1.4 培优课1 三角函数中与ω，φ相关的问题-（配套课件）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

培优课1　三角函数中与ω，φ相关的问题 　 第一篇 专题一　三角函数与平面向量 　　三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等 偏上. 03 题型三　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 02 题型二　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 题型一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 01 内容索引 05 专题集训 04 题型四　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 题型一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 返回 √ 典例 1 (2025·内蒙古包头二模)已知f＝sin(ωx＋在上单调递增，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. 由题意可知－≤，则0＜ω≤.因为－≤x≤，则－ω＋≤ωx＋≤ω＋，则－≤－ω＋＜，＜ω＋≤.因为f上单调递增，结合正弦函数图象性质可得＜ω＋≤，解得0＜ω≤，故实数ω的取值范围是.故选B. 规律反思 　　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围的步骤： 第一步：根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，求得0＜ω≤； 第二步：以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆(k∈Z)，解得ω的范围； 第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围. √ 预测练1.(2025·辽宁大连模拟)已知函数f＝2cos在区间内单调递增，则ω的最大值为 A. B.2 C. D. 由已知整理得f＝－2cos.因为f内单调递增，所以y＝2cos内单调递减，所以 k∈Z，解得3k－≤ω≤k＋，k∈Z.又ω＞0，所以只有当k＝0时，不等式有解，解集为，所以ω的最大值为.故选A. 返回 题型二　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 返回 (1)已知函数f＝sin在区间上存在最大值和最小值，则实数ω的取值范围是 A. B. C.∪ D.∪ 典例 2 √ 因为ω＞0，x∈，所以ωx－∈.画出y＝sin x的图象，如图所示. 由图象得＜－≤－＞，解得＜ω≤或ω＞.故选C. (2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)，若f(x)在区间(π，2π)内无最值，则实 数ω的取值范围是____________________. (0，］∪［，］ 因为ω＞0，所以当x∈(π，2π)时，ωx＋∈(ωπ＋，2ωπ＋). 法一：由f(x)在(π，2π)内无最值，可得T≥2π，从而ω≤1，则ωπ＋≤，2ωπ＋≤.如图所示，根据y＝sin x的图象可得2ωπ＋≤解得0＜ω≤≤ω≤. 法二：因为f(x)在(π，2π)内无最值，所以2π－π≤＝，从而ω≤1，且kπ－≤ωπ＋＜2ωπ＋≤kπ＋，k∈Z，解得k－≤ω≤＋，k∈Z.当k＝0时，0＜ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，无解.综上，0＜ω≤≤ω≤. 规律反思 　　极值、最值与ω结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或 范围. 预测练2.若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间［－，］上单调递增，且在区间(0，2π)上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是__________. (，］ 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间［－，］上单调递增，可得－ω≥－＋2kπ，ω≤＋2kπ，k∈Z，即ω≤3－12k，ω≤＋6k，k∈Z.又ω＞0，所以0＜ω≤.又f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间(0，2π)上恰有两个极值点，所以＜2ωπ≤，即＜ω≤.综上，实数ω的取值范围是(，］. 返回 题型三　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 返回 已知ω≠0，函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，则 A.＜ω≤ B.＜ω≤ C.－≤ω＜－ D.－≤ω＜－ 典例 3 √ 因为x∈，①当ω＞0时，ωx＋∈，若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；②当ω＜0时，ωx＋∈.又函数f(x)＝sin(ωx＋)在上有三条对称轴和两个极小值，所以－≤＋＜－，解得－≤ω＜－.综上，－≤ω＜－.故选C. 