6.4.3正余弦定理应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3正余弦定理应用举例 数学：徐晓凤 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？ 从泰晤士河对岸看议会大厦,泰晤士河是英国著名的“母亲”河，如何测量两者之间的距离？ 河对岸有指挥部，中央有信号塔（不可到达），如何测量两者之间的距离？ A B C D 经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。 是根据测角原理设计的。目前最常用 的是光学经纬仪。 光学经纬仪 钢卷尺 例1：如图，河的对岸有一座信号塔B（不可到达），假设你在指挥部A的同侧，请你设计一种测量Ａ、Ｂ两点间距离的方案。 A B C α β a 师生探究（一） 一点可到达，另一点不可到达 例2：若信号塔B和指挥部A在河的同一侧（两地都不可到达），你在另一侧，请你设计一种测量Ａ、Ｂ两点间距离的方案. B A a C D α β γ θ 师生探究（二） 两点都不可到达 思考：在上述测量方案下, 还有其他计算A,B两点间距离的方法吗? 在测量过程中, 我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线 基线的性质：基线越长, 测量的精确度越高 (1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题， 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决. (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题， 一般先把求距离问题转化为运用余弦定理,求三角形的边长的问题，然后把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决. 策略 (1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解. (2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理； 当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理. 注意点 实际问题 抽象概括 画示意图 建立数学模型 推理 演算 数学模型的解 还原说明 检验作答 实际问题的解 “ “ “ 1 2 3 分析 建模 求解 理解题意，画出示意图 把已知量与求解量集中在一个三角形中 运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。 “ 4 检验 检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 （宁夏）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。 两点均不可到达！ β θ ץ α b 链接高考，把握考点夯基础 探究：实际应用问题中有关的名称、术语 问题：你了解实际应用问题中有关的哪些名称、术语？ 提示：仰角、俯角、视角、坡角、方向角、方位角等. 总结： 探索新知 探究：实际应用问题中有关的名称、术语 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角. 方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角. 问题5：如图： （1）点A在北偏东 ，方位角 . （2）点B在北偏西 ，方位角 . （3）点C在南偏西 ，方位角 . （4）点D在南偏东 ，方位角 . 提示：(1)60°,60°；(2) 30°,330°；(3) 45°,225°；(4) 20°,160° 探索新知 例2 如图, AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法, 并求出建筑物的高度. C D 分析：只要获得一点C (点C到地面的距离可求)到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度． 再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出CA． 探索新知 C α D β G H a h 所以，这座建筑物的高度为 在实际操作时，使H,G,B三点共线不是一件容易的事情，你有什么替代方案？ 探索新知 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 技巧总结：测量高度问题的解题策略 探索新知 例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile 的B处有一艘渔船遇险后抛针等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距 7 n mile 的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到 1 n mile)？ 分析：首先应根据 "正东方向" "南偏西 30 o" "目标方向线" 等信息,画出示意图 探索新知 解：根据题意，画出示意图.由余弦定理，得 于是，. 由正弦定理，得： 于是， 由于，所以. 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东， 大约需要航行. 例3.求乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到)？需要航行的距离是多少海里(精确到)？ 课堂检测 C 课堂检测 课堂检测 2. 如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ. 求证: 课堂检测 3、地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离. 课堂检测 解　如图，在△PAB中，∠PAB＝30°， 由余弦定理，得 因为AB＝40 m，所以AB＝PB， 所以∠APB＝∠PAB＝30°， 所以∠PBA＝120°. 因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上， 且目标参照物P与他的距离为40 m. 在 中，由正弦定理求得AD. 在 中，由正弦定理求得BD. 在 中，由正弦定理求得AB. 如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上. 在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是 ， ，测角仪器的高是h. 那么，在 中，由正弦定理，得 1.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若 平面 ， 平 ， ， ， ， ， ，则塔尖 之间的距离为( ) A. B. C. D. 解析：依题意，在 中， ， ， ，可得 ，则 ， 在 中， ， ，则 ， 又 中， ，由余弦定理可得: 则 EMBED Equation.DSMT4 . 故塔尖 之间的距离为 . 40 PB＝ ＝＝40(m). $