专题01二次根式全章期中复习讲义（知识梳理+8大高频考点+9大题型）2025-2026学年浙教版八年级数学下学期

专题01 二次根式期中复习讲义 1、 复习目标 1.理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，掌握有意义条件。 2.熟练运用5条核心性质进行化简、去绝对值、符号判断。 3.掌握加减乘除、混合运算、分母有理化、平方差化简。 4.会用平方法、作差法比较根式大小，解决几何、非负数、配方综合题。 2、 知识梳理（速记） 1.二次根式：，双条件：根指数2+被开方数非负。 2.有意义：根式；分式；列不等式组。 3.核心性质： 4.最简二次根式：①不含分母；②不含开得尽方因数。 5.运算：先化简→再乘除→最后合并同类二次根式。 三、考点全优化（8大高频考点） 考点1：二次根式的定义与判定 核心：形如，根指数为2，被开方数≥0。 不是二次根式：根指数≠2、被开方数为负、含分母未化简。 典例 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据二次根式定义逐项分析判断如下： A．∵﹣2＜0， ∴不是二次根式，故此选项不符合题意； B．∵的根指数是3， ∴不是二次根式，故此选项不符合题意； C．∵5＞0， ∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当a+1＜0即a＜﹣1时，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 易错：带字母的根式不一定是二次根式（需判断被开方数正负）。 考点2：二次根式有意义的字母取值范围（必考） 3类常考模型： 1 单个根式： 2 分式+根式： 3 双根式互为相反数： 典例1 若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m⩽4 B．m⩽4且m≠3 C．m＞4 D．m＜4且m≠3 【答案】B 【解答】解：由题意可得：， 解之可得：m≤4且m≠3， 故选：B． 典例2 （拓展），则______。 【答案】 【解答】解：， 考点3：二次根式性质化简（期中必考） 三步法：判正负→去根号变绝对值→去绝对值符号。 典例1 化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7 【答案】A 【解答】解：∵3＜π＜4， ∴3﹣π＜0，π﹣4＜0， ∴． 故选：A． 典例2实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【解答】解：观察数轴得a＜0＜b，|a|＜|b|， 则b﹣a＞0，a+b＞0， ∴原式＝|b|+|a+b|﹣|b﹣a| ＝b+a+b﹣（b﹣a） ＝b+a+b﹣b+a ＝2a+b， 故选：A． 考点4：最简二次根式与同类二次根式（选择/填空） （1）最简二次根式（2条件）① 被开方数不含分母/小数；② 不含开得尽方的因数。 典例若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．0.1 【答案】B 【解答】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． （2）同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。 典例已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴a的值是0，b的值是2； （2）2． 考点5：二次根式的乘除运算（基础计算） 公式：； 典例 计算：（1）； （2）（）2； （3）． 【解答】（1） ＝6+4 ＝10； （2）（）2 ； （3） ． 考点6：二次根式的加减与混合运算 步骤：化简→去括号→合并同类二次根式。 易错：不同类二次根式不能直接合并（如）。 典例1下列算式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； 不能合并，故选项C错误，不符合题意； 34，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 典例2 （4）﹣（34）； 解：（1）（4）﹣（34） ； 考点7：二次根式比较大小（必考技巧） 方法：平方法 正数： 负数：绝对值大的反而小 典例 综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 【解答】解：（1）， ，， ∵45＜75， ∴， ∴； （2），， ，， ∵20＜32， ∴， ∴， ∴． 考点8：二次根式综合应用（几何/非负/配方） （1）非负数模型（） 典例若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． （1）求a，b的值； （3）求第三边的长． 【解答】解：（1）∵， ∴2a﹣4≥0，2﹣a≥0， ∴a＝2， ∴b﹣5＝0， ∴b＝5； （2）若第三边为斜边，第三边的长为； 若b＝5为斜边，第三边的长为； 综上所述，第三边的长为或． （2）几何计算（勾股定理/海伦公式） 典例海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题目所给公式可得：P＝12，， 故选：D． （3）配方法化简双重根号 典例【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【拓展延伸】 （3）化简． 【解答】解：（1）∵7+4m2+3n2+2mn， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：2，1； （2）∵a+b12﹣4， ∴a＝12，b＝﹣4， 故答案为：12，﹣4； （3）. 四、解题技巧汇总（期中必背） ：先判正负，再去绝对值。 2.运算：先化简，再计算，结果必为最简二次根式。 3.比较大小：统一平方，再比结果。 4.含字母范围：被开方数≥0，分母≠0。 5.非负性：根式、绝对值、平方相加为0，各自为0。 五、期中易错点警示 ，一定加绝对值。 不能合并，不是。 3.分母含根号必须分母有理化。 4.最简二次根式不能有分母、小数、开得尽方因数。 六、题型突破 题型一 二次根式的定义 1．（2025春•西湖区校级期中）下列各式中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式，逐一分析即可得出答案． 【解答】解：A、的根指数是3，不是二次根式，不符合题意； B、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； C、的被开方数7一定大于0，符合题意； D、的中的a可能小于0，不一定为二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．（2025春•鹿城区校级期中）当x＝1时，二次根式的值是（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】A 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝1时，2． 