:a×b= ab 3.上述方法不能分解，可试用分组或十字相乘法； 2.括号前的系数要和括号里的每一项系数相 乘，防止漏乘现象. 交叉相乘: ax+bx=(a+b)x 4.反复尝试分解到不能再分解为止. 4.因式分解要分解到不能再分解为止. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第一章 数与式 第三节 分式 1、不能正确理解并掌握分式的基本性质. 定 义 形如 的式子(A，B均为整式，B中含有字母，且B≠0). 2、约分时，分子与分母不是乘积形式也进行了约分，如 3、约分约去的不是分子、分母的公因式；通分时分子与分母同时乘的不是最小公倍数. 最简分式 分子和分母没有公因式的分式. 4、不能区分分式何时有意义，何时无意义. 文字表述 分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不 5、解分式方程时忘记验根，去分母时漏乘整式项. 学习误区 等于零的整式，分式的值不变. 分式的概念 1、分式的基本性质用式子表示是： 式子 中A，B，M都是整式，特别要注意整式M的值不等于零. 知识 式子表述 M为整式) 知能提升 总结 梳理 2、分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何 两个，分式的值不变.如 再如 升华 基本性质 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减， 即 3、分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件是 分母为0；分式值为0的条件是分子等于0，但分母不等于0. 分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分 式，然后相加减，即 4、参数法：当已经条件形如 所要求值的代数式 是一个含x，y，z，a，b，c，而又不易化简的分式 时，通常设 k就是我们所说的参数)， ( 然后将其变形为x= ka,y= kb,z= kc,代入所求代数式. 分 式 分式乘分式，用分子的积作积的分子， 分母的积作积的分母，即 分式 分式的乘除法 改变分子或分母的符号是指改变整个分子 常用技巧 学法 的运算 分式除以分式，把除式的分子、分母 或分母的符号，而不是第一项或某一项的 符号 指导 颠倒位置，与被除式相乘，即 符号，如 分式的乘方 除法与乘法是同级运算，除法可以转化为乘法，它们 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母 运算 各自乘方，即： 的混合运算不满足结合律，要按从左到右的顺序进行， 分式的通 ( n为整数). 或先把除法转化为乘法后再结合， 如 这样算是错误的，应为 裂项 分和约分 分式的混合运算 先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化 通 分 简，最后进行加减运算，遇有括号，先算括 裂项是把一项化为两项，使计算得以顺利进行，常 号里面的. 用的裂项有： 代换 解分式方程 约 分 步骤：①去分母化为整式方程；②解整式方程；③检验. 1.当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数 整体代换，利用公式变形. 的最小公倍数，相同字母的最高次幂的所有不同字母的积. 1.当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数 的最大公约数的积. 如，已知 求 可变形为 2：如果各分母是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升 幂排列，再分解因式，找出最简公分母. 2.当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式. 3.通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的 分式相等. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第一章 数与式 第四节 二次根式 1.二次根式有意义的条件：不能只局限于二次根式有意义，还要同时 考虑其他有意义(如分母不能为0)，考查问题要全面. 定 义 形如 的式子叫做二次根式. 2.不能正确理解. 的非负性，例，当a=5时，求 的值，错误解法： 被开方数不含分母； 原式 最简二次根式 满足下列两个条件 3.在二次根式化简中，错用分配律，例， 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式 忽视隐含条件，例， a+b=-8,ab=8, 即: a<0,b<0,这个条件.化简 导致 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式. 化简出错. 学习误区 叫做a的平方根. 在化简二次根式时，若被开方数是带 在二次根式化简时要运用 二次根式的概念 叫做a的算术平方根. 分数，首先要转化成假分数，再化简. 转化与化归的思想，可化 知能提升 难为易，迅速得到答案. 总结 知识 二次根式 是非负数，即 在分解因式时，由 得 升华 梳理 的性质 可把一个非负数转化成一个数的平方形式， 再分解. 根式 的 把 然后分母有理化. 化简方法 化成 把 化成， 分母有理化的方法与技巧 1.由 二次根式 二次根式的运算 可知 的有理化因式是± 先将各二次根式化成最简二次根式， 2.由平方差公式，可知 有理化因式是 分母有理化关键是 加 减 然后再合并同类二次根式. 确定有理化因式 学法 形如 的式子叫做二次根式，理解 二次根式的定义 指导 乘 除 定义的关键是“被开方的数a是非负数”. 混合运算 能判断二次根式是否是最简二次根式 二次根式的性质 与实数的运算顺序相同. 会判断二个二次根式是否是同类根式 有理化因子 与 与 连同 a²、|a| 都是非负数. 与 与 二次根式的运算 1.它和整式的运算是相联的，特别是一些运算定律和乘法公式 (完全平方公式，平方差公式)在二次根式的运算中都可以 运用，起到简化运算的作用. 所以 与 是不一样的，只有当a≥0时， 它们在二次根式 的化简和运算中起决定性的作用. 2.二次根式的混合运算顺序是：先乘方，再乘除，后加减，有 括号的先算括号内的(或先去掉括号). 和 一 般用于二次 根式的化简. 3.掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则，掌握分母有理化， 按照运算顺序进行化简与计算. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第一节 方程的基础知识 1、概念理解错误导致出错. 定义 用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式. 2、性质运用错误导致出错. 学习误区 (1)定义不同. (1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一 个整式，所得结果仍是等式. a=b⇔a±c=b±c (2)代数式仅用运算符号连接，不含等号. 1.区别 代数式、等 等式 性质 (3)方程是特殊的等式，但等式不一定是方程. 式与方程的 区别与联系 知能提升 (2)等式两边都乘 (或除以)同一个不为0的数， 总结 知识 所得结果仍是等式. 升华 梳理 a=b、c≠0 ⇔ ac= bc,a÷c=b÷c (1)等式和方程的左、右两边都由代数式构成.2.联系 (2)方程是含有未知数的等式. 含有未知数的等式叫做方程. 如, x+3=5,x+y=1,x²+2x-3=0,… 定义 只要是用“=”连接的式子，而 方程的 不管它是否成立. 基础知识 方程 使方程左右两边的值相等的未知数 方程的解 的值叫做方程的解，只有一个未知 1、等式的概念 数的方程的解，也叫做方程的根. 是等式 学法 两个条件，缺一不可 指导 含有未知数. 2、方程的概念 解方程 求方程的解的过程叫做解方程. 概念问题 常见的几种方程 若两个方程的解相同，则这两个 它(或它们)是方程中未知数的值. 同解方程式 3、方程的解 方程叫做同解方程. 将它(们)分别代入方程的左边和右 边，左边等于右边. 一元一次方程 形如 ax+b=0(a≠0) 基本性质1 形如 若a=b, 则a±c=b±c. 性质 二元一次方程组 若 a=b,则 基本性质2 无理 一元二次方程 形如 方程 形如 形如 若 a=b, 则 b=a; 若 a=b,b=c 则a=c. 基本性质3 即根号内含有未知数的方程. 分式方程 即分母含有未知数的方程. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第二节 一元一次方程 1、移项忘记变符号. 2、违反去括号法则. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数 不等于0的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式 3、去分母时，漏给不含分母的项乘公分母. 为 ax+b=0(a,b为常数,a≠0). 4、忽视分数线的“括号”作用. 学习误区 5、忽视“0”的特性：任何数与0相乘都得0. 6、小数化为整数时，把小数以外的数也跟着扩大。 1、去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数. 7、小数化为整数时，同一分数中的分子，分母扩大的倍数不同. 定义 知能提升 2、去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 用一元一次方程解决实际问题的基本思路 总结 知识 把含有未知数的项移到方程的左边， 升华 梳理 3、移项 其他项移到方程的右边，移项要变号. 实际问题 抽象 数学问题 分析 已知量，未知量，等量关系 解方 程步骤 4、合并同类项 化为最简方程 ax=b(a≠0)的形式. 不合理 列出 解释 验证 求出 5、系数化为1 解的合理性 方程的解 方程 若有分母先去掉，化为整式很重要； 一元一次方程 去分母 1.弄清题意和题目中的已知数、未知数， 各项都乘公分母，分子项多加括号. 用字母表示题目中的一个未知数 正括号来不变号，负括号来全变号； 各项都要乘系数，系数分配要公道. 去括号 学法 指导 列方程 2.找出能够表示应用题中全部含义的一个 未知在左常数右，移项切记要变号. 移项 解应用题 相等关系. 解方程 同类合并要谨慎，一边一项处理好. 合并同类项 注意问题 3.根据相等关系，列出方程. 系数化一有讲究，分数乘倒整数除. 系数化为一 列方程 应注意问题 找出已知与未知，相等关系列方程. 4.解方程，求出未知数的值. 应用 解字 解出负数要斟酌，未知范围莫忽略. 