1.5 培优课2 极化恒等式与等和(高)线-（配套课件）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

培优课2　极化恒等式与等和(高)线 　 第一篇 专题一　三角函数与平面向量 03 专题集训 02 二、等和(高)线及其应用 一、极化恒等式及其应用 01 内容索引 一、极化恒等式及其应用 返回 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点.则＝(｜AC｜2－｜BD｜2). (3)三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则＝｜AD｜2－｜BD｜2. 题型一　利用极化恒等式求值 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.＝4，＝－1，则的值为_____. 典例 1 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据极化恒等式，有＝＝－＝9n2－m2＝4，＝＝－＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝，m2＝.因此＝－＝4n2－m2＝.即＝. (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则＋＝_____. 易知四边形EFGH为平行四边形，连接EG，FH交于点O(图略)，则＝＝－＝1－()2＝，＝＝－＝1－()2＝，因此＋＝. 规律反思 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 第一步：取第三边的中点； 第二步：利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. 注意　对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再应用极化恒等式. 预测练1.如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，若F为DE的中点，则的值为_____. 4 取BD的中点N，连接NF，EB，因为AB＝4，AE＝2，∠BAC＝60°，故BE⊥AE，所以BE＝2.在△DEB中，FN BE，所以FN＝，故＝2＝2(－)＝2×(3－1)＝4. ∥ ＝ (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)· 的最小值是______. 典例 2 － 如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(＋)·＝2，由极化恒等式得＝－ 2＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，(＋)·取得最小值－. (2)平面向量a，b满足｜2a－b｜≤3，则a·b的最小值为______. － 由极化恒等式知a·b＝＝≥＝－，当且仅当｜2a＋b｜＝0，｜2a－b｜＝3，即｜a｜＝，｜b｜＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值－. 规律反思 　　利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解. 预测练2.如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是________. [0，2] 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，则＝－＝－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1， ]，所以∈[0，2]. 返回 二、等和(高)线及其应用 返回 　　平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0. (1)(一题多解)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为 A. B. C. D.1 典例 3 √ 法一(通法)：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝＋)＝＋＝＋＝＋－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.故选A. 法二(等和线法)：如图，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝.故选A. (2)(2025·河南南阳模拟)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为 A. B. C.2 D.2 √ 设圆O与AB边相切于点E，连接DE，连接BO并延长交AC于点N，交DE于点P，易知N为圆O与AC切点.令＝λ＋μ，所以DE是定值k为1的等和线.AC是过圆上的点最远的等和线，则＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k'，则k'＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.故选C. 规律反思 利用等和线求系数和的值或最值(范围)的解题思路 　　一是确定值为1的等和线；二是平移该线，作出满足条件的等和线；三是从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线 的值. 预测练3.(一题多解)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是____. 2 法一：以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面 直角坐标系，如图①所示，则A(1，0)，B(－，)， 设∠AOC＝α(α∈［0，］)，则C(cos α，sin α).由 ＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 法二：令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图②，切点为点D，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2. 返回 专 题 集 训 返回 1.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值是 A. B.2 C. D. √ 如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得＝－＝－，所以当P与A(B)重合时，｜｜＝最大，从而()max＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.如图，在四边形MNPQ中，若＝，｜｜＝6，｜｜＝10，＝－28，则等于 A.64 B.42 C.36 D.28 √ 由＝－＝36－＝－28，解得＝64，所以＝64，所以＝＝－＝100－64＝36.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.若AB为双曲线－＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则的最大值为 A. B.7 C.－7 D.－16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，O为AB的中点，＝－，｜MO｜max＝｜OC｜＋1＝3，｜AB｜min＝2a＝8，所以()max＝9－×64＝－7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为 A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则DO＝2AO，当P位于点A时，λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0，(λ＋μ)min＝0；当P位于点D时，＝3＝3×(＋)，λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝3，(λ＋μ)max＝3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则等于 A.1 B. C. D.－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取AO的中点M，连接PM，如图所示，易得AB＝，由向量极化恒等式知＝＝－＝()2－()2＝()2－＝－＝－＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.已知点F是抛物线E：x2＝4y的焦点，C(0，－2)，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A，B两点，点P为抛物线E上任意一点，若＝m＋n，则m＋n的最小值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 法一：由题意可得，F(0，1)，因此直线AB的方程为y＝x＋1，设P(2t，t2)，A(x1，x1＋1)，B(x2，x2＋1)，则＝(2t，t2＋2)，＝(x1，x1＋3)，＝(x2，x2＋3)，若＝m＋n，则(2t，t2＋2)＝m(x1，x1＋3)＋n(x2，x2＋3)，所以所以2t＋3(m＋n)＝t2＋2，所以m＋n＝(t2－2t＋2)＝[(t－1)2＋1]，故当t＝1时，m＋n取得最小值.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 法二：如图，连接CB，CA，设m＋n＝k，则直线AB为k＝1的等和线，设直线l∥AB，且l与抛物线E相切于点P，由等和线定理知此时m＋n取得最小值，设l与y轴交于点Q，由题意，F(0，1)，x2＝4y⇒y'＝，令y'＝1得x＝2，所以P(2，1)，从而l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，所以Q(0，－1)，从而｜CQ｜＝｜CF｜，即m＋n的最小值为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则的值可能是 A.0 B.2 C.4 D.13 √ √ 因为A＝30°，BC＝2，所以＝4，则△ABC外接圆的半 径为2.如图所示，圆O的半径为2，BC是圆O的一条弦，点 A在圆O的优弧上，D是线段BC的中点，连接DO并延长 交圆O于点E.因为＝＋，＝＋＝－，所以＝－＝－1.因为点A在圆O的优弧上，所以1＜｜｜≤｜｜＝2＋，所以的取值范围是(0，6＋4].故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有≥，则 A.＝－ B.存在点P，使｜｜＜｜｜ C.＝0 D.AC＝BC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，连接PD，P0D，根据向量的极化恒等式，有＝－，＝－.又≥，所以｜｜ ≥｜｜，故A正确，B错误；由点P为边AB上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜｜，从而DP0⊥AB，所以≠0，故C错误；取AB的中点E，连接CE，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.已知等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是____________. [－2，6] 如图所示，取AB的中点D，连接CD，PD，因为△ABC为 等边三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC ＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2.又由极化恒等式得 ＝－＝－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，｜PD｜max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，｜PD｜min＝1，所以∈[－2，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，已知点P为等边△ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若＝x1＋y1，＝x2＋y2，则｜(2x1－x2)＋(2y1－ y2)｜的最大值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时， x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值 为＝，x2＋y2的最小值为＝.故｜(2x1－x2)＋ (2y1－y2)｜＝｜2(x1＋y1)－(x2＋y2)｜≤－＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 谢 谢 观 看！ $