故选：A． 3．（2025春•玉环市期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】如果带根号的数是正整数，则被开方数为完全平方数，据此求值即可． 【解答】解：∵是正整数， ∴12n是完全平方数， ∵12×3＝36＝62， ∴自然数n的最小值为3． 故选：D． 4．（2025春•龙湾区期中）当x＝﹣6时，二次根式的值为　4　 ． 【答案】4 【分析】把x的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【解答】解：把x＝﹣6代入，得 4． 故答案为：4． 题型二 二次根式有意义的条件 5．（2025春•瑞安市校级期中）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得出x﹣4≥0，求解即可得解． 【解答】解：根据题意可知，x﹣4≥0， 解得：x≥4， ∴x的值可以是4． 故选：D． 6．（2025春•义乌市校级期中）二次根式中字母x的取值范围为（　　） A．x≠﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x＜﹣3 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【解答】解：根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件得：， 解得：x＞﹣3． 故选：B． 7．（2025春•拱墅区校级期中）若为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据5﹣x≥0，为整数，x为正整数，即可求解． 【解答】解：∵有意义， ∴5﹣x≥0 ∴x≤5， ∵为整数，x为正整数， 又∵，， ∴5﹣x＝1或5﹣x＝4或5﹣x＝0， 解得x＝4或x＝1或x＝5， ∴满足条件的x的值有3个， 故选：D． 8．（2025春•慈溪市校级期中）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x≥1且x≠2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】D 【分析】由题意知，x﹣1≥0，x﹣2＞0，求解作答即可． 【解答】解：根据二根式有意义的条件，分式有意义的条件可知： x﹣1≥0，x﹣2＞0， 解得x＞2， 故选：D． 9．（2025春•丽水期中）已知实数m满足，那么m﹣20242的值为（　　） A．﹣2025 B．2025 C．2024 D．﹣2024 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【解答】解：∵实数m满足， ∴m﹣2025≥0， ∴m≥2025， ∴2024﹣m＜0， 原式化为m﹣2024m， 整理得：2024， 两边同时平方得：m﹣2025＝20242， 则m﹣20242＝2025， 故选：B． 10．（2025春•北仑区校级期中）代数式中，a的取值范围是a≥2　 ． 【答案】a≥2． 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：根据题意得2a﹣4≥0， 解得a≥2， 故答案为：a≥2． 11．（2025春•椒江区校级期中）当x＝　1（答案不唯一）　 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：若二次根式有意义， 则10﹣x≥0， 解得：x≤10， 当x＝1时，是整数， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．（2025春•兰溪市校级期中）若a、b都为实数，且，ab＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据题意可得a＝2，b＝0，继而代入ab中即可求出本题答案． 【解答】解：由条件可得， 解得：a＝2， ∴b＝0， ∴ab＝20＝1， 故答案为：1． 13．（2025春•诸暨市期中）已知实数a，b，c满足，则a+b﹣c的值为　18　 ． 【答案】18． 【分析】先根据二次根式有意义求出a的值，再根据非负数的性质求出b、c的值，问题即可得解． 【解答】解：根据题意得， 解得a＝8， ∵， ∴|c+5|+（b﹣5）2＝0， ∴c+5＝0，b﹣5＝0， ∴c＝﹣5，b＝5， ∴a+b﹣c＝8+5﹣（﹣5）＝8+5+5＝18， 故答案为：18． 14．（2025春•临海市期中）已知，求ab的值． 【答案】64． 【分析】先根据二次根式有意义求出a的值，即可得出b的值，再根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：根据题意得， 解得a＝4， ∴b＝3， ∴ab＝43＝64． 题型三 二次根式的性质与化简 15．（2025春•温州期中）化简，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用二次根式的乘法法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：原式 ， 故选：C． 16．（2025春•义乌市期中）若3﹣b，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 【答案】D 【分析】结合式子3﹣b可知3﹣b≥0；接下来求解所得不等式便可得出答案． 【解答】解：∵3﹣b， ∴3﹣b≥0， ∴b≤3． 故选：D． 17．（2025春•拱墅区校级期中）下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式＝﹣2，正确，本选项不符合题意； B、原式＝﹣3，错误，本选项符合题意； C、原式＝2，正确，本选项不符合题意； D、原式＝±3，正确，本选项不符合题意． 故选：B． 18．（2025春•诸暨市期中）若a＜1，则（　　） A．a B．﹣a C．a﹣2 D．2﹣a 【答案】B 【分析】根据二次公式的性质：|a|和绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：∵a＜1， ∴1﹣a﹣1＝﹣a， 故选：B． 19．（2025春•钱塘区期中）已知﹣1＜a＜0，化简（　　） A．﹣a+5 B．3a﹣1 C．﹣a﹣5 D．﹣3a+5 【答案】B 【分析】先根据a的取值范围，确定a+2和2a﹣3的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵﹣1＜a＜0， ∴a+2＞0，2a﹣3＜0， ∴ ＝a+2﹣（3﹣2a） ＝a+2﹣3+2a ＝a+2a﹣3+2 ＝3a﹣1， 故选：B． 20．（2025春•北仑区期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．a﹣2b﹣c B．c﹣a C．﹣a+2b+c D．