类型 母系 数的 5.写出答案. 可化为 ax=b的形式 一元 一次 和差倍分问题、等积变形问题、数字问题、行程 方程 问题(相遇、追及、航行)、劳力调配问题、工 (2)a=0,b≠0,x无解. 口 诀 已知未知要分离，方法就是两边移. 程问题、储蓄问题、商品利润问题…… (3)a=0,b=0,x为任意实数. 加减移项要变号，乘除移了要颠倒. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第三节 二元一次方程与方程组 当直接的未知数不便求解时，转而设间接未知数求解. 1、“直接”与“间接”转换 如果一个方程中含有两个未知数，并且未知数 当设一个未知数有困难时，可以考虑设多个未知数求解. 2、“一元”与“多元”转换 二元一次 的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程. 当整体设元有困难时，就考虑设其部分. 3、“部分”与“整体”转换 方程定义 一般形式: ax+by+c=0(a≠0,b≠0). 当从一般情况入手困难时，就着眼于特殊情况。 4、“一般”与“特殊”转换 有的题目，用文字语言表达不准确时，就可用表格或图形分析。 列二元一次方程组 由两个二元一次方程组成的一组方程叫 这样既直观，又易理解题意. 5、“文字”与“图表”转换 解应用题常用策略 做二元一次方程组. 定义 1、概念理解不清致错. 使两个方程左、右两边都相等的两个未知 2、忽视移项变号. 学习误区 知能提升 数的值叫做二元一次方程组的解. 知识 二元一 解 3、运用代入法消错未知数. 总结 梳理 次方程组 1.将其中一个方程变形，用含有一个 4、利用加减消元法时漏乘出错. 升华 未知数的代数式表示另一个未知数。 例如：改写为y=ax+b的形式. 5、解含字母系数的方程时，忽略 代入消元法 了字母的取值范围. 二元一次 2.将y=ax+b代入另一个方程消去y. 方程的解法 得到一个关于x的一元一次方程. 1.二元一次方程组中各个方程的公共解. 3.解这个一元一次方程，求出x的值. 二元一次 4.把求得的x的值代入y= ax+b,求 2.方程组的解同时使二元一次方程组中 每一个方程的左右两边的值相等. 二元一次方 方程与方程组 出y的值，从而得到方程组的解. 程组的解 3.一般情况下，二元一次方程组只有唯一的一组解. (1)用适当的数乘方程的两边，使同一 个未知数的系数互为相反数或相等. 学法 (2)把两个方程的两边分别相加或相减， 求关系式. 二元一次 指导 加减消元法 方程组的 消去一个未知数，得到一个一元一 代入消元. 1、代入消元法 基本思想： 次方程. 回代得解. 消元 一般解法 (3)解这个一元一次方程. 变换关系. 2、加减消元法 列一次方 (4)将求出的未知数的值代入原方程组 加减消元. 程组解决 中的任意一个方程，求出另一个未 知数的值，从而得到方程组的解. 回代得解. 实际问题 三元一次方程组 1、弄清题意，设未知数. 定义 由几个一次方程组成并含有三个未知 数的方程组，叫做三元一次方程组. 2、找出表示实际问题全部含义的等量关系. 三元一次方程组 3、列出两个或两个以上的方程，组成方程组. 一次方程组的应用 列方程组解应用题 4、解这个方程组，求出未知数的值. 5、检验结果的正确性及合理性，并写出答案. 消元 ≥ 二元一次方程组 消元 一元一次方程 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第四节 一元二次方程及其解法 1.只有一个实数根 暗示→ 方程是一元一次方程. 2.有两个实数根一暗示→ 方程是一元二次方程. 方程根的个数对方程类型的暗示 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 整式方程叫做一元二次方程. 3.有实数根————暗示→两种可能. 1.化为一般形式. 运用公式法解方程应注意 定义 2.前提条件,b²-4ac≥0. 一般形式： (a,b,c是常数,a≠0) 灵活选用解方程的方法 ax²叫二次项，a是二次项系数；bx叫一次项，b是一 知能提升 次项系数；c叫常数项. 首选直接平方法，其次考虑因式分解法， 再次对任何方程都能用公式法，有特殊要 求时用配方法. 知识 一般形式 总结 梳理 1、运用一元二次方程的定义解题时，应注意二次项系数不为0. 学习误区 升华 将方程化成 的形式，两边 直接开平方法 同时开平方，得x=± 2、当题目未指明方程是何种类型时，应注意分类讨论. 将 化为 配方法 ◆ 时，用直接开平方法求解. 一元二次方 解法 1、一般地，任何一个关于x的一元二次方程 经过整理，都可以化为 的形式，其中a≠0是定义的一部分，不 可漏掉. 一元二次方程 程及其解法 概念问题 一元二次方程 当 公式法 时， 2、判断方程是一元二次方程的步骤： ①化简整理；②按照定义判断. 学法 因式分解法 将 化为(x-w)(x-n)=0的形式, 指导 此时 是方程的解. 3、若所研究的问题明确指出方程是一元二 次方程，则它隐含了a≠0 这个条件； 若没有特别说明，方程不一定是一元二 次方程，还有可能是一元一次方程. 1.直接开平方法 ①形式： .②前提:c≥0. 一元二次方程 2.配方法 一般形式问题 ①化 ②移 ③配 ④解 一元二次方程 先化为一般形式，确定a，b，c. 1、系数和项都包含它前面的符号. 的解法问题 3.公式法 使用公式的前提条件是 2、任何一个一元二次方程都可以整理为一般形式. am+an=a(m+n), 4.因式分解法的 3、一次项系数或常数项为0时，方程仍然是一元二次方程. 几个常用公式 4、如果一般形式中的二次项系数为负数，最好将方程两边 都乘以-1，使二次项系数变为正数. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第五节· 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 a≠0,且△≥0. 1.若有两个实数根 △=0⇔方程有两个不相等的实数根. 根的判别式 △=0⇔方程有两个相等的实数根. 根的讨论 a≠0,且△≥0, 一元二次方程 △<0⇔方程无实数根. 2.若有实数根， 则分两种情况： 知能 1.如果一元二次方程 的两根 a=0 一元一次方程 提升 是x₁,x₂, 则 知识 根与系 1、运用根的判别式时，注意二次项系数不为0， 并且各项系数必须是实数. 总结 梳理 数的关系 学习误区 升华 2.如果关于x的一元二次方程 的两根是x₁,x₂, 那么 2、运用根与系数的关系求方程中字母系数的 取值时，忽视用 来检验结果的 正确性. 1、已知方程的一根，求另一根或方程中的未知系数. 十元二次方程 求作 根的判别式及 方程 两根为x₁，x₂的一元一次方程为 2、不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值. 根与系数的关系 3、不解方程，判断根的符号和性质. 已知 则两根为x₁，x₂的一元二次方程是 4、已知两根(或两根的和与积)，求这个方程. 学法 指导 5、已知两数的和与积，求这两个数. 根与系数的 6、求作方程，使它的两根与已知 方程的两根有某些特殊关系. 关系的应用 1、不解方程，判断一元二次方程根的情况. 7、解某些特殊的方程组. 判别式的应用 2、确定一元二次方程中字母系数的取值范围. 3、确定一元二次方程中字母系数的值. 用 表示下列式子 4、检验运算结果是否产生增根. 5、由判别式构造一元二次方程进行求值、证明. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第六节 列方程解应用题 便于由所设未知数列方程. 1、设未知数要恰当 使所列方程简单易解. 和差倍分问题 当直接设元较困难时，可间接设元. 体积变化问题 2、由等量关系列方程时 方程两边必须是同一类量， 行程问题 单位要统一 基本类型 劳动力调配问题 3、所解得的方程的解不一定是实际问题的解， 学习误区 工程问题 应注意检验，舍去不合题意的解. 利润问题 仔细审题找等量，熟记各种关系式； 总结 知识 直接间接设未知，根据题意列方程； 知能提升 升华 梳理 数字问题 认真解答莫出错，隐含条件不放过； 作答之间要检验，舍去不合题意量. 1.审审题，弄清题意与题目中的数量关系. 全路程=甲走的路程+乙走的路程 1.相遇问题 2.找找出能够表示应用题全部含义的相等关系. 相距路程=快者所走路程-慢者所走路程 2.追及问题 列方程 解应用 题步骤 行程问题 解应用题 3.设设出未知数. 逆水(风)速度=静水(无风)速度-水速(风速) 3.水(空)中 的等量关系 顺水(风)速度=静水(无风)速度+水速(风速) 航行问题 4.列根据等量关系列方程(组). 4.路程=速度×时间 学法 5.解解方程(组)求出未知数的值. 工程问题 1、工作量=效率×时间. 的等量关系 指导 6.验检验所求结果是否符合题意. 2、甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作量。 7.答回答题目所求的问题. 1、溶质=溶液x浓度. 浓度问题 溶质质量 握手问题 握手次数 其中n为总人数). 2、浓度= ×100%. 的等量关系 溶液质量 的等量关系 3、溶液质量=溶剂质量+溶质质量. 增长率问题 (A为增长后的量，a为增长前的量，n为连续增 的等量关系 长的时间，x为连续增长率). 数字问题 的等量关系 n位数： 利润问题 商品利润 商品进价 =商品利润率 的等量关系 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第七节 分式方程 1、漏乘常数项. 3、忽视检验，急于求成. 2、忽视分母的性质符号. 4、违背等式性质. 分母中含有未知数的方程叫分式方程， 分式拆项技巧 5、实际问题中忽略单位的统一与验证. 如 (B中含未知数). 1、增根是分式方程去分母后整式方程的某个 定义 根，但它使分式方程的某个分母为0，故 知能 学习 称为原方程的增根. 分式方程 提升 误区 的 增 根 1、去分母：把方程两边都乘最简公分母，把分 总结 知识 式方程化为整式方程. 2、产生原因：是解分式方程第一步“去分母” 梳理 造成的.所乘的最简公分母的值不为0时， 升华 整式方程与原分式方程同解：否则为增根. 解法 分式方程 2、解整式方程. 与整式方 分式方程是分母中含有未知数的方程. 程的区别 分式方程 3、检验：把整式方程的解代入最简公分母，使 按解分式方程的步骤进行. 最简公分母不为0的解是原方程的解；使最简 公分母为0的解不是原方程的解，是增根. 拆分原分式. 分式方程 观察方程特点，寻求简便解法. 的 解 法 学法 挖掘隐含条件，解法与一般步骤相同. 指导 增根 既是分式方程化为整式方程的解， 解含字母系数的分式方程. 应用 又是使分式方程的分母为0的值. 通过阅读，掌握特殊方法。 解分式方 注意找出最简公分母. 程应注意 注意去分母时不要漏乘项. 