规律反思 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 预测练3.已知直线x＝是函数f(x)＝sin(3πx＋φ)的一条对称轴，f(x)在区间(－t，t)(t＞0)内恰好存在3个对称中心，则实数t的取值范围 为____________. 由题意知直线x＝是函数f(x)＝sin(3πx＋φ)的一条对称轴，故＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z). 因为0＜φ＜，故φ＝，故f(x)＝sin. 令3πx＋＝k'π(k'∈Z)，解得x＝－＋，原点附近的6个对称中心分别为点，，，，，，若3个对称中心恰好是点(－，0)，，，则 则t不存在，不符合题意； 若3个对称中心恰好是点(－，0)，，，则＜t≤，故当＜t≤时，符合题意.故实数t的取值范围为. 返回 题型四　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 返回 (2025·山东济宁二模)已知函数f＝sin ωx－cos ωx＋在区间上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. 典例 4 √ 对f(x)＝sin ωx－cos ωx＋进行化简，得f＝sin ωx－cos ωx＋＝2sin＋.令f(x)＝0，即2sin(ωx－)＋＝0，则sin(ωx－)＝－.根据正弦函数的性质，所以ωx－＝2kπ＋或ωx－＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝或x＝，k∈Z. 因为x∈且ω＞0，当k＝0时，x1＝＝，x2＝；当k＝1时，x3＝＝＝，x4＝＝. 如图为函数y＝sin(ωx－)和y＝－的大致图象，由于函数f(x)在区间［0，］上有且仅有3个零点，则需满足解不等式组得4≤ω＜.所以实数ω的取值范围是［4，).故选D. 规律反思 已知零点个数求ω的取值范围的方法 1.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关. 2.若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值. 预测练4.(2025·山东德州开学考试)函数f＝sin在上单调递增，且在上恰有三个零点，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 由2kπ－≤2ωx－≤2kπ＋，k∈Z，ω＞0，可得－≤x≤＋，所以函数f＝sin(2ωx－的单调递增区间为［－，＋］，k∈Z.因为函数f＝sin上单调递增，所以⊆，所以≤，所以ω≤.由2ωx－＝kπ，k∈Z，ω＞0，可得x＝＋，k∈Z，所以函数f＝sin(2ωx－的零点的集合为{x＝＋，k∈Z}. 因为函数f＝sin上恰有三个零点，所以＋≤π，＋＞π，所以≤ω＜.综上，≤ω≤，所以实数ω的取值范围是.故选D. 返回 专 题 集 训 返回 1.设甲：函数f(x)＝2sin ωx在［－，］上单调递增，乙：0＜ω≤2，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若函数f(x)＝2sin ωx在［－，］上单调递增，则ω＞0，由－≤ωx≤得－≤x≤，则解得0＜ω≤，所以甲是乙的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知函数y＝cos在区间(－，)上单调递减，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为x∈，ω＞0，所以－ω＋＜ωx＋＜ω＋.又因为函数y＝cos(ωx＋上单调递减，所以 k∈Z，即故当k＝0时，0＜ω≤.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知函数f(x)＝cos ωx－2sin 2ωxsin ωx(ω＞0)在(0，2π)上有最小值没有最大值，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 依题意，f(x)＝cos(2ωx－ωx)－2sin 2ωxsin ωx＝cos(2ωx＋ωx)＝cos 3ωx.当x∈(0，2π)时，3ωx∈(0，6ωπ)，若f(x)在(0，2π)上有最小值没有最大值，则π＜6ωπ≤2π，所以＜ω≤.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx－1(ω＞0)的图象关于点对称，且f(x)在上没有最小值，则ω的值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx－1＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin. 因为f对称，所以f＝sin＝0，故＋＝kπ，k∈Z，即ω＝2k－，k∈Z，当2ωx＋＝－＋2kπ，即x＝－＋，k∈Z时，函数f取得最小值. 因为f上没有最小值，所以≥，即ω≤，由ω＝2k－≤，解得k≤. 又ω＞0，故k＝1，得ω＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.(2025·广东清远二模)已知函数f＝sin πωx－cos πωx在内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 因为f＝sin πωx－cos πωx＝2sin，且当0≤x≤1时，－≤πωx－≤πω－.