a﹣c 【答案】D 【分析】先根据数轴的定义得出a＞0，c＜b＜0，|c|＞|a|＞|b|，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【解答】解：由题意得：a﹣b﹣c＝a+（﹣b）+（﹣c）＞0，b﹣a＜0， ∴原式＝a+（a﹣b﹣c）﹣（a﹣b） ＝a+a﹣b﹣c﹣a+b ＝a﹣c． 故选：D． 21．（2025春•德清县期中）计算：　1　 ． 【答案】1 【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵1， ∴10， ∴1， 故答案为：1． 题型四 最简二次根式 22．（2025春•龙湾区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 23．（2025春•宁波期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、2是最简二次根式，符合题意； B、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、22|x|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 24．（2025春•龙泉市期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用最简二次根式的概念和二次根式的性质进行化简、辨别． 【解答】解：∵2， ∴不是最简二次根式， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴不是最简二次根式， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴不是最简二次根式， ∴选项C不符合题意； ∵是最简二次根式， ∴选项D符合题意； 故选：D． 题型五 二次根式的乘除法 25．（2025春•北仑区期中）化简结果正确的是（　　） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】分子、分母同乘，计算即可． 【解答】解：， 故选：B． 26．（2025春•义乌市期中）计算：　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式9． 故答案为：9． 27．（2025春•鹿城区校级期中）（3）（3）＝　2　 ． 【答案】2 【分析】利用平方差公式直接计算即可． 【解答】解：原式＝9﹣7 ＝2． 故答案为：2． 28．（2025春•乳山市期中）已知实数x，y满足． （1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）计算：求代数式8x2﹣4y2﹣2025的值． 【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将x＝y代入原式或①式得：x2＝2035，代入所求式子即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，， ∴①， 同理得：②， ①+②得：2x＝2y， ∴x＝y； （2）把x＝y代入①，得， ∴x2＝2035， 则8x2﹣4y2﹣2025 ＝4x2﹣2025 ＝8140﹣2025 ＝6115． 题型六 二次根式的加减法 29．（2025春•余杭区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减法法则计算判断即可． 【解答】解：A、与不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、与不能合并，，故此选项不符合题意； D、3与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 30．（2025春•杭州期中）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减法则、二次根式的性质分别化简判断即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 31．（2025春•玉环市期中）.计算：． 【答案】． 【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：原式 ． 题型七 二次根式的混合运算 32．（2025春•滨江区期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 33．（2025春•杭州校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式乘除法则，加减法则一一判断即可． 【解答】解：A、，本选项错误不符合题意； B、2，本选项正确符合题意； C、2与不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意； D、32，本选项错误不符合题意． 故选：B． 34．（2025春•兰溪市校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先求算术平方根和平方的计算，最后再算加法． （2）先用平方差公式计算乘法，再计算加减法． 【解答】解：（1） ＝3+7 ＝10； （2） ． 35．（2025春•瑞安市校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 36．（2025春•温州校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）； （2）4﹣5+5＝4． 37．（2025春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式24 ； （2）原式＝5﹣21+2 ＝6﹣22 ＝6． 38．（2025春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）（）2． 【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘法化简，然后合并同类二次根式求解即可； （2）根据完全平方公式展开，化简二次根式，然后合并同类二次根式求解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式5． 39．（2025春•西湖区校级期中）计算： （1）6； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 40．（2025春•北仑区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘法，再算加减即可； （2）先利用平方差公式，完全平方公式分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解：（1） ＝4 ＝3 ＝33 ＝6； （2） ＝6﹣3+1+2+2 ＝6+2． 41．