1.方程的解与 (1)由增根确定字母系数的值； 系数的关系 解分式方程 注意检验. 应用题的步骤 (2)由解的其他特征确定字母系数的值. 4.列根据等量关系列分式方程(组). (1)工程问题工作总量=工作效率×工作时间； 5.解解分式方程(组)求出未知数的值. 1.审审题，弄清题意与题目中的数量关系. 2.实际问题 2.找找出能够表示应用题全部含义的相等关系. (2)行程问题 路程=速度×时间； 6.验检验所求结果是否符合题意. 溶质质量 7.答回答题目所求的问题. 3.设设出未知数. (3)浓度问题浓度： 溶液质量 ×100% 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第二章 方程与不等式 第八节 一元一次不等式和不等式组 1、在方程或不等式两边都加上(或减去) 同一个数或整式，方程或不等式仍成立。 不等式 用不等号“>”、“<”、“≥”、“≤”、 相同 “≠”表示不等关系的式子. 2、在方程或不等式两边都乘(或除以) 解方程与解不等式 同一个正数，方程或不等式仍成立。 不等号两边都是整式. 在方程两边都乘(或除以)同一个 一元一次不等式 只含有一个未知数. 负数，方程仍成立. 相异 概念 学习误区 未知数的最高次数是1次. 在不等式两边都乘(或除以)同一个 负数，不等号要改变方向. 一元一次不等式组 几个一元一次不等式所组成的不等式组. 解不等式组求 总结 知识 同大取大。同小取小，大小小大中间夹， 知能提升 升华 梳理 性质 大大小小无解答. “公共部分”口诀 若a>b,则a±c>b±c. 不等式的性质 若a>b,c>0, 则 辨别不等式. 根据题意，列出不等式. 不等式的概念 若a>b,c<0, 则 一元一次不等式 解与解集的区别与联系. 和不等式组 解集 不等式的解集 不等式的解集 概念和性质 由不等式的所有解组成的集合 数轴与不等式(组)解集的关系. 一元一次不 不等式的变形. 不等式的性质 学法 等式组的解集 几个不等式解集的公共部分 确定简单的不等式的解或解集. 求不等式 指导 不等式解法 (组)的解集 与一元一次方程的解法类似，所不同 依据 不等式的性质. 的是“未知数系数化1”要注意不等 解法 号的方向(乘除负数不等号要反向)。 不等式组 ①去分母， 连写不等式的解法 不等式 解集 数轴表示 不等式的解法 组解集 (a>b) ②去括号， 转化为两个不等式 步骤 组成的不等式组. x>47 ③移项， 解字母系数的 ④合并同类项， 都可化为 ax>b(或 ax<b)的形式. 一元一次不等式 x<b 一元一次不 ⑤未知数系数化为1. 等式组的解集 1、分别求出不等式组中各个不等式的解集. b<x<a (3)a=0,b≥0,x无解;b<0,x为任何实数. 2、利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分. 无解 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第三章 函数及其图像 第一节 平面直角坐标系与函数 建立直角坐标系 对有序实数的定义理解不透，横、纵坐标位置易颠倒， 定义 在某变化过程中有两个量x，y.若对 平面直角 于x的每个值，y都有唯一的值与其 确定比例尺。标注长度单位 用坐标表示 坐标系 函数概念 对应，则称x是自变量，y是x的函数. 按题意确定各地位置 地理位置 对点的坐标特点掌握不熟练，横、纵坐标符号易出错. 自变量 取值范围 使函数有意义的自变量的取值集合. 写出各地坐标 对一个图形上下平移和左右平移分不清导致错误. 函数取 仅用一个数不能确定点的位置，一对实数 学习误区 只考虑部分而忽视了整体. 值范围 自变量在某一范围取值，函数值的全体. 确定一个点的位置，这对实数是有序的. 知能 知识梳理 提升 自变量的 只考虑整体而忽视了部分. 函数表示 解析法 用数学式子表示两个变量的函数关系. 确保实际问题有意义. 自变量 取值范围 取值范围 忽视问题的实际意义。 列表法 通过列表格表示函数与自变量的对应数值. 确保几何图形有意义. 忽视隐含条件. 图像法 自变量与函数的每对对应值分别作为点 确保函数式自身有意义. 总结升华 的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出 平移 坐标系 相应的点，用这些对应点连成的图形. 将点(x，y)向左或右平移a个单位长度，得 概念 定义 到对应点的坐标为(x-a,y)或(x+a,y); 在平面内，两条互 相垂直且有公共原 (20) 向上或下平移a个单位长度，得到点的坐 点的数轴组成. 、 标为(x,y-a)或(x,y+a). 平面直角 坐标平面上的点与 坐标系与函数 有序实数对一一对应 确保实际问题有意义. 与实际问题有关 在x轴上,b=0. 特殊点坐标 使整个关系有意义. 组合型 自变量的取值 (a,b) 范围是个难点 在y轴上, a=0. 确保几何图形存在. 与几何图形相关 做题时一定要 考虑全面 一，三象限的角平分线上，a=b. 被开方数为非负数. 算术平方根型 学法指导 二，四象限角平分线上，a=-b. 分母不能为0. 分式型 对称点坐标的特征 自变量的 关于x轴的对称点(a,-b). 自变量取值为全体实数. 整式型 取值范围 (a,b) 关于y轴的对称点(-a,b). 已知点的坐标在坐标系内描点，先找出横纵坐标分别 在x，y轴上的位置，再作x，y轴的垂线，交点即是. 平面内 关于原点的对称点(-a，-b). 已知坐标平面内的点，求其坐标，向x，y轴作 平面直 定义域 使函数有意义的值的集合. 两点间距离 垂线，找到垂足坐标，按顺序写成(a，b). 角坐标系 x轴上两点M₁(x₀0),M₂(x₂,0)的距离 函数的 y轴上两点N₁(0,π),N₂(0,y₂)的距离 点的坐标符合某些条件，确定位置：弄清各象限及特殊点，坐标特征 三要素 值域 自变量在某一范围取值，对应的函数值全体. 直角坐标平面内，点P(x，y) 求某些点的对称点：弄清对称点的坐标特点. 到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|. 平面内的点 P与有序实数对(x，y)————对应. 点与点间 1 Pause B. 的距离 从自变量到函数的一个对应关系. 平面内两点 对应法则 的距离为 将点的坐标代入公式即可求得. 、 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第三章 函数及其图像 第二节 一次函数 第三节 反比例函数 一次函数 形如: y= kx+b(b是常数k≠0). 反比关系的两个变量不一定是反比例函数. 误认为正比例函数不是一次函数. 定义 定义 如果 那么y叫做x的反比例函数 正比例函数 特别地。当b=0时,y= kx(k=0) 点的坐标与线段的长 度关系不清致误. 研究反比例函数的增减性不注意借助其图像. y₁ 叶 一次函数是经 k>0 R1A 反比例函数是由两条 实际问题容易忽略自变 过点(0,5)和点 量取值范围及隐含条件. 图像 曲线组成的双曲线. 1 1 5 k<0 学习误区 图像 ké (一)的一条直线 不注意反比例函数与正 红枣 直线y=kx+b与x轴交点的横 比例函数之间的对比. 坐标是方程 kx+b=0的解. 当k>0,b>0时,y随c的增大而增大。 知能提升 且图像经过第一、二、三象限. 不重视数形结合，使简单问题复杂化. 双曲线两分支与 xy轴无限接近， 学习 但永远不会与坐标轴相交. 误区 解不等式 Ax+b<0,kx+b>0 当k>0,b<0时,y随x的增大而增大。 性质 可以看做y =kx+b图像在 且图像经过第一、三、四象限。 从反比例函数上任一 知识梳理 当k>0时，双曲线位于 x轴上方或下方的取值范围. 总结升华 性质 知能 点引x，y轴的垂线所围 提升 一、三象限，y随x的增 当k<0,b>0时,y随x的增大而减小, 大而减小. 且图像经过第一、二、四象限. 得矩形面积为|k|. 总结升华 两直线 知识梳理 交点坐标是方程组 当k<0,b<0时,y随x的增大而减小. 以双曲线上任意一点到原点 且图像经过第二、三、四象限. 的距离为斜边，且直角顶点 当k<0时，双曲线位 的解. 于二、四象限，y随x 在坐标轴上的直角三角形的 的增大而增大. b>0时，则直线与y轴交于正半轴； 面积为 则. 一次函数 b<0时，则直线与y轴交于负半轴； 反比例函数 b=0时，则直线过原点. 理解图像性质时应特别注意 反比例函数的一般形式： 设解析式为y= kx+b. 图像是一条经过(0,b),(-1,0)点的直线. “在每个象限内”不可丢掉。 学法指导 学法指导 人一决定直线的上升趋势和下降趋势。 函数解 函数图像 变形式： 由已知条件求出未知系数点. 析式 反比例函数的图像是双曲线. b——是直线与y轴交点的纵坐标. 函数性质 函数概念 将k,M的值带入解析式 y= kx+b. 直线y=kx+b的位置由k和x的符号确定. k的符号决定双曲线的位置 与函数的增减性. 常数k≠0是反比例函数 令x=0可得到直线y= kx+b与y轴交点为(0,b). 时两直线 定义的组成部分. 函数交点 平行. 令y=0可得到直线y= kx+b 确定表达式 与x轴交点为 函数性质 A>0-y随x的增大而增大. 一般方法为待定系数法. 自变量和函数的取值范围均 为不等于0的一切实数。 求两条直线 只知道x与y的一对对应值，即可求出k值. 的交点坐标可以联立两个式子解方 k<0-y随x的增大而减小.. 程组得到. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第三章 函数及其图像 第四节 二次函数 在抛物线 上， 漏掉“二次项系数不为0”这个隐含条件. 定义 形如 的函数叫做二次函数. 则对称轴为直线 a>0 a<0 对称轴 学习 易将 中h的符号弄错. y=0，求出与x轴交点. 误区 在a>0时，函数有最小值. 图像 x=0,求出与y轴的交点(0,c). 在a<0时，函数有最大值. 函数在对称轴左、右两侧的增减性相反. 开口方向 a>0时，开口向上，并且向上无限延伸. 用公式求得顶点 知能 a<0时，开口向下，并且向下无限延伸. 交点 提升 顶点纵坐标切忌写成： 抛物线 性质 顶点坐标 对称轴 与x轴的两交点到原点的距离分别为 与y轴的交点到原点的距离为|c|. 总结升华 知识梳理 增减性 a>0 y随x的增大 y随x的增大 顶点到x轴的距离为 而减小 而增大 二次函数比一次 y随x的增大 y随x的增大 解决二次函数 函数复杂.应更 a<0 顶点到y轴距离 的问题时，最 而增大 而减小 加了解其基本性 好利用数形结 质，方便做题 合的方法 与x轴的两交点间的距离为 最值 二次函数 描点法：通常取与抛物线的对称轴相对称的七个点(含顶点).图像画法 △>0，与x轴有两个交点；△<0，与x轴无交点；△=0，与x轴有一个交点. 表达式 交点 一般式 c>0，与y轴正半轴相交；c<0，与y轴负半轴相交；c=0，与原点相交. 