因为函数f内恰有3个最值点和3个零点，所以≤πω－＜3π，解得≤ω＜.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2025·四川绵阳模拟)函数f＝sin(ω＞0且φ∈R)在上单调，且f＋f＝0，若f在上恰有2个零点，则实数ω的取值最准确的范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为函数f＝sin(ω＞0，φ∈R)在区间上单调，且满足f＝－f，而＝，∈，即f的一个对称中心为(，0)，故f＝0；而∈，故f上单调.设函数的最小正周期为T，则≥－＝，所以≥，0＜ω≤； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 函数f上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期，故＜π－≤T，即＜π－≤，解得＜ω≤，结合0＜ω≤，可得ω的取值范围是.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(2025·山东名校联盟)设函数f＝sin(ωx＋)(ω＞0)，已知f在有且仅有3个零点，则 A.f在有且仅有2个极大值点 B.f在有且仅有1个极小值点 C.f在单调递增 D.若f在单调递减，则ω的最小值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 已知f有且仅有3个零点，则f上有3个或4个极值点，即f上有且仅有2个极大值点，故A正确；当x∈时，ωx＋∈.因为f有且仅有3个零点，所以3π≤2πω＋＜4π，所以≤ω＜，所以当x∈(0，2π)时，＜ωx＋＜4π.当ωx＋＝时，函数f取得极小值，故f有2个或1个极小值点，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当x∈时，ωx＋∈，因为≤ω＜，所以＜＝＜，故f单调递增，故C正确；当x∈(，)时，ωx＋∈(ω＋，ω＋)，又≤ω＜，所以≤ω＋＜，≤ω＋＜，又f(x)在(，)单调递减，所以ω＋≥，ω＋≤，解得≤ω≤，所以≤ω＜，所以ω的最小值为，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知函数f＝tan，则下列说法不正确的是 A.若f的最小正周期是，则ω＝1 B.当ω＝1时，f图象的对称中心的坐标都可以表示为 C.当ω＝时，f＜f D.若f在区间上单调递增，则0＜ω≤ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当f时，T＝＝，则ω＝1，故A正确；当ω＝1时，f＝tan，所以令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f，故B不正确；当ω＝时， f(x)＝tan，f＝f＝tan＞f＝tan，故C不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令－＋kπ＜2ωx＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＜x＜＋，所以函数f，因为f上单调递增，所以－≤ω≤＋，k∈Z，另一方面T＝≥π－＝，ω≤，所以＋≤.又因为ω＞0，所以由k＝0，得0＜ω≤，由k＝1，得≤ω≤，所以ω的取值范围是∪，故D不正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在内有且仅有两条对称 轴，一个对称中心，则实数ω的取值范围是____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 法一：由题意，得f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，令k＝0，1，2，得x＝，，；令ωx＋＝mπ(m∈Z)，解得x＝(m∈Z)，令m＝1，2，得x＝，.根据题意，得＜ω≤.故实数ω的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 法二：由题意得f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)，因为x∈， 所以ωx＋∈.又因为f(x)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心，所以＜ω＋≤2π， 解得＜ω≤，故实数ω的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知f(x)＝Asin＋B(A＞0，ω＞0，B为常数)，f(x)max＝f(x1)＝3，f(x)min＝f(x2)＝－1，且｜x1－x2｜的最小值为，若f(x)在区间[a，b]上恰有8个零点，则b－a的最小值为_______. 由题意得设f(x)的最小正周期为T，故T＝，解得T＝π.因为ω＞0，所以ω＝＝2，故f(x)＝2sin(2x－)＋1. 当x∈[a，b]时，2x－∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令f(x)＝0，得sin＝－，画出y＝sin z的图象， 如图所示， 要想在区间[a，b]上恰有8个零点， 且b－a取得最小值，故sin＝－，sin＝－，且 返回 两式相减得2(b－a)＝，b－a＝.所以b－a的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 谢 谢 观 看！ $