（2025春•越城区期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘除法，再化简，然后计算减法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【解答】解：（1） ＝2﹣3 ＝﹣1； （2） ＝2﹣21﹣5+3 ＝1﹣2． 42．（2025春•任泽区期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 　甲、乙、丁　 ； （2）请给出正确的求解过程． 【分析】（1）根据二次根式的运算，化简运算，逐步判断即可得到结果； （2）根据二次根式的运算，即可得到结果． 【解答】解：（1）老师—甲，， 故甲的原计算错误； 甲—乙，， 故乙的原计算错误； 乙—丙，， 故丙的原计算正确； 丙—丁，不能再化简， 故丁原计算错误， ∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁， 故答案为：甲、乙、丁； （2） ． 43．（2025春•威海校级期中）计算： （1）； （2）； （3）已知，A、B为最简二次根式，且A+B＝C，求． 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）根据最简二次根式的定义可得2x+1＝x+3，可得：x＝2，进而可得、，然后求出，从而可得10x+3y＝320，进而可得y＝100，然后把x，y的值代入中计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝44． （2）原式 ． （3）由条件可知2x+1＝x+3，可得：x＝2， ∴、， ∵A+B＝C， ∴， ∵， ∴10x+3y＝320， ∴20+3y＝320， 解得：y＝100， ∴， ∴的值为14． 题型八 二次根式的应用 44．（2025春•诸暨市期中）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣3 B．9﹣3 C．33 D．32 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两个相邻的正方形，面积分别为3和9， ∴两个正方形的边长分别为，3， ∴阴影部分的面积（3）＝33． 故选：C． 45．（2025春•龙泉市期中）如图，长方形ABCD内相邻的两个正方形面积分别为9，3． （1）求图中AD的长． （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据两个正方形的面积，可以求得它们的边长，然后即可计算出AD的长； （2）根据图形和（1）中计算出的两个正方形的边长，可以计算出图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵两个正方形面积分别为9，3， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴， 即AD的长为3； （2）由图可得， 图中阴影部分的面积为：（3）＝33． 46．（2025春•定海区期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（c＝3×105千米/秒，v是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是2.4×105千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 【分析】依据题意，当地面时间经过△t秒时，飞船内的时间为，故当地面时间经过5分钟即300秒时，结合，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵光速c＝3×105千米/秒，宇宙飞船的速度为v＝2.4×105千米/秒，且当地面时间经过△t秒时，飞船内的时间为， ∴当地面时间经过5分钟即300秒时，． ∴． ∴飞船内经过的时间为：180（秒）． 47．（2025春•温州期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求 （1）Rt△ABC的面积． （2）斜边AB的长． （3）求AB边上的高． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题； （2）根据勾股定理可以解答本题； （3）根据等积法可以解答本题． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC， ∴Rt△ABC的面积4， 即Rt△ABC的面积是4； （2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC， ∴AB2， 即AB的长是2； （3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2， ∴AB边上的高是：， 即AB边上的高是． 48．（2025春•柯桥区期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（）（m）； （2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可． 【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m）， 答：长方形ABCD的周长是34（m）； （2）购买地砖需要花费＝50×[98（1）（1）] ＝50×（144﹣12） ＝50×132 ＝6600（元）； 答：购买地砖需要花费6600元． 题型九 二次根式中的阅读材料题 49．（2025春•北仑区校级期中）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【分析】（1）根据新定义得到m＝10，然后解方程即可； （2）根据新定义得到（2）（6m）＝6，然后解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得m＝10， 所以m2； （2）根据题意得（2）（6m）＝6， 12+2m﹣62m＝6， （22）m＝66， （1）m＝33， m3． 50．（2025春•杭州期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝ 　6　 ； （2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； （3）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【分析】（1）（2）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可； （3）根据已知条件中的新定义，列出关于m的方程，解方程求出m即可．（　　） 【解答】解：（1）∵与是关于c的共轭二次根式， ∴c， 故答案为：6； （2）∵a与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴； （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴， ， ， ， ∴m＝﹣2． 