学法指导 顶点式 a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下. 开口方向 (h，k)是抛物线的顶点. 交点式 对称轴 同号在y轴左侧，a，b异号在y轴右侧. 对称轴 图像 一般写法 x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标. 问题 一般形式 函数与方程的关系 形如 是最基本的形式. 在函数值y=0 注意事项 时为一元二次方程 理解问题，确立变量与常量. 用函数关系式表示它们之间的关系. a≠0;b,c可l 以为0，也可以不为0.自变量的取值范围是实数. 方程 解的个数为函数 的图像与x轴交点的 个数。 平移前后特征 利用二次函数的性质进行求解. 应用题 平移前后的图像，其形状、大小相同，只是位置不同. △>0，抛物线与x轴相交； △<0，抛物线与x轴相离； 检验结果的合理性. 图像平移 平移前后的解析式中，a的值不变. △=0，抛物线与x轴相切. 待定系数法求解. 求解析式 平移后解 析式确定 平移后解析式的确定：左加右减自变量，上加下减常数项. 灵活运用三种表达式：一般式，顶点式，交点式. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第四章 图形的初步认识 平行线 0中线 角平分线 线段中点 会画 平面图形 表示方法 直线/或直线AB== 0 0 图形的各部分在网一平面内.. 几何图形 、 添加辅助线： 公理 两点确定一条直线. 构造可以运用平行线性质和判断的条件. 平行线 图形的各部分不都在同一平面内. 立体图形 直线 点和直线的位置关系 点在直线上. 为平行线的其他性质打基础. 点在直线外， 同一平面内 几何体简称为体. 直线间的关系 相交 两条不同的直线有一个公共点. 直线、射线、线段概念不清. 面动成体 点、线 平行 两条直线没有公共点， 4 包围着体的是面，分为 面、体 概念 直线上一点和它一旁的部分。 4 “三线八角”中的三类角不能区分. 知能提升 线动成面 平面和曲面. 射线 表示方法 射线O，或射线/ 面和面相交的地方形成线。 概念 直线上两个点和它们之间的部分. 命题改写不能区分条件与结论. 学习误区 点动成线 线和线相交的地方是点. 表示方法 线段c或线段AB.--- 4 公理 再点之间线段最短. 由线段围成的封闭图形 总结 线段 两点间的距离 如三角形、四边形、五边形…… 连结两点间的线段长。 升华 知识 多姿多 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点. 如圆、椭圆…… 由曲线围成的封闭图形 梳理 彩的图形 1.具有公共顶点的两条射线组成的图形. 如扇形、弓形⋯⋯ 由直线和曲线围成的封闭图形 2.一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止 常见的平 位置所形成的图形. 直线、射线、线段间的位置关系. 面图形 直线、射线 定义 表示方法 ∠O=∠1=∠α=∠AOB 点和线的位置关系。 概念 线段 方法 角的度量 使用量角器度量角度.. 准确做出图形中直线、线段、射线的条数。 度量单位 度、分、秒. 相互转化 几何语言与图形 角 角的运算 角平分线 把一个角分成两个相等的角的射线. 线段计 图形的 角的和差倍分. 用计算方法判断大小 叠合法 度量法 线段比较大小 算与应用 角的比较 叠合比较法. 度量比较法 互余 正确运用线段等分点的性质 线段的和差倍分 初步认识 余角和补角 余角 两个角的和为90° 能根据题意画出图形 方位角 补角 互补 两个角的和为180° 较复杂的题目能列方程求解 两条直 以正北、正南为基准，用向 性质 线段公理 东或向西旋转的角度表示方向. 等角的余[或补]角相等。 会求实际问题中的最短距离 会求两点距离 线相交 依据“上北、下南、左西、右东”建立方向坐标 定义 学法 斜交 邻补角 定义 有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两角. 定义2为动态定义 定义1为静态定义 指导 再条射线. 性质 两角相加为180°. 两条射线有公共点. 特点 对顶角 定义 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 角 垂直 性质 对顶角槽等. 角的大小与边的长短无关，只与两射线张开的幅度大小有关. 垂线段 经过直线外一点画这条直线的垂线，点与垂足之间的线段. 角的大小一旦确定，就不因图形的位置、放大或缩小而改变. 点到直线的距离 两条直线被第 垂线段的长 重线段最短 4 尺规作图：作一个角等于已知角. 画法 三条直线所截 同位角 内错角 同旁内角 4 用量角器画小于平角的任一角. 命题 判断所给语句是否为命题. /₂ 三线八角” 定义 在同一平面内，不相交的两条直线. 符号“/”表示 用三角板画某些特殊度数的角. 与定理 判断命题的真假. 公理 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 三线八角 将命题改写为 平行线 平行公理 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行， 1%=60°,1'=60°, 度与度、分、秒的互化. 的识别 推论 运算 “如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式. 同位角相等，两直线平行. 度、分、秒的四则运算. 判定 内错角相等，两直线平行. 实际应用：钟表问题， 命题与定理 同旁内角互补，两直线平行. 斜交 对顶角、邻补角 概念的辨析 平行线的画法 判断一种事情的语句 性质 两直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行. 求角的度数. 平行线 相交线 性质的应用 同位角相等 内错角相等同旁内角互补 证明直线平行. 判定与性质的综合应用 应用 垂直的定义、性质求角度. 命题 真命题：正确的命题 公理 人们长期实践总结出来的真命题。 平行公理的应用. 垂直 作图 过直线上(或外)一点，作已知直线的垂线. 长方形的翻折. 假命题：错误的命题 定理 通过证明的真命题. 垂线段性质在实际中的应用. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第五章 三角形 第一节 三角形及全等三角形 证明中,把“SSA”写成“SAS”,即得出结论,这 不在同一直线上的三条线段首尾 顶点向它的对边(或其延长线)引垂线，顶 1.全等三角形的 顺次相连所组成的图形. 高线 点与垂足之间的线段叫做三角形的高. 里“A”不是“S”的夹角，而是某一边的对角. 判定方法的误区 定义 顶点- 内角 边 三要素 中线 连结一顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 在判断三线段能否构成三角形时，仅两边之和大于第三边 2.三角形判断 不一定能构成三角形；还需考虑两边之差小于第三边. 角平分线 一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线段. 1.三角形只需验证最短两边的和大于第三边即可. 四线 中位线 定义 三角形两边中点之间的线段. 2.利用三角形全等来证明线段的“和”“差”，一般采用“截长补短”法. 学习误区 性质 三角形的中位线平行且等于第三边的一半。 知能提升 基本概念 边边 两边之和>第三边，( 两边之差<第三边. 3.三角形的外角定理及推论，是“角”转换的有效工具. 关系 边角 大边对大角，等边对等角. 总结 知识 4.构造三角形，利用三角形全等，是证明线段相等或角相等的 升华 梳理 内角和定理 三角形内角和=180°. “常规”的方法. 角角 外角=与它不相邻的两内角和. 外角>任一和它不相邻的内角. 5.把三角形的中线加倍延长，是解决涉及“中线”这个条件 外角定理 外角+邻角=180°,外角和=360°. 的问题常见技巧。 不等腰：三边不等 注意： 三角形的两边之和 ①它是一个不等关系，是证明线段不 大于第三边，两边 按边分 等腰：仅两边等 等关系的一个重要思想方法. 之差小于第三边 三角形及 等边：三边等 ②证明有关线段的不等关系，首先要 把有关线段转化在同一个三角形内. 三角形的 全等三角形 分类 1.结合定理，确定内角的范围. 三边关系 锐角：三锐角 2.一般 2.已知两个内角，求第三个内角. 三角形 按角分 钝角：一个钝角 3.已知内角的同角关系，运用方程的思想求各角度数. 直角：一个直角 1.直角△，两锐角互余. 三角形的 学法 定义 2.等边△,三角分别为60°. 生物 内角和是 指导 全等 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 3.等腰△，底角相等. 180°应用 角的关 4.由已知求出△内角的度数，判断△形状. 系应用 性质 ①对应边相等. ②对应角相等. a.外角的 (1)区分“对应边”与“对边” ③对应角平分线、 1.角的顶点在△的顶点上. 判断标准 三角形 ④周长、面积相等. “对应角”与“对角” 中线、高相等. 2.角的一边与△一边重合. b.运用外 1.注意 (2) 符号“≌”的含义; “﹏”表 判定 3.角的另一边是△另一边的延长线. 角的性质 中线、 问题 示形状相同。 “=”表示大小相等. 一般三角形 SAS, ASA, AAS, SSS 构造公外角，验证 角平 (3)表示两个△全等时，对应顶点的 1.求△内角的度数. 实际应用 分线、 字母要写在对应的位置上. 直角三角形 HL 2.证明角的相等与不等关系。 全等 1.三角形中线、角平分线都在三 高线 三角形 2.常见的全等图形 平移型 旋转型 翻折型 3.△外角和与内角和相结合，求角度. 角形内，相交于三角形内的一点 (1)指明在哪两个△中. 锐角三角形： 3.证明△全等 三条高线在形内， 2.三角形的高线画 应遵循的原则 (2)按边角顺序列出全等的三个条件(Rt△两个条件)，并用大括号括起来. 法，如下图所示 (3)写出结论，两△对应顶点的字母要写在对应的位置上. 直角三角形：三条高线 4.判断△全等 (4)证明过程要步步有依据 交点在形上(直角顶点). 的基本思路 (1)有两边对应相等时，找夹角或第三边相等. 钝角三角形： (2)有一边和一角对应相等时，找另一边相等或夹等角的另一边相等. 三条高线有两条在形外. (3)有两个角相等时，找一对对应边相等. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第五章 三角形 第二节 特殊三角形与勾股定理 1.混淆等腰三角形的性质和判定. 定义 有两边相等的三角形. P (1)等边对等角。 2.已知两边长，求直角三角形第三边长，容易漏掉 一种情况.例，已知两边长是3和4，求直角三角形 第三边长，往往只会得第三边长是5，而漏掉了 这个结果. 