51．（2025春•越城区期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ 　﹣2　 ，b＝ 　3　 ； （2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根； （3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根． 【分析】（1）根据范例解答即可； （2）根据题给计算方法计算即可； （3）根据题给计算方法计算即可． 【解答】解：（1）如果，其中a、b为有理数，则a＝﹣2，b＝3； 故答案为：﹣2；3； （2）由条件可知a+b＝4，2b﹣a＝5， 解得a＝1，b＝3， ∴a+8b＝1+24＝25， ∴a+8b的算术平方根为5； （3）由条件可知，解得， a+b＝1或﹣9， ∴a+b的立方根为1或． 52．（2025春•贡井区校级期中）【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 （1）已知，a为整数，求a的值； （2）已知，a和b均为整数，求ab的值； 【拓展延伸】 （3）化简：． 【分析】（1）将4﹣2变形，即可得到a的值； （2）将（）2展开，即可得到ab的值； （3）将所求式子变形，再计算加减法即可． 【解答】解：（1）4﹣2 ＝3﹣21 ＝（1）2 ＝（1）2， ∵，a为整数， ∴a＝1； （2）（）2 ＝10﹣22 ＝12﹣4， ∵，a和b均为整数， ∴a＝12，b＝﹣4， ∴ab＝12×（﹣4）＝﹣48； （3） 1 ＝1． 53．（2025春•元氏县校级期中）阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 嘉嘉的思路：将两个式子分别平方后，再进行比较． 淇淇的思路：以为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空：　11+2　 ； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②利用三角形的三边关系判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）①根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状； ②根据三角形三边关系可以判断与的大小； （3）仿照（2）中的方法可以判断与的大小． 【解答】解：（1） ＝5+26 ＝11+2， 故答案为：11+2； （2）①△ABC是直角三角形， 理由：∵， ∴， ∴△ABC是直角三角形； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴； （3）， 理由：∵（2）2+（）2＝12+6＝18，（3）2＝18， ∴（2）2+（）2＝（3）2， ∴线段2，，3可以构成直角三角形， ∴． 54．（2025春•饶平县期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的． 例如化简， ∵5＝3+2且6＝3×2， ∴ ． （1）横线填上适当的数： 　　 ； （2）化简：； （3）当x≥1时，求的值． 【分析】（1）根据题目中的例子，利用完全平方公式开方即可； （2）根据题目中的例子，将所求式子变形，然后开方即可； （3）将所求式子变形，然后开方，再算减法即可． 【解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）∵x≥1， ∴ 1 ＝1． 55．（2025秋•都昌县期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由得x＝2024， ∴y＝2025，∴． （1）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （2）拓展创新：已知，求a﹣b的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出ab＝10，从而得到a+b＝7，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：x＝3， ∴y＞2， ∴1﹣y＜0， ∴1； （2）由题意得：， 解得：ab＝10， ∴b＝﹣a+7， ∴a+b＝7， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×10＝9， ∴a﹣b＝±3． 56．（2025春•拱墅区校级期中）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． （1）猜想的结果并证明； （2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为 　71　 ． 【分析】（1）先把被开方数化成假分数，然后把二次根式化简即可； （2）根据已知条件和（1）中的式子用正整数n表示含有已知条件规律的等式，进行证明即可； （3）根据（2）中的规律，求出a，b，再代入a+b进行计算即可． 【解答】解：（1），证明如下： ； （2），证明如下： ； （3）∵（a，b为正整数）， ∴a＝8，b＝82﹣1＝64﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 故答案为：71． 57．（2025秋•榕城区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b其中a、b、m、n均为整数），则有a+b． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a，用含m、n的式子分别表示a、b，则a＝ m2+3n2 ，b＝ 　2mn ； （2）7+4的算术平方根为 　　 ； （3）若a+6，且a、m、n均为正整数，求a的值； （4）化简：． 【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，合并，再与等式左边比较即可求解； （2）利用完全平方公式的运算法则将给出的式子进行变形，然后再进行求解即可； （3）利用完全平方公式的运算法则将给出的式子进行化简，得出相关等式，分类讨论即可； （4）先计算的值，再求出结果的算术平方根，即可解答． 【解答】解：， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2，2mn； ， 故答案为：； ， ∴a＝m2+3n2，2mn＝6，即mn＝3， ∵a、m、n 均为正整数， ∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1， ∴当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28； 当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12； ∴a的值为28或12； ， ∴． 58．（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 【分析】（1）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简即可； （2）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简，最后分母有理化即可． 【解答】解：（1）①∵3+1＝4，3×1＝3，即，， ∴； ②∵15+4＝19，15×4＝60，即，， ∴； （2）原式 ＝1． 59．（2025春•东莞市校级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积S．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p，那么其三角形的面积S，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦一秦九韶公式． （1）如图1，若△ABC的三边长依次为BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7， ①利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； ②除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积S？请写出求解过程； （2）如图2，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝8，AD＝7，求该四边形的面积． 【分析】（1）法一根据海伦公式即可得到结论；法二根据秦九韶公式即可得到结论； （2）连接AC，过A作AE⊥CD于E，由勾股定理求出AC，设CE＝x，则DE＝7﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出CE，再由勾股定理求出AE，四边形的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，即可得出结果． 【解答】解：（1）①法一：海伦公式 ∵a＝5，b＝6，c＝7， ∴p（a+b+c）＝9， ∴S6； 法二：秦九韶公式 ∵a＝5，b＝6，c＝7， ∴S ＝6； ②过点B作BH⊥AC于H，设AH＝x，则CH＝6﹣x， 在Rt△BHA中，BH2＝72﹣x2， 在Rt△BHC中，BH2＝52﹣（6﹣x）2， ∴72﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， 解x＝5， ∴BH2， ∴S； （2）解：连接AC，如图： ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， 在△ACD中，P， ∴ ， ∴该四边形的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+10． 60．（2025春•锡山区校级期中）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当a＞0，b＞0时，∵； ∴，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，的最小值为　2　 ； （2）当x＞3时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值． 【分析】（1）当x＞0时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设S△AOD＝x，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定S四边形ABCD＝S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD，代入计算，利用题中性质求解即可． 【解答】解：（1）当x＞0时，， ∴的最小值为2； 故答案为：2； （2）∵x＞3， ∴， 而， 当时， ∴（x﹣3）2＝4， 解得：x＝5或x＝1（不符合题意，舍去）， 即x＝5时，等号成立， ∴y≥4， ∴当x＝5时，有最小值，为4． （3）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9， 设S△AOD＝x， ∵△AOD与△AOB同高，△COD与△BOC同高， ∴S△AOB：S△AOD＝BO：OD＝S△BOC：S△COD， 由题知S△AOB＝4，S△COD＝9， ∴4：x＝S△BOC：9， ∴， ∵S四边形ABCD＝S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD ， ∵， ∴S四边形ABCD≥13+12＝25， ∴四边形ABCD面积的最小值为25． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式期中复习讲义 1、 复习目标 1.理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，掌握有意义条件。 2.熟练运用5条核心性质进行化简、去绝对值、符号判断。 3.掌握加减乘除、混合运算、分母有理化、平方差化简。 4.会用平方法、作差法比较根式大小，解决几何、非负数、配方综合题。 2、 知识梳理（速记） 1.二次根式：，双条件：根指数2+被开方数非负。 2.有意义：根式；分式；列不等式组。 3.核心性质： 4.最简二次根式：①不含分母；②不含开得尽方因数。 5.运算：先化简→再乘除→最后合并同类二次根式。 三、考点全优化（8大高频考点） 考点1：二次根式的定义与判定 核心：形如，根指数为2，被开方数≥0。 不是二次根式：根指数≠2、被开方数为负、含分母未化简。 典例 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 易错：带字母的根式不一定是二次根式（需判断被开方数正负）。 考点2：二次根式有意义的字母取值范围（必考） 3类常考模型： 1 单个根式： 2 分式+根式： 3 双根式互为相反数： 典例1 若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m⩽4 B．m⩽4且m≠3 C．m＞4 D．m＜4且m≠3 典例2 （拓展），则______。 考点3：二次根式性质化简（期中必考） 三步法：判正负→去根号变绝对值→去绝对值符号。 典例1 化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7 典例2实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 考点4：最简二次根式与同类二次根式（选择/填空） （1）最简二次根式（2条件）① 被开方数不含分母/小数；② 不含开得尽方的因数。 典例若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．