性质 一般等腰三角形 (2)底边三线合一。 判定 B: C 定义法. D 3.等腰三角形的“三线合一”是有条件，而等边三 角形“三线合一”是无条件的，这点容易误解。 学习误区 等角对等边. 等腰三角形的“三线合一”性质和它的对称 等腰三角形 三边相等的三角形. 性质结合起来理解. 知能提升 定义 总结 知识 等边三角形 等边三角形的判定， “有一个60°角的等腰三角 (1)三边相等. 4 形是等边三角形”，这个60°的角可以是顶 升华 梳理 性质 (2)三角均为60°. 2 角，也可以是底角. (3)三线合一。 50° 60° B: C 勾股定理应用非常广泛，把有关已知量和未知 判定 (1)三角相等的三角形. 量转化在同一个直角三角形中，应用勾股定理 (2)一角为60°的等腰三角形. 列方程，求出未知量. 注意：学习和应用此定理。一定 特殊三角形 4 有一个90°角的三角形. b| 0 定义 要弄清“三线合一”的限 与勾股定理 (1)两锐角互余. 定条件，灵活应用. B 0 EF 等腰三角形顶角的平分线和底边上的中 直角 (2)斜边上的中线等于斜边的一半. 线、高线重合，简称“三线合一”. 等腰三角 三角形 性质 (3)30角所对的直角边等于斜边的一半. 形的性质 学法 指导 (4)勾股定理：两直角边a，b的平方和等于 斜边c的平方。即 它们是互逆定理，记忆时，扣住“等角” 等腰三角形 还是“等边”.“等角对等边”是判定。 的性质与判定 “等边对等角”是性质. (1)定义法. 实际应用 (1)运用直角三角形性质，应明确该三角形是 直角三角形 1.爬行最短距离问题. 判定 (2)两角互余的三角形. C . 直角三角形，明确斜边和直角边，灵活运 (3)一边上的中线等于这边一半的三角形. ✔ ▾ 用直角三角形的性质，特别是勾股定理。 2.折叠问题. ^ D B (4)勾股定理逆定理：若 、 3.实际问题中的长度计算. 则是直角三角形. (2)除掌握直角三角形 勾股定理 1.由定理证明引申出的题目. 其中a、b为两角直边， c为斜边，h为斜边上的高，如图所示. 常见性质外，还需 掌握下面公式： (1)勾股定理： 2.直接由定理计算开方求边长. 3.据定理列方程解题. 结论 ②内切圆半径 外接圆半径： 斜边上的中线. 4.构造直角△，运用转化思想. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第六章 四边形 第一节 多边形的概念及性质 不是在理解的基础上运用多边形的内角和公式. 定义 平面内，由不在一条直线上的一些线段首尾顺 通常会用外角和与内角和 多边形的外角和为360° 次连结而形成的封闭图形. 的关系来求多边形的边数. 已知一个多边形的内角和与外角和的关系， 求边数的问题. 学习误区 凸多边形 单个多边形的密铺问题. 多边形 按凹凸分 多个正多边形的密铺问题. 多边形的密铺问题 却不知道多边形 的外角和为多少? 从形成镶嵌的某个顶点出发分析. 凹多边形 它们的和为360°的倍数，即可镶嵌. 分类 知能提升 三边形 知道度数可求边数. 多边形的内角和公式： 总结升华 知道边数可求度数. 按边数分 四边形 熟记n边形的对角线公式： 知识 五边形 梳理 正方形、矩形、正三角形， 多边形的密铺问题 多边形的 一类特殊多边形 各边相等. 正六边形等都能将地板铺满. 概念及性质 正多边形 内角和 n边形的内角和 各角相等. 连结对角线，将多边形分成若干个三角形. 等于 运用三角形性质转化多边形中的角. 三角形的内角和等于180°. 补全图形转化为四边形的问题. 多边形问题转 学法指导 四边形的内角 化为三角形或 和等于360° 任意一个四边形都可以通 过连结对角线分割成两个 从一个顶点出发。连对角线. 四边形问题 三角形. 将四边形问题转化成三角形问题. 多边形的外角 和等于360°. 每个三角形的内角和都等于180°. 多边形的内角和 四边形 n边形的外角和等于360°. 的外角和 外角和 四边形的内角和等于360°. 镶嵌 四边形的外角和也等于360°. 多边形的内角和等于 每一个内角与相邻的一 推导 个外角组成一个平角. 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分 定义 完全覆盖. n边形共有 条对角线. n边形的对角线 四个内角与相邻的四 个外角组成四个平角. n边形的一个顶点可引(n-3)条对角线. 外角和等于四个平角的和 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°. 减去内角和，等于360°. 特征 这些对角线将多边形分成(n-2)个三角形. 相邻的多边形有公共点. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第六章 四边形 第二节 平行四边形 要证平行四边形，两个条件才能行. A 定义 一证对边 (角)都相等，或证对边都平行. 口诀 已知三角 两组对边分别平行的四边形 D E F 形的中位线 D₁ 。 一组对边也可以，必须相等且平行. B C 概念 表示方法 □ABCD 对角线是个宝，互相平分“跑不了”。 A DE为△ABC中位线,也为△ADC的中线. 3 B C. D/ B 常作的辅助线 三角形中线 三角形ABC中有中线AD，延长中线 翻一倍,则ABEC为□. E 作CF∥AB交DE延长线于E或延长 对角线 不相邻的两个顶点连成的线段AC，BD. 知能提升 DE至F,使DE=EF. 对角相等. 搞错或弄混平行四边形的性质和定义。 △ADE≌△CFE. 学习误区 目的 邻角互补. 总结 四边形ADCF为□. 性质 对边平行且相等. 运用平移，旋转. 升华 两条对角线互相平分. 三角形全等. 证两组对边分 夹在两条平行线之间 别相等的途径 知识 的平行线段相等. 线段和差. 梳理 是常见的： 辅助线 是中心对称图形，对称中 等腰三角形等角对等边。 心是两条对角线的交点. 方法，规律，技巧 平行四边形 三角形的 定义 连结三角形两边中点的线段. 中位线 运用三角形全等. 证对角线 互相平分 学法 定理 三角形的中位线平行于第三边，且 线段等分. 指导 等于第三边的一半.. 线段和差. 探索平行四边形成立的条件 面积 Smab. a. b分别表示底和这一底上的高. 确定边的平行关系. 三角形的中位线定理 判定应用 两组对边分别平行. D/ C 确定边的倍分关系. 若条件中涉及 逆向思维 两组对边分别相等. D 12 判定 A B 证明 性质的应用 对角线互相平分. 联系全等三角形知识. 判定平行四边形 角：考虑“两组对角分别相等(或边平行)”. 一组对边平行且相等. 求角和边的大小. 对角线：考虑“对角线互相平分”. S= ab. a,b分别表示 公式法 直接用于计算 A 底和这一底上的高. 面积算法 边：考虑“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”. 对角线范围的确定. 三角形中线：构造平行四边形. AD为△ABC的中线,延长AD至E, B. C 转化法 据三角形三 D 向三角形面积转化. 边关系解决 使AD=DE,则ABEC是平行四边形 E 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第六章 四边形 第三节 特殊的平行四边形 平移或旋转将分散的条件集中. 知识提升 定义 有一个角为直角的平行四边形是矩形， 在已知图形中局部构造特殊的图形. 混淆特殊四边形的性质及判定. 抓住题目的特点. 将特殊四边形的问题转化为三角形. 具有平行四边形的所有性质. 探索新型四边形 学习误区 矩形 四个角是都是直角. 理解基本的定义. 直角三角形斜边中线 性质 对角线相等. 的性质是矩形的推论， 既是中心对称图形， 运用原有特殊四边形的性质. 错用于一般的三角形. 折叠问题 又是轴对称图形. 寻求折叠前后不变的量. 面积:S=ab a,b分别表示长和宽. 转化思想，探求不规则图形面积. 特殊方法求面积 知识 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 设未知数，列方程求解. 总结升华 梳理 具有平行四边形的所有性质. 菱形 有一组邻边相等，有三个角是直角四边形. 性质 四边都相等. 从四边形的角度 两条对角线互相垂直，并且 综合应用 对角线互相垂直平分且相等的四边形. 每条对角线平分一组对角. 有一组邻边相等的矩形. 既是中心对称图形，又是轴对称图形. 从矩形的角度 判定 对角线互相垂直的矩形. 面积 分别表示两条对角线的长. 有一个角为直角的菱形. 从菱形角度 正方形 特殊的 推广：任意对角线互相垂直的四边形. 平行四边形 对角线相等的菱形. 关系 平行四边形 S=a² 面积 矩形 正方形 菱形 四条边都相等的四边形是菱形. 学法 指导 1.四边相等，四个角是直角的四边形是正方形. 有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 正方形 定义 2.有一组邻边相等且有一个角 判定 是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形 3.一组邻边相等的矩形是正方形. 4.有一个角为直角的菱形是正方形. 已知两对角线可求面积及边长. 应用 在解决特殊的四边形时，一定要仔细观察， 5.对角线平分且相等，且交 已知一边和一条对角线，可求另一条对角线. 角为直角的四边形是正方形. 然后选择合适方法，做题时一定要仔细 已知一边和一特殊的内角，可求对角线及面积. 具有平行四边形，菱形，矩形的所有性质. 对角线相等的平行四边形. 判定 面积 性质 对边平行，四边相等，邻边垂直，角=90°. 有一个角是直角的平行四边形. 矩形 a表示正方形的边长. 对角线相等、互相垂直平分， 运用勾股定理求边或对角线的长. 应用 每条对角线平分一组对角. 运用对角线相等证明四个小三角形的面积相等. 既是中心对称图形，又是轴对称图形. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第六章 四边形 第四节 梯形 将梯形问题转化成三角形或平行四边形的问题时，辅助线添加错误. 定义 一组对边平行，另一组对边 理解错误 不平行的四边形. 强调“同一底”： “等腰梯形同一底上的两个角相等”. 错误说成：“等腰梯形两底上的角相等” 上底 梯形底有上底、下底之分. 错误 或等腰梯形底角相等. 梯形 图形 腰 腰 高 平移梯形对角线，两底之和成一线； 学习误区 下底 平行移动一条腰，两腰同一“△”现； 延长两腰交一点， “△”中有平行线： 一般梯形 作出梯形两高线，矩形呈现在眼前； 图形重心 口诀 定义 两腰相等的梯形. 已知腰上一中线，莫忘作出“中位线”。 知能提升 两腰相等. 梯形的镶嵌 分类 总结 同一底上两角相等。 折叠 实践探究 性质 升华 等腰梯形 对角线相等. 特殊梯形的形成. 操作 是轴对称图形，只有一条对称轴. 梯形裁剪拼出其他四边形. 特殊 知识 两腰相等的梯形. 梯形 判定 公式法. 面积计算 梳理 同一个底上两底角相等的梯形. 割补法，化为其他特殊图形求解. 对角线相等的梯形. 梯 形 利用定理，求中位线长. 一般问题 有一个角是直角的梯形. 中位线 定义 同一腰上的两个角是直角. 学法 直角梯形 转化为三角形中位线求. 指导 连结上底一端和另一腰的中点 中位线 性质 高=直角腰. 并延长交下底的延长线于一点. 确定角度及边长 等腰梯形性质 定义 连结梯形两腰中点的连线. 先判断是梯形. 判定的应用 辅助线作法 中位线 两腰相等. 判断梯形是 定理 梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。 对角线相等. 再判断等腰梯形 过一腰的中点作 面积 同一个底上 另一腰的平行线。 (a——上底,b——下底,h——高). 图形 两底角相等. 移对角线 平移 的重心 S=IM(/为梯形中位线长，h为梯形高). 平移梯形一腰，将梯形分成三角形与平行四边形。 延腰 梯形问题转化 定义 当支撑或悬挂图形时，图形能在水平面处于平衡状态，把支 当梯形底角为特殊角时，常作高，将梯形 撑点或悬挂点叫重心 (或平衡点)。 分为直角三角形与直角梯形. 成三角形或四 构造具有公共角的两个三角形. 边形的问题 使两条对角线在 作高 线段的重心是线段的中点. 当梯形对角线的夹角为特殊值时，常平 同一个三角形中. 常见图 移对角线将梯形分成三角形与平行四边形. 形的重心 任意多边形的重心：只有一个，用悬挂法求. 三角形的重心是三边中线的交点. 当为直角梯形时，常作高线，将梯形分 移腰 成矩形和直角三角形. 使两腰在两个直角三角形中. 平行四边形的重心是对角线的交点. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第七章 圆 第一节 圆的概念与性质 在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 定义1 一个端点A所形成的图形，其中O叫圆心，OA叫半径. 弧所对的圆周角与弦所对的圆周角混淆致误. 到定点的距离等于定长的点的集合.定点叫圆心， 定长叫半径。 A 定义2 O 优弧：大于半圆的弧，如：，，，， 圆的证明不算难，常连半径直径看。 弧 连结圆上任意两点间的部分 劣弧：小于半圆的弧，如R ：元 有弦可作弦心距，它必垂直平分弦. 学习误区 弦 因上两点之间的线段. 等弧：同圆成等圆中，能够宽 全重合的弧 直径是圆最大弦，常把90°圆周角添. 圆的 弦心距 圆心到弦的距离. 它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边. 定义 直径 A₁ 性质运用口诀 知能提升 圆的 过圆心的弦. 还有与圆有关角，勿忘相互有关联。 概念 圆心角 顶点在圆心上的角. 圆周、圆心、圆外角，细找弧弦把线连. 总结 知识 升华 圆周角 顶点在圆周上，两边与圆相交的角 同弧圆周角相等，证题用它最多见。 梳理 同心圆 确定圆 圆心相同，半径不同的圆. 等圆 的条件 圆的 半径相等的圆。 过圆心的每一条直线都是对称轴. 平面内不在同一直线上的三点可以且只可以决定一个圆 性质 对称性 轴对称图形 中心对称图形 圆心是对称中心. 确定圆的两个条件 垂直于 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 圆心决定圆的位置. 圆心 圆的概念 弦的直径 定理 直径CD⊥弦AB⇒(1)CD平分AB (2) 半径决定圆的大小. 半径 正确区分弧、弦、 与性质 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧. 半径、直径等概念 圆心角、弦、 圆环：是从一个大圆里面去掉一个小同心圆形成的图形。 弧之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 定理 弦相等，弦所对的弦心距相等. 与圆环有关的面积问题 在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、 圆环的面积=大圆面积一小圆面积. 学法 推论 已知任意两条 圆的有 两条弦、两条弦的弦心画中有二组量相等。 对圆的一条直线给出下列五个条件： 关概念 则它们所对应的其余各组量也对应相等. (1)直线垂直于弦； (2)直线过圆心； 可推出其余三条 指导 1.理解 圆周角性质 定理 一条弧所对的圆周角等于 (3)直线平分弦(不是直径)； (4)直线平分弦所对的优弧； 它所对圆心角的一半. (5)直线平分弦所对的劣弧. 对称性，圆的 2.计算线段的长度 对称无处不在 构造圆的半径、弦的一半、弦心距组成 的Rt△AEO或Rt△BEO. 圆内接多边形 1.半圆(直径)所对的圆周角为90°；90°的圆周角所对的弦为直径. 推论 3.逆向运用定理 2.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 确定圆心、半径与圆有关的角. 或多边形外接圆 相等的圆周角所对的弧相等. 重径定理论 圆的有 (1)已知同弧或等弧，找所对的角，通常作圆的弦. 关性质 定义 顶点都在同一圆上的多边形. 1.圆心角与圆周角的关系 (2)正确利用倍半关系. 顶点都在同一圆上的三角形称圆内接三角形， (3)弧所对的角有唯一性，弦所对的角需分类讨论。 圆内接三角形 定义 圆心称三角形外心. 2.直径所对圆周角的特征 或三角形外接圆 性质 外心到各顶点距离相等，是三角形各边的中垂线的交点. (1)作辅助线，构造“直径所对的圆周角是直角”。 与圆有 (2)圆周角是直角，其所对的弦是直径. 3.圆外角 关的角 B 圆内接四边形 定义 顶点都在同一圆上的四边形. 定义：延长圆周角的一边与另一边的夹角. C 或四边形外接圆 圆内接四边形对角互补， 4.利用弧的度数计算圆周角的度数 A 性质 性质: 如图∠A+∠C=180°,∠CDE=∠B. D E 圆内接四边形的外角等于内对角. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第七章 圆 第二节 与圆有关的位置关系 1、与圆的位置关系可从形和数两方面来判断，思维单一容易致误. 点在圆内⇔d<r 2、切线长定理不能与三角函数结合致误. 3、两圆相交时，半径与圆心距的关系考虑不全. 点在圆上⇔d=r 1.有切线，作过切点的半径. 常作的 2.有半径，过端点作圆的切线. 辅助线 点在圆外⇔d>r 学习 点与圆 e 1 3.有切线长，作以切线、过切点的半径、圆心 与圆外的点的连线构成的Rt△PAO或Rt△PBO. 相离⇔d>r⇔直线和圆无公共点 F 误区 直线 知能提升 相切⇔d=r⇔直线和圆只有一个公共点 O( C 总结 与圆 5. 知识 升华 梳理 相交⇔d<r⇔直线和圆有两个公共点 通过计算圆的半径r与点到圆心的距离d的数量关系直接判断. 0.5 A. 通过计算圆的半径r与直线到 圆与圆 。 D 圆心的距离d的数量关系. (1)判定方法 相交⇔R-r<d<R+r 点与圆 O₄ du ①定义法：与圆只有一个交点的直线. 位置关系 相切(唯一公共点) 外切⇔d=R+r (2)相切判定 与圆有关 3.5 ②数量法：与圆心的距离d=r的直线. 内切⇔d=R=r 的位置关系 d为圆心距 ③判定定理. 相离(无公共点) 外离⇔d>R+r “ 0 有明确交点，连半径，证直线与半径垂直。 (3)证明直 线与圆相切 内含⇔0≤d<R-r φ 无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径. (4)切线性 学法 和圆只有一个公共点的直线. 已知直线满足：①过圆心；②过切点； 直线与圆 指导 定义 质的拓展 O ③垂直于切线，可知二推出另一个. 位置关系 切线 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 计算R+r,R-r与d的关系 判定定理 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (1)有关两圆 两圆相交：分圆心在公共弦的同侧或异侧. 位置关系的计算 圆与圆的 与切线有 定义 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长. 两圆相切：分外切和内切. 位置关系 关的知识 切线长 (2)判定: 直 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等. 两圆相离：分外离和内含. 观图形观察 圆心和这点的连线平分两条切线的夹角. PA=PB,∠APO=∠BPO. 抽象出几何图形. (3)实际生活 中的多圆问题 + 由多圆中两圆或三圆的特性得出整体图形的共性. 三角形的 P4 P 内心与外心 三角形的内切圆 B (1)定义 三角形外接圆的圆心或三角形三条中垂线的交点. 外心 外心到三个顶点的距离相等. (2)性质 与三角形各边都相切的圆(又叫圆的外切三角形). OA=OB=OC, 且∠AOC=2∠ABC. 圆心叫三角形的内心，是三角形任意两条角平分线的 正 (1)定义 内心 交点，它到三边的距离相等. 三角形内切圆的圆心或三角形三条角平分线的交点. 内心到三边的距离相等. (2)性质 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第七章 圆 第三节 与圆有关的计算 第四节 正多边形与圆 易记错弧长公式的分母. 中心 正多边形的圆心. 扇形面积公式易与弧长公式混淆. 有关概念 中心角 正多边形的一边所对的圆心角. 圆锥的全面积易忽视底面积. 边心距 圆心到各边的距离. 学习误区 正多边形的概念容易混淆，它要求所有边、角都相等. 圆内接正多边形 取圆上的各等分点，顺次连结各等分点，所 关系 组成的多边形叫圆内接多边形. 经过n等分点作切线，切线相交n个点； n个交点做顶点，外切正n边形就呈现. 正多边形和圆 圆外切正多边形 分别过圆的各等分点作圆的切线，相邻两切 正n边形很美观，它有内切、外接圆； 圆与正多边形口诀 知能提升 线交点组成的正多边形叫圆外切正多边形. 两圆都是同心圆，它的图形轴对称； 总结 n条对称轴过圆心，n偶中心对称显. 知识 性质 正n边形做计算，边心距、半径成关键； 升华 梳理 正多边形都有一外接圆，反之，同一个圆有无数多个内接正多边形. 内切、外接圆半径，边心距原是(内) 半径变；分成Rt△2m个整，依此计算 0 更简便. O 作辅助Rt△：边心距、半径、边长的一半. B 中 心角. A C % B 面积计算 与圆 正n边形的半径和边心距，把它分成 求三角形的面积. 有关 了2n个Rt△AOC. 求正多边形 与圆有关的计算 面积=2m个Rt△AOC面积. 中元素的值 的计算 角的计算 弧长 ! 正多边形与圆 公式 m² 结合图形找出弧所对应的半径和圆心角度数. 否 弧长公式的应用 求点的运动路径(几条路径的和). 学法 1，n，r三个变量，已知其中两个就可求另一个. 指导 扇(弓) 直接求面积. 扇形面积 形面积 / 运用公式变形求其他量. 公式的应用 m² F 等积变换或割补法. 方法 含有扇形的组合 圆锥的侧面 图形的面积计算 用上述方法，将图形化为规则图形利用公式求解. 思路 积和全面积 求侧面积和全面积. 应用面积公式计算 圆锥侧面积和全面积： 公式变形求圆锥有关的角和线段长. 圆锥的面积 作侧面展开图. 求几何体上两点的最短距离 在展开图中找出表示最短距离的线段. 圆锥展开图 1 2π/ 求制作实物的用料. 讨论设计方案的可行性. 应用于实际生活 09 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第八章 相似与投影 第一节 相似三角形 ①相似三角形的对应边找错. C 定义 对应边的比相等，对应角相等的两个图形. ②位似比对扩大与缩小的影响不明确. 学习误区 对应边、对应中线、对应角平分线、 b a 相似形 性质 对应高线、对应周长的比等于相似比； 面积之比等于相似比的平方. ③面积比与相似比的关系不明确. b 有关概念 相似比 相似多边形对应边的比. 1、切记相似三角形的边角对应关系. A c D B 2、在应用相似三角形时，要注意方法的选择： 成比例线段 a. b,c, d叫成比例线段. ①先是两角；②已知两边成比例必须考虑另一边 △ACB∽△ADC∽△BDC 成比例或夹角相等；③直角三角形的特殊方法. 3、等积式或比例式基本解题思路口诀： 两角对应相等的两三角形相似. 遇等积，化比例，横找竖找定相似； 知能 相似三角形 两边对应成比例， 提升 夹角相等的两三角形相似. 不相似，莫要急，等线等比来代替； 的判定 遇等比，改等积，引用射影和圆幂； 三边对应成比例的两三角形相似. 总结华 平行线，转比例，两端各自找联系. 面积关系: ab= ch 知识 平行于三角形一边的直线和其他 梳理 两边(或两边延长线)相交所构 两条都成立。 1.判断对应边是否成比例. 成的三角形与原三角形相似。 则相似， 判断多边形 1.斜边和一直角边对应成比例 否则不相似. 2.判断对应角是否相等. 的相似 判定 的两直角三角形相似。 Rt△相似 2.有一组锐角相等的两个 1.若有平行线，直接得出三角形相似. 在几何图形中 结论 直角三角形相似. 2.若无平行线，按判定方法逐个判断. 找三角形相似 相似三角形 Rt△斜边上的高分成的两、 3.找题目隐含条件，如公共角、对顶角等。 个Rt△与原Rt△相似:“ 注意：三角形相似具有传递性. 判断 结合三角形的性质。 三角形相似 相似三角形 对应角相等，对应边成比例 确定三角形各角度数. 在正方形的网络中 学法 的性质 对应高线、中线、角平分线 确定三角形相似 的比等于相似比. 结合勾股定理， 指导 周长之比等于相似比. 确定三角形各边长. 已知三角形 这个点就是 面积之比等于相似比的平方. 运用三角形相似的方法得出结论。 证等积式 三点定型法确定相似三角形. 相似，探索使 位似中心 构成位似图形 1.两个图形是相似形. 逆向思维，依据仍是三角形判定条件。 结论成立的条件 证有公共边(或等边)的两个 满足的条件 探索得出的条件不唯一， 三角形相似，公共边(或等边) 2.每对对应点所在的 但只要相似的条件即可 证明等比式 分别是其他两边的比例中项. 直线都经过同一点. 或等积式 证比例中项 Rt△的射影定理. 两个位似图形一定相似 利用比例尺，计算地图或 利用图形相似 实际图形中的线段长或面积大小. 进行计算 若涉及的三条线段不在 位似图形上的任意一对对应点 两个三角形内，则可利 性质 根据相似比，确定相似形的周长和面积. 用相等线段进行转换. 到位似中心的距离之比等于位似比. 通过相似列出比例式。 运用方程思想，确定边长. 利用相似三角形的面积比 位似图形对应点的连线 位似图形 通过相似求线段间的比值. 等于相似比的平方证明. (或延长线)都交于一点. 常作辅助线 证平方比 位似图形的对应线段平行且成比例. 过三角形一边(或延长线)上的特殊点作另一边的平行线. 是平行线 利用相似形测 三角形的中线：过中点作边的平行线； 量物体的高 位似图形的对应角相等. 或延长中线一倍，构造平行四边形. (或宽) 应用 利用位似可以将一个 三角形的角平分线：过交点作另一边的平行线. 日 图形放大或缩小. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第八章 相似与投影 第二节 投影与视图 区分两种光源，及平行投影和中心投影的区别. 学习误区 投影的计算与相似用同样的方法. 物体 光照 点光源 中心投影 (立体图形) 投影 投降 影子在坡面与墙壁上时，一定要计算在地面上的实际影子. 平行光源 平行投影 画三视图口诀：主俯长对正， 俯左宽平齐，主左高相等. 知能提升 总结 知识 由三视图推出小正方体的个数，参照 升华 主视图、左视图，在俯视图上标数字. 梳理 垂直于控影面 从某一角度看一个物体，所看到的图像. 定义 想象 主视图————从正面看. 俯视图————从上面看. 三视图 主视图 由前向后看 左视图————从左面看. 看见的是实线. 投影与视图 三视图 俯视图 由上向下看 正投影视图 视图 看不见的是虚线. 由几何体判断其三视图. 左视图 由左向右看 应用 由三视图确定原物体的构成. 学法 定义 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子. 把三视图还原成立体图形， 指导 使数量关系更直观. 根据三视图进行计算. 中心投影 投影 同一时刻、同一地点各物体投影的方向相同. 判断平行投影 一般地，同一时刻，物体越高其影子越长.(影长与物高成正比) 分类 平行投影 使两物体成影的光线的交点即是. 确定光源的位置 应用 太阳光线当成平行光线. 作出物体在阳光下的影子 画光线时要过物体的顶端. 正投影 结合相似三角形的性质求长度(高度). 平行投影 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第九章 图形与变换 第一节 图形的对称 定义 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合， (1)误认为，中心对称图形都是轴对称图形。 如平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形. 就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 学习误区 轴对称 轴对称图形定义 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形， (2)判断一个图案是否是轴对称或中心对称图形， 往往只注意复合图案中较大的图案， 而忽视了这个图案中较小图案的对称性. 这条直线叫做对称轴. 性质 总结升华 知识梳理 如果两个图形关于某一条直线对称，那么对应线段相等。 对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分. (3)不能正确运用图形的对称性，将有关的线段集中 (转换)在一个三角形中来运用勾股定理求解. 轴对称变换 全等变换 在图形的全等变换下，线段、角大小不变. 把一个图形绕着某个点旋转180度后，如果它能够 (1)图形的对称变换是全等变换，要抓住“全等形” 得出有关的线段相等，有关的角相等. 定义 和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。 知能提升 中心对称 这个点叫做对称中心. 中心对称 某个图形绕着一个定点旋转180度后， 图形的对称 图形定义 能与自身重合的图形叫做中心对称图形， (2)对于求两条线段和的最短距离的问题，一般方法是， 将其中一点A(线段端点)作某一直线的对称点A'，例如， 如图所示，在直线/上求一点P，使PA+PB的距离最短，过 点A作直线/的对称点A'，连BA'交直线于P，则P为所求. 这个点叫做对称中心. (1)连结中心对称的两个图形的对称点， 性质 所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分. B、 注意：在一般综合题中，如果有类似问题. 可采取上述方法，再构造直角三角形， 用勾股定理解之. 学法指导 A (2)中心对称的两个图形全等. / P 7. 平行四边形，矩形，菱形，正方形，圆，线段. (1)正确理解轴对称和轴对称图形. 正确理解有关的定义 常见中心对称图形 正偶数多边形 (如正方形，正六边形等). 常见轴对称图形及 对称轴条数 (2)正确理解中心对称和中心对称图形. 关键是先确定对称轴， 线段有一条对称轴；角有一条对称轴； 作轴对称图形 或者作完图后，能否找到它的对称轴. 理解全等变换 等腰(非等边)三角形有一条对称轴； 作对称图形 等边三角形有三条对称轴； 轴对称和中心对称都是全等变换， 等腰梯形有一条对称轴； 作中心对称图形 关键是先确定对称中心，或者作完 正确应用全等变换的性质. 矩形有两条对称轴； 图后，能否找到它的对称中心. 菱形有两条对称轴； 正方形有四条对称轴；圆有无数条对称轴；正n边形有n条对称轴. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第九章 图形与变换 第二节 图形的平移与旋转 (1)不能正确认识旋转的现象，如把 某一基本的平面图形沿某个方向移动一定距离， “行进中的自行车车轮的运动”误认为旋转. 定义 这种图形的平行移动叫做图形的平移. 学习误区 (2)不能正确认识旋转中的旋转角. 总结升华 图形的 平移 性质 经过平移，对应线段、对应角分别相等，所连 对应点线段平行且相等，图形大小、形状不变. (3)在解答有关平移、旋转问题时，不能充分 运用平移、旋转是全等变换这个思想方法，没有 知识梳理 平移变换 全等变换 找出有关相等线段或相等的角. 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动 知能提升 定义 一个角度就叫做图形的旋转，点O叫做旋 (1)运用平移、旋转的性质求线段和角时， 转中心，转动的角叫做旋转角. 可转化为利用全等三角形的性质等进行证明. (1)对应点到旋转中心的距离相等. 性质 (2)根据解题需要，我们将某一图形(或图形的一部分) 图形的 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 绕某定点旋转一个定角 (60°或90°等)，使某些元素(线段或角) 平移与旋转 图形的 (3)旋转前后的图形全等. 相对集中(构造一个三角形)，以利于问题的解决，我们称 旋转 这种方法为“旋转变换”. 旋转的特例 中心对称 中心对称图形 学法指导 (3)运用“旋转变换”，解决问题的基础条件是有一组对应边相等， 旋转变换 全等变换 作旋转变换时，一定要指明旋转中心，被旋转的图形，旋转方向， 旋转的角度，旋转到什么位置. 理解全等变换 探索基本图形之间的变换关系 平移变换、旋转变换都是全等变换， 进行图案设计，欣赏并体 验平移、旋转(或轴对称) 其性质也可以根据全等的性质去归纳和理解记忆. 解决旋转 在现实生活中的应用. 问题的关键 解决平移 问题的关键 先是找准平移前后图形中的对应点， 先找出旋转角，即对应点， 然后利用平移的性质来解决. 然后利用旋转的性质去解决. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第九章 图形与变换 第三节 图形的变换与坐标 (1)在解图形变换(平移、旋转、翻折)题时， 对称点的 (1)点A (a，b)关于x轴的对称点 A' 为 (a,-b). 对全等变换中相等量(相等线段、相等的角) 坐标特征 把握不准确，运用不到位，没有起到“过渡” (2)点A (a,b)关于y轴的对称点A'为 (-a,b). 或“转换”的作用. 图形换 学习 知识 误区 总结 梳理 (3)点A (a,b) 关于原点O的对称点A'为 (-a,-b). 升华 (2)图形在平移时，容易忽视对应点的连线平 行且相等. 图形 平移 平移变换 图形 (3)图形在旋转时，容易忽视对应线段夹角相等旋转 同形的变换 旋转变换 全等变换 折叠变换 (4)图形在翻折前后，对应点的连线的垂直平分线图形 是对称轴，这一点也很容易忽视. 翻折 图形的 对称变换 变换与坐标 知能提升 要紧扣图形变换的特征，利用 学法指导 根据图形的变 全等变换的特征先求该点到两 换求点的坐标 坐标轴的距离，然后根据坐标 (1)在图形的平移、旋转、轴对称的题目中， 要重视用运动的观点来分析图形，特别要重 视运动过程中，点、线段、角变化规律(即 变中变)与点、线段、角的不变量(即变中 不变).寻找变化规律时，将题目中的条件 集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三 角形、面积公式、等积变形，建立方程. 系中象限点的符号特点，求出 运动 该点的坐标. 角度 在坐标系中 画变换的图形 必须先确定对应点变换后的坐标，然后画出图形. 特殊 图形 图形变换的综合题 (2)要善于寻找压轴题的“题眼”和“题根”、 题眼有时在某一个特殊图形中 (如一对相似 三角形，其中直角三角形、特殊角、特殊三 角形、特殊四边形等)，“题根”有时在某 个思想方法中(如分类讨论问题中等). 将以图形的平移、旋转、折叠、对称等变换作为命题的特点， 突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，考查 学生代数、几何知识的综合运用能力. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第十章 锐角三角函数 第一节 锐角三角函数 弦的平方和为1 三角函数的定义中，没有注意 锐角A的正弦，余弦，正切，余切合称为∠A的锐角三角函数. 边与边的对应关系. 定义 ∠A的正弦 特殊角的值记错. 弦的商为切 正弦、余弦的互换关系记错 ∠A的余弦 (没考虑到互余关系). B tan A-cotA=1 斜边c 切的积为1 学习误区 对边a 公式记忆 17 ∠A的正切 30°,45°,60° 邻边b C 正弦、余弦值的分母都是2； 分子分别是： 记忆方法 知能提升 ∠A的余切 正切、余切值的分母都是3 总结升华 分子分别是： 知识梳理 0< sin/<1 锐角A的三角 0<sinA<1 函数值范围 0< cos/<1 0<cosA<1 由增减性来比较大小 tan 4>0 φ 锐角三角函数 0044>0 学法指导 sin A. tan A 都随∠A的增大 特殊角的三角函数值 锐角三角函 而增大，减小而减小.. 30 C A D 数的增减性 应用: 求15°、75° cos A,cotA都随∠A的增大 三角函数值. 而减小，减小而增大. 求一般锐角 三角函数的性质 三角函数值 借助计算器或 的三角函数值 三角函数取值 平方关系 锐角三角函数表 三角数 0° 30° 45° 60° 90° 范围的探究 同一锐角A 的三角函数 商数关系 化简 sinα 0 1 同一锐角的 三角关系 倒数关系 tan A-cotA=1 tanα>0 0<cosα<1 0<sinα<1 cosα 1 0 求值 已知锐角A的三 互余两角之间 角函数，求A. 的函数关系 名 。 1 1 比较两个函 tanα 同名函数 数值的大小 利用单调性比. 特殊角的三角函数值 cota 1 1 0 利用互余关系， 互余函数 含30°、45°、60°及0°、90°的三角函数值. 化为同名函数. 54° 45° D 40m C 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第十章 锐角三角函数 第二节 解直角三角形 由已知和未知来选择辅助线的作法， 不能正确找出直角三角形的边角关系. 定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程. 目的是构造解直角三角形的条件. 构造图形不正确导致错误. 俯角、仰角、方位角、坡度与坡角的 勾股定理 计算型 概念不清楚. 常 用 的 学习误区 边角关系 角的关系 边角型 应用中的常见模型 知能提升 实际应用型 边角关系 4 总结升华 e b 方案决策问题. 知识梳理 。 B C 范围选择问题. 求解Rt△ 已知一边一角 工程建设问题. 具体应用 已知两边 常以航海为背景，求距离. 解直角三角形 自上而下观察物体，确定被测物高度。 仰角、俯角 仰角 俯角 学法指导 A₁ 由测量地点及仰角的变化，确定被测物高度. 应用 边角关系的应用 c 利用 求第三边. b h Rt△解法 坡度与 t a( 坡角 利用边角关系，求其中一角. 已知两边 应用 已知两边，求另一边： a B C 坡角：坡面与水平面的夹角a. 利用∠A+∠B=90°,求另一角. 基本类型 已知一角,求另一角:∠A+∠B=90°. 坡度i ：坡面的垂直高度h与 边角关系：两边可求角，一边一 利用∠4+∠B=90',先求另一角. 已知一 水平宽度/的比. 边一角 角可求另一边. 利用边角关系，求其他的两边. 实际应用 sin 开放性问题 方位角 西偏南30° (或求出一边后，利用 计算多边形的面积. 坡度、坡角问题 西 30° 东 求第三边.) 在其他图形中的应用 方位角的问题 解斜三角形. 南| 仰角、俯角有关问题 利用三角函数进行复杂的多边形计算。 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第十一章 统计与概率 第一节 统计 总体、样本的概念混乱. 8% 16% 总 体 在统计中，所有考察对象的全体. … N. 个 体 扇形统计图. 分不清集中趋势和离散趋势. 学习误区 24% 在统计中，组成总体的每一个考察对象. 7% 样 本 条形统计图. 弄不清三种统计图的表达意义的侧重点. 在统计中，实际观测或调查的那部分个体. 、 折线统计图. 样本容量 在统计中，所提取的样本个数. 30% 频率分布表. 1、认真理解各个基本概念的实质，找出区别与联系. 数据的收 统计图表 统计的 直方图. 总结 集与整理 2、理解各个统计量的作用，使分析数据更具有方向性. 知能提升 相关概念 普查 为了一定的目的，对考察对象进行全面的调查. 升华 调查的方式 知识 3、注意题目的侧重点来选取合适的知识解题. 梳理 抽样调查 从总体中，抽取部分个体进行调查的方式. 即通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总 x₁,x₂,---,xₙ 算 术 体的相应情况，常用于设计实际应用题. 八个数据 平均数 1.收集数据；(放在统计图内) 统 分析数据 加权平均数 (w,w₂,……,w,分别是n个数据的“权”. ) 2.计算数据中的最大值与最小值的极差； 样本估计 3.确定组距与组数； 平均数 n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据 总体的方法 计 (或中间两个数据的平均数). 4.确定分点； 画频率分布 中位数 5.列频率分布表； 直方图的步骤 一组数据中，出现次数最多的那个数 学法 众数 (注：有时会有多个). 6.画直方图； 画统计图. 7.写出统计图的名称和数据来源。 画频数分布 指导 折线图的方法 极差 一组数据中，最大与最小数据的差. 取直方图中每个矩形上边的中点， 平均数、众数 把这些点用线段依次连结起来即可. 和中位数区别 方差 平均数的大小与每一个数据有关，任一 数据的变动都会引起平均数的变动. 标准差 众数的大小只与数据中的部分数据有关. 极差、方 数形 差与标准差 结合法 中位数只与数据的排列位置有关，某些 常见的命题形式 (1)观察分析各类统计图表，解决相关问题。 数据的变动对它没有影响. 温度/℃ (2)根据已知条件，绘制或补全各类统计图。 利用统计量 它们都是衡量一组数据波动大小的量，这三个量越 解决实际问题 1.比赛成绩的评估. 小，这组数据的波动越小，也就越稳定；反之亦然。 … 2.植物长势的判断. 8.00 10:00 12:00 14:00 16:00 时间时 3.对事件提出合理化的建议. 学科网（北京）股份有限公司 初中数学 第十一章 统计与概率 第二节 概率 1.频率是概率的近似值，随着试验次数的增 加，概率会越来越接近频率值. 概率与频率的 关系不清楚致误 1.概率 刻画事件发生的可能性大小的量. 2.频率本身是随机的，在试验前不能确定. 定义 3.概率是一个确定的常数，是客观存在的。 与试验次数无关. 列表法 学习 必然事件 在一定条件下，一定发生的事件. 一次试验涉及两个因素且可能结果较 选用的条件 误区 确定事件 多时，多用列表法. 树状法 知能提升 不可能事件在一定条件下，不可能会发生的事件。 一次试验涉及三个或更多个因素时， 选用的条件 总结 2.事件 一般选树状法 知识 用频率估计概率 升华 梳理 随机事件 在一定条件下，可能发生、也可能不发生的事件. 频率必须是大量重复试验中的稳定值. P(必然事件)=1 概率为1的是必然事件. 3.事件的概率 概率为P(A)(0<P(A)<1),4为随机事件. 区分 P(不可能事件)=0 概率为0的是不可能事件. 事件 概 率 0<P(随机事件)<1 必然事件 确定事件 分类 不可能事件 4.求概 概率的计算公式 事件A包含的可能结果数 随机事件 率的方法 所有可能结果的总数 公式 概率计算 学法 树状图法 两步及以上 (n是所有可能情况，m是事件A的可能情况)。 指导 列表法 两步 列举法(数据较少，一一列举) 其他 列举法 数据较少 不重不漏地列出 列表法(两步问题) 所有可能结果 有(无)放回问题 5.概率应用 树状法(三步以上问题) 是否重复 中的常见模型 双转盘模型 抛硬币模型 常见的模型 (见知识梳理5) 注意问题 单转盘模型 有(无)放回摸球型 选择方法 同步问题 掷骰子模型 学科网（北京）股份有限公司 $