0.1 （2）同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。 典例已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 考点5：二次根式的乘除运算（基础计算） 公式：； 典例 计算：（1）； （2）（）2； （3）． 考点6：二次根式的加减与混合运算 步骤：化简→去括号→合并同类二次根式。 易错：不同类二次根式不能直接合并（如）。 典例1下列算式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 典例2 （4）﹣（34）； 考点7：二次根式比较大小（必考技巧） 方法：平方法 正数： 负数：绝对值大的反而小 典例 综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 考点8：二次根式综合应用（几何/非负/配方） （1）非负数模型（） 典例若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． （1）求a，b的值； （3）求第三边的长． （2）几何计算（勾股定理/海伦公式） 典例海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　） A．12 B． C． D． （3）配方法化简双重根号 典例【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【拓展延伸】 （3）化简． 四、解题技巧汇总（期中必背） ：先判正负，再去绝对值。 2.运算：先化简，再计算，结果必为最简二次根式。 3.比较大小：统一平方，再比结果。 4.含字母范围：被开方数≥0，分母≠0。 5.非负性：根式、绝对值、平方相加为0，各自为0。 五、期中易错点警示 ，一定加绝对值。 不能合并，不是。 3.分母含根号必须分母有理化。 4.最简二次根式不能有分母、小数、开得尽方因数。 六、题型突破 题型一 二次根式的定义 1．（2025春•西湖区校级期中）下列各式中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•鹿城区校级期中）当x＝1时，二次根式的值是（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 3．（2025春•玉环市期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 4．（2025春•龙湾区期中）当x＝﹣6时，二次根式的值为　 　 ． 题型二 二次根式有意义的条件 5．（2025春•瑞安市校级期中）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025春•义乌市校级期中）二次根式中字母x的取值范围为（　　） A．x≠﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x＜﹣3 7．（2025春•拱墅区校级期中）若为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2025春•慈溪市校级期中）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x≥1且x≠2 C．x≥2 D．x＞2 9．（2025春•丽水期中）已知实数m满足，那么m﹣20242的值为（　　） A．﹣2025 B．2025 C．2024 D．﹣2024 10．（2025春•北仑区校级期中）代数式中，a的取值范围是　 　 ． 11．（2025春•椒江区校级期中）当x＝　 　 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 12．（2025春•兰溪市校级期中）若a、b都为实数，且，ab＝　 　 ． 13．（2025春•诸暨市期中）已知实数a，b，c满足，则a+b﹣c的值为　 　 ． 14．（2025春•临海市期中）已知，求ab的值． 题型三 二次根式的性质与化简 15．（2025春•温州期中）化简，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025春•义乌市期中）若3﹣b，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 17．（2025春•拱墅区校级期中）下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025春•诸暨市期中）若a＜1，则（　　） A．a B．﹣a C．a﹣2 D．2﹣a 19．（2025春•钱塘区期中）已知﹣1＜a＜0，化简（　　） A．﹣a+5 B．3a﹣1 C．﹣a﹣5 D．﹣3a+5 20．（2025春•北仑区期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．a﹣2b﹣c B．c﹣a C．﹣a+2b+c D．a﹣c 21．（2025春•德清县期中）计算：　 　 ． 题型四 最简二次根式 22．（2025春•龙湾区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 23．（2025春•宁波期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 24．（2025春•龙泉市期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型五 二次根式的乘除法 25．（2025春•北仑区期中）化简结果正确的是（　　） A． B． C． D．7 26．（2025春•义乌市期中）计算：　 　 ． 27．（2025春•鹿城区校级期中）（3）（3）＝　 　 ． 28．（2025春•乳山市期中）已知实数x，y满足． （1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）计算：求代数式8x2﹣4y2﹣2025的值． 题型六 二次根式的加减法 29．（2025春•余杭区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 30．（2025春•杭州期中）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（2025春•玉环市期中）.计算：． 题型七 二次根式的混合运算 32．（2025春•滨江区期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 33．（2025春•杭州校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 34．（2025春•兰溪市校级期中）计算： （1）； （2）． 35．（2025春•瑞安市校级期中）计算： （1）； （2）． 36．（2025春•温州校级期中）计算： （1）； （2）． 37．（2025春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）． 38．（2025春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）（）2． 39．（2025春•西湖区校级期中）计算： （1）6； （2）． 40．（2025春•北仑区校级期中）计算： （1）； （2）． 41．（2025春•越城区期中）计算： （1）； （2）． 42．（2025春•任泽区期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 　 　 ； （2）请给出正确的求解过程． 43．（2025春•威海校级期中）计算： （1）； （2）； （3）已知，A、B为最简二次根式，且A+B＝C，求． 题型八 二次根式的应用 44．（2025春•诸暨市期中）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣3 B．9﹣3 C．33 D．32 45．（2025春•龙泉市期中）如图，长方形ABCD内相邻的两个正方形面积分别为9，3． （1）求图中AD的长． （2）求图中阴影部分的面积． 46．（2025春•定海区期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（c＝3×105千米/秒，v是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是2.4×105千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 47．（2025春•温州期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求 （1）Rt△ABC的面积． （2）斜边AB的长． （3）求AB边上的高． 48．（2025春•柯桥区期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 题型九 二次根式中的阅读材料题 49．（2025春•北仑区校级期中）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 50．（2025春•杭州期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝ 　 　 ； （2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； （3）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 51．（2025春•越城区期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根； （3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根． 52．（2025春•贡井区校级期中）【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 （1）已知，a为整数，求a的值； （2）已知，a和b均为整数，求ab的值； 【拓展延伸】 （3）化简：． 53．（2025春•元氏县校级期中）阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 嘉嘉的思路：将两个式子分别平方后，再进行比较． 淇淇的思路：以为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空：　 　 ； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②利用三角形的三边关系判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 54．（2025春•饶平县期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的． 例如化简， ∵5＝3+2且6＝3×2， ∴ ． （1）横线填上适当的数： 　 　 ； （2）化简：； （3）当x≥1时，求的值． 55．（2025秋•都昌县期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由得x＝2024， ∴y＝2025，∴． （1）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （2）拓展创新：已知，求a﹣b的值． 56．（2025春•拱墅区校级期中）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． （1）猜想的结果并证明； （2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为 　 　 ． 57．（2025秋•榕城区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b其中a、b、m、n均为整数），则有a+b． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a，用含m、n的式子分别表示a、b，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）7+4的算术平方根为 　 　 ； （3）若a+6，且a、m、n均为正整数，求a的值； （4）化简：． 58．（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 59．（2025春•东莞市校级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积S．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p，那么其三角形的面积S，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦一秦九韶公式． （1）如图1，若△ABC的三边长依次为BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7， ①利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； ②除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积S？请写出求解过程； （2）如图2，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝8，AD＝7，求该四边形的面积． 60．（2025春•锡山区校级期中）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当a＞0，b＞0时，∵； ∴，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，的最小值为　 　 ； （2）当x＞3时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $